Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(C) फ्यूज तार में ऊष्मीय प्रभाव जूल के ऊष्मन नियम $H = I^2 R t$ द्वारा निर्धारित होता है,जहाँ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ है।
फ्यूज के एक विशिष्ट धारा $I$ पर पिघलने के लिए,उत्पन्न ऊष्मा उसके गलनांक तक पहुँचने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए।
चूंकि उत्पन्न ऊष्मा प्रतिरोध $R$ पर निर्भर करती है,जो विशिष्ट प्रतिरोध $\rho$ के समानुपाती और त्रिज्या $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए ये कारक महत्वपूर्ण हैं।
धारा $I$ वह थ्रेशोल्ड मान है जिसके लिए फ्यूज को डिज़ाइन किया गया है।
तार की लंबाई $l$ फ्यूज तार की धारा वहन क्षमता या उसके गलनांक को प्रभावित नहीं करती है,क्योंकि फ्यूज के संचालन के लिए प्रति इकाई लंबाई उत्पन्न ऊष्मा मायने रखती है। अतः,लंबाई अप्रासंगिक है।

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र (capacitor) वाली शाखाएं ओपन सर्किट की तरह कार्य करती हैं और उन्हें नगण्य माना जा सकता है।
अतः,धारा केवल नीचे और मध्य शाखा में लगे प्रतिरोधों से होकर बहती है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2\,\Omega + 2\,\Omega = 4\,\Omega$ है।
परिपथ द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1\,W$ प्राप्त होता है।

(C) जब प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक प्रतिरोधक पर विभवांतर $(V)$ समान होता है।
प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति $(P)$ का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है।
चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए व्यय होने वाली शक्ति प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $P \propto \frac{1}{R}$।
दिया गया है कि प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1}$ है।
अतः,व्यय होने वाली शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}$ होगा।

(C) जब लैंप गर्म होता है (रेटेड पावर पर),तो उसका प्रतिरोध $R_{Hot} = \frac{V^2}{P}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $R_{Hot} = \frac{200 \times 200}{100} = 400\,\Omega$.
यह दिया गया है कि गर्म प्रतिरोध,ठंडे प्रतिरोध का $10$ गुना है: $R_{Hot} = 10 \times R_{Cold}$.
इसलिए,ठंडा प्रतिरोध (जब लैंप उपयोग में न हो) $R_{Cold} = \frac{R_{Hot}}{10}$ होगा।
$R_{Cold} = \frac{400}{10} = 40\,\Omega$.

(B) दिया गया है:
बैटरी का $e.m.f.$ $(E)$ = $3\, V$
आंतरिक प्रतिरोध $(r_{int})$ = $1.0\, \Omega$
परिपथ में प्रवाहित धारा $(I)$ = $1.5\, A$
माना वोल्टामीटर का प्रतिरोध $R$ है।
पूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार:
$E = I(R + r_{int})$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3 = 1.5(R + 1.0)$
$R + 1.0 = \frac{3}{1.5}$
$R + 1.0 = 2$
$R = 2 - 1.0 = 1\, \Omega$
अतः,वोल्टामीटर का प्रतिरोध $1\, \Omega$ है।

(B) वोल्टामीटर से प्रवाहित होने वाली धारा उससे जुड़े बाहरी परिपथ द्वारा निर्धारित होती है। श्रेणी परिपथ में निरंतरता के सिद्धांत के अनुसार,वोल्टामीटर में प्रवेश करने वाली धारा उससे बाहर निकलने वाली धारा के बराबर होनी चाहिए। इसलिए,कॉपर वोल्टामीटर के अंदर की धारा बाहरी परिपथ में बैटरी से ली गई धारा के समान होती है।

(A) किसी पदार्थ का विद्युत-रासायनिक तुल्यांक $(Z)$ सूत्र $Z = \frac{M}{nF}$ द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $M$ पदार्थ का मोलर द्रव्यमान है,$n$ संयोजकता (स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या) है,और $F$ फैराडे का नियतांक है।
चूंकि $M$,$n$,और $F$ पदार्थ और रासायनिक अभिक्रिया के आंतरिक गुण हैं,इसलिए विद्युत-रासायनिक तुल्यांक पूरी तरह से पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुआ द्रव्यमान $m = zq$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $z$ विद्युत-रासायनिक तुल्यांक है और $q$ आवेश है।
चूंकि जमा हुआ द्रव्यमान समान है,इसलिए $m_1 = m_2$,जिसका अर्थ है $z_1 q_1 = z_2 q_2$।
इससे,आवेशों का अनुपात $\frac{q_1}{q_2} = \frac{z_2}{z_1}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि कुल आवेश $q = q_1 + q_2$ है।
हमें चांदी के वोल्टामीटर से बहने वाला आवेश $q_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात से,$q_1 = q_2 \frac{z_2}{z_1}$।
इस मान को कुल आवेश के समीकरण में रखने पर: $q = q_2 \frac{z_2}{z_1} + q_2 = q_2 (1 + \frac{z_2}{z_1})$।
$q_2$ के लिए हल करने पर,हमें $q_2 = \frac{q}{1 + \frac{z_2}{z_1}}$ प्राप्त होता है।

(B) थर्मोकपल में तापमान $(T)$ के फलन के रूप में थर्मो $e.m.f.$ $(E)$ का संबंध इस प्रकार है: $E = aT + \frac{1}{2}bT^2$.
वह तापमान ज्ञात करने के लिए जिस पर $e.m.f.$ अधिकतम होता है,हम $E$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dE}{dT} = a + bT = 0$.
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = -\frac{a}{b}$ प्राप्त होता है। इस तापमान को उदासीन तापमान $(T_n)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
उदासीन तापमान पर,थर्मो $e.m.f.$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(C) थॉमसन प्रभाव उस घटना का वर्णन करता है जिसमें एक एकल सजातीय चालक के दो सिरों के बीच तापमान का अंतर होने पर विद्युत वाहक बल उत्पन्न होता है।
यह विभवांतर तापमान के अंतर के कारण आवेश वाहकों (charge carriers) के पुनर्वितरण के कारण उत्पन्न होता है।
इसलिए,अलग-अलग तापमान पर एक ही चालक के दो सिरों के बीच उत्पन्न विद्युत वाहक बल को थॉमसन विद्युत वाहक बल के रूप में जाना जाता है।

(A) थर्मोकपल द्वारा उत्पन्न थर्मो $e.m.f.$ को $e = S \times \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ संवेदनशीलता $(30 \,\mu V/^\circ C)$ है और $\theta$ तापमान का अंतर है।
दिया गया है,न्यूनतम करंट $i = 3 \times 10^{-7} \, A$ और प्रतिरोध $R = 50 \,\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$i = \frac{e}{R}$,हमारे पास $i = \frac{S \times \theta}{R}$ है।
मान रखने पर: $3 \times 10^{-7} = \frac{(30 \times 10^{-6}) \times \theta}{50}$।
$\theta$ के लिए हल करने पर: $\theta = \frac{3 \times 10^{-7} \times 50}{30 \times 10^{-6}}$।
$\theta = \frac{150 \times 10^{-7}}{30 \times 10^{-6}} = 5 \times 10^{-1} = 0.5^\circ C$।

(D) रेटेड शक्ति $V_1 = 220\,V$ पर $P_1 = 100\,W$ है। इस तापमान पर प्रतिरोध $R_1 = \frac{V_1^2}{P_1}$ है।
जब इसे $V_2 = 220 \times 0.8\,V$ से जोड़ा जाता है,तो नई शक्ति $P_2 = \frac{V_2^2}{R_2}$ होती है।
अनुपात लेने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_2^2}{V_1^2} \times \frac{R_1}{R_2} = (0.8)^2 \times \frac{R_1}{R_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वोल्टेज कम हो जाता है,फिलामेंट का तापमान कम हो जाता है,जिससे प्रतिरोध भी कम हो जाता है $(R_2 < R_1)$। इसलिए,$\frac{R_1}{R_2} > 1$ है।
यह दर्शाता है कि $P_2 > (0.8)^2 \times P_1 = 100 \times (0.8)^2\,W$ है।
साथ ही,चूंकि $P = VI$ है,और रेटेड मानों की तुलना में $V$ और $I$ दोनों कम हो जाते हैं,इसलिए शक्ति $P_2$ उस शक्ति से कम होगी जो तब होती यदि प्रतिरोध $R_1$ स्थिर रहता $(100 \times 0.8\,W)$।
अतः,वास्तविक शक्ति $P_2$,$100 \times (0.8)^2\,W$ और $100 \times 0.8\,W$ के बीच होगी।

(B) परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_2 = 4\, \Omega + 6\, \Omega = 10\, \Omega$ है। निचली शाखा का प्रतिरोध $R_1 = 5\, \Omega$ है।
चूंकि शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए दोनों शाखाओं में विभवांतर $V$ समान होगा।
शाखाओं में धारा उनके प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$।
प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा (शक्ति) $P = i^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$5\, \Omega$ के प्रतिरोध के लिए, $P_5 = i_1^2 \times 5 = 10\, \text{cal/s}$।
$4\, \Omega$ के प्रतिरोध के लिए, धारा $i_2$ है। ऊपरी शाखा में व्यय शक्ति $P_{\text{upper}} = i_2^2 \times R_2 = i_2^2 \times 10$ है।
अनुपात $\frac{i_1}{i_2} = 2$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $i_1 = 2i_2$ है। इस मान को $5\, \Omega$ के प्रतिरोध के शक्ति समीकरण में रखने पर: $(2i_2)^2 \times 5 = 10 \Rightarrow 20i_2^2 = 10 \Rightarrow i_2^2 = 0.5$।
$4\, \Omega$ के प्रतिरोध में व्यय शक्ति $P_4 = i_2^2 \times 4 = 0.5 \times 4 = 2\, \text{cal/s}$ है।

(C) पानी को उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R} t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ आपूर्ति वोल्टेज है,$R$ हीटिंग तार का प्रतिरोध है और $t$ लिया गया समय है।
चूंकि दोनों स्थितियों में आपूर्ति वोल्टेज $V$ और आवश्यक ऊष्मा $H$ समान है,इसलिए $H = \frac{V^2}{R_1} t_1 = \frac{V^2}{R_2} t_2$ होगा।
इसका अर्थ है $\frac{t_1}{R_1} = \frac{t_2}{R_2}$,या $\frac{t_2}{t_1} = \frac{R_2}{R_1}$ ..... $(i)$
हम जानते हैं कि तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के समानुपाती होता है,$R \propto l$,इसलिए $\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$ ..... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{t_2}{t_1} = \frac{l_2}{l_1}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि नई लंबाई $l_2 = \frac{2}{3} l_1$,इसलिए $\frac{l_2}{l_1} = \frac{2}{3}$ है।
मान रखने पर,$\frac{t_2}{15} = \frac{2}{3}$,जिससे $t_2 = 15 \times \frac{2}{3} = 10\,\text{min}$ प्राप्त होता है।

(D) परिपथ में दो समानांतर शाखाएं समान विभवांतर $V$ के साथ जुड़ी हुई हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध, $R_1 = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$.
निचली शाखा का प्रतिरोध, $R_2 = 6\,\Omega + 4\,\Omega = 10\,\Omega$.
चूंकि शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए दोनों पर विभवांतर $V$ समान है।
मान लीजिए ऊपरी शाखा में धारा $i_1$ है और निचली शाखा में धारा $i_2$ है।
$V = i_1 R_1 = i_2 R_2 \implies i_1(5) = i_2(10) \implies i_1 = 2i_2$.
प्रतिरोध में प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा (शक्ति) $P = i^2 R$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $6\,\Omega$ प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $P_2 = i_2^2 \times 6 = 60\, \text{cal/s}$ है।
अतः, $i_2^2 = 10$.
हमें $3\,\Omega$ प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $P_1 = i_1^2 \times 3$ ज्ञात करनी है।
$i_1 = 2i_2$ रखने पर, हमें मिलता है $P_1 = (2i_2)^2 \times 3 = 4i_2^2 \times 3 = 12i_2^2$.
$i_2^2 = 10$ रखने पर, हमें मिलता है $P_1 = 12 \times 10 = 120\, \text{cal/s}$.

(A) $1$. हीटर द्वारा खपत की गई शक्ति $P = 110\, W$ है और इसका प्रतिरोध $R_h = 110\, \Omega$ है। $P = \frac{V_h^2}{R_h}$ सूत्र का उपयोग करके,हम हीटर के सिरों पर वोल्टेज ज्ञात करते हैं:
$110 = \frac{V_h^2}{110} \Rightarrow V_h^2 = 12100 \Rightarrow V_h = 110\, V$.
$2$. हीटर से प्रवाहित धारा $i_1 = \frac{V_h}{R_h} = \frac{110}{110} = 1\, A$ है।
$3$. कुल वोल्टेज $220\, V$ है। चूंकि हीटर संयोजन $11\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए $11\, \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज $V_s = 220 - 110 = 110\, V$ होगा।
$4$. $11\, \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $i = \frac{V_s}{11} = \frac{110}{11} = 10\, A$ है।
$5$. किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार,$R$ से प्रवाहित धारा $i_2 = i - i_1 = 10 - 1 = 9\, A$ है।
$6$. चूंकि $R$,हीटर के साथ समानांतर क्रम में है,इसलिए $R$ पर वोल्टेज भी $110\, V$ होगा। अतः,$R = \frac{V_h}{i_2} = \frac{110}{9} \approx 12.22\, \Omega$.

(B) प्रत्येक बल्ब की सामान्य चमक के लिए,प्रत्येक बल्ब के सिरों पर वोल्टेज $1.5\,V$ होना चाहिए और प्रत्येक बल्ब से प्रवाहित धारा $0.5\,A$ होनी चाहिए।
चूंकि चारों बल्ब समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $i$ प्रत्येक बल्ब से प्रवाहित धाराओं का योग है: $i = 0.5\,A + 0.5\,A + 0.5\,A + 0.5\,A = 2\,A$.
बल्बों के समानांतर संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $1.5\,V$ है।
चूंकि बैटरी का वोल्टेज $12\,V$ है,इसलिए प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_R = 12\,V - 1.5\,V = 10.5\,V$ होगा।
प्रतिरोध $R$ के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर,$V_R = i \times R$,हमें $10.5\,V = 2\,A \times R$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$R = 10.5 / 2 = 21/4\,\Omega$।

(D) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
बल्ब $B_1$ $(100\, W)$ के लिए,$R_1 = \frac{V^2}{100}$।
बल्ब $B_2$ और $B_3$ $(60\, W)$ के लिए,$R_2 = R_3 = \frac{V^2}{60}$।
बल्ब $B_1$ और $B_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन $250\, V$ स्रोत के साथ $B_3$ के समानांतर है।
$B_3$ में व्यय शक्ति $W_3 = \frac{(250)^2}{R_3} = \frac{(250)^2}{V^2/60} = 60 \times \frac{(250)^2}{V^2}$ है।
श्रेणी शाखा ($B_1$ और $B_2$) से प्रवाहित धारा $I = \frac{250}{R_1 + R_2} = \frac{250}{\frac{V^2}{100} + \frac{V^2}{60}} = \frac{250}{V^2(\frac{3+5}{300})} = \frac{250 \times 300}{8V^2} = \frac{9375}{V^2}$ है।
$B_1$ में शक्ति $W_1 = I^2 R_1 = (\frac{9375}{V^2})^2 \times \frac{V^2}{100} = \frac{9375^2}{100 V^2}$ है।
$B_2$ में शक्ति $W_2 = I^2 R_2 = (\frac{9375}{V^2})^2 \times \frac{V^2}{60} = \frac{9375^2}{60 V^2}$ है।
$W_1$ और $W_2$ की तुलना करने पर,चूंकि $R_1 < R_2$,इसलिए $W_1 < W_2$ है। चूंकि $B_3$ सीधे स्रोत से जुड़ा है,यह अपने रेटेड वोल्टेज पर काम करता है,जबकि $B_1$ और $B_2$ कम वोल्टेज पर काम करते हैं,इसलिए $W_2 < W_3$ है। अतः,$W_1 < W_2 < W_3$।

(D) प्रारंभ में, परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_1 = 2\, \Omega + 3\, \Omega = 5\, \Omega$ है। वोल्टामीटर से प्रवाहित धारा $i_1 = \frac{V}{5}$ है।
जब $2\, \Omega$ के वोल्टामीटर के साथ समानांतर क्रम में $2\, \Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाता है, तो इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\, \Omega$ होता है।
परिपथ का नया कुल प्रतिरोध $R_2 = 1\, \Omega + 3\, \Omega = 4\, \Omega$ है। परिपथ में मुख्य धारा $i = \frac{V}{4}$ है।
चूंकि समानांतर प्रतिरोधक समान ($2\, \Omega$ प्रत्येक) हैं, इसलिए धारा $i$ समान रूप से विभाजित होती है। अतः, वोल्टामीटर से प्रवाहित धारा $i_2 = \frac{i}{2} = \frac{V}{8}$ है।
सिल्वर के जमा होने की दर धारा के समानुपाती होती है, $R \propto i$। दर में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{i_2 - i_1}{i_1} \times 100$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $= \frac{\frac{V}{8} - \frac{V}{5}}{\frac{V}{5}} \times 100 = \frac{\frac{5V - 8V}{40}}{\frac{V}{5}} \times 100 = \frac{-3V}{40} \times \frac{5}{V} \times 100 = -37.5\, \%$.
अतः, सिल्वर के जमा होने की दर $37.5\, \%$ कम हो जाती है।

(B) थर्मोकपल द्वारा उत्पन्न थर्मो $e.m.f.$ $(e)$, थर्मो $e.m.f.$ गुणांक $(\alpha)$ और तापमान अंतर $(\Delta \theta)$ के गुणनफल के बराबर होता है: $e = \alpha \Delta \theta$.
ओम के नियम के अनुसार, $e.m.f.$ करंट $(i)$ और प्रतिरोध $(R)$ के गुणनफल के भी बराबर होता है: $e = iR$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\alpha \Delta \theta = iR$.
दिया गया है: $\alpha = 25\,\mu V/^{\circ}C = 25 \times 10^{-6}\,V/^{\circ}C$, $i = 10^{-5}\,A$, और $R = 40\,\Omega$.
मान रखने पर: $(25 \times 10^{-6}) \times \Delta \theta = 10^{-5} \times 40$.
$\Delta \theta = \frac{40 \times 10^{-5}}{25 \times 10^{-6}} = \frac{400}{25} = 16\,^{\circ}C$.
अतः, इस प्रणाली द्वारा पता लगाया जा सकने वाला सबसे छोटा तापमान अंतर $16\,^{\circ}C$ है।

(B) बल्ब की रेटेड शक्ति $P = 500\, W$ है और रेटेड वोल्टेज $V_{rated} = 100\, V$ है।
जब बल्ब अपनी रेटेड शक्ति पर कार्य करता है,तो उससे प्रवाहित होने वाली धारा $i = \frac{P}{V_{rated}} = \frac{500}{100} = 5\, A$ होती है।
चूंकि बल्ब को एक प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में $200\, V$ की आपूर्ति से जोड़ा गया है,इसलिए कुल वोल्टेज बल्ब और प्रतिरोध के बीच विभाजित हो जाता है।
बल्ब के सिरों पर वोल्टेज $100\, V$ है,इसलिए प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_R = 200\, V - 100\, V = 100\, V$ होना चाहिए।
प्रतिरोध $R$ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_R = i \times R$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$100 = 5 \times R$।
अतः,$R = \frac{100}{5} = 20\, \Omega$।

(D) एक थर्मोकपल में,थर्मोइलेक्ट्रिक $EMF$ $(E)$ को $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\theta$ जंक्शनों के बीच का तापमान अंतर है।
सामान्य परिस्थितियों में (व्युत्क्रमण तापमान से कम तापमान पर),धारा धातु $X$ से धातु $Y$ की ओर ठंडे जंक्शन के माध्यम से बहती है।
जब गर्म जंक्शन का तापमान व्युत्क्रमण तापमान से अधिक हो जाता है,तो थर्मोइलेक्ट्रिक $EMF$ की दिशा उलट जाती है।
परिणामस्वरूप,धारा की दिशा भी उलट जाती है,जो गर्म जंक्शन के माध्यम से $X$ से $Y$ की ओर बहती है,जो ठंडे जंक्शन के माध्यम से $Y$ से $X$ की ओर बहने के बराबर है।
इसलिए,विकल्प $(b)$ और $(c)$ दोनों एक ही भौतिक स्थिति का वर्णन करते हैं।

(B) फैराडे के विद्युत अपघटन के नियमों के अनुसार,कैथोड पर जमा द्रव्यमान $m = Zit$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ विद्युत-रासायनिक तुल्यांक है,$i$ वोल्टामीटर से होकर बहने वाली धारा है और $t$ समय है।
स्थिति $1$: श्रेणीक्रम संयोजन।
कुल प्रतिरोध $R_s = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$ है।
वोल्टामीटर से बहने वाली धारा $i_1 = \frac{V}{R_s} = \frac{10\,V}{5\,\Omega} = 2\,A$ है।
जमा द्रव्यमान $m_1 = Z i_1 t = 1\,g$ है।
स्थिति $2$: समानांतर संयोजन।
वोल्टामीटर सीधे $10\,V$ की बैटरी के साथ जुड़ा हुआ है।
वोल्टामीटर से बहने वाली धारा $i_2 = \frac{V}{R_v} = \frac{10\,V}{2\,\Omega} = 5\,A$ है।
जमा द्रव्यमान $m_2 = Z i_2 t$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{i_2}{i_1} = \frac{5\,A}{2\,A} = 2.5$।
चूंकि $m_1 = 1\,g$,इसलिए $m_2 = 2.5\,g$ है।
जमा द्रव्यमान में वृद्धि $\Delta m = m_2 - m_1 = 2.5\,g - 1\,g = 1.5\,g$ है।

(C) जमा हुए कॉपर का द्रव्यमान फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार $m = Z i t$ है।
साथ ही,द्रव्यमान को $m = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times A \times x$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $A$ क्षेत्रफल है और $x$ मोटाई है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\rho A x = Z i t$.
अतः,मोटाई $x = \frac{Z i t}{A \rho}$.
दिए गए मान:
$Z = 0.00033\, g/C = 3.3 \times 10^{-7}\, kg/C$
$i = 1.5\, A$
$t = 1200\, s$
$A = 50 \times 10^{-4}\, m^2$
$\rho = 9000\, kg/m^3$
मान रखने पर:
$x = \frac{3.3 \times 10^{-7} \times 1.5 \times 1200}{50 \times 10^{-4} \times 9000} = 1.32 \times 10^{-5}\, m$.
इस प्रकार,मोटाई लगभग $1.3 \times 10^{-5}\, m$ है।

(A) माना कि पिघली हुई धातु का तापमान $t\,^{\circ}C$ है।
उत्पन्न थर्मो-emf $e = 10 \times 10^{-6} \times t\,\text{V} = 10^{-5}t\,\text{V}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{thermocouple} + R_{galvanometer} = 1.6\,\Omega + 8\,\Omega = 9.6\,\Omega$ है।
परिपथ में धारा $i = \frac{e}{R_{total}} = \frac{10^{-5}t}{9.6}\,\text{A}$ है।
गैल्वेनोमीटर अपने स्वयं के प्रतिरोध पर विभवांतर को मापता है,जो $V_G = 8\,\text{mV} = 8 \times 10^{-3}\,\text{V}$ है।
गैल्वेनोमीटर से होकर बहने वाली धारा $i = \frac{V_G}{R_G} = \frac{8 \times 10^{-3}}{8} = 10^{-3}\,\text{A}$ है।
धारा के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{10^{-5}t}{9.6} = 10^{-3}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{10^{-3} \times 9.6}{10^{-5}} = 9.6 \times 10^2 = 960\,^{\circ}C$।

(A) पेल्टियर गुणांक $\pi$ को संबंध $\pi = T \frac{de}{dT}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
यह दिया गया है कि एक जंक्शन $0\,^{\circ}C$ पर है,इसलिए निरपेक्ष तापमान $T$ और सेल्सियस तापमान $t$ के बीच संबंध $T = t + 273$ है।
$t = T - 273$ को दिए गए emf समीकरण $e = at + bt^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$e = a(T - 273) + b(T - 273)^2$.
$T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{de}{dT} = a + 2b(T - 273)$.
चूंकि $T - 273 = t$,इसलिए $\frac{de}{dT} = a + 2bt$.
अब,पेल्टियर गुणांक की गणना करने पर:
$\pi = T \frac{de}{dT} = (t + 273)(a + 2bt)$.

(B) दोनों उपकरणों के लिए रेटेड वोल्टेज $220\,V$ माना गया है।
बल्ब का प्रतिरोध,$R_{Bulb} = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{100} = 484\,\Omega$.
गीज़र का प्रतिरोध,$R_{Geyser} = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{1000} = 48.4\,\Omega$.
$(i)$ जब केवल बल्ब $ON$ होता है,तो सर्किट में वायरिंग का प्रतिरोध $(6\,\Omega)$ और बल्ब $(484\,\Omega)$ श्रेणीक्रम में होते हैं।
बल्ब पर विभवांतर $V_{Bulb1} = 220 \times \frac{484}{484 + 6} = 220 \times \frac{484}{490} \approx 217.3\,V$ है।
$(ii)$ जब गीज़र को भी $ON$ किया जाता है,तो बल्ब और गीज़र समानांतर क्रम में होते हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{484 \times 48.4}{484 + 48.4} = \frac{23425.6}{532.4} = 44\,\Omega$ है।
अब सर्किट में वायरिंग का प्रतिरोध $(6\,\Omega)$ और समानांतर संयोजन $(44\,\Omega)$ श्रेणीक्रम में होते हैं।
समानांतर संयोजन (और इसलिए बल्ब) पर विभवांतर $V_{Bulb2} = 220 \times \frac{44}{44 + 6} = 220 \times \frac{44}{50} = 193.6\,V$ है।
विभवांतर में परिवर्तन $\Delta V = V_{Bulb1} - V_{Bulb2} = 217.3 - 193.6 = 23.7\,V$ है।
यह लगभग $23\,V$ है।

(B) चार्जिंग धारा $i$ का सूत्र $i = \frac{V_{supply} - V_{battery}}{R_{ext} + r_{int}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $i = \frac{24 - 12}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4\, A$.
बैटरी में संग्रहीत ऊर्जा $E = V_{battery} \times i \times t$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $E = 360\, Wh$, $V_{battery} = 12\, V$, और $i = 4\, A$ है।
$360 = 12 \times 4 \times t$.
$360 = 48 \times t$.
$t = \frac{360}{48} = 7.5\, \text{घंटे}$.

(B) यह परिपथ $12 \, \Omega$ के प्रतिरोधक और दो समानांतर शाखाओं के संयोजन से बना है। एक शाखा में $5 \, \Omega$ का प्रतिरोध है,और दूसरी शाखा में $9 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं (कुल $15 \, \Omega$)।
माना $5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $i_1$ है और $9 \, \Omega$ तथा $6 \, \Omega$ वाली शाखा से प्रवाहित धारा $i_2$ है।
समानांतर संयोजन में होने के कारण,उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा: $i_1 \times 5 = i_2 \times (9 + 6) = i_2 \times 15$.
अतः,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{15}{5} = 3$,जिसका अर्थ है $i_1 = 3i_2$.
$5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक में विकसित शक्ति $P_5 = i_1^2 \times 5 = 45 \, W$ है।
$i_1^2 = \frac{45}{5} = 9 \Rightarrow i_1 = 3 \, A$.
चूंकि $i_1 = 3i_2$,इसलिए $3 = 3i_2$,जिसका अर्थ है $i_2 = 1 \, A$.
$12 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित कुल धारा $i = i_1 + i_2 = 3 + 1 = 4 \, A$ है।
$12 \, \Omega$ के प्रतिरोधक में विकसित शक्ति $P_{12} = i^2 \times 12 = (4)^2 \times 12 = 16 \times 12 = 192 \, W$ है।

(A) वोल्टामीटर से प्रवाहित कुल आवेश $q$,धारा-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
क्षेत्रफल $= \text{समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (10 + 30) \times 100 \times 10^{-3} \, \text{A} = \frac{1}{2} \times 40 \times 0.1 = 2 \, \text{C}$.
फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,$m = z q$,जहाँ $z$ कॉपर का $ECE$ है।
यह दिया गया है कि $q = 2 \, \text{C}$ आवेश के लिए जमा हुआ द्रव्यमान $m$ है,इसलिए:
$m = z \times 2$
$z = \frac{m}{2}$.

(D) यदि किसी क्षण पर,परिपथ से प्रवाहित धारा $i$ है,तो परिपथ में किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर ($E$ $EMF$ और $R$ आंतरिक प्रतिरोध वाले स्रोत के लिए):
$iR + e = E$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e = E - iR$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = e$,$x = i$,$m = -R$ (ढाल),और $c = E$ (अंतःखंड) है।
चूंकि ढाल ऋणात्मक $(-R)$ है और अंतःखंड धनात्मक $(E)$ है,इसलिए $e$ और $i$ के बीच का ग्राफ एक सीधी रेखा होगी जिसकी ढाल ऋणात्मक है और $e$-अक्ष पर अंतःखंड धनात्मक है।
अतः,सही ग्राफ विकल्प $D$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) नियत वोल्टेज $V$ के तहत $R$ प्रतिरोध वाले तार में उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R} t$ द्वारा दी जाती है। निश्चित समय $t$ के लिए,$H \propto \frac{1}{R}$ होता है।
ऊष्मा को दोगुना करने के लिए $(H' = 2H)$,प्रतिरोध को आधा होना चाहिए $(R' = R/2)$।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ होता है।
यदि लंबाई $l$ को दोगुना $(l' = 2l)$ और त्रिज्या $r$ को दोगुना $(r' = 2r)$ किया जाता है,तो $R' = \rho \frac{2l}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2l}{4\pi r^2} = R/2$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) मान लीजिए कि बायां जंक्शन $A$ है और दायां जंक्शन $B$ है। यह सर्किट एक ब्रिज की तरह है। बाएं हिस्से में दो समानांतर शाखाएं हैं: एक में $2\Omega$ और $4\Omega$ के प्रतिरोध हैं। $P$ और $Q$ पर विभव की गणना की जा सकती है। बाएं हिस्से का समतुल्य प्रतिरोध $R_L = (2 || 4) = 8/6 = 4/3 \Omega$ है। दाएं हिस्से का समतुल्य प्रतिरोध $R_R = (2 || 4) = 4/3 \Omega$ है। $P$ पर विभव $V_P = 12 \times (4/(2+4)) = 8V$ और $V_Q = 12 \times (2/(2+4)) = 4V$ है। चूंकि दाईं ओर सममित है,इसलिए $V_S = 4V$ और $V_T = 8V$ प्राप्त होता है। चूंकि $V_P = 8V$ और $V_Q = 4V$ है,इसलिए $PQ$ से धारा प्रवाहित होती है,अतः विकल्प $A$ गलत है। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 4\Omega$ है। इसलिए,$I_1 = V/R_{eq} = 12/4 = 3A$। विकल्प $B$ सही है। चूंकि $V_S = 4V$ और $V_Q = 4V$ है,इसलिए $S$ और $Q$ का विभव समान है,अतः विकल्प $C$ भी गलत है। इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) सबसे पहले,$R = V^2 / P$ का उपयोग करके प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध ज्ञात करें।
पहले बल्ब के लिए $(P_1 = 25\, W, V = 220\, V)$: $R_1 = (220)^2 / 25 = 48400 / 25 = 1936\, \Omega$.
दूसरे बल्ब के लिए $(P_2 = 100\, W, V = 220\, V)$: $R_2 = (220)^2 / 100 = 48400 / 100 = 484\, \Omega$.
जब इन्हें $440\, V$ की आपूर्ति के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420\, \Omega$ होता है।
श्रेणी परिपथ में धारा $I = V / R_{eq} = 440 / 2420 = 44 / 242 = 2 / 11\, A$ है।
पहले बल्ब पर वोल्टेज ड्रॉप $V_1 = I \times R_1 = (2 / 11) \times 1936 = 2 \times 176 = 352\, V$ है।
दूसरे बल्ब पर वोल्टेज ड्रॉप $V_2 = I \times R_2 = (2 / 11) \times 484 = 2 \times 44 = 88\, V$ है।
चूंकि $25\, W$ बल्ब पर वोल्टेज ड्रॉप $(352\, V)$ उसके रेटेड वोल्टेज $(220\, V)$ से अधिक है,इसलिए वह फ्यूज हो जाएगा।

(B) समांतर परिपथ में,प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \frac{1}{R}$ होगा।
अतः,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1}$।
दिया गया है कि $R_1 = 6\,\Omega$ के लिए $P_1 = 6\,W$ है,और हमें $R_2 = 4\,\Omega$ के लिए $P_2$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{6}{P_2} = \frac{4}{6}$।
$\frac{6}{P_2} = \frac{2}{3}$।
$P_2 = \frac{6 \times 3}{2} = 9\,W$।

(B) फैराडे के नियम के अनुसार जमा हुआ द्रव्यमान $m = Z \cdot i \cdot t$ है,जहाँ $Z$ विद्युत रासायनिक तुल्यांक है।
यहाँ $96500 \ C$ आवेश $1 \ g$ पदार्थ जमा करता है,इसलिए $Z = \frac{1}{96500} \ g/C$ है।
कॉपर $(Cu^{2+})$ के लिए,दी गई जानकारी के अनुसार $Z = \frac{32}{96500} \ g/C$ का उपयोग करते हुए:
दिया गया है: $m = 20 \ mg = 20 \times 10^{-3} \ g$ और $i = 0.15 \ A$।
सूत्र में मान रखने पर: $20 \times 10^{-3} = \left( \frac{32}{96500} \right) \times 0.15 \times t$।
$t = \frac{20 \times 10^{-3} \times 96500}{32 \times 0.15} = \frac{1930}{4.8} \approx 402.08 \ s$।
$402.08 \ s = 6 \ min \ 42 \ s$।

(C) फैराडे के विद्युत अपघटन के नियमों के अनुसार,जमा हुए पदार्थ का द्रव्यमान $m$,$m = ZIt$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ विद्युत रासायनिक तुल्यांक है,$I$ धारा है और $t$ समय है।
समान धारा और समान समय के लिए जमा किए गए दो अलग-अलग पदार्थों के लिए,उनके द्रव्यमान का अनुपात उनके विद्युत रासायनिक तुल्यांकों के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{m_{Cu}}{m_{Ag}} = \frac{Z_{Cu}}{Z_{Ag}}$
दिया गया है: $m_{Cu} = 14 \ g$,$Z_{Cu} = 7 \times 10^{-6}$,$Z_{Ag} = 1.2 \times 10^{-6}$।
मान रखने पर:
$\frac{14}{m_{Ag}} = \frac{7 \times 10^{-6}}{1.2 \times 10^{-6}}$
$m_{Ag} = \frac{14 \times 1.2}{7} = 2 \times 1.2 = 2.4 \ g$।

(B) चालक में उत्पन्न ऊष्मा जूल के तापन नियम द्वारा दी जाती है: $H = i^2 Rt$.
दी गई मान हैं: विद्युत धारा $i = 2 \ A$,ऊष्मा $H = 80 \ J$,और समय $t = 10 \ s$.
प्रतिरोध $R$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $R = \frac{H}{i^2 t}$.
मान रखने पर: $R = \frac{80}{(2)^2 \times 10} = \frac{80}{4 \times 10} = \frac{80}{40} = 2 \ \Omega$.
अतः,चालक का प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(B) जब कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,तो वोल्टमीटर का पाठ्यांक बैटरी का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ देता है,इसलिए $E = 5\,V$ है।
जब अमीटर जोड़ा जाता है,तो यह शॉर्ट-सर्किट धारा को मापता है,जो $I_{sc} = E/r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
अतः,$10 = 5/r$,जिससे हमें $r = 5/10 = 0.5\,\Omega$ प्राप्त होता है।
जब बैटरी के सिरों के बीच $R = 2\,\Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = 2 + 0.5 = 2.5\,\Omega$ होता है।
प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ ओम के नियम द्वारा प्राप्त होती है: $I = E / R_{total} = 5 / 2.5 = 2\,A$।

(A) दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक शून्य है,इसलिए $I_g = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $400 \ \Omega$ प्रतिरोध और $X$ प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ समान है।
परिपथ लूप का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 400 + X$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धारा $I = \frac{10}{400 + X}$ है।
प्रतिरोध $X$ के सिरों पर विभवांतर दूसरे सेल के $EMF$ के बराबर है,जो $2 \ V$ है।
इसलिए,$I \cdot X = 2$ है।
$I$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{10 \cdot X}{400 + X} = 2$ है।
$10X = 2(400 + X)$ है।
$10X = 800 + 2X$ है।
$8X = 800$ है।
$X = 100 \ \Omega$।

(A) दिए गए परिपथ में,$2 \ V$ की बैटरी तीन प्रतिरोधों के त्रिकोणीय नेटवर्क से जुड़ी है,जिसमें प्रत्येक प्रतिरोध $3 \ \Omega$ है।
परिपथ को देखने पर,बैटरी से आने वाली धारा शीर्ष नोड पर विभाजित हो जाती है। एक मार्ग एक $3 \ \Omega$ प्रतिरोध से होकर जाता है,और दूसरा मार्ग श्रेणीक्रम में जुड़े दो $3 \ \Omega$ प्रतिरोधों से होकर जाता है।
अतः,पहली शाखा का प्रतिरोध $R_1 = 3 \ \Omega$ है।
दूसरी शाखा का प्रतिरोध $R_2 = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$ है।
ये दोनों शाखाएँ $2 \ V$ की बैटरी के साथ समानांतर क्रम में हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \ \Omega^{-1}$.
इसलिए,$R_{eq} = 2 \ \Omega$.
बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल विद्युत धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2 \ V}{2 \ \Omega} = 1 \ A$.

(C) एक घन में $12$ किनारे होते हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक किनारे का प्रतिरोध $R$ है। जब हम दो विकर्णतः विपरीत कोनों के बीच तुल्य प्रतिरोध की गणना करते हैं,तो धारा पहले कोने पर तीन रास्तों में विभाजित हो जाती है।
ये तीन प्रतिरोधक समानांतर में हैं,प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R/3$ है।
इसके बाद,धारा छह प्रतिरोधकों से होकर गुजरती है जो समानांतर में हैं,प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R/6$ है।
अंत में,धारा तीन प्रतिरोधकों से होकर गुजरती है जो समानांतर में हैं,प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R/3$ है।
कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इन श्रेणी संयोजनों का योग है:
$R_{eq} = R/3 + R/6 + R/3 = (2R + R + 2R) / 6 = 5R/6$.

(D) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 100 \, \Omega + 100 \, \Omega + 80 \, \Omega + 20 \, \Omega = 300 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{48 \, V}{300 \, \Omega} = 0.16 \, A$ है।
$PQ$ के सिरों पर विभवांतर ($20 \, \Omega$ के प्रतिरोध के लिए) $V_{PQ} = I \times R = 0.16 \, A \times 20 \, \Omega = 3.2 \, V$ है।

(C) प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $Q = I^2 R t$ द्वारा दी जाती है। यदि बैटरी का विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है,तो विद्युत धारा $I = \frac{E}{R+r}$ होती है।
यह दिया गया है कि समान समय $t$ के लिए दोनों प्रतिरोधों में उत्पन्न ऊष्मा $Q$ समान है,इसलिए:
$Q = \left( \frac{E}{R_1 + r} \right)^2 R_1 t = \left( \frac{E}{R_2 + r} \right)^2 R_2 t$
दोनों पक्षों से $E^2$ और $t$ को हटाने पर:
$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{R_1}}{R_1 + r} = \frac{\sqrt{R_2}}{R_2 + r}$
$\sqrt{R_1}(R_2 + r) = \sqrt{R_2}(R_1 + r)$
$\sqrt{R_1} R_2 + r\sqrt{R_1} = \sqrt{R_2} R_1 + r\sqrt{R_2}$
$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_2} R_1 - \sqrt{R_1} R_2$
$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_1 R_2}(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$
$r = \sqrt{R_1 R_2}$

(D) मान लीजिए कि बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 0 \, V$ है। चूंकि परिपथ सममित है और दो $5 \, V$ की बैटरियां केंद्रीय नोड के सापेक्ष विपरीत दिशा में जुड़ी हुई हैं,इसलिए बिंदु $C$ पर विभव $V_C = 0 \, V$ होगा।
चूंकि बिंदु $A$ और $C$ पर विभव $0 \, V$ है,इसलिए $E$ और $F$ के बीच जुड़े $12\, \Omega$ के प्रतिरोधक पर विभवांतर $V_E - V_F = 0 \, V - 0 \, V = 0 \, V$ होगा।
ओम के नियम के अनुसार,$I = V/R = 0 \, V / 12 \, \Omega = 0 \, A$।
अतः,$12\, \Omega$ के प्रतिरोधक से गुजरने वाली धारा $0 \, A$ है।

(B) परिपथ में धारा का सूत्र $I = \frac{E}{R + r}$ है।
यहाँ $E = 4 \ V$,$R = 2 \ \Omega$ और $I = 1 \ A$ दिया गया है।
मान रखने पर: $1 = \frac{4}{2 + r}$।
$r$ के लिए हल करने पर: $2 + r = 4$,जिससे $r = 2 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
जब टर्मिनलों को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो बाहरी प्रतिरोध $R = 0$ हो जाता है।
शॉर्ट-सर्किट धारा $I_{sc} = \frac{E}{r} = \frac{4 \ V}{2 \ \Omega} = 2 \ A$ होगी।

(B) परिपथ में बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तीन समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
हालाँकि,प्रदान की गई समाधान छवि एक सरल लूप दिखाती है जहाँ $A$ और $B$ के बीच विभवांतर शाखाओं द्वारा निर्धारित होता है।
प्रदान की गई समाधान छवि के आधार पर,प्रभावी इलेक्ट्रोमोटिव बल $(emf)$ $2 \, V + 2 \, V = 4 \, V$ है और कुल प्रतिरोध $2 \, \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R} = \frac{4 \, V}{2 \, \Omega} = 2 \, A$।
चूंकि धारा बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से $B$ की ओर बहती है,इसलिए $E_2$ वाली शाखा (या समतुल्य पथ) से होकर बहने वाली धारा $A$ से $B$ की ओर $2 \, A$ है।

(B) कैथोड पर जमा द्रव्यमान $m$ फैराडे के नियम $m = ZIt$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ विद्युत-रासायनिक तुल्यांक है,$I$ वोल्टामीटर से प्रवाहित धारा है और $t$ समय है।
स्थिति $1$ (श्रेणीक्रम): कुल प्रतिरोध $R_s = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$ है। वोल्टामीटर से प्रवाहित धारा $I_s = V / R_s = 10\,V / 5\,\Omega = 2\,A$ है। दिया गया है कि $m_s = 1\,g$ है।
स्थिति $2$ (समांतर क्रम): वोल्टामीटर $(2\,\Omega)$ और प्रतिरोध $(3\,\Omega)$ को $10\,V$ की बैटरी के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है। वोल्टामीटर से प्रवाहित धारा $I_p = V / R_v = 10\,V / 2\,\Omega = 5\,A$ है।
समान समय $t$ के लिए $m \propto I$ होने के कारण,$m_p / m_s = I_p / I_s$ होगा।
$m_p = (5\,A / 2\,A) \times 1\,g = 2.5\,g$।
द्रव्यमान में वृद्धि $\Delta m = m_p - m_s = 2.5\,g - 1\,g = 1.5\,g$ है।

(C) यह परिपथ $64 \, \Omega$ और $32 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधों से बना है जो $60 \, V$ के विभवांतर के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
वोल्टेज विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,$32 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर इस प्रकार है:
$V_J - V_G = \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) \times V_{total}$
$V_J - V_G = \left( \frac{32}{64 + 32} \right) \times 60 \, V$
$V_J - V_G = \left( \frac{32}{96} \right) \times 60 \, V$
$V_J - V_G = \left( \frac{1}{3} \right) \times 60 \, V = 20 \, V$
चूंकि $G$ पर विभव $V_G = 0 \, V$ है,इसलिए $J$ पर विभव $V_J = 20 \, V$ होगा।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $6\,V$ की बैटरी,$2.8\,\Omega$ के प्रतिरोधक और $2\,\Omega$ तथा $3\,\Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में सरल हो जाता है।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2.8\,\Omega + 1.2\,\Omega = 4.0\,\Omega$ है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{4\,\Omega} = 1.5\,A$ है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,$2\,\Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_2 = I \times \frac{3}{2 + 3} = 1.5 \times \frac{3}{5} = 1.5 \times 0.6 = 0.9\,A$ है।