Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(B) परिपथ आरेख से,प्रतिरोध $R$ और एमीटर श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन वोल्टमीटर के साथ समांतर क्रम में है।
वोल्टमीटर का पाठ्यांक $V = 12\, \text{V}$,$R$ और एमीटर के संयोजन के सिरों के बीच का विभवांतर है।
$R$ और एमीटर के श्रेणी संयोजन के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर:
$V = I(R + R_A)$
यहाँ $V = 12\, \text{V}$,$I = 0.1\, \text{A}$,और $R_A = 20\, \Omega$ दिया गया है:
$12 = 0.1(R + 20)$
$12 / 0.1 = R + 20$
$120 = R + 20$
$R = 120 - 20 = 100\, \Omega$.

(B) माना $E$ सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
आंतरिक प्रतिरोध वाले परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $0.9 = \frac{E}{2 + r}$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $0.3 = \frac{E}{7 + r}$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{0.9}{0.3} = \frac{E / (2 + r)}{E / (7 + r)}$
$3 = \frac{7 + r}{2 + r}$
$3(2 + r) = 7 + r$
$6 + 3r = 7 + r$
$2r = 1$
$r = 0.5\, \Omega$.

(B) सबसे पहले,परिपथ को सरल करें। $5 \ \Omega$ और $10 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $R_1 = 5 + 10 = 15 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$10 \ \Omega$ और $20 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $R_2 = 10 + 20 = 30 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं ($R_1$ और $R_2$) समांतर क्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2+1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$
अतः,$R_{eq} = 10 \ \Omega$।
ओम के नियम के अनुसार धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \ V}{10 \ \Omega} = 0.5 \ A$।

(A) मान लीजिए कि सप्लाई का वोल्टेज $V$ है और दो कॉइल्स का प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ है।
चाय उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R_1} \times T_1 = \frac{V^2}{R_2} \times T_2$ है।
दिया गया है कि $T_1 = 6$ मिनट और $T_2 = 8$ मिनट, इसलिए $R_1 = \frac{V^2 T_1}{H}$ और $R_2 = \frac{V^2 T_2}{H}$ प्राप्त होता है।
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
श्रेणीक्रम में चाय उबालने में लगा समय $T$ के लिए $H = \frac{V^2}{R_{eq}} \times T$ होता है।
$R_{eq}$ का मान रखने पर, $H = \frac{V^2}{R_1 + R_2} \times T$ प्राप्त होता है।
$T = H \times \frac{R_1 + R_2}{V^2} = H \times \left( \frac{V^2 T_1 / H + V^2 T_2 / H}{V^2} \right) = T_1 + T_2$.
अतः, $T = 6 + 8 = 14$ मिनट।

(B) चूंकि तार समानांतर जुड़े हैं,इसलिए दोनों तारों के सिरों के बीच विभवांतर $V$ समान होगा।
ओम के नियम के अनुसार,$I = V/R$,जहाँ $R = \rho \ell / A = \rho \ell / (\pi r^2)$.
अतः,विद्युत धारा का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \ell_2 / (\pi r_2^2)}{\rho \ell_1 / (\pi r_1^2)} = \frac{\ell_2}{\ell_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{4}{3}$ और $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$.

(D) तार में उत्पन्न शक्ति $P = I^2 R$ सूत्र द्वारा दी जाती है। चूंकि तार श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों में धारा $I$ समान रहेगी।
प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ समान है और पदार्थ भी समान है,इसलिए आयतन $V = A \cdot l$ स्थिर रहेगा। अतः,$l = \frac{V}{A}$।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर: $R = \rho \frac{V/A}{A} = \rho \frac{V}{A^2}$।
यहाँ $A = \pi r^2$ है,इसलिए $R \propto \frac{1}{r^4}$ प्राप्त होता है।
अतः,उत्पन्न शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4}$ होगा।
यहाँ $r_1 = 1 \, mm$ और $r_2 = 2 \, mm$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$ प्राप्त होता है।

(B) गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक शून्य होने के लिए,प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर दाईं ओर की बैटरी के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ यानी $2 \ V$ के बराबर होना चाहिए।
बाईं ओर की शाखा में कुल वोल्टेज $12 \ V$ है। चूंकि गैल्वेनोमीटर में कोई विक्षेप नहीं है,इसलिए दाईं ओर की शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,धारा $I$ केवल $500 \ \Omega$ के प्रतिरोध और $R$ प्रतिरोध से श्रेणीक्रम में प्रवाहित होती है।
$500 \ \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $12 \ V - 2 \ V = 10 \ V$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{10 \ V}{500 \ \Omega} = \frac{1}{50} \ A$ है।
चूंकि प्रतिरोध $R$ पर विभवांतर $2 \ V$ है,इसलिए $V_R = I \times R$ होगा।
$2 \ V = (\frac{1}{50} \ A) \times R$
$R = 2 \times 50 \ \Omega = 100 \ \Omega$.

(A) दिए गए परिपथ में बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच तीन समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
सबसे दाईं ओर की शाखा में $4 \ \Omega$ और $12 \ \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,जिसमें $1.5 \ A$ की विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है।
बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $V_{PQ}$ इस शाखा के विभवांतर के बराबर है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_{PQ} = I \times R_{eq}$,जहाँ $R_{eq}$ शाखा का तुल्य प्रतिरोध है।
$R_{eq} = 4 \ \Omega + 12 \ \Omega = 16 \ \Omega$.
$V_{PQ} = 1.5 \ A \times 16 \ \Omega = 24 \ V$.

(A) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। चूंकि दोनों बल्बों का वोल्टेज रेटिंग $V$ समान है,इसलिए $R \propto \frac{1}{P}$ होगा।
अतः,कम पावर रेटिंग वाले बल्ब का प्रतिरोध अधिक होता है। इसलिए,$R_X > R_Y$ है।
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों बल्बों से समान विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है।
प्रत्येक बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P' = I^2 R$ है।
चूंकि $R_X > R_Y$ है,इसलिए $X$ में व्यय होने वाली शक्ति $Y$ से अधिक है $(P'_X > P'_Y)$।
इसलिए,बल्ब $X$ बल्ब $Y$ की तुलना में अधिक चमकेगा।

(A) $3 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega$
यह तुल्य प्रतिरोध $R_p$,प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणी क्रम में है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + R = 2 + R$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}}$ होती है।
यहाँ $I = 2 \, A$ और $V = 6 \, V$ दिया गया है,इसलिए:
$2 = \frac{6}{2 + R}$
$2 + R = \frac{6}{2} = 3$
$R = 3 - 2 = 1 \, \Omega$

(C) सेल का $emf$ $E = 2\ V$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r = 2\ \Omega$ है।
वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R = 998\ \Omega$ है।
जब वोल्टमीटर को सेल के साथ जोड़ा जाता है,तो परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$I = \frac{2}{998 + 2} = \frac{2}{1000} = 2 \times 10^{-3}\ A$.
वोल्टमीटर टर्मिनल वोल्टेज $V = E - Ir$ को मापता है।
मापन में त्रुटि वास्तविक $emf$ और मापे गए टर्मिनल वोल्टेज के बीच का अंतर है,जो आंतरिक प्रतिरोध पर वोल्टेज ड्रॉप के बराबर होता है: $\text{त्रुटि} = Ir$.
$\text{त्रुटि} = (2 \times 10^{-3}\ A) \times (2\ \Omega) = 4 \times 10^{-3}\ V$.

(NONE) बैटरी का कुल $e.m.f.$ $(E_{total})$ = $6 \times 2\, V = 12\, V$ है।
बैटरी का कुल आंतरिक प्रतिरोध $(r_{total})$ = $6 \times 0.5\, \Omega = 3\, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $(R_{total})$ = बाहरी प्रतिरोध $(R = 10\, \Omega)$ + आंतरिक प्रतिरोध $(r_{total} = 3\, \Omega)$ = $10 + 3 = 13\, \Omega$ है।
चार्जिंग के दौरान,धारा के लिए प्रभावी वोल्टेज,सप्लाई वोल्टेज $(V_{supply} = 220\, V)$ और बैटरी के $e.m.f.$ $(E_{total} = 12\, V)$ के बीच का अंतर है।
अतः,चार्जिंग विद्युत धारा $(I)$ = $\frac{V_{supply} - E_{total}}{R_{total}} = \frac{220 - 12}{13} = \frac{208}{13} = 16\, A$।

(C) परिपथ आरेख से,$2 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ है:
$R_p = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5 \, \Omega$
यह संयोजन $1.5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है,जिससे इस शाखा का कुल प्रतिरोध $1.5 + 1.5 = 3 \, \Omega$ हो जाता है।
यह शाखा बैटरी से जुड़े $3 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है।
अतः,परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = \frac{9}{6} = 1.5 \, \Omega$
बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई कुल विद्युत धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{1.5 \, \Omega} = 4 \, A$

(D) यह परिपथ $200 \ V$ के $DC$ स्रोत से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है। प्रत्येक शाखा में $100 \ \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
मान लीजिए कि ऊपरी टर्मिनल पर विभव $200 \ V$ है और निचले टर्मिनल पर $0 \ V$ है।
बाईं शाखा के लिए,बिंदु $x$ पर विभव वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा: $V_x = 200 \times \frac{100}{100 + 100} = 100 \ V$ प्राप्त होता है।
दाईं शाखा के लिए,बिंदु $y$ पर विभव वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा: $V_y = 200 \times \frac{100}{100 + 100} = 100 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ और $y$ के बीच विभवांतर $V_{xy} = V_x - V_y = 100 \ V - 100 \ V = 0 \ V$ होगा।

(B) सबसे पहले,$4R$ और $2R$ प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{4R \times 2R}{4R + 2R} = \frac{8R^2}{6R} = \frac{4}{3}R$
अब,श्रेणीक्रम में जुड़े $R$ प्रतिरोध को जोड़कर परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_{total} = R + R_p = R + \frac{4}{3}R = \frac{7}{3}R$
सेल से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{E}{(7/3)R} = \frac{3E}{7R}$
समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर (जो $4R$ और $2R$ दोनों प्रतिरोधों के लिए समान है):
$V = I \times R_p = \left(\frac{3E}{7R}\right) \times \left(\frac{4}{3}R\right) = \frac{4E}{7}$
अतः,$2R$ प्रतिरोध के सिरों के बीच विभवांतर $4E/7$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रतिरोधक $R_1 = 200\ k\Omega = 0.2\ M\Omega$ और $R_2 = 1\ M\Omega$ हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 0.2\ M\Omega + 1\ M\Omega = 1.2\ M\Omega$ है।
श्रेणी संयोजन पर कुल विभवांतर $V_{total} = V_1 - V_2 = 3\ V - (-15\ V) = 18\ V$ है।
पोटेंशियल डिवाइडर सूत्र का उपयोग करते हुए,ऋणात्मक टर्मिनल $(-15\ V)$ के सापेक्ष जंक्शन $V_J$ पर वोल्टेज:
$V_J - (-15\ V) = V_{total} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$V_J + 15\ V = 18\ V \times \frac{1\ M\Omega}{1.2\ M\Omega}$
$V_J + 15\ V = 18 \times \frac{1}{1.2} = 15\ V$
$V_J = 15\ V - 15\ V = 0\ V$.

(A) वोल्टमीटर और प्रतिरोध $R$ को $110 \ V$ की आपूर्ति के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है।
मान लीजिए कि वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_v = 20 \ k\Omega = 20 \times 10^3 \ \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_v + R$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{V_{total}}{R_v + R} = \frac{110}{20 \times 10^3 + R}$ है।
वोल्टमीटर के सिरों पर वोल्टेज $V_v = 5 \ V$ दिया गया है।
वोल्टमीटर के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_v = I \times R_v$।
मान रखने पर: $5 = \left( \frac{110}{20 \times 10^3 + R} \right) \times 20 \times 10^3$।
$5(20 \times 10^3 + R) = 110 \times 20 \times 10^3$।
$100 \times 10^3 + 5R = 2200 \times 10^3$।
$5R = 2100 \times 10^3$।
$R = 420 \times 10^3 \ \Omega$।

(A) मान लीजिए कि $A$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $i$ है। मान लीजिए कि शाखा $AD$ में धारा $i_1$ है और शाखा $AB$ में धारा $(i - i_1)$ है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम को लागू करने पर:
लूप $ADCA$ के लिए:
$-10i_1 - 10i_{BC} + 10(i - i_1) = 0$
दिए गए आरेख में दिखाए गए नोड धारा वितरण के अनुसार:
लूप $ADCA$ के लिए ($A \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A$ पथ पर विचार करते हुए):
$-10i_1 - 10i_1 + 10i_2 + 10(i - i_1) = 0$ (जहाँ $i_2$,$BC$ में धारा है)
दिए गए आरेख के आधार पर परिपथ का विश्लेषण करने पर:
सममिति और किरचॉफ के नियमों द्वारा,शाखा $AD$ से प्रवाहित होने वाली धारा $i_1 = 2i/5$ प्राप्त होती है।

(A) चूंकि सभी प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक पर वोल्टेज $9\, V$ होगा।
अतः,प्रत्येक प्रतिरोधक से प्रवाहित होने वाली धारा $I_{each} = \frac{9\, V}{9\, \Omega} = 1\, A$ होगी।
अमीटर को परिपथ की निचली शाखा में लगाया गया है। परिपथ आरेख को देखने पर,अमीटर के दाईं ओर $5$ प्रतिरोधक हैं।
चूंकि प्रत्येक प्रतिरोधक $1\, A$ की धारा खींचता है,इसलिए अमीटर से प्रवाहित होने वाली कुल धारा इन $5$ प्रतिरोधकों से प्रवाहित होने वाली धाराओं का योग है।
अतः,अमीटर का पाठ्यांक $5 \times 1\, A = 5\, A$ होगा।

(C) मान लीजिए कि $A$ और $B$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध $R$ है। चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए एक पुनरावर्ती इकाई को जोड़ने या हटाने से कुल प्रतिरोध में कोई बदलाव नहीं होगा।
इस परिपथ को ऊपरी तार में $1 \, \Omega$ श्रेणी में,निचले तार में $1 \, \Omega$ श्रेणी में और $1 \, \Omega$ के शंट प्रतिरोध के रूप में देखा जा सकता है,जिसके बाद शेष अनंत नेटवर्क है जिसका समतुल्य प्रतिरोध भी $R$ है।
अतः,समतुल्य प्रतिरोध $R$ इस प्रकार है:
$R = 1 + 1 + \frac{1 \cdot R}{1 + R}$
$R = 2 + \frac{R}{1 + R}$
$R(1 + R) = 2(1 + R) + R$
$R + R^2 = 2 + 2R + R$
$R^2 - 2R - 2 = 0$
द्विघात सूत्र $R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$R = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$
$R = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $R = 1 + \sqrt{3} \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(A) उपकरण का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
हीटर के लिए,$R_h = \frac{220^2}{500} = 96.8\, \Omega$.
बल्ब के लिए,$R_b = \frac{220^2}{100} = 484\, \Omega$.
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_h + R_b = 96.8 + 484 = 580.8\, \Omega$.
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{220}{580.8} \approx 0.3788\, A \approx 0.38\, A$.
हीटर द्वारा खपत की गई शक्ति $P_h = I^2 R_h = (0.3788)^2 \times 96.8 \approx 13.98\, W$.
बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P_b = I^2 R_b = (0.3788)^2 \times 484 \approx 69.89\, W$.

(B) यह परिपथ $xy$ अक्ष के सापेक्ष सममित है। सममिति के कारण क्षैतिज अक्ष के ऊपर और नीचे के बिंदु समान विभव पर हैं।
सममिति का उपयोग करके परिपथ को सरल बनाने पर,समानांतर में जुड़े प्रतिरोधकों को संयोजित किया जा सकता है।
$x$ और $y$ के बीच नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
$\frac{1}{R_{xy}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{5}{2R}$
अतः,$R_{xy} = \frac{2R}{5}$.

(A) दिए गए परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो $2 \ V$ की बैटरी से जुड़ी हैं।
प्रत्येक शाखा का कुल प्रतिरोध $5 \ \Omega + 5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 15 \ \Omega$ है।
प्रत्येक शाखा में प्रवाहित धारा $I = V/R = 2 \ V / 15 \ \Omega = 2/15 \ A$ है।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ से $B$ तक के पथ पर विचार करते हैं।
$A$ से $B$ तक के पथ में $5 \ \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $V = IR = (2/15) \times 5 = 2/3 \ V$ होता है।

(C) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय के अनुसार,परिपथ में अधिकतम शक्ति प्राप्त करने के लिए बाह्य प्रतिरोध का मान बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए।
दिए गए परिपथ आरेख से,हम नेटवर्क को सरल बना सकते हैं। परिपथ को एक ब्रिज परिपथ के रूप में फिर से बनाया जा सकता है।
प्रतिरोधों के श्रेणी और समांतर संयोजन को सरल बनाने पर,परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2R$ प्राप्त होता है।
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए,बाह्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का मान आंतरिक प्रतिरोध $r = 4\,\Omega$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$2R = 4\,\Omega$।
$R$ के लिए हल करने पर,हमें $R = 2\,\Omega$ प्राप्त होता है।

(D) तार $PQ$ का कुल प्रतिरोध $2000\, \Omega$ है। चूंकि $M$ मध्य-बिंदु है, इसलिए $PM$ खंड का प्रतिरोध $1000\, \Omega$ और $MQ$ खंड का प्रतिरोध $1000\, \Omega$ है।
$1000\, \Omega$ प्रतिरोध का वोल्टमीटर $PM$ खंड $(1000\, \Omega)$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।
वोल्टमीटर और $PM$ खंड के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध:
$R_p = \frac{1000 \times 1000}{1000 + 1000} = 500\, \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + R_{MQ} = 500\, \Omega + 1000\, \Omega = 1500\, \Omega$.
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{150\, V}{1500\, \Omega} = 0.1\, A$.
समानांतर संयोजन पर वोल्टेज (जो वोल्टमीटर का पाठ्यांक है) $V_v = I \times R_p = 0.1\, A \times 500\, \Omega = 50\, V$.

(D) बल्ब से होकर बहने वाली धारा $I_{bulb} = \frac{P}{V} = \frac{4.5 \, W}{1.5 \, V} = 3 \, A$ है।
$1 \, \Omega$ के प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा $I_{resistor} = \frac{V}{R} = \frac{1.5 \, V}{1 \, \Omega} = 1.5 \, A$ है।
सेल से बहने वाली कुल धारा $I_{total} = I_{bulb} + I_{resistor} = 3 \, A + 1.5 \, A = 4.5 \, A$ है।
सेल का $e.m.f.$ सूत्र $E = V + I_{total} \cdot r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V = 1.5 \, V$ और $r = 2.67 \, \Omega$ है।
मान रखने पर: $E = 1.5 + (4.5 \times 2.67) = 1.5 + 12.015 \approx 13.5 \, V$।

(A) हीटर की पावर रेटिंग $P = 100\ W$ और वोल्टेज $V = 200\ V$ है।
हीटर का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400\ \Omega$ है।
जब हीटर को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{400}{2} = 200\ \Omega$ हो जाता है।
जब इन दोनों भागों को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का मान $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{200} = \frac{1}{100}$ होता है।
अतः,$R_{eq} = 100\ \Omega$ है।
नए संयोजन में प्रति सेकंड मुक्त होने वाली ऊर्जा (शक्ति) $P' = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400\ W$ होगी।

(B) परिपथ में $12\ V$ और $6\ V$ की बैटरी श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं,और उनके बीच का जंक्शन ग्राउंड $(0\ V)$ किया गया है।
परिपथ में कुल $EMF = 12\ V - 6\ V = 6\ V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1\ \Omega + 2\ \Omega + 3\ \Omega = 6\ \Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{V_{net}}{R_{eq}} = \frac{6\ V}{6\ \Omega} = 1\ A$ है।
बिंदु $A$ पर विभव $12\ V$ है।
बिंदु $B$ पर विभव: $V_B = V_A - iR_1 = 12\ V - (1\ A \times 1\ \Omega) = 11\ V$.
बिंदु $C$ पर विभव: $V_C = V_B - iR_2 = 11\ V - (1\ A \times 2\ \Omega) = 9\ V$.
बिंदु $D$ पर विभव: $V_D = V_C - iR_3 = 9\ V - (1\ A \times 3\ \Omega) = 6\ V$.

(C) इस परिपथ में $3 \,\Omega$ का प्रतिरोध,$10 \,\Omega$ के प्रतिरोध और $(3 + R) \,\Omega$ के प्रतिरोध के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = 3 + \frac{10(R + 3)}{10 + (R + 3)}$
दिया गया है कि $R_{eq} = R$,इसलिए:
$R = 3 + \frac{10(R + 3)}{R + 13}$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$R - 3 = \frac{10R + 30}{R + 13}$
वज्र गुणन (cross-multiply) करने पर:
$(R - 3)(R + 13) = 10R + 30$
$R^2 + 13R - 3R - 39 = 10R + 30$
$R^2 + 10R - 39 = 10R + 30$
दोनों पक्षों से $10R$ घटाने पर:
$R^2 - 39 = 30$
$R^2 = 69$
$R = \sqrt{69} \,\Omega$

(B) इस परिपथ में $12\, \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में है और इसके साथ दो शाखाएँ समांतर क्रम में जुड़ी हैं। पहली शाखा का प्रतिरोध $9\, \Omega + 6\, \Omega = 15\, \Omega$ है और दूसरी शाखा का प्रतिरोध $5\, \Omega$ है।
माना $5\, \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $i_1$ है और $15\, \Omega$ की शाखा से प्रवाहित धारा $i_2$ है। समांतर क्रम में होने के कारण,उनके सिरों के बीच विभवांतर समान होता है: $i_1 \times 5 = i_2 \times 15 \implies \frac{i_1}{i_2} = \frac{15}{5} = 3 \implies i_1 = 3i_2$.
$5\, \Omega$ के प्रतिरोध में व्यय होने वाली शक्ति $P_5 = i_1^2 \times 5 = 45\, W$ है।
$i_1^2 = \frac{45}{5} = 9 \implies i_1 = 3\, A$.
चूँकि $i_1 = 3i_2$,इसलिए $3 = 3i_2 \implies i_2 = 1\, A$ प्राप्त होता है।
$12\, \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित कुल धारा $i = i_1 + i_2 = 3\, A + 1\, A = 4\, A$ है।
अतः,$12\, \Omega$ के प्रतिरोध में व्यय होने वाली शक्ति $P_{12} = i^2 \times 12 = (4)^2 \times 12 = 16 \times 12 = 192\, W$ होगी।

(C) मान लीजिए कि अनंत नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $R$ है। चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए समान प्रतिरोधकों का एक और खंड जोड़ने से तुल्य प्रतिरोध नहीं बदलेगा।
इस परिपथ को $R_1$ और $R_2$ तथा तुल्य प्रतिरोध $R$ के समांतर संयोजन के श्रेणी संयोजन के रूप में देखा जा सकता है।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R$ इस प्रकार दिया गया है:
$R = R_1 + \frac{R \cdot R_2}{R + R_2}$
दिए गए मान $R_1 = 1 \, \Omega$ और $R_2 = 2 \, \Omega$ रखने पर:
$R = 1 + \frac{2R}{R + 2}$
$R = \frac{R + 2 + 2R}{R + 2}$
$R(R + 2) = 3R + 2$
$R^2 + 2R = 3R + 2$
$R^2 - R - 2 = 0$
$(R - 2)(R + 1) = 0$
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $R = 2 \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(A) $e.m.f.$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल से जुड़े बाहरी प्रतिरोध $R$ द्वारा खपत की गई शक्ति $P = I^2 R = \left( \frac{E}{R + r} \right)^2 R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों स्थितियों में शक्ति समान है:
$\left( \frac{E}{R_1 + r} \right)^2 R_1 = \left( \frac{E}{R_2 + r} \right)^2 R_2$
दोनों पक्षों से $E^2$ को हटाने पर:
$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$R_1(R_2 + r)^2 = R_2(R_1 + r)^2$
$R_1(R_2^2 + r^2 + 2R_2 r) = R_2(R_1^2 + r^2 + 2R_1 r)$
$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 + 2R_1 R_2 r = R_2 R_1^2 + R_2 r^2 + 2R_1 R_2 r$
दोनों पक्षों से $2R_1 R_2 r$ घटाने पर:
$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + R_2 r^2$
$R_1 r^2 - R_2 r^2 = R_2 R_1^2 - R_1 R_2^2$
$r^2(R_1 - R_2) = R_1 R_2(R_1 - R_2)$
यदि $R_1 \neq R_2$ है,तो $(R_1 - R_2)$ से भाग देने पर:
$r^2 = R_1 R_2$
$r = \sqrt{R_1 R_2}$

(D) मान लीजिए कि $0^{\circ}C$ पर प्रतिरोध $R_{01}$ और $R_{02}$ हैं।
तापमान $\theta$ पर,प्रतिरोध इस प्रकार दिए गए हैं:
$R_1 = R_{01}(1 + \alpha \theta)$
$R_2 = R_{02}(1 - \beta \theta)$
श्रेणी संयोजन में कुल प्रतिरोध $R_s = R_1 + R_2$ है।
$R_s = R_{01}(1 + \alpha \theta) + R_{02}(1 - \beta \theta)$
$R_s = (R_{01} + R_{02}) + \theta(R_{01}\alpha - R_{02}\beta)$
कुल प्रतिरोध $R_s$ को तापमान $\theta$ से स्वतंत्र होने के लिए,$\theta$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$R_{01}\alpha - R_{02}\beta = 0$
$R_{01}\alpha = R_{02}\beta$
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_{01}}{R_{02}} = \frac{\beta}{\alpha}$ होगा।

(C) मान लीजिए कि $R_1$ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $i$ है। यह धारा $i$ क्रमशः $R_2$ और $R_3$ में $i_1$ और $i_2$ के रूप में विभाजित हो जाती है।
चूंकि $R_2$ और $R_3$ समानांतर में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान है। समान ऊष्मीय ऊर्जा $H = \frac{V^2}{R}t$ के लिए,$R_2 = R_3$ होना चाहिए।
यदि $R_2 = R_3$ है,तो धारा $i$ समान रूप से विभाजित होती है,इसलिए $i_1 = i_2 = \frac{i}{2}$।
$R_1$ में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा $H_1 = i^2 R_1 t$ है।
$R_2$ में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा $H_2 = (\frac{i}{2})^2 R_2 t = \frac{i^2 R_2 t}{4}$ है।
समान ऊष्मीय ऊर्जा के लिए,$H_1 = H_2$,इसलिए $i^2 R_1 t = \frac{i^2 R_2 t}{4}$।
इससे हमें $R_1 = \frac{R_2}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. $1.5 \,\Omega$ और $6 \,\Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{1.5 \times 6}{1.5 + 6} = \frac{9}{7.5} = 1.2 \,\Omega$ होगा।
$2$. यह $1.2 \,\Omega$ का प्रतिरोध $2 \,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए कुल प्रतिरोध $R_s = 1.2 + 2 = 3.2 \,\Omega$ होगा।
$3$. अब यह $3.2 \,\Omega$ का प्रतिरोध $3 \,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है,इसलिए परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{3.2 \times 3}{3.2 + 3} = \frac{9.6}{6.2} \approx 1.55 \,\Omega$ होगा।
$4$. बैटरी से ली गई कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9}{1.55} \approx 5.8 \, A$,जो लगभग $6 \, A$ है। अतः सही विकल्प $C$ है।

(D) फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुआ द्रव्यमान $m = zq$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $z$ विद्युत रासायनिक तुल्यांक है और $q$ आवेश है।
चूंकि दोनों वोल्टामीटर में जमा द्रव्यमान समान है,इसलिए $m_1 = m_2$ है।
अतः,$z_1 q_1 = z_2 q_2$,जहाँ $q_1$ और $q_2$ क्रमशः कॉपर और सिल्वर वोल्टामीटर से गुजरने वाले आवेश हैं।
इसका अर्थ है $\frac{q_1}{q_2} = \frac{z_2}{z_1}$।
कुल आवेश $q = q_1 + q_2$ है।
हमें $q_2$ ज्ञात करना है। $q = q_1 + q_2$ से,$q_1 = q - q_2$ प्राप्त होता है।
इसे अनुपात में रखने पर: $\frac{q - q_2}{q_2} = \frac{z_2}{z_1}$।
$\frac{q}{q_2} - 1 = \frac{z_2}{z_1} \Rightarrow \frac{q}{q_2} = 1 + \frac{z_2}{z_1}$।
अतः,$q_2 = \frac{q}{1 + \frac{z_2}{z_1}}$।

(A) दिए गए परिपथ को श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
मान लीजिए कि केंद्रीय बिंदु $O$ है। $O$ से जुड़े प्रतिरोधक बाहरी लूप के साथ समानांतर में हैं।
हालाँकि,समरूपता को देखते हुए,परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में या समरूपता तर्कों का उपयोग करके फिर से बनाया जा सकता है।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर लागू करके,हम देख सकते हैं कि प्रतिरोधक एक ब्रिज परिपथ बनाते हैं।
विशेष रूप से,तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$R_{AB} = \frac{(r+r)(r+r)}{(r+r)+(r+r)} = \frac{2r \cdot 2r}{2r+2r} = \frac{4r^2}{4r} = r$.

(A) कुल धारा $I = 2 \, A$ बिंदु $X$ पर दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है। चूंकि ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $4 \, \Omega + 16 \, \Omega = 20 \, \Omega$ है और निचली शाखा का प्रतिरोध $16 \, \Omega + 4 \, \Omega = 20 \, \Omega$ है, इसलिए धारा समान रूप से विभाजित होती है, अर्थात प्रत्येक शाखा में $1 \, A$ धारा प्रवाहित होती है।
मान लीजिए कि बिंदु $X$ पर विभव $V_X = 0 \, V$ है।
बिंदु $Y$ पर विभव $V_Y = V_X - I_1 R_1 = 0 - (1 \, A \times 4 \, \Omega) = -4 \, V$ होगा।
बिंदु $Z$ पर विभव $V_Z = V_X - I_2 R_2 = 0 - (1 \, A \times 16 \, \Omega) = -16 \, V$ होगा।
वोल्टमीटर का पाठ्यांक $Y$ और $Z$ के बीच का विभवांतर है, जो $|V_Y - V_Z| = |-4 \, V - (-16 \, V)| = |-4 \, V + 16 \, V| = 12 \, V$ है।

(C) माना कि अनंत नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है। चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए $1 \,\Omega$ प्रतिरोधों का एक और खंड जोड़ने से तुल्य प्रतिरोध नहीं बदलेगा।
इस परिपथ को $1 \,\Omega$ के प्रतिरोध और $1 \,\Omega$ के प्रतिरोध तथा $R_{eq}$ के समानांतर संयोजन के श्रेणी संयोजन के रूप में देखा जा सकता है।
अतः,$R_{eq} = 1 + \frac{1 \cdot R_{eq}}{1 + R_{eq}}$.
$(1 + R_{eq})$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R_{eq}(1 + R_{eq}) = (1 + R_{eq}) + R_{eq}$
$R_{eq} + R_{eq}^2 = 1 + 2R_{eq}$
$R_{eq}^2 - R_{eq} - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$R_{eq} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम धनात्मक मूल लेते हैं:
$R_{eq} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \,\Omega$.

(B) कुल धारा $I = 2 \, A$ जंक्शन $D$ पर प्रवेश करती है और दो शाखाओं में विभाजित हो जाती है।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा $DAC$ से बहने वाली धारा $I_1$ है और निचली शाखा $DBC$ से बहने वाली धारा $I_2$ है।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $R_1 = 2 \, \Omega + 3 \, \Omega = 5 \, \Omega$ है।
निचली शाखा का प्रतिरोध $R_2 = 3 \, \Omega + 2 \, \Omega = 5 \, \Omega$ है।
चूंकि प्रतिरोध समान हैं,धारा समान रूप से विभाजित होती है: $I_1 = I_2 = I / 2 = 2 \, A / 2 = 1 \, A$।
अब,विभव की गणना करें:
$V_D - V_A = I_1 \times 2 \, \Omega = 1 \, A \times 2 \, \Omega = 2 \, V \implies V_A = V_D - 2 \, V$।
$V_D - V_B = I_2 \times 3 \, \Omega = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V \implies V_B = V_D - 3 \, V$।
अब,विभवांतर $(V_A - V_B)$ ज्ञात करें:
$V_A - V_B = (V_D - 2 \, V) - (V_D - 3 \, V) = -2 \, V + 3 \, V = +1 \, V$।

(D) परिपथ में $9\, V$ की बैटरी के साथ $9$ प्रतिरोध समानांतर क्रम में जुड़े हैं,जिनमें से प्रत्येक का मान $9\, \Omega$ है।
एमीटर मुख्य लाइन में जुड़ा है,इसलिए यह कुल धारा को मापता है।
समानांतर संयोजन के लिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R}{n} = \frac{9\, \Omega}{9} = 1\, \Omega$ होता है।
ओम के नियम के अनुसार,कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9\, V}{1\, \Omega} = 9\, A$ होगी।
अतः,एमीटर का पाठ्यांक $9\, A$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: धारा $i = 0.25 \, A$ और वोल्टेज $V = 12 \, V$.
ओम के नियम के अनुसार परिपथ का तुल्य प्रतिरोध: $R_{eq} = \frac{V}{i} = \frac{12}{0.25} = 48 \, \Omega$.
परिपथ आरेख से,प्रतिरोध $R$,$60 \, \Omega$,$20 \, \Omega$ और $10 \, \Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
समानांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{60} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1 + 3 + 6}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ है।
अतः,$R_p = 6 \, \Omega$.
कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + R_p = R + 6$ है।
$R_{eq}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $R + 6 = 48$.
इसलिए,$R = 48 - 6 = 42 \, \Omega$.

(B) माना सेल का $emf$ $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। धारा के लिए सूत्र $I = \frac{E}{R + r}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $0.5 = \frac{E}{2 + r} \implies E = 0.5(2 + r) = 1 + 0.5r$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $0.25 = \frac{E}{5 + r} \implies E = 0.25(5 + r) = 1.25 + 0.25r$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$1 + 0.5r = 1.25 + 0.25r$
$0.5r - 0.25r = 1.25 - 1$
$0.25r = 0.25 \implies r = 1\,\Omega$
समीकरण $(1)$ में $r = 1$ रखने पर:
$E = 1 + 0.5(1) = 1.5\,V$.
अतः,सेल का $emf$ $1.5\,V$ है।

(C) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय के अनुसार,बाहरी प्रतिरोध $R_{ext}$ बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया आंतरिक प्रतिरोध $r = 4\, \Omega$ है।
चित्र में दिखाए गए परिपथ के सरलीकरण से,समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R_{ext}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,एक $(R + 2R) = 3R$ प्रतिरोध के साथ और दूसरी $(2R + 4R) = 6R$ प्रतिरोध के साथ।
समतुल्य प्रतिरोध $R_{ext} = \frac{(3R \times 6R)}{(3R + 6R)} = \frac{18R^2}{9R} = 2R$ होता है।
$R_{ext} = r$ रखने पर,हमें $2R = 4\, \Omega$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $R = 2\, \Omega$।

(D) $1$. बल्ब की रेटिंग $P = 4.5 \, W$ और $V = 1.5 \, V$ है। बल्ब से प्रवाहित धारा $I_b = P / V = 4.5 / 1.5 = 3 \, A$ है।
$2$. बल्ब $R = 1 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है। प्रतिरोध के सिरों पर वोल्टेज बल्ब के समान ही $V = 1.5 \, V$ होगा। प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_r = V / R = 1.5 / 1 = 1.5 \, A$ है।
$3$. सेल से प्रवाहित कुल धारा $I = I_b + I_r = 3 \, A + 1.5 \, A = 4.5 \, A$ है।
$4$. सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r = 2.67 \, \Omega$ है। सेल का $emf$ $E = V + I \cdot r$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$5$. मान रखने पर: $E = 1.5 + (4.5 \times 2.67) = 1.5 + 12.015 = 13.515 \, V$। निकटतम विकल्प के अनुसार,$E = 13.5 \, V$ प्राप्त होता है।

(B) जब गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक शून्य होता है,तो गैल्वेनोमीटर वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। इसका अर्थ है कि प्रतिरोध $X$ के सिरों के बीच विभवांतर दाईं ओर की बैटरी के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर होना चाहिए,जो कि $2 \ V$ है।
मान लीजिए कि नीचे वाले तार $DC$ पर विभव $0 \ V$ है। तो गैल्वेनोमीटर की धारा शून्य होने के लिए ऊपरी जंक्शन बिंदु (जहाँ $500 \ \Omega$ और $X$ मिलते हैं) पर विभव $2 \ V$ होना चाहिए।
बाईं लूप के लिए वोल्टेज डिवाइडर नियम का उपयोग करने पर:
$V_X = \frac{X}{500 + X} \times 12 = 2$
$X$ के लिए हल करने पर:
$12X = 2(500 + X)$
$12X = 1000 + 2X$
$10X = 1000$
$X = 100 \ \Omega$

(A) यह परिपथ बिंदु $A$ और $B$ के बीच जुड़ी तीन समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ में $EMF$ $E_1 = 2 \, V$ और प्रतिरोध $R_1 = 4 \, \Omega$ है।
शाखा $2$ में $EMF$ $E_2 = 2 \, V$ और शून्य प्रतिरोध है।
शाखा $3$ में $EMF$ $E_3 = 2 \, V$ और प्रतिरोध $R_2 = 4 \, \Omega$ है।
चूंकि सभी शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए प्रत्येक शाखा के बीच विभवांतर $V_{AB}$ समान होगा।
मिलमैन प्रमेय का उपयोग करने पर: $V_{AB} = \frac{\sum (E_i / R_i)}{\sum (1 / R_i)}$।
यहाँ,बीच वाली शाखा का प्रतिरोध $0 \, \Omega$ है,इसलिए $V_{AB} = E_2 = 2 \, V$ होगा।
शाखा $1$ में धारा $I_1 = (E_1 - V_{AB}) / R_1 = (2 - 2) / 4 = 0 \, A$ है।
शाखा $3$ में धारा $I_3 = (E_3 - V_{AB}) / R_2 = (2 - 2) / 4 = 0 \, A$ है।
अतः,$A$ और $B$ के बीच प्रवाहित होने वाली कुल धारा $0 \, A$ है।

(D) इस परिपथ में दो सेल विपरीत दिशा में जुड़े हुए हैं।
नेट विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{net} = 10\,V - 4\,V = 6\,V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 1\,\Omega + 2\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I$ इस प्रकार होगी:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$.

(B) सबसे पहले,समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R_{ext}$ की गणना करें। $3 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \, \Omega$ है।
यह $R_p$,$4.5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए $R_{ext} = 2 + 4.5 = 6.5 \, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{ext} + r_1 + r_2 = 6.5 + 0.5 + 1 = 8 \, \Omega$ है।
परिपथ का कुल $emf$ $E_{net} = E_2 - E_1 = 8 - 4 = 4 \, V$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4}{8} = 0.5 \, A$ है।
सेल $E_1$ के लिए,धारा धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करती है (चार्जिंग),इसलिए टर्मिनल वोल्टेज $V_1 = E_1 + i r_1 = 4 + (0.5 \times 0.5) = 4 + 0.25 = 4.25 \, V$ है।
सेल $E_2$ के लिए,धारा धनात्मक टर्मिनल से बाहर निकलती है (डिस्चार्जिंग),इसलिए टर्मिनल वोल्टेज $V_2 = E_2 - i r_2 = 8 - (0.5 \times 1) = 8 - 0.5 = 7.5 \, V$ है।

(B) उत्पन्न ऊष्मा $H = mS\Delta T = I^2Rt$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $I$: लंबाई $L$ है,इसलिए प्रतिरोध $R$ और द्रव्यमान $m$ है। कुल $EMF$ $3E$ है। धारा $I_1 = \frac{3E}{R}$ है।
ऊष्मा $H_1 = I_1^2 R t = \left(\frac{3E}{R}\right)^2 R t = \frac{9E^2 t}{R}$.
स्थिति $II$: लंबाई $2L$ है,इसलिए प्रतिरोध $2R$ और द्रव्यमान $2m$ है। कुल $EMF$ $NE$ है। धारा $I_2 = \frac{NE}{2R}$ है।
ऊष्मा $H_2 = I_2^2 (2R) t = \left(\frac{NE}{2R}\right)^2 (2R) t = \frac{N^2 E^2 t}{4R} \times 2 = \frac{N^2 E^2 t}{2R}$.
चूंकि तापमान में वृद्धि $\Delta T$ और समय $t$ समान हैं,और पदार्थ समान है ($S$ नियत है),इसलिए उत्पन्न ऊष्मा द्रव्यमान के समानुपाती होती है: $H \propto m$.
अतः,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{m}{2m} = \frac{1}{2}$.
समीकरणों को रखने पर:
$\frac{9E^2 t / R}{N^2 E^2 t / 2R} = \frac{1}{2}$
$\frac{18}{N^2} = \frac{1}{2}$
$N^2 = 36$
$N = 6$.