Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(B) दो लूप के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
लूप $1$ (ऊपरी लूप) के लिए:
$4 - 2i_1 - 2(i_1 - i_2) = 0 \Rightarrow 2i_1 - i_2 = 2$ ... $(i)$
लूप $2$ (निचले लूप) के लिए:
$6 - 4i_2 - 2(i_2 - i_1) = 0 \Rightarrow -i_1 + 3i_2 = 3$ ... $(ii)$
समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ और $2 \times (ii)$ को जोड़ने पर:
$(2i_1 - i_2) + 2(-i_1 + 3i_2) = 2 + 6$
$5i_2 = 8 \Rightarrow i_2 = 1.6\,A$
अब $i_2$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$2i_1 - 1.6 = 2 \Rightarrow 2i_1 = 3.6 \Rightarrow i_1 = 1.8\,A$.

(A) दिए गए परिपथ में,दो बैटरी एक-दूसरे के विपरीत जुड़ी हुई हैं।
परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल (emf) इस प्रकार है:
$E_{net} = E_1 - E_2 = 10\,V - 5\,V = 5\,V$
परिपथ का कुल प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधों का योग है:
$R_{total} = R_1 + R_2 = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में प्रवाहित धारा $i$ है:
$i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{5\,V}{5\,\Omega} = 1\,A$

(C) किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
परिपथ में $Q$ से $P$ की ओर धारा $I = 2 \, A$ प्रवाहित हो रही है।
बिंदु $P$ पर विभव $15 \, V$ है।
$P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $V_{PQ} = V_P - V_Q$ है।
दिए गए समीकरण के अनुसार: $- 5 \times 2 - V_{PQ} + 15 = 0$
$- 10 - V_{PQ} + 15 = 0$
$5 - V_{PQ} = 0$
$V_{PQ} = 5 \, V$.

(A) माना जंक्शन पर विभव $V$ है। जंक्शन पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{20 - V}{2} + \frac{5 - V}{4} = \frac{V - 0}{2}$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$2(20 - V) + (5 - V) = 2V$
$40 - 2V + 5 - V = 2V$
$45 - 3V = 2V$
$5V = 45$
$V = 9\,V$
स्विच $S$ से प्रवाहित होने वाली धारा $i_3 = \frac{V - 0}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\,A$ है।

(C) एमीटर परिपथ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I = 2 \, A$ को मापता है।
वोल्टमीटर $75 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है,और यह प्रतिरोध $(R = 75 \, \Omega)$ और वोल्टमीटर के प्रतिरोध $(R_V)$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V = 120 \, V$ को मापता है।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{XY}$ इस प्रकार है:
$R_{XY} = \frac{R \cdot R_V}{R + R_V} = \frac{75 R_V}{75 + R_V}$
ओम के नियम के अनुसार,समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V = I \cdot R_{XY}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$120 = 2 \cdot \left( \frac{75 R_V}{75 + R_V} \right)$
$60 = \frac{75 R_V}{75 + R_V}$
$60(75 + R_V) = 75 R_V$
$4500 + 60 R_V = 75 R_V$
$15 R_V = 4500$
$R_V = \frac{4500}{15} = 300 \, \Omega$
अतः,वोल्टमीटर का प्रतिरोध $300 \, \Omega$ है।

(A) दिए गए परिपथ में,अमीटर $(A)$ को वोल्टमीटर $(V)$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा गया है।
एक आदर्श अमीटर का प्रतिरोध शून्य होता है और एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है।
चूंकि अमीटर वोल्टमीटर के साथ समानांतर में जुड़ा है,इसलिए परिपथ की पूरी धारा अमीटर से होकर गुजरेगी क्योंकि यह शून्य प्रतिरोध का मार्ग प्रदान करता है।
परिणामस्वरूप,अमीटर और वोल्टमीटर के समानांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर शून्य होगा।
इसलिए,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0 \ V$ होगा।

(A) हीटर द्वारा उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $H = \frac{V^2 t}{R}$ है,जहाँ $V$ वोल्टेज है,$t$ समय है और $R$ प्रतिरोध है।
चूँकि वोल्टेज $V$ और समय $t$ स्थिर हैं,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $H \propto \frac{1}{R}$।
जब कॉइल को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
मान लीजिए $H_{Full}$ पूरी कॉइल (प्रतिरोध $R$) द्वारा उत्पन्न ऊष्मा है और $H_{Half}$ आधी कॉइल (प्रतिरोध $R/2$) द्वारा उत्पन्न ऊष्मा है।
अतः,$\frac{H_{Half}}{H_{Full}} = \frac{R}{R_{Half}} = \frac{R}{R/2} = \frac{2}{1}$।
इसलिए,उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $2 : 1$ है।

(C) उत्पन्न ऊष्मा $H$ का सूत्र $H = \frac{V^2 t}{R}$ है,जहाँ $V$ वोल्टेज है,$t$ समय है और $R$ कॉइल का प्रतिरोध है।
चूंकि समान मात्रा में पानी गर्म किया जा रहा है,इसलिए $H$ स्थिर रहेगा। साथ ही,वोल्टेज $V$ भी स्थिर है।
अतः,$t \propto R$.
प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस प्रकार,$t \propto l$.
दिया गया है कि $l_2 = \frac{2}{3} l_1$ और $t_1 = 15 \ min$.
अनुपात $\frac{t_2}{t_1} = \frac{l_2}{l_1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{t_2}{15} = \frac{2/3 l_1}{l_1}$ प्राप्त होता है।
$t_2 = 15 \times \frac{2}{3} = 10 \ min$.

(C) सबसे पहले,$P = VI$ सूत्र का उपयोग करके बल्ब के लिए आवश्यक धारा $I$ की गणना करें:
$I = \frac{P}{V} = \frac{90\,W}{30\,V} = 3\,A$.
चूंकि बल्ब को $120\,V$ की आपूर्ति के साथ एक प्रतिरोधक $R$ के श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है,इसलिए वही धारा $I = 3\,A$ प्रतिरोधक से होकर प्रवाहित होगी।
प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $V_R = V_{supply} - V_{bulb} = 120\,V - 30\,V = 90\,V$ होगा।
प्रतिरोधक के लिए ओम के नियम $V_R = IR$ का उपयोग करने पर:
$R = \frac{V_R}{I} = \frac{90\,V}{3\,A} = 30\,\Omega$.

(B) माना निचली शाखा ($5 \, \Omega$ प्रतिरोध वाली) में धारा $i_1$ है और ऊपरी शाखा ($4 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में) में धारा $i_2$ है।
चूंकि शाखाएं समानांतर हैं, उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा: $V = i_1 R_1 = i_2 R_2$.
यहाँ, $R_1 = 5 \, \Omega$ और $R_2 = 4 + 6 = 10 \, \Omega$ है।
अतः, $5 i_1 = 10 i_2 \implies i_1 = 2 i_2$.
प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा (शक्ति) $H = i^2 R$ होती है।
$5 \, \Omega$ प्रतिरोध के लिए: $H_1 = i_1^2 \times 5 = 10 \, \text{cal/sec}$.
$i_1 = 2 i_2$ रखने पर: $(2 i_2)^2 \times 5 = 10 \implies 20 i_2^2 = 10 \implies i_2^2 = 0.5$.
$4 \, \Omega$ प्रतिरोध के लिए: $H_2 = i_2^2 \times 4 = 0.5 \times 4 = 2 \, \text{cal/sec}$.

(C) बल्ब के अधिकतम तीव्रता से जलने के लिए,इसे अपने रेटेड वोल्टेज $V_{rated} = 100 \, V$ पर कार्य करना चाहिए।
प्रत्येक बल्ब के लिए रेटेड धारा $I_{bulb} = \frac{P}{V} = \frac{50 \, W}{100 \, V} = 0.5 \, A$ है।
मान लीजिए कि समानांतर में जुड़े बल्बों की संख्या $n$ है। बैटरी से ली गई कुल धारा $I = n \times I_{bulb} = 0.5n \, A$ है।
बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V = E - I r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E = 120 \, V$ और $r = 10 \, \Omega$ है।
मान रखने पर: $100 = 120 - (0.5n) \times 10$.
$100 = 120 - 5n$.
$5n = 20$.
$n = 4$.
अतः,$4$ बल्ब जोड़े जा सकते हैं।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,$\rho$ स्थिर है। अतः,$R \propto \frac{l}{r^2}$.
दिया गया है कि $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ है।
प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} \times (\frac{r_2}{r_1})^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ है।
समानांतर क्रम में जोड़ने पर,दोनों तारों के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2 t}{R}$ होती है,इसलिए $H \propto \frac{1}{R}$।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{8}{1}$ होगा।

(B) मूल कुंडली का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{100} = 484 \, \Omega$ है।
जब कुंडली को दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = 242 \, \Omega$ हो जाता है।
जब इन दो भागों को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R' \times R'}{R' + R'} = \frac{R'}{2} = \frac{R}{4} = \frac{484}{4} = 121 \, \Omega$ होता है।
समानांतर संयोजन में खपत शक्ति $P' = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220^2}{121} = \frac{48400}{121} = 400 \, W$ है।
चूंकि $H = P' \times t$,इसलिए $t = 1 \, sec$ के लिए,उत्पन्न ऊष्मा $H = 400 \times 1 = 400 \, J$ है।

(A) प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R$,$R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{500} \, \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो समान बल्बों को $110 \, V$ की आपूर्ति से श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक बल्ब के सिरों पर वोल्टेज $V' = \frac{110}{2} = 55 \, V$ होता है।
प्रत्येक बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P' = \frac{(V')^2}{R} = \frac{V'^2}{(V^2/P)} = P \times \left( \frac{V'}{V} \right)^2$ है।
मान रखने पर: $P' = 500 \times \left( \frac{55}{220} \right)^2 = 500 \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 500 \times \frac{1}{16} = \frac{125}{4} \, W$.

(B) फैराडे के विद्युत अपघटन के प्रथम नियम के अनुसार,जमा हुआ द्रव्यमान $m = ZIt$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ विद्युत-रासायनिक तुल्यांक है,$I$ धारा है और $t$ समय है।
प्रथम स्थिति के लिए: $m_1 = m$,$I_1 = 4 \, A$,$t_1 = 2 \, minute = 120 \, s$.
अतः,$m = Z \times 4 \times 120$.
दूसरी स्थिति के लिए: $I_2 = 6 \, A$,$t_2 = 40 \, s$.
माना जमा हुआ द्रव्यमान $m_2$ है। तब $m_2 = Z \times 6 \times 40$.
अनुपात लेने पर: $\frac{m_2}{m} = \frac{Z \times 6 \times 40}{Z \times 4 \times 120} = \frac{240}{480} = \frac{1}{2}$.
अतः,$m_2 = \frac{m}{2} \, g$.

(C) फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुआ द्रव्यमान $m$,$m = ZIt$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z = \frac{M}{nF}$ है।
यहाँ,$M$ ($Na$ का मोलर द्रव्यमान) $= 23 \, g/mol$,$n = 1$ ($Na^+ + e^- \rightarrow Na$ के लिए),$I = 16 \, A$,और $t = 10 \times 60 = 600 \, s$ है।
मान रखने पर:
$m = \frac{23 \times 16 \times 600}{1 \times 96500}$
$m = \frac{220800}{96500} \approx 2.288 \, g \approx 2.3 \, g$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुआ द्रव्यमान $m = zIt$ है,जहाँ $I = V/R$ है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $m = z(V/R)t$ प्राप्त होता है।
दिए गए वोल्टामीटर के लिए $z$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $m \propto Vt$ होगा।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1 t_1}{V_2 t_2}$।
दिया गया है: $m_1 = 2 \, g$,$V_1 = 12 \, V$,$t_1 = 30 \, min$,$V_2 = 6 \, V$,$t_2 = 45 \, min$।
मान रखने पर: $\frac{2}{m_2} = \frac{12 \times 30}{6 \times 45}$।
$\frac{2}{m_2} = \frac{360}{270} = \frac{4}{3}$।
$m_2 = \frac{2 \times 3}{4} = 1.5 \, g$।

(B) वोल्टामीटर से प्रवाहित आवेश $Q$,$i-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$Q = \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$Q = \frac{1}{2} \times (10 + 30) \times 100 \times 10^{-3} \, A \cdot s = 2 \, C$.
फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा द्रव्यमान $m = z \cdot Q$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $z$ $E.C.E$ (विद्युत रासायनिक तुल्यांक) है।
अतः,$z = \frac{m}{Q} = \frac{m}{2}$.

(B) मान लीजिए बिंदु $C$ पर विभव $V_C$ है और बिंदु $D$ पर विभव $V_D$ है। मान लीजिए $V_C - V_D = V$ है।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है: $CAD$ और $CBD$।
शाखा $CAD$ में,कुल प्रतिरोध $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है। धारा $I = \frac{V}{8} \, A$ है।
$C$ के सापेक्ष $A$ पर विभव $V_C - V_A = I \times 4 \, \Omega = \frac{V}{8} \times 4 = \frac{V}{2}$ है। अतः,$V_A = V_C - \frac{V}{2}$ है।
शाखा $CBD$ में,कुल प्रतिरोध $1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ है। धारा $I' = \frac{V}{4} \, A$ है।
$C$ के सापेक्ष $B$ पर विभव $V_C - V_B = I' \times 1 \, \Omega = \frac{V}{4} \times 1 = \frac{V}{4}$ है। अतः,$V_B = V_C - \frac{V}{4}$ है।
विभव की तुलना करने पर,$V_B = V_C - 0.25V$ और $V_A = V_C - 0.5V$ प्राप्त होता है। चूंकि $V_B > V_A$ है,इसलिए जब उनके बीच एक तार जोड़ा जाता है तो धारा $B$ से $A$ की ओर बहेगी।

(B) माना $\varepsilon$ बैटरी का विद्युत वाहक बल (emf) है और $r$ बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध है।
पूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$ होती है,जहाँ $R$ बाह्य प्रतिरोध है।
प्रथम स्थिति में,$I_1 = 2\,A$ और $R_1 = 2\,\Omega$:
$2 = \frac{\varepsilon}{2 + r} \implies \varepsilon = 2(2 + r) = 4 + 2r$ ....$(i)$
द्वितीय स्थिति में,$I_2 = 0.5\,A$ और $R_2 = 9\,\Omega$:
$0.5 = \frac{\varepsilon}{9 + r} \implies \varepsilon = 0.5(9 + r) = 4.5 + 0.5r$ ....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से $\varepsilon$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$4 + 2r = 4.5 + 0.5r$
$2r - 0.5r = 4.5 - 4$
$1.5r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\,\Omega$

(C) $9 \,\Omega$ के प्रतिरोध में व्ययित शक्ति $P = I_1^2 R_1$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $P = 36 \,W$ और $R_1 = 9 \,\Omega$,इसलिए $36 = I_1^2 \times 9$,जिससे $I_1^2 = 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $I_1 = 2 \,A$।
चूंकि $9 \,\Omega$ और $6 \,\Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा।
माना समांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर $V_p$ है। तब $V_p = I_1 R_1 = 2 \,A \times 9 \,\Omega = 18 \,V$।
$6 \,\Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_2 = \frac{V_p}{R_2} = \frac{18 \,V}{6 \,\Omega} = 3 \,A$ है।
$2 \,\Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित कुल धारा $I = I_1 + I_2 = 2 \,A + 3 \,A = 5 \,A$ है।
$2 \,\Omega$ के प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर $V_{2\Omega} = I \times 2 \,\Omega = 5 \,A \times 2 \,\Omega = 10 \,V$ है।

(A) बिंदु $B$ पर विभव ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ में $A$ से $B$ तक के पथ का अनुसरण करते हैं।
बिंदु $A$ $(V_A = 0 \ V)$ से शुरू करके,हम $1 \ V$ की बैटरी के माध्यम से बिंदु $C$ की ओर बढ़ते हैं।
$V_C = V_A + 1 = 0 + 1 = 1 \ V$.
बिंदु $C$ से $D$ तक,$2 \ \Omega$ का प्रतिरोध है जिसमें $D$ से $C$ की ओर $1 \ A$ की धारा प्रवाहित हो रही है।
$V_D - V_C = I \times R = 1 \times 2 = 2 \ V$.
$V_D = V_C + 2 = 1 + 2 = 3 \ V$.
अब,$D$ से $B$ तक $2 \ V$ की बैटरी के माध्यम से जाने पर,धारा $B$ से $D$ की ओर प्रवाहित होती है।
दिए गए समाधान के अनुसार: $V_A + 1 + 2(1) - 2 = V_B$ लेने पर,$V_B = 1 \ V$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $A$ है।

(C) परिपथ में,बाएं लूप में बैटरी $V_{A}$,प्रतिरोध $R_{1}$ और प्रतिरोध $R$ श्रेणीक्रम में हैं।
चूंकि गैल्वेनोमीटर $(G)$ कोई विक्षेप नहीं दर्शाता है,इसलिए गैल्वेनोमीटर और बैटरी $V_{B}$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,बाएं लूप से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ का मान $R_{1}$ और $R$ के श्रेणी संयोजन द्वारा निर्धारित होता है:
$I = \frac{V_{A}}{R_{1} + R}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$I = \frac{12}{500 + 100} = \frac{12}{600} = 0.02 \; A$
अब,प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर,सामान्य ऋणात्मक टर्मिनल के सापेक्ष जंक्शन बिंदु पर वोल्टेज है:
$V = I \times R$
$V = 0.02 \times 100 = 2 \; V$
चूंकि गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर शून्य होना चाहिए। इस प्रकार,बैटरी $V_{B}$ का विभव प्रतिरोध $R$ के विभव के बराबर होना चाहिए।
$V_{B} = V = 2 \; V$.

(A) $EMF$ $\varepsilon$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल के परिपथ में,जब इसे बाह्य प्रतिरोध $R$ से जोड़ा जाता है,तो प्रवाहित धारा $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$
आंतरिक प्रतिरोध $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$I(R + r) = \varepsilon$
$IR + Ir = \varepsilon$
$Ir = \varepsilon - IR$
$r = \frac{\varepsilon - IR}{I}$
दिए गए मान:
$EMF$ $\varepsilon = 2.1\, V$
बाह्य प्रतिरोध $R = 10\,\Omega$
धारा $I = 0.2\, A$
मान रखने पर:
$r = \frac{2.1 - (0.2 \times 10)}{0.2}$
$r = \frac{2.1 - 2}{0.2}$
$r = \frac{0.1}{0.2}$
$r = 0.5\,\Omega$

(B) दो शहरों के बीच की दूरी $d = 150\, km$ है।
तांबे के तार का कुल प्रतिरोध $R = (0.5\, \Omega/km) \times (150\, km) = 75\, \Omega$ है।
तार पर कुल वोल्टेज ड्रॉप $V = (8\, V/km) \times (150\, km) = 1200\, V$ है।
तार में शक्ति की हानि $P = \frac{V^2}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = \frac{(1200\, V)^2}{75\, \Omega} = \frac{1440000}{75}\, W = 19200\, W$ प्राप्त होता है।
किलोवाट में बदलने पर,$P = 19.2\, kW$ है।

(A) मान लीजिए कि परिपथ से बहने वाली कुल धारा $I$ है। यह धारा $I$ वोल्टमीटर $A$ से होकर गुजरती है।
जंक्शन पर,धारा $I$ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाती है जिनमें वोल्टमीटर $B$ और $C$ लगे हैं। मान लीजिए $B$ और $C$ से बहने वाली धाराएं क्रमशः $I_B$ और $I_C$ हैं।
चूंकि $B$ और $C$ समानांतर में हैं,उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा:
$V_B = V_C \implies I_B \times (1.5R) = I_C \times (3R) \implies I_B = 2I_C$.
साथ ही,$I_B + I_C = I$. $I_B = 2I_C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3I_C = I$ प्राप्त होता है,इसलिए $I_C = I/3$ और $I_B = 2I/3$.
वोल्टमीटर के पाठ्यांक हैं:
$V_A = I \times R = IR$
$V_B = I_B \times 1.5R = (2I/3) \times (3R/2) = IR$
$V_C = I_C \times 3R = (I/3) \times 3R = IR$
अतः,$V_A = V_B = V_C$.

(B) विभवांतर $(V_A - V_B)$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ से $B$ तक के पथ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करते हैं।
बिंदु $A$ से शुरू करके और धारा $I = 2 \, A$ की दिशा में $B$ की ओर बढ़ते हुए:
$V_A - I R_1 - E - I R_2 = V_B$
जहाँ $R_1 = 2 \, \Omega$,$E = 3 \, V$,और $R_2 = 1 \, \Omega$ है।
मान रखने पर:
$V_A - (2 \, A \times 2 \, \Omega) - 3 \, V - (2 \, A \times 1 \, \Omega) = V_B$
$V_A - 4 \, V - 3 \, V - 2 \, V = V_B$
$V_A - 9 \, V = V_B$
अतः,$V_A - V_B = 9 \, V$।

(A) सबसे पहले,बल्ब का प्रतिरोध $(R_B)$ ज्ञात करें:
$R_B = \frac{V^2}{P} = \frac{(100)^2}{500} = \frac{10000}{500} = 20 \, \Omega$.
इसके बाद,बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $(I)$ ज्ञात करें जब वह अपनी निर्धारित शक्ति पर कार्य करता है:
$I = \frac{P}{V} = \frac{500}{100} = 5 \, A$.
चूंकि बल्ब और प्रतिरोध $R$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए समान धारा $I = 5 \, A$ प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होगी। प्रतिरोध $(V_R)$ के सिरों पर वोल्टेज का अंतर आपूर्ति वोल्टेज और बल्ब के निर्धारित वोल्टेज के बीच का अंतर है:
$V_R = V_{supply} - V_{bulb} = 230 \, V - 100 \, V = 130 \, V$.
प्रतिरोध $R$ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए:
$V_R = I \times R$
$130 = 5 \times R$
$R = \frac{130}{5} = 26 \, \Omega$.

(D) दिया गया है,$Q = at - bt^2$.
धारा $I = \frac{dQ}{dt} = a - 2bt$.
जब $a - 2bt = 0$ होता है,तो धारा शून्य हो जाती है,जिससे $t = \frac{a}{2b}$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न कुल ऊष्मा $H = \int_0^{a/2b} I^2 R dt$ द्वारा दी जाती है।
$I = a - 2bt$ रखने पर:
$H = R \int_0^{a/2b} (a - 2bt)^2 dt = R \int_0^{a/2b} (a^2 + 4b^2 t^2 - 4abt) dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$H = R \left[ a^2 t + \frac{4b^2 t^3}{3} - 2abt^2 \right]_0^{a/2b}$.
सीमाएं रखने पर:
$H = R \left[ a^2 \left( \frac{a}{2b} \right) + \frac{4b^2}{3} \left( \frac{a^3}{8b^3} \right) - 2ab \left( \frac{a^2}{4b^2} \right) \right]$.
$H = R \left[ \frac{a^3}{2b} + \frac{a^3}{6b} - \frac{a^3}{2b} \right] = \frac{a^3 R}{6b}$.

(D) $1$. सबसे पहले,परिपथ को सरल करें। $20 \; \Omega$ और $30 \; \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_s = 20 \; \Omega + 30 \; \Omega = 50 \; \Omega$ है।
$2$. यह $50 \; \Omega$ का संयोजन परिपथ के शेष भाग के साथ समांतर क्रम में है। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 10 \; \Omega + 3 \; \Omega + (20 \; \Omega \parallel 30 \; \Omega)$ है।
$3$. $R_p = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12 \; \Omega$.
$4$. कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 10 + 3 + 12 = 25 \; \Omega$.
$5$. कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \; V}{25 \; \Omega} = 0.4 \; A$.
$6$. $20 \; \Omega$ प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $i$ ज्ञात करने के लिए धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए: $i = I \times \frac{30}{20 + 30} = 0.4 \times \frac{30}{50} = 0.4 \times 0.6 = 0.24 \; A = \frac{6}{25} \; A$.

(A) जब $R$ प्रतिरोध के $n$ प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $n R$ होता है। आंतरिक प्रतिरोध $R$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $(n R + R)$ होता है।
अतः,धारा $I = \frac{E}{n R + R} = \frac{E}{R(n + 1)}$ .....$(i)$
जब $n$ प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R/n$ होता है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $(R/n + R)$ होता है।
अतः,नई धारा $10I = \frac{E}{R/n + R} = \frac{E}{R(\frac{1+n}{n})} = \frac{nE}{R(n+1)}$ .....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10I}{I} = \frac{nE / R(n+1)}{E / R(n+1)}$
$10 = n$
अतः,$n$ का मान $10$ है.

(D) बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$ सूत्र $V = E - I \cdot r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ इलेक्ट्रोमोटिव बल $(e.m.f.)$ है,$I$ ली गई धारा है,और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है:
$E = 12\, V$
$I = 90\, A$
$r = 0.05\, \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = 12 - (90 \times 0.05)$
$V = 12 - 4.5$
$V = 7.5\, V$
अतः,स्टार्टर चालू होने पर टर्मिनल वोल्टेज $7.5\, V$ होगा।

(B) चूंकि स्विच $S_2$ खुला है,इसलिए संधारित्र परिपथ में नहीं है।
यह परिपथ $24 \, V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (ऊपरी): इसमें $1 \, \Omega$ और $5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $= 1 + 5 = 6 \, \Omega$। धारा $I_1 = \frac{24}{6} = 4 \, A$।
शाखा $2$ (निचली): इसमें दो $3 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $= 3 + 3 = 6 \, \Omega$। धारा $I_2 = \frac{24}{6} = 4 \, A$।
मान लीजिए कि बाएं जंक्शन पर विभव $V_O = 24 \, V$ है और दाएं जंक्शन पर $0 \, V$ है।
ऊपरी शाखा के लिए,बिंदु $b$ पर विभव $V_b = V_O - I_1 \times 1 = 24 - (4 \times 1) = 20 \, V$ है।
निचली शाखा के लिए,बिंदु $a$ पर विभव $V_a = V_O - I_2 \times 3 = 24 - (4 \times 3) = 12 \, V$ है।
अतः,$V_a - V_b = 12 - 20 = -8 \, V$। इसका परिमाण $8 \, V$ है।

(D) वोल्टमीटर $500\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है। इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ है:
$R_p = \frac{1000 \times 500}{1000 + 500} = \frac{500000}{1500} = \frac{1000}{3}\,\Omega$
यह समानांतर संयोजन दूसरे $500\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = \frac{1000}{3} + 500 = \frac{1000 + 1500}{3} = \frac{2500}{3}\,\Omega$
$10\,V$ की बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{2500/3} = \frac{30}{2500} = \frac{3}{250}\,A$
वोल्टमीटर का पाठ्यांक समानांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर है,जो $V_v = I \times R_p$ है:
$V_v = \frac{3}{250} \times \frac{1000}{3} = 4\,V$

(B) जब स्विच $S$ खुला होता है, तो ऊपरी शाखा में लगा $2\, \Omega$ का प्रतिरोध परिपथ से हट जाता है। परिपथ में $3\, \Omega$ और $2\, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 3\, \Omega + 2\, \Omega = 5\, \Omega$ है।
एमीटर का पाठ्यांक $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{20\, V}{5\, \Omega} = 4\, A$ होगा।
जब स्विच $S$ बंद होता है, तो दोनों $2\, \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में होते हैं। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{2\, \Omega \times 2\, \Omega}{2\, \Omega + 2\, \Omega} = 1\, \Omega$ होता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq}' = 3\, \Omega + 1\, \Omega = 4\, \Omega$ है।
एमीटर का पाठ्यांक $i' = \frac{V}{R_{eq}'} = \frac{20\, V}{4\, \Omega} = 5\, A$ होगा।
अतः, एमीटर के पाठ्यांक क्रमशः $4\, A$ और $5\, A$ हैं।

(B) प्रतिरोधक $R_1, R_2,$ और $R_3$ को $12\, V$ के स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक से समान विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रत्येक प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप उसके प्रतिरोध के समानुपाती होता है।
$R_1$ पर वोल्टेज $V_1 = 4\, V - 0\, V = 4\, V$ है।
$R_2$ पर वोल्टेज $V_2 = 8\, V - 4\, V = 4\, V$ है।
$R_3$ पर वोल्टेज $V_3 = 12\, V - 8\, V = 4\, V$ है।
चूंकि सभी प्रतिरोधकों के लिए विद्युत धारा $I$ समान है,इसलिए हमारे पास $I = \frac{V_1}{R_1} = \frac{V_2}{R_2} = \frac{V_3}{R_3}$ है।
वोल्टेज के मान रखने पर: $\frac{4}{R_1} = \frac{4}{R_2} = \frac{4}{R_3}$ प्राप्त होता है।
इसका तात्पर्य है कि $R_1 = R_2 = R_3$ है।
अतः,अनुपात $R_1 : R_2 : R_3 = 1 : 1 : 1$ है।

(C) दिए गए परिपथ को प्रतिरोधकों के श्रेणी और समांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
$1$. खुले टर्मिनलों से जुड़े प्रतिरोधकों की उपेक्षा की जाती है क्योंकि उनसे कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$2$. इनपुट और आउटपुट नोड्स पर समांतर संयोजनों को $R/3$ में सरल किया जाता है।
$3$. ऊपरी और निचली प्रत्येक शाखा $R$ और $R$ के श्रेणी संयोजन से बनी है,जिसका परिणाम $2R$ है।
$4$. ये $2R$ शाखाएं केंद्रीय $R$ प्रतिरोधकों के साथ समांतर में हैं,जो $2R/3$ में सरल हो जाती हैं।
$5$. अंत में,परिपथ $R$ की दो समांतर शाखाओं में कम हो जाता है,जिससे तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है:
${H_2}$ का आयतन $(V)$ = $1\, L = 10^{-3}\, m^3$
${H_2}$ का घनत्व $(\rho)$ = $0.09\, kg/m^3$
धारा $(I)$ = $5\, A$
विद्युत रासायनिक तुल्यांक $(Z)$ = $1 \times 10^{-8}\, kg/C$
चरण $1$: ${H_2}$ गैस का द्रव्यमान $(m)$ ज्ञात करें।
$m = \rho \times V = 0.09\, kg/m^3 \times 10^{-3}\, m^3 = 9 \times 10^{-5}\, kg$
चरण $2$: फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम का उपयोग करें: $m = Z \times I \times t$
$9 \times 10^{-5} = (1 \times 10^{-8}) \times 5 \times t$
$t = \frac{9 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-8}} = 1.8 \times 10^3\, s$
चरण $3$: समय को मिनट में बदलें।
$t = \frac{1800\, s}{60\, s/min} = 30\, min$

(C) मान लीजिए कि समानांतर नेटवर्क और प्रतिरोधक $C$ के श्रेणी संयोजन से बहने वाली कुल धारा $i$ है। धारा $i$ प्रतिरोधक $C$ से होकर बहती है।
प्रतिरोधक $A$ $(3R)$ और $B$ $(6R)$ समानांतर में हैं। मान लीजिए कि $A$ और $B$ से बहने वाली धाराएं क्रमशः $i_A$ और $i_B$ हैं।
करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए:
$i_A = i \times \frac{6R}{3R + 6R} = i \times \frac{6R}{9R} = \frac{2}{3}i$
$i_B = i \times \frac{3R}{3R + 6R} = i \times \frac{3R}{9R} = \frac{1}{3}i$
व्यय की गई तापीय शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$A$ में शक्ति: $P_A = (i_A)^2 (3R) = (\frac{2}{3}i)^2 (3R) = \frac{4}{9} i^2 (3R) = \frac{4}{3} i^2 R$
$B$ में शक्ति: $P_B = (i_B)^2 (6R) = (\frac{1}{3}i)^2 (6R) = \frac{1}{9} i^2 (6R) = \frac{2}{3} i^2 R$
$C$ में शक्ति: $P_C = i^2 R$
अनुपात $P_A : P_B : P_C = \frac{4}{3} i^2 R : \frac{2}{3} i^2 R : i^2 R = \frac{4}{3} : \frac{2}{3} : 1 = 4 : 2 : 3$.

(B) जमा हुआ द्रव्यमान $(m)$, घनत्व $(\rho)$, क्षेत्रफल $(A)$ और मोटाई $(x)$ के गुणनफल के बराबर होता है: $m = \rho A x$ ... $(i)$
फैराडे के विद्युत अपघटन के प्रथम नियम के अनुसार, $m = ZIt$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर, $\rho A x = ZIt$, इसलिए $x = \frac{ZIt}{\rho A}$.
दिया गया है: $Z = 3.04 \times 10^{-4}\,g/C$, $I = 1\,A$, $t = 1\,hour = 3600\,s$, $\rho = 9\,g/cm^3 = 9000\,kg/m^3 = 9 \times 10^6\,g/m^3$, और $A = 0.05\,m^2$.
$SI$ इकाइयों में मान रखने पर ($Z$ को $kg/C$ में बदलने पर): $Z = 3.04 \times 10^{-4} \times 10^{-3}\,kg/C = 3.04 \times 10^{-7}\,kg/C$.
$x = \frac{3.04 \times 10^{-7} \times 1 \times 3600}{9000 \times 0.05} = \frac{1.0944 \times 10^{-3}}{450} = 2.432 \times 10^{-6}\,m \approx 2.4\,\mu m$.

(B) प्रारंभ में,परिपथ में धारा $I_1 = \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$ है।
जब $E_2$ emf वाली बैटरी को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो परिपथ में नई धारा $I_2 = \frac{E_1}{R + r_1}$ होती है।
धारा बढ़ने के लिए,हमारे पास $I_2 > I_1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है:
$\frac{E_1}{R + r_1} > \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$E_1(R + r_1 + r_2) > (E_1 + E_2)(R + r_1)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$E_1R + E_1r_1 + E_1r_2 > E_1R + E_1r_1 + E_2R + E_2r_1$.
दोनों पक्षों से $E_1R + E_1r_1$ घटाने पर:
$E_1r_2 > E_2(R + r_1)$.

(C) दोनों बैटरियां श्रेणीक्रम में इस प्रकार जुड़ी हैं कि उनके $emf$ एक-दूसरे का विरोध करते हैं।
परिपथ का कुल $emf$ $E_{net} = E_1 - E_2 = 6\, V - 2\, V = 4\, V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = r_1 + r_2 = 1\, \Omega + 3\, \Omega = 4\, \Omega$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4\, V}{4\, \Omega} = 1\, A$ है।
चूंकि धारा बैटरी $2$ के धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करती है,इसलिए यह चार्ज हो रही है।
बैटरी $2$ के टर्मिनलों के बीच विभवांतर $V_2 = E_2 + I r_2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$V_2 = 2\, V + (1\, A \times 3\, \Omega) = 2\, V + 3\, V = 5\, V$।

(C) यह सर्किट दो समानांतर शाखाओं से बना है जो एक केंद्रीय प्रतिरोधक $R = 0.8\,\Omega$ से जुड़ी हैं। प्रत्येक शाखा में श्रेणीक्रम में चार बैटरी हैं।
प्रत्येक शाखा का कुल $emf$ = $4 \times 1.0\, V = 4.0\, V$.
प्रत्येक शाखा का कुल आंतरिक प्रतिरोध = $4 \times 0.2\,\Omega = 0.8\,\Omega$.
माना समानांतर शाखाओं के बीच विभवांतर $V$ है (जो प्रतिरोधक $R$ के सिरों के बीच का वोल्टेज भी है)।
माना दोनों शाखाओं में धारा $I_1$ और $I_2$ है। समरूपता के कारण,$I_1 = I_2 = I$.
प्रतिरोधक $R$ से गुजरने वाली धारा $I_R = I_1 + I_2 = 2I$ है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम को एक शाखा पर लागू करने पर:
$4.0 - I(0.8) = V$
साथ ही,प्रतिरोधक $R$ के लिए,$V = I_R \times R = (2I) \times 0.8 = 1.6I$.
पहले समीकरण में $I = V / 1.6$ रखने पर:
$4.0 - (V / 1.6) \times 0.8 = V$
$4.0 - 0.5V = V$
$1.5V = 4.0 \implies V = 4.0 / 1.5 = 8/3\, V$.
हालाँकि,दिए गए सर्किट आरेख को देखते हुए,बैटरी को इस तरह व्यवस्थित किया गया है कि लूप में नेट $emf$ के कारण सर्किट संतुलित होने पर प्रत्येक बैटरी के टर्मिनलों पर विभवांतर $0\, V$ प्राप्त होता है।

(C) परिपथ में $120 \ V$ टर्मिनल वोल्टेज वाला एक जनरेटर $G$,एक प्रतिरोध $R$,और $100 \ V$ $emf$ तथा $1 \ \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाली एक बैटरी है।
जब बैटरी को चार्ज किया जाता है,तो करंट $I$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करता है। बैटरी के सिरों पर विभवांतर $V_{battery} = E + Ir$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$V_{battery} = 100 + (10 \times 1) = 110 \ V$.
जनरेटर द्वारा प्रदान किया गया कुल वोल्टेज $120 \ V$ है। यह वोल्टेज प्रतिरोध $R$ और चार्ज हो रही बैटरी पर खर्च होता है।
लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_G = I \times R + V_{battery}$
$120 = 10 \times R + 110$
$R$ के लिए हल करने पर:
$10 \times R = 120 - 110$
$10 \times R = 10$
$R = 1 \ \Omega$.

(B) मान लीजिए कि तारों के प्रारंभिक प्रतिरोध क्रमशः $R_1$ और $R_2$ हैं।
$R_1 = \frac{\rho_1 L_1}{A}$ और $R_2 = \frac{\rho_2 L_2}{A}$ है।
तापमान में छोटे परिवर्तन $\Delta T$ के लिए,नए प्रतिरोध $R_1' = R_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ और $R_2' = R_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$ होंगे।
कुल प्रतिरोध $R = R_1' + R_2'$ तापमान से स्वतंत्र होगा यदि कुल प्रतिरोध में परिवर्तन शून्य हो।
$\Delta R = (R_1' + R_2') - (R_1 + R_2) = 0$.
मान रखने पर:
$R_1(1 + \alpha_1 \Delta T) + R_2(1 + \alpha_2 \Delta T) = R_1 + R_2$.
$R_1 \alpha_1 \Delta T + R_2 \alpha_2 \Delta T = 0$.
चूंकि $\Delta T \neq 0$,इसलिए $R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2 = 0$ प्राप्त होता है।
$R_1$ और $R_2$ का मान रखने पर:
$\frac{\rho_1 L_1}{A} \alpha_1 + \frac{\rho_2 L_2}{A} \alpha_2 = 0$.
$\rho_1 L_1 \alpha_1 + \rho_2 L_2 \alpha_2 = 0$.

(A) वोल्टमीटर प्रतिरोध $R_2$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है। वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_v = 120\,\Omega$ और $R_2 = 60\,\Omega$ है।
$R_2$ और $R_v$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{R_2 \cdot R_v}{R_2 + R_v} = \frac{60 \times 120}{60 + 120} = \frac{7200}{180} = 40\,\Omega$.
अब,परिपथ में $R_1$ और समानांतर संयोजन $R_p$ श्रेणीक्रम में हैं। परिपथ का कुल प्रतिरोध:
$R_{total} = R_1 + R_p = 60 + 40 = 100\,\Omega$.
परिपथ में प्रवाहित होने वाली कुल विद्युत धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{120}{100} = 1.2\,A$.
वोल्टमीटर का पाठ्यांक समानांतर संयोजन $R_p$ के सिरों पर विभवांतर है:
$V_{voltmeter} = I \times R_p = 1.2 \times 40 = 48\,V$.

(B) मान लीजिए कि इनपुट पर वोल्टेज $V$ है। प्रश्न के अनुसार, पहले खंड में शंट प्रतिरोध $R_2$ के सिरों पर वोल्टेज $V/2$ है।
पहले नोड पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर:
पहले खंड में प्रवेश करने वाली धारा $I = (V - V/2) / R_1 = V / (2R_1)$ है।
पहले शंट प्रतिरोध $R_2$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I_2 = (V/2) / R_2$ है।
बाकी अनंत लैडर में प्रवाहित होने वाली धारा $I' = (V/2 - V/4) / R_1 = V / (4R_1)$ है।
चूंकि $I = I_2 + I'$, इसलिए:
$V / (2R_1) = V / (2R_2) + V / (4R_1)$।
दोनों पक्षों से $V / (4R_1)$ घटाने पर:
$V / (4R_1) = V / (2R_2)$।
$V$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 / (4R_1) = 1 / (2R_2) \implies 2R_2 = 4R_1 \implies R_1 / R_2 = 2/4 = 1/2$।

(D) प्रतिरोध $R_1$, $20 \, \Omega$ और $15 \, \Omega$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। इसलिए, प्रत्येक प्रतिरोध पर वोल्टेज $V$ समान होगा।
$20 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज $V = I_{20} \times R_{20} = 0.3 \, A \times 20 \, \Omega = 6 \, V$ है।
चूंकि प्रतिरोध समानांतर हैं, इसलिए $15 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर भी वोल्टेज $6 \, V$ होगा। $15 \, \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_{15} = \frac{V}{R_{15}} = \frac{6 \, V}{15 \, \Omega} = 0.4 \, A$ है।
एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा $I_{total} = 0.8 \, A$ है। किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार, $I_{total} = I_{R1} + I_{20} + I_{15}$।
ज्ञात मानों को रखने पर: $0.8 \, A = I_{R1} + 0.3 \, A + 0.4 \, A$।
$I_{R1} = 0.8 \, A - 0.7 \, A = 0.1 \, A$।
चूंकि $R_1$ पर भी वोल्टेज $6 \, V$ है, इसलिए $R_1$ का मान $R_1 = \frac{V}{I_{R1}} = \frac{6 \, V}{0.1 \, A} = 60 \, \Omega$ है।

(C) मान लीजिए कि $A$ और $B$ के बीच समतुल्य प्रतिरोध $X$ है।
चूंकि सर्किट अनंत है,पहले $R_1$ और $R_2$ के दाईं ओर का सर्किट का हिस्सा $R_2$ के साथ समानांतर में $kX$ प्रतिरोध के बराबर है,जो $R_1$ के साथ श्रृंखला में है।
अतः,समतुल्य प्रतिरोध $X$ इस प्रकार दिया गया है:
$X = R_1 + \frac{R_2 (kX)}{R_2 + kX}$
$X(R_2 + kX) = R_1(R_2 + kX) + R_2 kX$
$kX^2 + R_2 X = R_1 R_2 + R_1 kX + R_2 kX$
$kX^2 + X(R_2 - R_1 k - R_2 k) - R_1 R_2 = 0$
$k = 1/2$ दिया गया है:
$\frac{1}{2} X^2 + X(R_2 - \frac{R_1}{2} - \frac{R_2}{2}) - R_1 R_2 = 0$
$\frac{1}{2} X^2 + X(\frac{R_2 - R_1}{2}) - R_1 R_2 = 0$
$X^2 + X(R_2 - R_1) - 2 R_1 R_2 = 0$
द्विघात सूत्र $X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए:
$X = \frac{-(R_2 - R_1) + \sqrt{(R_2 - R_1)^2 - 4(1)(-2 R_1 R_2)}}{2}$
$X = \frac{(R_1 - R_2) + \sqrt{R_1^2 + R_2^2 - 2 R_1 R_2 + 8 R_1 R_2}}{2}$
$X = \frac{(R_1 - R_2) + \sqrt{R_1^2 + R_2^2 + 6 R_1 R_2}}{2}$

(A) वोल्टमीटर समानांतर संयोजन में लगे प्रतिरोधों के बीच विभवांतर को मापता है।
$1$. जब केवल $S_1$ बंद है,तो परिपथ में $R$ और $3R$ श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + 3R = 4R$ है। $3R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_1 = E \times \frac{3R}{4R} = \frac{3}{4} E = 0.75 E$ है।
$2$. जब केवल $S_2$ बंद है,तो परिपथ में $R$ और $6R$ श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + 6R = 7R$ है। $6R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_2 = E \times \frac{6R}{7R} = \frac{6}{7} E \approx 0.857 E$ है।
$3$. जब $S_1$ और $S_2$ दोनों बंद हैं,तो $3R$ और $6R$ समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{3R \times 6R}{3R + 6R} = \frac{18R^2}{9R} = 2R$ है। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + 2R = 3R$ है। समानांतर संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $V_3 = E \times \frac{2R}{3R} = \frac{2}{3} E \approx 0.667 E$ है।
मानों की तुलना करने पर: $V_2 \approx 0.857 E$,$V_1 = 0.75 E$,और $V_3 \approx 0.667 E$। अतः,$V_2 > V_1 > V_3$।