Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(A) $2 \, A$ की कुल धारा जंक्शन $C$ में प्रवेश करती है और दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाती है। चूंकि ऊपरी शाखा $(4 \, \Omega + 16 \, \Omega = 20 \, \Omega)$ और निचली शाखा $(16 \, \Omega + 4 \, \Omega = 20 \, \Omega)$ में प्रतिरोध समान हैं,इसलिए धारा समान रूप से विभाजित होती है,अर्थात प्रत्येक शाखा में $1 \, A$ धारा बहती है।
मान लीजिए बिंदु $C$ पर विभव $V_C$ है। बिंदु $A$ पर विभव $V_A = V_C - (1 \, A \times 4 \, \Omega) = V_C - 4 \, V$ है।
बिंदु $B$ पर विभव $V_B = V_C - (1 \, A \times 16 \, \Omega) = V_C - 16 \, V$ है।
वोल्टमीटर $V$ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच विभवांतर मापता है,जो $|V_A - V_B|$ है।
$V_A - V_B = (V_C - 4) - (V_C - 16) = -4 + 16 = 12 \, V$.
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $12 \, V$ है।

(B) श्रेणी क्रम में परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega$ है।
बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r$ को शामिल करने पर कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{eq} + r = 2\,\Omega + 0.4\,\Omega = 2.4\,\Omega$ होगा।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{total}}$ है।
मान रखने पर,$I = \frac{12\,V}{2.4\,\Omega} = 5\,A$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) यह परिपथ एक ब्रिज परिपथ है। मान लीजिए कि प्रवेश करने वाली कुल धारा $I = 1.4\,A$ है। परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा में $10\,\Omega$ और $2\,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $R_1 = 10 + 2 = 12\,\Omega$ प्राप्त होता है। निचली शाखा में $25\,\Omega$ और $5\,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $R_2 = 25 + 5 = 30\,\Omega$ प्राप्त होता है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,ऊपरी शाखा (जिसमें $2\,\Omega$ का प्रतिरोध है) से बहने वाली धारा $I_1$ इस प्रकार है:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$I_1 = 1.4 \times \frac{30}{12 + 30}$
$I_1 = 1.4 \times \frac{30}{42}$
$I_1 = 1.4 \times \frac{5}{7}$
$I_1 = 0.2 \times 5 = 1\,A$.

(D) इस परिपथ में बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच तीन समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
$1$. पहली शाखा में $R_A = 2\, \Omega$ और $R_D = 6\, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_1 = 2 + 6 = 8\, \Omega$ है।
$2$. दूसरी शाखा में $3\, \Omega$ का प्रतिरोध है। अतः,$R_2 = 3\, \Omega$.
$3$. तीसरी शाखा में $R_B = 4\, \Omega$ और $R_C = 12\, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_3 = 4 + 12 = 16\, \Omega$ है।
अब,इन तीन समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $R_{PQ}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{16}$
$8, 3, 16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $48$ है:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{6 + 16 + 3}{48} = \frac{25}{48}\, \Omega^{-1}$
अतः,$R_{PQ} = \frac{48}{25}\, \Omega = 1.92\, \Omega$.
जंक्शन $P$ में प्रवेश करने वाली कुल धारा $i = 1.5\, A$ है। ओम के नियम के अनुसार विभवांतर $V_{PQ}$:
$V_{PQ} = i \times R_{PQ} = 1.5 \times \frac{48}{25} = 1.5 \times 1.92 = 2.88\, V$.

(C) मान लीजिए कि नोड्स को लेबल किया गया है। सर्किट में एक केंद्रीय नोड है जो तीन बाहरी नोड्स से $R$ प्रतिरोध द्वारा जुड़ा है। बाहरी नोड्स एक त्रिभुज बनाते हैं जिसमें उनके बीच $R$ प्रतिरोध है। टर्मिनल $A$ और $B$ इन बाहरी नोड्स में से दो से जुड़े हुए हैं।
सर्किट की समरूपता का विश्लेषण करके और इसे फिर से बनाकर,हम देख सकते हैं कि $A$ से $B$ तक का पथ दो समानांतर शाखाओं से बना है।
एक शाखा $A$ और $B$ के बीच का सीधा प्रतिरोध $R$ है।
दूसरी शाखा शेष प्रतिरोधों के श्रेणी और समानांतर संयोजनों से बनी है।
विशेष रूप से,टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच इस नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $R$ होता है।

(C) यह परिपथ केंद्रीय प्रतिरोधक से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के सापेक्ष सममित है। सममिति का उपयोग करके,हम परिपथ को सरल बना सकते हैं। $A$ से जुड़ी ऊपरी शाखा और निचली शाखा श्रेणीक्रम में हैं,जिनका प्रत्येक का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है। इसी प्रकार,$B$ से जुड़ी ऊपरी और निचली शाखाओं का प्रतिरोध भी $2R$ है।
अब,परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना में बदल जाता है जहाँ $2R$ के दो समानांतर प्रतिरोधक $A$ से जुड़े हैं और $2R$ के दो समानांतर प्रतिरोधक $B$ से जुड़े हैं,और दोनों जंक्शनों के बीच एक केंद्रीय प्रतिरोधक $R$ है।
$A$ से जुड़े $2R$ के दो समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$ है। इसी प्रकार,$B$ से जुड़ी भुजा के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_2 = R$ है।
अब,परिपथ में $R_1$,$R_2$ और केंद्रीय प्रतिरोधक $R$ श्रेणीक्रम में हैं। इस प्रकार,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R + R_2 = R + R + R = 3R$ प्रतीत होता है,लेकिन परिपथ की सममिति के अनुसार,$A$ और $B$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध $\frac{2R}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) सेल से प्राप्त शक्ति या ऊर्जा $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ सेल का वोल्टेज है और $R_{eq}$ परिपथ का तुल्य प्रतिरोध है।
अधिकतम ऊर्जा प्राप्त करने के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ न्यूनतम होना चाहिए।
मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोध $R$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $R_{eq} = (R/2) + (R/2) = R$.
विकल्प $B$ के लिए: $R_{eq} = R/4$.
विकल्प $C$ के लिए: $R_{eq} = R + R + R + R = 4R$.
विकल्प $D$ के लिए: $R_{eq} = (R/3) + R = 4R/3$.
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम तुल्य प्रतिरोध $R/4$ है,जो विकल्प $B$ में दिखाए गए समानांतर संयोजन के अनुरूप है।

(A) चित्र के आधार पर,कनेक्शन इस प्रकार हैं:
- शाखा $PQ$ में $1$ प्रतिरोध है।
- शाखा $QR$ में $2$ प्रतिरोध समानांतर में हैं,जो $R/2$ के बराबर है।
- शाखा $PR$ में $3$ प्रतिरोध समानांतर में हैं,जो $R/3$ के बराबर है।
अब,बिंदुओं के बीच समतुल्य प्रतिरोध की गणना:
$1$. $P$ और $Q$ के बीच: मार्ग $PQ$ $(R)$ समानांतर में है मार्ग $PRQ$ $(R/3 + R/2 = 5R/6)$ के साथ।
$R_{PQ} = \frac{R \times (5R/6)}{R + 5R/6} = \frac{5R^2/6}{11R/6} = \frac{5}{11}R \approx 0.454R$.
$2$. $Q$ और $R$ के बीच: मार्ग $QR$ $(R/2)$ समानांतर में है मार्ग $QPR$ $(R + R/3 = 4R/3)$ के साथ।
$R_{QR} = \frac{(R/2) \times (4R/3)}{R/2 + 4R/3} = \frac{2R^2/3}{11R/6} = \frac{4}{11}R \approx 0.363R$.
$3$. $P$ और $R$ के बीच: मार्ग $PR$ $(R/3)$ समानांतर में है मार्ग $PQR$ $(R + R/2 = 3R/2)$ के साथ।
$R_{PR} = \frac{(R/3) \times (3R/2)}{R/3 + 3R/2} = \frac{R^2/2}{11R/6} = \frac{3}{11}R \approx 0.272R$.
मानों की तुलना करने पर,$R_{PQ} = \frac{5}{11}R$ अधिकतम है।

(C) दिए गए सर्किट को प्रतिरोधों के श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
दिए गए समाधान चित्र के अनुसार, सर्किट को $6 \, V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में परिवर्तित किया गया है, जिसमें प्रत्येक शाखा का समतुल्य प्रतिरोध $3 \, \Omega$ है।
कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5 \, \Omega$ है।
इसलिए, कुल धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{1.5 \, \Omega} = 4 \, A$ प्राप्त होती है।

(B) समानांतर क्रम में जुड़े तारों के लिए,प्रत्येक तार के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
तार में धारा $i = V/R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है।
प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए प्रतिरोधकता $\rho$ स्थिर रहती है।
अतः,धाराओं का अनुपात $\frac{i_1}{i_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{l_1}{l_2} = \frac{4}{3}$ और $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{3}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$।

(A) सबसे पहले,सर्किट को सरल बनाएं। प्रतिरोधक $R_3 = 60\,\Omega$ और $R_4 = 30\,\Omega$ समानांतर में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_{34} = \frac{60 \times 30}{60 + 30} = \frac{1800}{90} = 20\,\Omega$ है।
यह संयोजन $R_5 = 30\,\Omega$ के साथ श्रृंखला में है,इसलिए शाखा का प्रतिरोध $R_{345} = 20 + 30 = 50\,\Omega$ है।
यह शाखा $R_2 = 50\,\Omega$ के साथ समानांतर में है,इसलिए इस भाग का समतुल्य प्रतिरोध $R_{2345} = \frac{50 \times 50}{50 + 50} = 25\,\Omega$ है।
अंत में,$R_1 = 50\,\Omega$ इसके साथ श्रृंखला में है,इसलिए कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 50 + 25 = 75\,\Omega$ है।
बैटरी से कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3}{75} = 0.04\,A$ है।
$R_2$ और शाखा $(R_3, R_4, R_5)$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_p = I \times R_{2345} = 0.04 \times 25 = 1\,V$ है।
$R_3$ और $R_4$ वाली शाखा से गुजरने वाली धारा $I_{branch} = \frac{V_p}{R_{345}} = \frac{1}{50} = 0.02\,A$ है।
$R_3$ और $R_4$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_{34} = I_{branch} \times R_{34} = 0.02 \times 20 = 0.4\,V$ है।
चूंकि $R_3$ और $R_4$ समानांतर में हैं,इसलिए $R_4$ पर वोल्टेज $0.4\,V$ है।

(A) सबसे पहले,समानांतर क्रम में जुड़े दो $1 \,\Omega$ प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \,\Omega$.
इसके बाद,श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधक को जोड़कर परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_{total} = R_p + 1.5 \,\Omega = 0.5 \,\Omega + 1.5 \,\Omega = 2.0 \,\Omega$.
अंत में,परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I$ ज्ञात करने के लिए ओम के नियम का उपयोग करें:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{10 \,V}{2.0 \,\Omega} = 5 \,A$.

(A) सबसे पहले,हम बिंदुओं $C$ और $D$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते हैं। $6\,\Omega, 6\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के तीन प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{CD}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{CD}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+1+2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$R_{CD} = 1.5\,\Omega$
अब,$A$ और $B$ के बीच कुल प्रतिरोध $R_{AB}$,$R_{CD}$ और $2.5\,\Omega$ प्रतिरोधक का श्रेणी संयोजन है:
$R_{AB} = R_{CD} + 2.5\,\Omega = 1.5\,\Omega + 2.5\,\Omega = 4.0\,\Omega$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर है:
$V_{AB} = I \times R_{AB} = 2\,A \times 4.0\,\Omega = 8\,V$
अतः,तुल्य प्रतिरोध $4\,\Omega$ है और विभवांतर $8\,V$ है।

(B) समरूपता को देखते हुए सर्किट को सरल बनाया जा सकता है। व्हीटस्टोन ब्रिज की संतुलित संरचना के कारण बिंदु $C$ और $D$ समान विभव पर हैं।
अतः,$C$ और $D$ के बीच के प्रतिरोधक में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है और इसे हटाया जा सकता है।
सर्किट प्रभावी रूप से $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में बदल जाता है।
एक शाखा में श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधक $R_{FC}$ और $R_{CE}$ हैं,जिनका कुल प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
दूसरी शाखा में श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधक $R_{FD}$ और $R_{DE}$ हैं,जिनका कुल प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
सर्किट का तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$,इसलिए $R_{\text{eq}} = R$।
बैटरी से कुल धारा $I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{V}{R}$ है।
चूंकि दोनों समानांतर शाखाओं का प्रतिरोध समान $2R$ है,इसलिए धारा समान रूप से विभाजित होती है।
अतः,$AFCEB$ शाखा में प्रवाहित होने वाली धारा $I' = \frac{I}{2} = \frac{V}{2R}$ होगी।

(A) $R$ प्रतिरोध वाले तार को जब एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो यह दो समान अर्धवृत्ताकार भागों में विभाजित हो जाता है।
प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ होता है।
ये दो अर्धवृत्ताकार भाग व्यासाभिमुख बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
इन बिंदुओं के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ समानांतर संयोजन के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{R/2} + \frac{1}{R/2} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{4}$.

(B) मान लीजिए कि परिपथ का मूल प्रतिरोध $R$ है और स्रोत का वोल्टेज $V$ है।
ओम के नियम के अनुसार, $V = I \times R$ होता है।
प्रथम स्थिति में, $V = 5.0 \times R$ है।
दूसरी स्थिति में, जब $2.0 \, \Omega$ का अतिरिक्त प्रतिरोध जोड़ा जाता है, तो कुल प्रतिरोध $(R + 2.0) \, \Omega$ हो जाता है और धारा $4.0 \, A$ हो जाती है।
अतः, $V = 4.0 \times (R + 2.0)$ है।
चूंकि वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है, इसलिए हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$5.0 \times R = 4.0 \times (R + 2.0)$
$5R = 4R + 8.0$
$5R - 4R = 8.0$
$R = 8.0 \, \Omega$।
अतः, परिपथ का मूल प्रतिरोध $8 \, \Omega$ था।

(C) दिए गए परिपथ में, प्रतिरोधक $R_2$, $R_4$, और $R_3$ समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इन तीन प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_3}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{50} + \frac{1}{75} + \frac{1}{50}$
$\frac{1}{R_p} = \frac{3 + 2 + 3}{150} = \frac{8}{150}$
$R_p = \frac{150}{8} = 18.75 \, \Omega$
यह तुल्य प्रतिरोध $R_p$, प्रतिरोधक $R_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
अतः, परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$R_{eq} = R_1 + R_p$
$R_{eq} = 100 + 18.75 = 118.75 \, \Omega$

(B) मान लीजिए कि वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_v$ है। वोल्टमीटर $100 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है। इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{100 R_v}{100 + R_v}$ है।
यह समानांतर संयोजन $50 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है। बैटरी का कुल वोल्टेज $10 \, V$ है।
चूंकि वोल्टमीटर $5 \, V$ पढ़ता है,इसलिए $50 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $10 \, V - 5 \, V = 5 \, V$ होना चाहिए।
चूंकि समानांतर संयोजन $(R_p)$ और $50 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर समान है,इसलिए उनके प्रतिरोध भी समान होने चाहिए।
अतः,$R_p = 50 \, \Omega$.
$\frac{100 R_v}{100 + R_v} = 50$
$100 R_v = 5000 + 50 R_v$
$50 R_v = 5000$
$R_v = 100 \, \Omega$.

(D) इस परिपथ में दो सेल हैं जिनके $EMF$ $E_1 = 10\,V$ और $E_2 = 4\,V$ हैं,जो विपरीत दिशा में जुड़े हुए हैं।
चूंकि $E_1 > E_2$,परिपथ में कुल $EMF$ $E_{net} = E_1 - E_2 = 10\,V - 4\,V = 6\,V$ होगा।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 1\,\Omega + 2\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धारा का परिमाण $i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$ है।
चूंकि $E_1$ मुख्य स्रोत है,धारा $E_1$ की दिशा में यानी दक्षिणावर्त (clockwise) बहेगी। अतः,धारा $a$ से $b$ की ओर $e$ के माध्यम से प्रवाहित होगी।

(C) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय (Maximum Power Transfer Theorem) के अनुसार,आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले स्रोत द्वारा बाहरी लोड प्रतिरोध $R$ को दी गई शक्ति तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध स्रोत के आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए,$R = r$ होना चाहिए।
यहाँ दिया गया है कि लोड प्रतिरोध $R = 2\,\Omega$ है,इसलिए अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए आंतरिक प्रतिरोध $r$ भी $2\,\Omega$ होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
ओम के नियम के अनुसार,टर्मिनल वोल्टेज $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है।
प्रथम स्थिति के लिए: $E = I_1(R_1 + r) = 0.9(2 + r)$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $E = I_2(R_2 + r) = 0.3(7 + r)$.
चूंकि $EMF$ $E$ स्थिर है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$0.9(2 + r) = 0.3(7 + r)$.
दोनों पक्षों को $0.3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(2 + r) = 7 + r$.
$6 + 3r = 7 + r$.
$3r - r = 7 - 6$.
$2r = 1$.
$r = 0.5\, \Omega$.

(A) परिपथ का कुल प्रतिरोध आंतरिक प्रतिरोध $r$ और बाह्य प्रतिरोध $R = r$ का योग है। अतः,$R_{total} = r + r = 2r$।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{E}{2r}$ है।
सेल के सिरों के बीच विभवांतर $V$ (जो टर्मिनल वोल्टेज है) $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $V = E - (\frac{E}{2r}) \times r = E - \frac{E}{2} = \frac{E}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए परिपथ में,बिंदु $X$ और $Y$ खुले हैं।
चूंकि परिपथ खुला है,इसलिए प्रतिरोधकों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है $(I = 0 \ A)$।
ओम के नियम के अनुसार,प्रतिरोधकों पर विभवांतर $V_R = I \times R = 0 \times R = 0 \ V$ होता है।
इसलिए,बैटरी का संपूर्ण विभवांतर खुले सिरों $X$ और $Y$ के बीच दिखाई देता है।
अतः,$X$ और $Y$ के बीच विभवांतर बैटरी के $EMF$ के बराबर,यानी $120 \ V$ है।

(A) दिए गए परिपथ में,टर्मिनल $X$ और $Y$ खुले हैं।
चूंकि परिपथ खुला है,इसलिए परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है $(I = 0 \, A)$।
ओम के नियम के अनुसार,किसी प्रतिरोध के सिरों के बीच विभवांतर $V = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $I = 0$ है,इसलिए $40\,\Omega$ के प्रतिरोध के सिरों के बीच विभवांतर $V = 0 \times 40 = 0\,V$ होगा।

(D) एक आदर्श एमीटर का प्रतिरोध शून्य होता है और यह एक शॉर्ट सर्किट (एक साधारण चालक तार) के रूप में कार्य करता है।
दिए गए परिपथ में,आदर्श एमीटर को आदर्श वोल्टमीटर के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा गया है।
चूंकि एमीटर का प्रतिरोध शून्य है,इसलिए इसके सिरों के बीच विभवांतर $V = I \times R_{ammeter} = I \times 0 = 0 \ V$ होता है।
चूंकि वोल्टमीटर आदर्श एमीटर के समानांतर जुड़ा हुआ है,इसलिए वोल्टमीटर के सिरों के बीच का विभवांतर एमीटर के सिरों के बीच के विभवांतर के समान ही होगा।
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0 \ V$ है।

(C) दिया गया है:
विद्युत वाहक बल $(E)$ = $50\,V$
बाह्य प्रतिरोध $(R)$ = $10\,\Omega$
धारा $(I)$ = $4.5\,A$
माना बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
आंतरिक प्रतिरोध वाले परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार:
$I = \frac{E}{R + r}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$4.5 = \frac{50}{10 + r}$
$4.5(10 + r) = 50$
$45 + 4.5r = 50$
$4.5r = 50 - 45$
$4.5r = 5$
$r = \frac{5}{4.5} = \frac{50}{45} = \frac{10}{9} \approx 1.11\,\Omega$.
अतः,आंतरिक प्रतिरोध लगभग $1.1\,\Omega$ है।

(B) दिया गया है: $e.m.f.$ $(E)$ = $1.5\, V$,धारा $(I)$ = $15\, A$,बाह्य प्रतिरोध $(R)$ = $0.04\,\Omega$.
आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ वाले परिपथ में धारा के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए: $I = \frac{E}{R + r}$.
मान रखने पर: $15 = \frac{1.5}{0.04 + r}$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $0.04 + r = \frac{1.5}{15}$.
$0.04 + r = 0.1$.
$r = 0.1 - 0.04 = 0.06\,\Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $0.06\,\Omega$ है।

(C) सेल का विद्युत वाहक बल $(E)$ $2\, V$ है।
सेल का आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ $0.1\,\Omega$ है।
जुड़ा हुआ बाहरी प्रतिरोध $(R)$ $3.9\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = 3.9\,\Omega + 0.1\,\Omega = 4.0\,\Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में बहने वाली धारा $(I)$: $I = \frac{E}{R + r} = \frac{2\, V}{4.0\,\Omega} = 0.5\, A$ है।
सेल के टर्मिनल पर वोल्टेज $(V)$ $V = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = 0.5\, A \times 3.9\,\Omega = 1.95\, V$।

(B) यहाँ दो सेल श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
अतः कुल emf = $2E = 2 \times 1.45\,V = 2.9\,V$.
कुल आंतरिक प्रतिरोध = $2r = 2 \times 0.15\,\Omega = 0.3\,\Omega$.
बाह्य प्रतिरोध $R = 1.5\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध = $R + 2r = 1.5 + 0.3 = 1.8\,\Omega$.
ओम के नियम के अनुसार,विद्युत धारा $i = \frac{2.9}{1.8} = \frac{29}{18} \approx 1.611\,A$।

(B) परिपथ में धारा $I$ का मान $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दिया जाता है।
बाह्य प्रतिरोध $R$ को दी गई शक्ति $P = I^2 R = \left( \frac{E}{R + r} \right)^2 R$ है।
अधिकतम शक्ति के लिए शर्त ज्ञात करने हेतु,हम $P$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और उसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dP}{dR} = E^2 \left[ \frac{(R + r)^2 - R \cdot 2(R + r)}{(R + r)^4} \right] = 0$.
इसका अर्थ है $(R + r)^2 - 2R(R + r) = 0$,जो सरल करने पर $R + r - 2R = 0$ या $R = r$ देता है।
अतः,बाह्य प्रतिरोध को दी गई शक्ति तब अधिकतम होती है जब बाह्य प्रतिरोध बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होता है।

(A) सेल से अधिकतम धारा $(I_{max})$ तब प्राप्त होती है जब बाह्य प्रतिरोध $(R)$ शून्य हो,जो शॉर्ट-सर्किट की स्थिति के अनुरूप है।
सेल के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए: $I = \frac{E}{R + r}$.
अधिकतम धारा के लिए,$R = 0$,इसलिए $I_{max} = \frac{E}{r}$.
दिया गया है: $E = 1.5\, V$ और $r = 0.05\,\Omega$.
$I_{max} = \frac{1.5}{0.05} = \frac{150}{5} = 30\, A$.

(A) परिपथ में धारा $i$ इस प्रकार है: $i = \frac{E}{R + r} = \frac{12}{4 + 2} = \frac{12}{6} = 2\, A$.
$1$. स्रोत (आंतरिक प्रतिरोध) में ऊर्जा हानि की दर $P_{loss} = i^2 r = (2)^2 \times 2 = 4 \times 2 = 8\, W$ है।
$2$. स्रोत में ऊर्जा रूपांतरण की दर (कुल उत्पन्न शक्ति) $P_{gen} = E \times i = 12 \times 2 = 24\, W$ है।
$3$. बाहरी प्रतिरोध $R$ पर आउटपुट पावर $P_{out} = i^2 R = (2)^2 \times 4 = 4 \times 4 = 16\, W$ है।
$4$. $R$ के सिरों पर विभवांतर $V = iR = 2 \times 4 = 8\, V$ है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही कथन है।

(B) $e.m.f.$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल के परिपथ में धारा $i$ का सूत्र $i = \frac{E}{R + r}$ होता है।
प्रथम स्थिति के लिए,$R_1 = 2\,\Omega$ और $i_1 = 0.5\,A$:
$0.5 = \frac{E}{2 + r}$ ...... $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए,$R_2 = 5\,\Omega$ और $i_2 = 0.25\,A$:
$0.25 = \frac{E}{5 + r}$ ...... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{0.5}{0.25} = \frac{5 + r}{2 + r}$
$2 = \frac{5 + r}{2 + r}$
$2(2 + r) = 5 + r$
$4 + 2r = 5 + r$
$r = 1\,\Omega$
$r = 1\,\Omega$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$0.5 = \frac{E}{2 + 1}$
$0.5 = \frac{E}{3}$
$E = 0.5 \times 3 = 1.5\,V$.

(A) जब बैटरी ${E_2}$ को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो जिन टर्मिनलों के बीच ${R_2}$ जुड़ा होता है,वे शून्य प्रतिरोध वाले तार से जुड़ जाते हैं।
यह प्रभावी रूप से प्रतिरोधक ${R_2}$ को बायपास कर देता है,जिसका अर्थ है कि ${R_2}$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है क्योंकि सबसे कम प्रतिरोध वाला मार्ग शॉर्ट-सर्किट तार है।
परिणामस्वरूप,परिपथ एक लूप में सरल हो जाता है जिसमें बैटरी ${E_1}$ और प्रतिरोधक ${R_1}$ होते हैं।
ओम के नियम के अनुसार,प्रतिरोधक ${R_1}$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = {E_1}/{R_1}$ द्वारा दी जाती है।

(C) बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$, सूत्र $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $E$ $e.m.f.$ है, $I$ धारा है, और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है:
$E = 15\, V$
$I = 10\, A$
$r = 0.05\, \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = 15 - (10 \times 0.05)$
$V = 15 - 0.5$
$V = 14.5\, V$
अतः, टर्मिनल वोल्टेज $14.5\, V$ है।

(A) परिपथ का कुल e.m.f. $E_{eq} = 8\,V - 4\,V = 4\,V$ है (क्योंकि बैटरियां विपरीत दिशा में जुड़ी हुई हैं)।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = r_1 + r_2 + R = 1\,\Omega + 2\,\Omega + 9\,\Omega = 12\,\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $i = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{4\,V}{12\,\Omega} = \frac{1}{3}\,A$ है।
बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $9\,\Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज ड्रॉप है।
$V_{PQ} = i \times R = \frac{1}{3}\,A \times 9\,\Omega = 3\,V$.

(B) जब एक सेल शॉर्ट-सर्किट होता है,तो बाहरी प्रतिरोध $R = 0\, \Omega$ होता है।
परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,emf $E = 6\, V$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5\, \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर,$I = \frac{6}{0 + 0.5} = \frac{6}{0.5} = 12\, A$ प्राप्त होता है।
अतः,सेल में प्रवाहित धारा $12\, A$ है।

(A) परिपथ में बहने वाली धारा $i$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $i = \frac{E}{R + r}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $i = \frac{5}{4.5 + 0.5} = \frac{5}{5} = 1\,A$.
बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = E - ir$.
मानों को रखने पर: $V = 5 - (1 \times 0.5) = 5 - 0.5 = 4.5\,V$.
अतः,टर्मिनल वोल्टेज $4.5\,V$ है।

(D) डिस्चार्ज हो रहे सेल के टर्मिनलों के बीच विभवांतर $V$ का सूत्र है: $V = E - ir$ ।
यहाँ,$E = 1.5 \, V$ विद्युत वाहक बल है,$i = 2.0 \, A$ धारा है,और $r = 0.15 \, \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध है।
समीकरण में मान रखने पर:
$V = 1.5 - (2.0 \times 0.15)$
$V = 1.5 - 0.30$
$V = 1.2 \, V$ ।
अतः,सेल के सिरों के बीच का विभवांतर $1.2 \, V$ है।

(B) दिया गया है: $E = 4\, V$,$R = 2\, \Omega$,$I = 1\, A$.
परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर: $I = \frac{E}{R + r}$.
मान रखने पर: $1 = \frac{4}{2 + r}$.
$2 + r = 4 \Rightarrow r = 2\, \Omega$.
जब टर्मिनलों को सीधे जोड़ा जाता है,तो यह शॉर्ट सर्किट की स्थिति होती है जहाँ बाहरी प्रतिरोध $R = 0$ होता है।
शॉर्ट सर्किट धारा का सूत्र: $I_{SC} = \frac{E}{r}$.
$I_{SC} = \frac{4}{2} = 2\, A$.

(C) श्रेणी संयोजन का कुल e.m.f. $E_{eq} = E_A + E_B = 2 \, V + 2 \, V = 4 \, V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_A + r_B = 1 \, \Omega + 1.9 \, \Omega + 0.9 \, \Omega = 3.8 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{3.8 \, \Omega} = \frac{40}{38} \, A = \frac{20}{19} \, A$ है।
बैटरी $A$ के टर्मिनलों के बीच विभवांतर $V_A = E_A - i r_A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $V_A = 2 \, V - (\frac{20}{19} \, A) \times 1.9 \, \Omega$।
चूंकि $1.9 = \frac{19}{10}$, इसलिए $V_A = 2 - (\frac{20}{19} \times \frac{19}{10}) = 2 - 2 = 0 \, V$ प्राप्त होता है।

(D) परिपथ में $10 \, V$ की बैटरी $5 \, \Omega$ के प्रतिरोध (अमीटर के साथ श्रेणीक्रम में) और $4 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जुड़ी हुई है।
चूंकि बैटरी सीधे $5 \, \Omega$ के प्रतिरोध और अमीटर वाली शाखा के सिरों पर जुड़ी है,इसलिए इस शाखा के सिरों के बीच विभवांतर बैटरी के $EMF$ के बराबर यानी $10 \, V$ होगा।
यह मानते हुए कि अमीटर आदर्श है (शून्य प्रतिरोध),ओम के नियम के अनुसार अमीटर से प्रवाहित धारा $I$ होगी:
$I = \frac{V}{R} = \frac{10 \, V}{5 \, \Omega} = 2 \, A$.
अतः,अमीटर का पाठ्यांक $2 \, A$ है।

(B) बैटरी का विद्युत वाहक बल $(E)$ $40 \, V$ है (जब कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है तब विभवांतर)।
जब $R = 9 \,\Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $(V)$ $30 \, V$ हो जाता है।
आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ का सूत्र है:
$r = \left( \frac{E}{V} - 1 \right) R$
दिए गए मानों को रखने पर:
$r = \left( \frac{40}{30} - 1 \right) \times 9$
$r = \left( \frac{4}{3} - 1 \right) \times 9$
$r = \left( \frac{1}{3} \right) \times 9$
$r = 3 \,\Omega$.

(D) श्रेणी संयोजन का कुल $emf$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + R_1 + R_2$ है। परिपथ में धारा $i = \frac{2E}{R + R_1 + R_2}$ द्वारा दी जाती है।
$emf$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले स्रोत के सिरों पर विभवांतर $V = E - ir$ द्वारा दिया जाता है। $R_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले स्रोत के लिए,विभवांतर शून्य है:
$0 = E - i R_2$
$E = i R_2$
$i$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$
$1 = \frac{2 R_2}{R + R_1 + R_2}$
$R + R_1 + R_2 = 2 R_2$
$R = 2 R_2 - R_2 - R_1$
$R = R_2 - R_1$

(A) मान लीजिए कि जंक्शन में प्रवेश करने वाली कुल धारा $I = 1 \, A$ है। परिपथ तीन समानांतर शाखाओं से बना है。
शाखा $1$ का प्रतिरोध $R_1 = 60 \, \Omega$ है。
शाखा $2$ का प्रतिरोध $R_2 = 15 \, \Omega + 5 \, \Omega = 20 \, \Omega$ है。
शाखा $3$ का प्रतिरोध $R_3 = 10 \, \Omega$ है。
मध्य और निचली शाखाओं (जो समानांतर में हैं) का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20} \implies R_{23} = \frac{20}{3} \, \Omega$.
अब, ऊपरी शाखा $(60 \, \Omega)$ में धारा $i$ को ऊपरी शाखा और अन्य दो शाखाओं के संयुक्त तुल्य प्रतिरोध $(R_{23} = 20/3 \, \Omega)$ के बीच करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$i = I \times \left( \frac{R_{23}}{R_1 + R_{23}} \right)$
$i = 1 \times \left( \frac{20/3}{60 + 20/3} \right) = \frac{20/3}{(180+20)/3} = \frac{20}{200} = 0.1 \, A$.
अतः, $i$ का परिमाण $0.1 \, A$ है।

(A) $e.m.f.$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल द्वारा बाह्य प्रतिरोध $R$ को दी गई शक्ति $P = I^2 R = \left( \frac{E}{R+r} \right)^2 R$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि दोनों प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के लिए शक्ति समान है:
$\left( \frac{E}{R_1 + r} \right)^2 R_1 = \left( \frac{E}{R_2 + r} \right)^2 R_2$
$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2}$
$R_1(R_2 + r)^2 = R_2(R_1 + r)^2$
$R_1(R_2^2 + r^2 + 2R_2r) = R_2(R_1^2 + r^2 + 2R_1r)$
$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 + 2R_1 R_2 r = R_2 R_1^2 + R_2 r^2 + 2R_1 R_2 r$
$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + R_2 r^2$
$r^2(R_1 - R_2) = R_1^2 R_2 - R_1 R_2^2$
$r^2(R_1 - R_2) = R_1 R_2(R_1 - R_2)$
यदि $R_1 \neq R_2$ है,तो $r^2 = R_1 R_2$,जिसका अर्थ है $r = \sqrt{R_1 R_2}$।

(C) सबसे पहले,$100\,\Omega$ के प्रतिरोधक और $100\,\Omega$ के वोल्टमीटर के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें: $R_p = \frac{100 \times 100}{100 + 100} = 50\,\Omega$.
अब,परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 50\,\Omega$ (श्रेणी प्रतिरोध) $+ 50\,\Omega$ (समानांतर संयोजन) $= 100\,\Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2.4\,V}{100\,\Omega} = 0.024\,A$ है।
वोल्टमीटर का पाठ्यांक समानांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर है: $V_{voltmeter} = I \times R_p = 0.024\,A \times 50\,\Omega = 1.2\,V$.

(D) एक आदर्श वोल्टमीटर वह उपकरण है जिसका उपयोग परिपथ के दो बिंदुओं के बीच विभवांतर को मापने के लिए किया जाता है,बिना परिपथ से कोई धारा लिए।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि वोल्टमीटर से कोई धारा प्रवाहित न हो,इसका प्रतिरोध अनंत होना चाहिए।
इसलिए,एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत माना जाता है।