Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(D) सबसे पहले,बैटरी संयोजन का कुल विद्युत वाहक बल $(E_{net})$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $(r_{net})$ ज्ञात करें। बैटरियां विपरीत ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं। अतः,$E_{net} = 8\,V - 4\,V = 4\,V$। आंतरिक प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $r_{net} = 0.5\,\Omega + 1.0\,\Omega = 1.5\,\Omega$।
इसके बाद,बाहरी परिपथ का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें। $3\,\Omega$ और $6\,\Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2\,\Omega$ है। यह $4.5\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए कुल बाहरी प्रतिरोध $R_{ext} = 4.5\,\Omega + 2\,\Omega = 6.5\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{ext} + r_{net} = 6.5\,\Omega + 1.5\,\Omega = 8.0\,\Omega$ है।
अंत में,परिपथ में कुल धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4\,V}{8.0\,\Omega} = 0.5\,A$ है। चूंकि $4.5\,\Omega$ का प्रतिरोध मुख्य शाखा में है,इसलिए इसमें प्रवाहित होने वाली धारा $0.5\,A$ है।

(A) सबसे पहले,$2\,\Omega$ और $4\,\Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\,\Omega$.
परिपथ में,$3\,\Omega$ का प्रतिरोध समानांतर संयोजन $(4/3\,\Omega)$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
श्रेणीक्रम में धारा $I$ समान होती है,इसलिए शक्ति $P = I^2 R$ प्रतिरोध के समानुपाती होती है $(P \propto R)$।
$3\,\Omega$ के प्रतिरोध में शक्ति $P_3 = 27\,W$ दी गई है,मान लीजिए समानांतर संयोजन में शक्ति $P_p$ है:
$\frac{P_3}{P_p} = \frac{R_3}{R_p} \Rightarrow \frac{27}{P_p} = \frac{3}{4/3} = \frac{9}{4}$.
$P_p = 27 \times \frac{4}{9} = 12\,W$.
अब,समानांतर संयोजन के लिए,दोनों प्रतिरोधों पर वोल्टेज $V_p$ समान होता है। शक्ति $P = V^2/R$ है,इसलिए $P \propto 1/R$।
$\frac{P_2}{P_4} = \frac{R_4}{R_2} = \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow P_2 = 2 P_4$.
चूंकि $P_2 + P_4 = P_p = 12\,W$,इसलिए $2 P_4 + P_4 = 12\,W \Rightarrow 3 P_4 = 12\,W \Rightarrow P_4 = 4\,W$.
अतः,$P_2 = 2 \times 4 = 8\,W$।

(B) मान लीजिए कि अंतिम प्रतिरोधक पर विभव $V_4$ है।
अंत से पीछे की ओर गणना करते हुए:
$1$. अंतिम ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक से $1\,A$ धारा प्रवाहित हो रही है,इसलिए इसका विभव $V_4 = 1\,A \times 1\,\Omega = 1\,V$ है।
$2$. अंतिम क्षैतिज प्रतिरोधक से $1\,A$ धारा प्रवाहित हो रही है। इसके सिरों पर विभव पतन $1\,A \times 1\,\Omega = 1\,V$ है। अतः,इस प्रतिरोधक से पहले का विभव $1\,V + 1\,V = 2\,V$ है।
$3$. अगले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $V/R = 2\,V / 1\,\Omega = 2\,A$ है। इस नोड में प्रवेश करने वाली कुल धारा $1\,A + 2\,A = 3\,A$ है।
$4$. अगले क्षैतिज प्रतिरोधक पर विभव पतन $3\,A \times 1\,\Omega = 3\,V$ है। इससे पहले का विभव $2\,V + 3\,V = 5\,V$ है।
$5$. अगले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $5\,V / 1\,\Omega = 5\,A$ है। कुल धारा $3\,A + 5\,A = 8\,A$ है।
$6$. अगले क्षैतिज प्रतिरोधक पर विभव पतन $8\,A \times 1\,\Omega = 8\,V$ है। इससे पहले का विभव $5\,V + 8\,V = 13\,V$ है।
$7$. अगले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $13\,V / 1\,\Omega = 13\,A$ है। कुल धारा $8\,A + 13\,A = 21\,A$ है।
$8$. प्रथम क्षैतिज प्रतिरोधक पर विभव पतन $21\,A \times 1\,\Omega = 21\,V$ है। कुल इनपुट विभव $13\,V + 21\,V = 34\,V$ है।

(B) परिपथ में $6 \, V$ की बैटरी $1.5 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है और इसके साथ तीन प्रतिरोध ($4 \, \Omega$,$4 \, \Omega$,और $6 \, \Omega$) समांतर क्रम में जुड़े हैं।
सबसे पहले,तीन समांतर प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+3+2}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \, \Omega^{-1}$
अतः,$R_p = 1.5 \, \Omega$.
परिपथ का कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eff} = 1.5 \, \Omega + R_p = 1.5 \, \Omega + 1.5 \, \Omega = 3 \, \Omega$ है।
बैटरी द्वारा दी गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R_{eff}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = \frac{(6)^2}{3} = \frac{36}{3} = 12 \, W$।

(A) परिपथ में $9\, V$ की बैटरी है जिसका आंतरिक प्रतिरोध $r = 1\, \Omega$ है, जो $6\, \Omega$ और $3\, \Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है。
सबसे पहले, समानांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते हैं:
$R_p = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\, \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{\text{total}} = R_p + r = 2\, \Omega + 1\, \Omega = 3\, \Omega$ है。
बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I = \frac{E}{R_{\text{total}}} = \frac{9\, V}{3\, \Omega} = 3\, A$ है。
समानांतर संयोजन के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $(V)$ $V = E - Ir = 9\, V - (3\, A \times 1\, \Omega) = 6\, V$ होगा。
एमीटर $3\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है। अतः एमीटर से प्रवाहित धारा $I_A = \frac{V}{R} = \frac{6\, V}{3\, \Omega} = 2\, A$ होगी।

(B) परिपथ को समरूपता और श्रेणी-समांतर संयोजनों को देखकर सरल बनाया जा सकता है।
$1$. $AF$ और $FE$ के अनुदिश प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 3 \; \Omega + 3 \; \Omega = 6 \; \Omega$ है।
$2$. यह $R_1$, $AE$ के अनुदिश जुड़े $6 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है। तुल्य प्रतिरोध $R_{AE}'$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{AE}'} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow R_{AE}' = 3 \; \Omega$।
$3$. इसी प्रकार, $ED$ और $DC$ के अनुदिश प्रतिरोधक $AD$ के $6 \; \Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणी में समांतर क्रम में हैं, जिससे $A$ और $C$ के बीच $3 \; \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध प्राप्त होता है।
$4$. अंततः, परिपथ $A$ और $B$ के बीच जुड़े $3 \; \Omega$ के तीन प्रतिरोधकों में कम हो जाता है (एक सीधा, और दो $C$ पथ के माध्यम से)।
$5$. तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ सीधे $3 \; \Omega$ प्रतिरोधक और अन्य दो $3 \; \Omega$ प्रतिरोधकों के श्रेणी संयोजन $(3+3=6 \; \Omega)$ का समांतर संयोजन है।
$6$. $R_{eq} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \; \Omega$।

(A) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $r$ है। चूंकि परिपथ एक अनंत सीढ़ी (infinite ladder) है,इसलिए इनपुट में एक और खंड जोड़ने से कुल प्रतिरोध में कोई परिवर्तन नहीं होता है। अतः,परिपथ को दो $R$ प्रतिरोधों के श्रेणीक्रम और उसके साथ $R$ प्रतिरोध तथा तुल्य प्रतिरोध $r$ के समांतर संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।
तुल्य प्रतिरोध $r$ इस प्रकार है:
$r = R + R + \frac{R \cdot r}{R + r}$
$r = 2R + \frac{Rr}{R + r}$
$(R + r)$ से गुणा करने पर:
$r(R + r) = 2R(R + r) + Rr$
$Rr + r^2 = 2R^2 + 2Rr + Rr$
$r^2 - 2Rr - 2R^2 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{2R \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2(1)}$
$r = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2}$
$r = \frac{2R \pm \sqrt{12R^2}}{2}$
$r = \frac{2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$
$r = R \pm R\sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं:
$r = (1 + \sqrt{3})R$

(D) माना कि $0\,^oC$ पर दोनों प्रतिरोधों का मान $R_0$ है।
$t$ तापमान पर,प्रतिरोध $R_1 = R_0(1 + \alpha_1 t)$ और $R_2 = R_0(1 + \alpha_2 t)$ होंगे।
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
$R_{eq} = R_0(1 + \alpha_1 t) + R_0(1 + \alpha_2 t) = 2R_0 + R_0(\alpha_1 + \alpha_2)t$.
$R_{eq} = 2R_0 \left( 1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} t \right)$.
चूंकि $0\,^oC$ पर तुल्य प्रतिरोध $R'_{0} = 2R_0$ है,इसलिए $R_{eq} = R'_{0}(1 + \alpha_{eq} t)$ लिखा जा सकता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,तुल्य ताप गुणांक $\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर वोल्टेज $V$ वाले तार में उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R} t$ द्वारा दी जाती है। ऊष्मा को दोगुना करने के लिए,प्रतिरोध $R$ को आधा $(R' = R/2)$ होना चाहिए।
प्रतिरोध का सूत्र $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{\rho \ell}{\pi r^2}$ है।
यदि लंबाई $\ell$ और त्रिज्या $r$ दोनों को दोगुना कर दिया जाए,तो $\ell' = 2\ell$ और $r' = 2r$ होगा।
तब $R' = \frac{\rho (2\ell)}{\pi (2r)^2} = \frac{2\rho \ell}{4\pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\rho \ell}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$ होगा।
चूंकि $R' = R/2$ है,इसलिए नई ऊष्मा $H' = \frac{V^2}{R'} t = \frac{V^2}{R/2} t = 2 \left( \frac{V^2}{R} t \right) = 2H$ होगी। अतः,ऊष्मा दोगुनी हो जाती है।

(A) परिपथ $POQ$ अक्ष के सापेक्ष सममित है। सममिति के कारण,नोड $A$ और $B$ पर विभव नोड $O$ के विभव के समान होता है। अतः,$O$ से जुड़े $2R$ प्रतिरोध वाले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधकों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $P$ और $Q$ के बीच तीन समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
$1$. ऊपरी शाखा: श्रेणीक्रम में दो $2R$ प्रतिरोधक,कुल $= 4R$।
$2$. मध्य शाखा: श्रेणीक्रम में दो $r$ प्रतिरोधक,कुल $= 2r$।
$3$. निचली शाखा: श्रेणीक्रम में दो $2R$ प्रतिरोधक,कुल $= 4R$।
तुल्य प्रतिरोध $R_{PQ}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{4R} = \frac{2}{4R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2r} = \frac{r + R}{2Rr}$।
अतः,$R_{PQ} = \frac{2Rr}{R + r}$।

(D) माना स्रोत का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है और इसका विद्युत वाहक बल $E$ है।
$R_1$ प्रतिरोध वाली कुंडली में धारा $I_1 = \frac{E}{r + R_1}$ है।
$R_2$ प्रतिरोध वाली कुंडली में धारा $I_2 = \frac{E}{r + R_2}$ है।
चूंकि उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 R t$ समान समय $t$ के लिए दोनों कुंडलियों में समान है,इसलिए:
$I_1^2 R_1 t = I_2^2 R_2 t$
$I_1$ और $I_2$ के व्यंजक रखने पर:
$\left(\frac{E}{r + R_1}\right)^2 R_1 = \left(\frac{E}{r + R_2}\right)^2 R_2$
$\frac{R_1}{(r + R_1)^2} = \frac{R_2}{(r + R_2)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{R_1}}{r + R_1} = \frac{\sqrt{R_2}}{r + R_2}$
$\sqrt{R_1}(r + R_2) = \sqrt{R_2}(r + R_1)$
$r\sqrt{R_1} + \sqrt{R_1}R_2 = r\sqrt{R_2} + R_1\sqrt{R_2}$
$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = R_1\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}R_2$
$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_1 R_2}(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$
$r = \sqrt{R_1 R_2}$

(C) बैटरी का धनात्मक टर्मिनल उच्चतम विभव पर होता है और ऋणात्मक टर्मिनल न्यूनतम विभव पर होता है।
परंपरागत रूप से,विद्युत धारा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर बहती है,अर्थात बाहरी सर्किट में यह धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर बहती है।
कथन सही है क्योंकि ऋणात्मक टर्मिनल वास्तव में न्यूनतम विभव का बिंदु है।
कारण गलत है क्योंकि धारा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर बहती है,न कि इसके विपरीत।

(D) फ्यूज एक सुरक्षा उपकरण है जिसका उपयोग विद्युत परिपथों में ओवरकरंट या शॉर्ट-सर्किट स्थितियों से सुरक्षा के लिए किया जाता है। जब धारा एक सुरक्षित सीमा से अधिक हो जाती है,तो विद्युत धारा के ऊष्मीय प्रभाव के कारण फ्यूज का तार पिघल जाता है,जिससे परिपथ टूट जाता है और उपकरणों को होने वाले नुकसान से बचाया जा सकता है।

(C) परिपथ $1$ में, वोल्टमीटर $V_{1}$ को $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में जोड़ा गया है। चूंकि एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है, इसलिए यह कोई धारा नहीं लेता है। अतः, $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $10 \; V$ है, इसलिए $V_{1} = 10 \; V$। धारा $I_{1}$ का मान $I_{1} = \frac{10 \; V}{10 \; \Omega} = 1 \; A$ है।
परिपथ $2$ में, वोल्टमीटर $V_{2}$ को $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है, और यह संयोजन मुख्य $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है, इसलिए वोल्टमीटर और $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। इस शाखा के सिरों पर वोल्टेज अभी भी $10 \; V$ है। चूंकि वोल्टमीटर आदर्श है, इसलिए $10 \; V$ का पूरा विभवांतर वोल्टमीटर के सिरों पर ही दिखाई देता है, इसलिए $V_{2} = 10 \; V$। धारा $I_{2}$ केवल मुख्य $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है, इसलिए $I_{2} = \frac{10 \; V}{10 \; \Omega} = 1 \; A$।
अतः, $V_{1} = V_{2} = 10 \; V$ और $I_{1} = I_{2} = 1 \; A$ है।

(D) परिपथ में $2 \text{ V}$ की बैटरी के साथ दो समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
ऊपरी शाखा में,$20 \ \Omega$ और $30 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। जंक्शन $V_1$ पर विभव वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा प्राप्त होता है: $V_1 = 2 \text{ V} \times \frac{30 \ \Omega}{20 \ \Omega + 30 \ \Omega} = 2 \times \frac{30}{50} = 1.2 \text{ V}$.
निचली शाखा में,$30 \ \Omega$ और $20 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। जंक्शन $V_2$ पर विभव: $V_2 = 2 \text{ V} \times \frac{20 \ \Omega}{30 \ \Omega + 20 \ \Omega} = 2 \times \frac{20}{50} = 0.8 \text{ V}$.
आदर्श वोल्टमीटर का पाठ्यांक दोनों जंक्शनों के बीच का विभवांतर है: $V = |V_1 - V_2| = |1.2 \text{ V} - 0.8 \text{ V}| = 0.4 \text{ V}$.

(A) मान लीजिए परिपथ में धारा $i$ है। बैटरियां श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए कुल emf $E_{eq} = 10 + 10 = 20 \; V$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = 20 + 5 = 25 \; \Omega$ है।
$20 \; \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाली बैटरी के सिरों पर वोल्टेज $V_1 = E - i r_1 = 10 - i(20)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V_1 = 0,$ इसलिए $10 - 20i = 0,$ जिससे $i = 0.5 \; A$ प्राप्त होता है।
कुल बाहरी प्रतिरोध $R_{ext}$,$30 \; \Omega$ और $R \; \Omega$ का समानांतर संयोजन है,इसलिए $R_{ext} = \frac{30R}{30+R}$ होगा।
पूरे परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर,$E_{eq} = i(R_{ext} + r_{eq}).$
$20 = 0.5 \left( \frac{30R}{30+R} + 25 \right).$
$40 = \frac{30R}{30+R} + 25.$
$15 = \frac{30R}{30+R}.$
$15(30+R) = 30R.$
$450 + 15R = 30R.$
$15R = 450 \implies R = 30 \; \Omega.$

(C) जब एलिमेंट से गुजरने वाला करंट बहुत कम होता है,तो हीटिंग प्रभावों को नजरअंदाज किया जा सकता है और एलिमेंट का तापमान $T_{1}$ कमरे के तापमान के समान होता है।
जब टोस्टर को आपूर्ति से जोड़ा जाता है,तो इसका प्रारंभिक करंट इसके स्थिर मान $2.68\; A$ से थोड़ा अधिक होगा। लेकिन करंट के हीटिंग प्रभाव के कारण,तापमान बढ़ जाएगा। इससे प्रतिरोध में वृद्धि होगी और करंट में थोड़ी कमी आएगी।
कुछ सेकंड में,एक स्थिर अवस्था प्राप्त हो जाएगी जब तापमान में और वृद्धि नहीं होगी,और एलिमेंट का प्रतिरोध और करंट दोनों स्थिर मान प्राप्त कर लेंगे।
स्थिर तापमान $T_{2}$ पर प्रतिरोध $R_{2}$ है:
$R_{2} = \frac{230\; V}{2.68\; A} = 85.8\; \Omega$
संबंध का उपयोग करते हुए:
$R_{2} = R_{1}[1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$
$\alpha = 1.70 \times 10^{-4}\; ^{\circ} C^{-1}$ के साथ,हमें मिलता है:
$T_{2} - T_{1} = \frac{(85.8 - 75.3)}{(75.3) \times 1.70 \times 10^{-4}} = 820^{\circ} C$
अर्थात,$T_{2} = (820 + 27.0)^{\circ} C = 847^{\circ} C$.
इस प्रकार,हीटिंग एलिमेंट का स्थिर तापमान $847^{\circ} C$ है।

(C) बैटरी का $emf$ $E = 12\; V$ दिया गया है।
बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.4\; \Omega$ है।
बैटरी से अधिकतम धारा $(I_{max})$ प्राप्त करने के लिए,परिपथ में जुड़ा बाहरी प्रतिरोध शून्य होना चाहिए (शॉर्ट सर्किट स्थिति)।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम धारा के लिए,हम बाहरी प्रतिरोध $R = 0$ रखते हैं।
इसलिए,$I_{max} = \frac{E}{r} = \frac{12}{0.4}$.
$I_{max} = \frac{120}{4} = 30\; A$.
अतः,बैटरी से ली जा सकने वाली अधिकतम धारा $30\; A$ है।

(N/A) बैटरी का $emf$,$E = 10 \;V$
बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध,$r = 3 \;\Omega$
परिपथ में धारा,$I = 0.5 \;A$
माना कि प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{E}{R + r}$.
$R + r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R + r = \frac{E}{I} = \frac{10}{0.5} = 20 \;\Omega$.
अतः,$R = 20 - 3 = 17 \;\Omega$.
बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$,$V = E - Ir$ या $V = IR$ द्वारा दिया जाता है।
$V = IR$ का उपयोग करने पर,$V = 0.5 \;A \times 17 \;\Omega = 8.5 \;V$.
इसलिए,प्रतिरोधक का प्रतिरोध $17 \;\Omega$ है और बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $8.5 \;V$ है।

(C) दिया गया है: स्टोरेज बैटरी का $emf$ $E = 8.0\; V$। बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5\; \Omega$। $DC$ आपूर्ति वोल्टेज $V = 120\; V$। श्रेणी प्रतिरोधक $R = 15.5\; \Omega$।
सर्किट में प्रभावी वोल्टेज $V' = V - E = 120 - 8.0 = 112\; V$ है।
सर्किट में कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = 15.5 + 0.5 = 16.0\; \Omega$ है।
चार्जिंग धारा $I = \frac{V'}{R_{total}} = \frac{112}{16.0} = 7.0\; A$ है।
चार्जिंग के दौरान बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V_{terminal} = E + Ir = 8.0 + (7.0 \times 0.5) = 8.0 + 3.5 = 11.5\; V$ है।
श्रेणी प्रतिरोधक का उद्देश्य चार्जिंग धारा को एक सुरक्षित मान तक सीमित करना है,ताकि अत्यधिक धारा प्रवाह के कारण बैटरी और बिजली आपूर्ति को नुकसान न हो।

(C) मान लीजिए कि अनंत नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $R^{\prime}$ है।
चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए समान संरचना का एक और खंड जोड़ने से समतुल्य प्रतिरोध नहीं बदलेगा।
नेटवर्क में दो $1\; \Omega$ के प्रतिरोधक शेष अनंत नेटवर्क के साथ श्रेणीक्रम में हैं,जो $1\; \Omega$ के शंट प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है।
अतः,$R^{\prime} = 1 + 1 + \frac{R^{\prime} \times 1}{R^{\prime} + 1} = 2 + \frac{R^{\prime}}{R^{\prime} + 1}$.
$(R^{\prime} + 1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $R^{\prime}(R^{\prime} + 1) = 2(R^{\prime} + 1) + R^{\prime}$.
$(R^{\prime})^2 + R^{\prime} = 2R^{\prime} + 2 + R^{\prime}$.
$(R^{\prime})^2 - 2R^{\prime} - 2 = 0$.
द्विघात सूत्र $R^{\prime} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$R^{\prime} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $R^{\prime} = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732\; \Omega$.
आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5\; \Omega$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R^{\prime} + r = 2.732 + 0.5 = 3.232\; \Omega$ है।
$12\; V$ की आपूर्ति से खींची गई धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{12}{3.232} \approx 3.713\; A$ है।
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,धारा $3.72\; A$ है।

(N/A) अर्थिंग किसी विद्युत उपकरण या सर्किट के धात्विक भाग को कम प्रतिरोध वाले चालक का उपयोग करके पृथ्वी (ग्राउंड) से जोड़ने की प्रक्रिया है।
अर्थिंग का महत्व:
$1$. सुरक्षा: यह लीकेज करंट को जमीन में प्रवाहित होने के लिए कम प्रतिरोध का मार्ग प्रदान करता है,जिससे यदि इंसुलेशन विफलता के कारण उपकरण की बॉडी में करंट आ जाए,तो उपयोगकर्ता को बिजली का झटका नहीं लगता है।
$2$. संरक्षण: यह वोल्टेज में वृद्धि या बिजली गिरने से होने वाले नुकसान से विद्युत उपकरणों की रक्षा करता है,क्योंकि यह अतिरिक्त आवेश को पृथ्वी में विसर्जित करने के लिए एक सुरक्षित मार्ग प्रदान करता है।
$3$. स्थिरता: यह विद्युत प्रणाली के लिए एक स्थिर संदर्भ विभव (शून्य विभव) बनाए रखने में मदद करता है।

(R = R_1 - R_2) श्रेणी संयोजन का तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r = r_1 + r_2$ है।
श्रेणी संयोजन का तुल्य $emf$ $E' = E + E = 2E$ है।
अतः,परिपथ में बहने वाली धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{E'}{R + r} = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$
पहले सेल के टर्मिनलों के बीच विभवांतर $V_1$ इस प्रकार है:
$V_1 = E - I r_1$
दिया गया है कि पहले सेल के टर्मिनलों के बीच विभवांतर शून्य है,इसलिए $V_1 = 0$ रखने पर:
$0 = E - I r_1$
$E = I r_1$
$I$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$
$1 = \frac{2 r_1}{R + r_1 + r_2}$
$R + r_1 + r_2 = 2 r_1$
$R = r_1 - r_2$
अतः,बाहरी प्रतिरोध का आवश्यक मान $R = r_1 - r_2$ है।

(N/A) मान लीजिए कि दिए गए सेल का समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $R_{eq}$ है,समतुल्य वोल्टेज $V_{eq}$ है और बाहरी प्रतिरोध $R$ है।
ओम के नियम से,प्रारंभिक धारा $I_{1}$ इस प्रकार है:
$I_{1} = \frac{V_{eq}}{R_{eq} + R}$ $(1)$
जब सभी प्रतिरोधकों और सभी बैटरियों के मान उनके प्रारंभिक मानों के $n$ गुना कर दिए जाते हैं,तो नए पैरामीटर इस प्रकार हो जाते हैं:
$V'_{eq} = n V_{eq}$,$R'_{eq} = n R_{eq}$,और $R' = n R$.
नए (संशोधित) परिपथ में धारा $I_{2}$ है:
$I_{2} = \frac{V'_{eq}}{R'_{eq} + R'} = \frac{n V_{eq}}{n R_{eq} + n R} = \frac{n V_{eq}}{n(R_{eq} + R)} = \frac{V_{eq}}{R_{eq} + R}$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,
$I_{2} = I_{1}$
अतः,धारा अपरिवर्तित रहती है।

(A) दिया गया है कि सभी प्रतिरोध $R_1$ से $R_5$ तक $2\, \Omega$ हैं। जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
समाधान चित्र में दिखाए अनुसार नोड्स को चिह्नित करें। शाखा $ADB$ में संधारित्र है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ प्रतिरोधों के संयोजन में सरल हो जाता है जहाँ $R_1$ और $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन $R_3$ के साथ समानांतर क्रम में है। यह पूरा ब्लॉक $R_4$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
हालाँकि,परिपथ को देखते हुए,$10\, V$ स्रोत से आने वाली धारा $i$ विभाजित हो जाती है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
शाखा $AEB$ संधारित्र के माध्यम से धारा का वहन नहीं कर रही है। धारा $R_1$ और $R_2$ में श्रेणीक्रम $(2+2=4\, \Omega)$ में प्रवाहित होती है,जो $R_3$ $(2\, \Omega)$ के साथ समानांतर है।
इस भाग का तुल्य प्रतिरोध $= (4 \times 2) / (4 + 2) = 8 / 6 = 4/3\, \Omega$.
$R_4$ को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,$R_{eq} = 4/3 + 2 = 10/3\, \Omega$.
कुल धारा $i = V / R_{eq} = 10 / (10/3) = 3\, A$.
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर बिंदु $A$ और $B$ के बीच का विभवांतर है,जो $V_{AB} = V_{AE} + V_{EB}$ है।
$V_{AE} = I_{R2} \times R_2 = 1\, A \times 2\, \Omega = 2\, V$.
$V_{EB} = I_{R4} \times R_4 = 3\, A \times 2\, \Omega = 6\, V$.
अतः,$V_{AB} = 2\, V + 6\, V = 8\, V$.

(B) $10 \, k \Omega = 10000 \, \Omega$ प्रतिरोध वाला वोल्टमीटर $400 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में जुड़ा है।
सबसे पहले,$400 \, \Omega$ के प्रतिरोधक और $10000 \, \Omega$ के वोल्टमीटर के समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ ज्ञात करें:
$R_p = \frac{400 \times 10000}{400 + 10000} = \frac{4000000}{10400} \approx 384.6 \, \Omega \approx 385 \, \Omega$.
अब,यह संयोजन $800 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 385 \, \Omega + 800 \, \Omega = 1185 \, \Omega$ है।
समांतर संयोजन पर विभवांतर (वोल्टमीटर द्वारा मापा गया) वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा दिया जाता है:
$V = V_{total} \times \frac{R_p}{R_{eq}} = 6 \, V \times \frac{385 \, \Omega}{1185 \, \Omega} \approx 1.949 \, V$.
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें $1.95 \, V$ प्राप्त होता है।

(D) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय के अनुसार,बाहरी प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न शक्ति तब अधिकतम होती है जब यह बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के बराबर हो।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ ज्ञात करने के लिए,इलेक्ट्रोलाइट के भीतर $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई का एक पतला बेलनाकार खोल लें।
इस खोल का प्रतिरोध $dr = \frac{\rho \cdot dx}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $dx = dr$ और $A = 2 \pi r l$ है।
अतः,$dr = \frac{\rho \cdot dr}{2 \pi r l}$।
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r$ ज्ञात करने के लिए $r = a$ से $r = b$ तक समाकलन करने पर:
$r = \int_{a}^{b} \frac{\rho}{2 \pi l} \frac{dr}{r} = \frac{\rho}{2 \pi l} [\ln r]_{a}^{b} = \frac{\rho}{2 \pi l} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$।
इसलिए,$R$ में अधिकतम जूल ऊष्मीय प्रभाव के लिए,$R = r = \frac{\rho}{2 \pi l} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$ होना चाहिए।

(C) परिपथ में $40 \ V$ की बैटरी के साथ समानांतर में जुड़ी दो शाखाएँ हैं।
शाखा $ABC$ में $40 \ \Omega$ और $60 \ \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_1 = 40 + 60 = 100 \ \Omega$ है।
धारा $i_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{40}{100} = 0.4 \ A$ है।
$A$ के सापेक्ष $B$ पर विभव $V_A - V_B = i_1 \times 40 = 0.4 \times 40 = 16 \ V$ है। अतः,$V_B = V_A - 16$ है।
शाखा $ADC$ में $90 \ \Omega$ और $110 \ \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_2 = 90 + 110 = 200 \ \Omega$ है।
धारा $i_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{40}{200} = 0.2 \ A$ है।
$A$ के सापेक्ष $D$ पर विभव $V_A - V_D = i_2 \times 90 = 0.2 \times 90 = 18 \ V$ है। अतः,$V_D = V_A - 18$ है।
$BD$ के सिरों पर विभवांतर $|V_B - V_D| = |(V_A - 16) - (V_A - 18)| = |-16 + 18| = 2 \ V$ है।

(D) दिया गया है:
विद्युत वाहक बल $E = 3.0 \ V$
टर्मिनल वोल्टेज $V = 2.5 \ V$
बाह्य प्रतिरोधक द्वारा व्यय शक्ति $P_R = 0.5 \ W$
हम जानते हैं कि टर्मिनल वोल्टेज $V = E - ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
$2.5 = 3.0 - ir$
$ir = 0.5 \ V$
आंतरिक प्रतिरोध में व्यय शक्ति $P_r = i^2r = (ir) \cdot i$ है।
चूंकि $V = iR = 2.5 \ V$,इसलिए $i = \frac{2.5}{R}$ है।
साथ ही,$P_R = i^2R = 0.5 \ W$ है।
$i = \frac{2.5}{R}$ को $P_R = i^2R$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.5 = (\frac{2.5}{R})^2 \cdot R = \frac{6.25}{R}$
$R = \frac{6.25}{0.5} = 12.5 \ \Omega$।
अब,धारा $i$ ज्ञात करें:
$i = \frac{V}{R} = \frac{2.5}{12.5} = 0.2 \ A$।
अंत में,आंतरिक प्रतिरोध में व्यय शक्ति $P_r$ की गणना करें:
$P_r = i^2r = i(ir) = 0.2 \ A \times 0.5 \ V = 0.10 \ W$।

(A) माना बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 0 \ V$ है।
जंक्शन $C$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
बैटरी शाखा से आने वाली धारा $i_1 = 1 \ A$ है।
$2 \ \Omega$ प्रतिरोधक से बहने वाली धारा $i_3$ है ($D$ से $C$ की ओर नीचे की दिशा में)।
$F$ की ओर जाने वाली धारा $i_2 = 2 \ A$ है।
जंक्शन $C$ पर $KCL$ के अनुसार: $i_1 + i_3 = i_2$।
मान रखने पर: $1 \ A + i_3 = 2 \ A$,जिससे $i_3 = 1 \ A$ प्राप्त होता है।
अब,$A$ से $C$ होते हुए $D$ तक जाकर $D$ पर विभव ज्ञात करते हैं:
$V_D = V_A + 1 \ V - i_3 \times (2 \ \Omega) = 0 + 1 - (1 \times 2) = -1 \ V$।
अब,$D$ से $B$ तक जाकर $B$ पर विभव ज्ञात करते हैं:
$V_B = V_D + 2 \ V = -1 + 2 = 1 \ V$।
अतः,बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $B$ पर विभव $V_B - V_A = 1 - 0 = 1 \ V$ है।

(B) गैल्वेनोमीटर $G$ का प्रतिरोध $R_G = 60 \, \Omega$ है और इसे $r = 0.02 \, \Omega$ के शंट प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में जोड़ा गया है।
समांतर संयोजन का प्रभावी प्रतिरोध $R_P$ इस प्रकार है:
$R_P = \frac{R_G \times r}{R_G + r} = \frac{60 \times 0.02}{60 + 0.02} = \frac{1.2}{60.02} \approx 0.02 \, \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_P = R + 0.02 \, \Omega$ है।
दिया गया है कि परिपथ में धारा $I = 1 \, A$ है और वोल्टेज स्रोत $5.0 \, V$ है,इसलिए ओम के नियम के अनुसार:
$I = \frac{V}{R_{total}}$
$1 = \frac{5}{R + 0.02}$
$R + 0.02 = 5$
$R = 5 - 0.02 = 4.98 \, \Omega$.
अतः,$R$ का मान लगभग $5 \, \Omega$ है।

(C) जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो यह एक ओपन सर्किट की तरह व्यवहार करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
सर्किट $1\, k\Omega$ के प्रतिरोध और $2\, k\Omega$ के प्रतिरोध के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है जो $9\, V$ की बैटरी से जुड़ा है।
सर्किट का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 1\, k\Omega + 2\, k\Omega = 3\, k\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,सेल से ली गई धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9\, V}{3\, k\Omega} = 3\, mA$.

(C) मान लीजिए कि सेल का emf $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। बाहरी प्रतिरोध $R = n r$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = n r + r = r(n+1)$ है।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में बहने वाली धारा $I = E / R_{total} = E / [r(n+1)]$ है।
बाहरी प्रतिरोध पर टर्मिनल वोल्टेज $V = I R = [E / (r(n+1))] \times (n r)$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $V = E \times [n / (n+1)]$ प्राप्त होता है।
अतः,टर्मिनल वोल्टेज और emf का अनुपात $V/E = n / (n+1)$ है।

(A) परिपथ में बिंदु $P$ और $R$ के बीच दो समानांतर शाखाएँ जुड़ी हुई हैं।
शाखा $1$ में $PQ$ और $QR$ तार श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का प्रतिरोध $R_1 = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ है।
शाखा $2$ में सीधे $PR$ तार है,जिसका प्रतिरोध $R_2 = 2 \,\Omega$ है।
कुल विद्युत धारा $I = 6 \, A$ इन दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है।
करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए,शाखा $PQ$ (और फिर $QR$) से बहने वाली विद्युत धारा $i_1$ इस प्रकार है:
$i_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$i_1 = 6 \times \frac{2}{4 + 2} = 6 \times \frac{2}{6} = 2 \, A$.
अतः,विद्युत धारा $i_1$ का मान $2 \, A$ है।

(A) बल्ब की रेटेड शक्ति $P = 500 \, W$ और रेटेड वोल्टेज $V_{bulb} = 100 \, V$ है।
बल्ब का प्रतिरोध $R_{bulb} = \frac{V_{bulb}^2}{P} = \frac{100^2}{500} = \frac{10000}{500} = 20 \, \Omega$ है।
चूंकि बल्ब को अपनी रेटेड शक्ति $500 \, W$ पर कार्य करना है,इसलिए इसे अपनी रेटेड धारा $I = \frac{P}{V_{bulb}} = \frac{500}{100} = 5 \, A$ लेनी होगी।
कुल सप्लाई वोल्टेज $V_{total} = 200 \, V$ है। बल्ब के सिरों पर वोल्टेज $100 \, V$ है,इसलिए श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_R = V_{total} - V_{bulb} = 200 - 100 = 100 \, V$ होना चाहिए।
श्रेणी प्रतिरोध $R$ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_R = I \times R$।
$100 = 5 \times R$।
$R = \frac{100}{5} = 20 \, \Omega$।

(B) दिए गए परिपथ में,धारा $i_{1}$ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है जिनमें $r_{2}$ और $r_{3}$ प्रतिरोधक लगे हैं।
करंट डिवाइडर नियम के अनुसार,$r_{3}$ प्रतिरोधक से प्रवाहित होने वाली धारा $i_{3}$ इस प्रकार है:
$i_{3} = i_{1} \left( \frac{r_{2}}{r_{2} + r_{3}} \right)$
दोनों पक्षों को $i_{1}$ से विभाजित करने पर,हमें अनुपात प्राप्त होता है:
$\frac{i_{3}}{i_{1}} = \frac{r_{2}}{r_{2} + r_{3}}$

(D) बल्ब का प्रतिरोध $R_B$ सूत्र $P = \frac{V^2}{R_B}$ का उपयोग करके निकाला जाता है।
दिया गया है $P = 200 \, W$ और $V = 100 \, V$, इसलिए $R_B = \frac{100^2}{200} = \frac{10000}{200} = 50 \, \Omega$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि बल्ब समान शक्ति प्रदान करे, इसे $200 \, V$ की आपूर्ति से जोड़ने पर भी इसके सिरों पर $100 \, V$ का वोल्टेज होना चाहिए।
मान लीजिए $R$ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया प्रतिरोध है। सर्किट में धारा $I = \frac{V_{supply}}{R + R_B} = \frac{200}{R + 50}$ है।
बल्ब के सिरों पर वोल्टेज $V_B = I \times R_B = 100 \, V$ होना चाहिए।
$I$ का मान रखने पर, $\frac{200}{R + 50} \times 50 = 100$.
$\frac{10000}{R + 50} = 100 \implies 100 = R + 50 \implies R = 50 \, \Omega$.

(A) चित्र $1$ में दिए गए ग्राफ से,$t=3 \, s$ से $t=4 \, s$ के समयांतराल के लिए,वोल्टेज $V(t)$ $5 \, V$ से $10 \, V$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{10-5}{4-3} = 5 \, V/s$ है।
$3 \le t \le 4$ के लिए रेखा का समीकरण $V(t) - 5 = 5(t - 3)$ है,जिसे सरल करने पर $V(t) = 5t - 10$ प्राप्त होता है।
$t = 3.2 \, s$ पर,वोल्टेज $V(3.2) = 5(3.2) - 10 = 16 - 10 = 6 \, V$ है।
चित्र $2$ में दिखाए गए परिपथ आरेख से,लूप में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$V(t) - iR - 5 = 0$
यहाँ $R = 1 \, \Omega$ और $t = 3.2 \, s$ पर $V(t) = 6 \, V$ दिया गया है:
$6 - i(1) - 5 = 0$
$i = 1 \, A$.

(B) $1$. परिपथ का विश्लेषण करें: परिपथ में $5 \, V$ की बैटरी प्रतिरोधकों के एक नेटवर्क से जुड़ी है।
$2$. परिपथ को सरल बनाएं: दिए गए चित्र और समाधान के अनुसार,परिपथ $5 \, V$ की बैटरी के साथ समानांतर में जुड़े $2.5 \, \Omega$ के तुल्य प्रतिरोध में बदल जाता है।
$3$. ओम के नियम के अनुसार,कुल धारा $I = \frac{V}{R}$ होती है।
$4$. यहाँ $V = 5 \, V$ और $R = 2.5 \, \Omega$ है।
$5$. अतः,$I = \frac{5 \, V}{2.5 \, \Omega} = 2 \, A$.

(A) जब $R_v = 2000 \,\Omega$ प्रतिरोध वाले वोल्टमीटर को $500 \,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ होगा:
$R_p = \frac{500 \times 2000}{500 + 2000} = \frac{1000000}{2500} = 400 \,\Omega$
अब,परिपथ में $R_p = 400 \,\Omega$ और $R_2 = 600 \,\Omega$ एक $20 \,V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 400 + 600 = 1000 \,\Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{20}{1000} = 0.02 \,A$ है।
वोल्टमीटर का पाठ्यांक समांतर संयोजन $R_p$ के सिरों पर विभवांतर है:
$V_{reading} = I \times R_p = 0.02 \times 400 = 8 \,V$.

(C) इस परिपथ में $15 \, V$ की बैटरी, $1 \, \Omega$ का प्रतिरोध और $2 \, \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े हैं。
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega = 3 \, \Omega$ है。
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{15 \, V}{3 \, \Omega} = 5 \, A$ है。
$V_{B} - V_{A}$ ज्ञात करने के लिए, हम ऊपरी शाखा के माध्यम से $A$ से $B$ तक का मार्ग लेते हैं。
$A$ से शुरू करके, हम बैटरी से गुजरते हैं (विभव में $15 \, V$ की वृद्धि होती है) और फिर $1 \, \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हैं (विभव में $i \times R = 5 \, A \times 1 \, \Omega = 5 \, V$ की कमी होती है)।
अतः, $V_{B} = V_{A} + 15 \, V - 5 \, V = V_{A} + 10 \, V$ प्राप्त होता है。
इसलिए, $V_{B} - V_{A} = 10 \, V$ है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
जब कोई पक्षी एक ही हाई-टेंशन तार पर बैठता है,तो उसके दोनों पैर एक-दूसरे के बहुत करीब तार के संपर्क में होते हैं। चूंकि तार एक अच्छा सुचालक है,इसलिए इन दो बिंदुओं के बीच विभवांतर नगण्य (लगभग शून्य) होता है।
ओम के नियम के अनुसार,किसी चालक से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{\Delta V}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta V$ विभवांतर है और $R$ प्रतिरोध है। चूंकि $\Delta V \approx 0$ है,इसलिए पक्षी के शरीर से प्रवाहित होने वाली धारा भी लगभग शून्य होती है। इसलिए,पक्षी के शरीर के माध्यम से जमीन या किसी अन्य चरण (फेज) तक परिपथ पूर्ण नहीं होता है और पक्षी को बिजली का झटका नहीं लगता है।

(A) सबसे पहले,परिपथ को सरल बनाएं। प्रतिरोधक $R_3 = 60 \, \Omega$ और $R_4 = 30 \, \Omega$ समानांतर में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{60 \times 30}{60 + 30} = \frac{1800}{90} = 20 \, \Omega$.
यह संयोजन $R_5 = 20 \, \Omega$ के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए इस शाखा का समतुल्य प्रतिरोध $R_{branch} = 20 + 20 = 40 \, \Omega$ है।
अब,यह शाखा $R_2 = 40 \, \Omega$ के साथ समानांतर में है। इस समानांतर भाग का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq'} = \frac{40 \times 40}{40 + 40} = 20 \, \Omega$ है।
अंत में,यह $R_1 = 40 \, \Omega$ के साथ श्रेणीक्रम में है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 40 + 20 = 60 \, \Omega$ है।
बैटरी से कुल धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{3.0}{60} = 0.05 \, A$ है।
$R_1$ में क्षयित शक्ति $P_1 = I^2 R_1 = (0.05)^2 \times 40 = 0.0025 \times 40 = 0.1 \, W$ है।
धारा $I$ दो समानांतर शाखाओं में समान रूप से विभाजित होती है ($R_2$ और $R_3, R_4, R_5$ वाली शाखा) क्योंकि दोनों का प्रतिरोध $40 \, \Omega$ है। इसलिए,$I_2 = I_{branch} = 0.025 \, A$ है।
$R_2$ में शक्ति $P_2 = (0.025)^2 \times 40 = 0.000625 \times 40 = 0.025 \, W$ है।
$R_3, R_4, R_5$ वाली शाखा में,धारा $0.025 \, A$ है। $R_5$ में शक्ति $P_5 = (0.025)^2 \times 20 = 0.0125 \, W$ है।
$R_3$ और $R_4$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_p = I_{branch} \times R_p = 0.025 \times 20 = 0.5 \, V$ है।
$R_3$ में शक्ति $P_3 = \frac{V_p^2}{R_3} = \frac{0.5^2}{60} = \frac{0.25}{60} \approx 0.0042 \, W$ है।
$R_4$ में शक्ति $P_4 = \frac{V_p^2}{R_4} = \frac{0.5^2}{30} = \frac{0.25}{30} \approx 0.0083 \, W$ है।
सभी शक्तियों की तुलना करने पर,$P_1 = 0.1 \, W$ अधिकतम है। इसलिए,$R_1$ सबसे अधिक शक्ति का क्षय करता है।

(A) सर्किट $(a)$ के लिए,$100 \, \Omega$ और $200 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणी में हैं,और यह संयोजन $300 \, \Omega$ और $R$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी में है। चित्र $(a)$ को देखने पर,$100 \, \Omega$ और $200 \, \Omega$ श्रेणी में हैं,और $300 \, \Omega$ और $R$ एक-दूसरे के समानांतर हैं। समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (100 + 200) + \frac{300R}{300+R} = 300 + \frac{300R}{300+R} = \frac{90000 + 600R}{300+R}$ है।
कुल धारा $I = \frac{10}{R_{eq}} = \frac{10(300+R)}{90000 + 600R}$ है।
$R$ के पार वोल्टेज $V_a = I \times \frac{300R}{300+R} = \frac{10(300+R)}{90000 + 600R} \times \frac{300R}{300+R} = \frac{3000R}{600R + 90000} = \frac{5R}{R + 150}$ है।
सर्किट $(b)$ के लिए,$200 \, \Omega$ और $R$ श्रेणी में हैं,और यह $300 \, \Omega$ के साथ समानांतर में है। इस समानांतर भाग का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{300(200+R)}{300+200+R} = \frac{60000 + 300R}{500+R}$ है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 100 + R_p = 100 + \frac{60000 + 300R}{500+R} = \frac{50000 + 100R + 60000 + 300R}{500+R} = \frac{110000 + 400R}{500+R}$ है।
कुल धारा $I = \frac{10}{R_{eq}} = \frac{10(500+R)}{110000 + 400R}$ है।
समानांतर संयोजन के पार वोल्टेज $V_p = I \times R_p = \frac{10(500+R)}{110000 + 400R} \times \frac{60000 + 300R}{500+R} = \frac{600000 + 3000R}{110000 + 400R} = \frac{6000 + 30R}{1100 + 4R}$ है।
$R$ के पार वोल्टेज $V_b = V_p \times \frac{R}{200+R} = \frac{30(200+R)}{1100+4R} \times \frac{R}{200+R} = \frac{30R}{1100+4R}$ है।
$V_a = V_b$ की तुलना करने पर: $\frac{5R}{R+150} = \frac{30R}{1100+4R} \Rightarrow \frac{1}{R+150} = \frac{6}{1100+4R} \Rightarrow 1100 + 4R = 6R + 900 \Rightarrow 2R = 200 \Rightarrow R = 100 \, \Omega$.

(C) वोल्टमीटर का प्रतिरोध बहुत अधिक (आदर्श रूप से अनंत) होता है, और एमीटर का प्रतिरोध बहुत कम (आदर्श रूप से शून्य) होता है।
जब एमीटर को $8 \, k\Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर जोड़ा जाता है, तो एमीटर $8 \, k\Omega$ के प्रतिरोधक के लिए शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है। इसलिए, इस समानांतर संयोजन का प्रभावी प्रतिरोध लगभग $0 \, \Omega$ होता है।
अब, परिपथ में प्रभावी रूप से $6 \, V$ की बैटरी, $2 \, k\Omega$ का प्रतिरोधक और उच्च प्रतिरोध वाला वोल्टमीटर श्रेणीक्रम में हैं।
चूंकि वोल्टमीटर का प्रतिरोध $2 \, k\Omega$ के प्रतिरोधक की तुलना में अत्यधिक अधिक है, इसलिए बैटरी का लगभग पूरा विभवांतर वोल्टमीटर के सिरों पर ही गिरता है।
अतः, वोल्टमीटर का पाठ्यांक लगभग $6.0 \, V$ होगा।

(D) दोनों लूपों पर अलग-अलग विचार करें। पहले लूप में,धारा $i_1$ प्रतिरोध $R_1$ और सेल $\varepsilon_1$ से होकर बहती है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,$i_1 = \frac{\varepsilon_1}{R_1}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे लूप में,धारा $i_2$ प्रतिरोध $R_2$ और सेल $\varepsilon_2$ से होकर बहती है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,$i_2 = \frac{\varepsilon_2}{R_2}$ है।
चूंकि प्रत्येक लूप एक-दूसरे से स्वतंत्र एक बंद परिपथ है,आवेश संरक्षण के सिद्धांत का अर्थ है कि किसी भी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धारा उससे बाहर निकलने वाली धारा के बराबर होनी चाहिए।
दो लूपों को तार $1$ से जोड़ने वाले जंक्शन के लिए,यदि हम किरचॉफ का धारा नियम लागू करते हैं,तो धाराओं का योग शून्य होना चाहिए। चूंकि लूप धारा प्रवाह के संबंध में एक-दूसरे से अलग-थलग हैं,इसलिए व्यक्तिगत लूप की निरंतरता बनाए रखने के लिए जोड़ने वाले तार $1$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो सकती है। अतः,तार $1$ से प्रवाहित होने वाली धारा शून्य है।

(A) मान लीजिए कि अनंत नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $x$ है। एक पुनरावर्ती इकाई को जोड़ने या हटाने से अनंत नेटवर्क का प्रतिरोध नहीं बदलता है। इस प्रकार, नेटवर्क को $r$ और $r$ तथा $x$ के समानांतर संयोजन के श्रृंखला संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$x = r + \frac{rx}{r+x}$
$x(r+x) = r(r+x) + rx$
$xr + x^2 = r^2 + rx + rx$
$x^2 - rx - r^2 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{r \pm \sqrt{r^2 - 4(1)(-r^2)}}{2} = \frac{r \pm \sqrt{5r^2}}{2} = \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2}$ (धनात्मक मूल लेने पर)।
बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P = i^2 R = 1 \, W$ है।
$i^2 (16) = 1 \Rightarrow i^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow i = 0.25 \, A$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + x = 16 + \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2}$ है।
ओम के नियम $V = i R_{total}$ का उपयोग करते हुए:
$10 = 0.25 \times (16 + \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2})$
$40 = 16 + \frac{r(1 + 2.236)}{2}$
$24 = \frac{3.236r}{2} = 1.618r$
$r = \frac{24}{1.618} \approx 14.83 \, \Omega$.
इस प्रकार, $r$ का मान लगभग $14.8 \, \Omega$ है।

(A) स्थिति $I$ (समानांतर संयोजन) में:
परिपथ का कुल प्रतिरोध,$R_{\text{eq}, 1} = R_0 + \frac{R}{n} = \frac{n R_0 + R}{n}$.
परिपथ में धारा,$i_1 = \frac{E}{R_{\text{eq}, 1}} = \frac{n E}{n R_0 + R}$.
$n$ प्रतिरोधों में व्यय शक्ति,$P_1 = i_1^2 \cdot \left(\frac{R}{n}\right) = \left(\frac{n E}{n R_0 + R}\right)^2 \cdot \frac{R}{n} = \frac{n E^2 R}{(n R_0 + R)^2}$.
स्थिति $II$ (श्रेणी संयोजन) में:
परिपथ का कुल प्रतिरोध,$R_{\text{eq}, 2} = R_0 + n R$.
परिपथ में धारा,$i_2 = \frac{E}{R_{\text{eq}, 2}} = \frac{E}{R_0 + n R}$.
$n$ प्रतिरोधों में व्यय शक्ति,$P_2 = i_2^2 \cdot (n R) = \left(\frac{E}{R_0 + n R}\right)^2 \cdot n R = \frac{n E^2 R}{(R_0 + n R)^2}$.
दिया गया है कि $P_1 = P_2$:
$\frac{n E^2 R}{(n R_0 + R)^2} = \frac{n E^2 R}{(R_0 + n R)^2}$.
इसका अर्थ है $(n R_0 + R)^2 = (R_0 + n R)^2$.
वर्गमूल लेने पर,$n R_0 + R = R_0 + n R$ (चूंकि $R_0, R, n > 0$).
$(n - 1) R_0 = (n - 1) R$.
चूंकि $n > 1$,हमें $R_0 = R$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{R_0}{R} = 1$.

(A) दिए गए परिपथ में,$3 \,\Omega$ और $1 \,\Omega$ के प्रतिरोध $10 \,V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 3 \,\Omega + 1 \,\Omega = 4 \,\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \,V}{4 \,\Omega} = 2.5 \,A$ है।
$1 \,\Omega$ के प्रतिरोध में क्षयित शक्ति $P = i^2 R = (2.5)^2 \times 1 = 6.25 \,W$ है।
जब $1 \,\Omega$ के प्रतिरोध को $9 \,\Omega$ के प्रतिरोध से बदल दिया जाता है,तो नया तुल्य प्रतिरोध $R'_{eq} = 3 \,\Omega + 9 \,\Omega = 12 \,\Omega$ हो जाता है।
परिपथ में नई धारा $i' = \frac{10 \,V}{12 \,\Omega} = \frac{5}{6} \,A$ है।
$9 \,\Omega$ के प्रतिरोध में क्षयित शक्ति $P' = (i')^2 \times 9 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times 9 = \frac{25}{36} \times 9 = \frac{25}{4} \,W = 6.25 \,W$ है।
चूंकि $P = 6.25 \,W$ और $P' = 6.25 \,W$ है,इसलिए $P' = P$ होगा।

(D) सर्किट $P$ में,वोल्टमीटर $R$ के समानांतर है। मापा गया वोल्टेज $V$,$R$ के पार का वोल्टेज है,लेकिन एमीटर कुल धारा $I = I_R + I_V = \frac{V}{R} + \frac{V}{R_V}$ को मापता है।
अतः,$R_{\text{est}} = \frac{V}{I} = \frac{V}{V/R + V/R_V} = \frac{R R_V}{R + R_V} = R \left(1 + \frac{R}{R_V}\right)^{-1} \approx R \left(1 - \frac{R}{R_V}\right)$.
त्रुटि $\delta R_P = |R - R_{\text{est}}| = |R - R(1 - R/R_V)| = \frac{R^2}{R_V}$ है।
$(b)$ सर्किट $Q$ में,एमीटर $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है। एमीटर $R$ से गुजरने वाली धारा $I$ को मापता है,लेकिन वोल्टमीटर $R$ और एमीटर दोनों के पार वोल्टेज $V = I(R + R_A)$ को मापता है।
अतः,$R_{\text{est}} = \frac{V}{I} = R + R_A$.
त्रुटि $\delta R_Q = |R - R_{\text{est}}| = |R - (R + R_A)| = R_A$ है।
$(c)$ $\delta R_P \approx \delta R_Q$ के लिए,हमारे पास $\frac{R^2}{R_V} = R_A$ है,जिसका अर्थ है $R^2 = R_A R_V$,या $R = \sqrt{R_A R_V}$।