Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(C) दिए गए परिपथ में,बल्ब स्विच $S_3$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा हुआ है। बल्ब के जलने के लिए,परिपथ का पूर्ण होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है कि बल्ब से होकर विद्युत धारा प्रवाहित होनी चाहिए।
$1$. यदि $S_2$ और $S_3$ बंद हैं और $S_1$ खुला है,तो विद्युत धारा स्रोत से $S_2$ और $S_3$ के माध्यम से बल्ब तक प्रवाहित होती है,जिससे परिपथ पूर्ण हो जाता है। अतः,बल्ब जल उठेगा।
$2$. यदि $S_1$ और $S_3$ बंद हैं,तो परिपथ $S_1$ और $S_3$ वाले पथ के माध्यम से लघुपथित (short-circuit) हो जाता है।
$3$. इसलिए,बल्ब तब जलेगा जब $S_2$ और $S_3$ बंद हों और $S_1$ खुला हो। विकल्प $(c)$ सही है।

(A) एक व्यक्ति द्वारा खींची गई विद्युत धारा $I$ ओम के नियम $I = V/R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ शरीर के आर-पार विभवांतर है और $R$ शरीर का प्रतिरोध है।
विकल्प $(B)$ में,व्यक्ति लकड़ी के तख्ते (एक कुचालक) पर खड़ा है,इसलिए वह जमीन से अलग है। जब वह वैन डी ग्राफ जनरेटर को छूता है,तो उसका पूरा शरीर $12000 \,V$ के विभव पर आ जाता है। चूंकि शरीर के आर-पार कोई विभवांतर नहीं है,इसलिए विद्युत धारा $I = 0$ होती है।
विकल्प $(A)$ में,व्यक्ति लाइव $(220 \,V)$ और न्यूट्रल $(0 \,V)$ टर्मिनल को छूता है। विभवांतर $220 \,V$ है,जो शरीर के माध्यम से महत्वपूर्ण विद्युत धारा प्रवाहित करता है।
विकल्प $(C)$ में,विभवांतर $12 \,V$ है।
विकल्प $(D)$ में,कुल विभवांतर $10 \times 1.5 \,V = 15 \,V$ है।
विभवांतर की तुलना करने पर,$220 \,V$ का स्रोत सबसे अधिक विभवांतर प्रदान करता है,जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम विद्युत धारा प्राप्त होती है।

(B) ओम के नियम के अनुसार परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{V}{I} = \frac{100 \,V}{2.5 \,A} = 40 \,\Omega$ है।
प्रत्येक प्रतिरोधक का मान $R = 100 \,\Omega$ है।
$n_1$ प्रतिरोधकों के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{R}{n_1} = \frac{100}{n_1}$ है।
$n_2$ प्रतिरोधकों के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_2 = \frac{R}{n_2} = \frac{100}{n_2}$ है।
चूंकि ये दो समूह श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{100}{n_1} + \frac{100}{n_2} = 40$।
$20$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{5}{n_1} + \frac{5}{n_2} = 2$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि $n_1 + n_2 = 10$,इसलिए विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $B$ के लिए,$n_1 = 5$ और $n_2 = 5$: $\frac{5}{5} + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,सही मान $n_1 = 5$ और $n_2 = 5$ हैं।

(A) माना बैटरी का $EMF$ $E$ है। प्रतिरोधक $R_2$ और $R_3$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ है:
$R_p = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{(4 R_1)(12 R_1)}{4 R_1 + 12 R_1} = \frac{48 R_1^2}{16 R_1} = 3 R_1$
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{\text{net}} = R_1 + R_p = R_1 + 3 R_1 = 4 R_1$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{E}{R_{\text{net}}} = \frac{E}{4 R_1}$ है।
$R_1$ में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R_1 = \left(\frac{E}{4 R_1}\right)^2 R_1 = \frac{E^2}{16 R_1}$ है।
समानांतर संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $V_p = I R_p = \left(\frac{E}{4 R_1}\right) (3 R_1) = \frac{3 E}{4}$ है।
$R_2$ में व्यय होने वाली शक्ति $P_2 = \frac{V_p^2}{R_2} = \frac{(3 E / 4)^2}{4 R_1} = \frac{9 E^2 / 16}{4 R_1} = \frac{9 E^2}{64 R_1} = \frac{9}{4} \left(\frac{E^2}{16 R_1}\right) = \frac{9 P}{4}$ है।
$R_3$ में व्यय होने वाली शक्ति $P_3 = \frac{V_p^2}{R_3} = \frac{(3 E / 4)^2}{12 R_1} = \frac{9 E^2 / 16}{12 R_1} = \frac{3 E^2}{64 R_1} = \frac{3}{4} \left(\frac{E^2}{16 R_1}\right) = \frac{3 P}{4}$ है।
कुल शक्ति व्यय $P_{\text{total}} = P + P_2 + P_3 = P + \frac{9 P}{4} + \frac{3 P}{4} = P + \frac{12 P}{4} = P + 3 P = 4 P$ है।

(B) परिपथ में दो $5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं और उनके साथ चार $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधकों का एक ब्रिज जुड़ा हुआ है।
सबसे पहले, ब्रिज वाले भाग पर विचार करें। चार $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक इस प्रकार जुड़े हैं कि वे दो समानांतर शाखाएं बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं।
प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध = $10 \, \Omega + 10 \, \Omega = 20 \, \Omega$.
चूंकि ऐसी दो शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए ब्रिज भाग का तुल्य प्रतिरोध $(R_b)$:
$\frac{1}{R_b} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \implies R_b = 10 \, \Omega$.
अब, यह $10 \, \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध दो $5 \, \Omega$ के प्रतिरोधकों के साथ समानांतर में है।
कुल तुल्य प्रतिरोध $(R_{\text{net}})$:
$\frac{1}{R_{\text{net}}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2+2+1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \implies R_{\text{net}} = 2 \, \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $V = i R_{\text{net}}$:
$0.4 = i \times 2$
$i = \frac{0.4}{2} = 0.2 \, A$.

(D) इस परिपथ में एक वोल्टेज स्रोत $V$ दो शाखाओं के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है।
एक शाखा में प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं।
दूसरी शाखा में प्रतिरोध $R_3$ वोल्टमीटर के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है।
चूंकि वोल्टमीटर आदर्श वोल्टेज स्रोत $V$ के टर्मिनलों के सीधे आर-पार जुड़ा हुआ है,इसलिए वोल्टमीटर के सिरों पर विभवांतर स्रोत के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर,यानी $V$ होगा।
एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है,इसलिए यह परिपथ को प्रभावित नहीं करता है।
$R_1$ का मान बदलने से $R_1$ और $R_2$ वाली शाखा से बहने वाली धारा प्रभावित होती है,लेकिन यह $R_3$ और वोल्टमीटर वाली शाखा के विभवांतर को नहीं बदलता है,क्योंकि दोनों शाखाएं एक ही स्थिर वोल्टेज स्रोत $V$ के साथ समानांतर में जुड़ी हुई हैं।
इसलिए,वोल्टमीटर की रीडिंग $V$ ही बनी रहेगी और इसमें कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(B) मान लीजिए कि $E$ सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है। प्रतिरोध $R$ के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ को समीकरण $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ परिपथ में बहने वाली धारा है।
प्रथम स्थिति के लिए: $I_1 = 0.3 \, A$ और $V_1 = 0.9 \, V$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0.9 = E - 0.3r$ --- (समीकरण $1$)
द्वितीय स्थिति के लिए: $I_2 = 0.25 \, A$ और $V_2 = 1.0 \, V$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $1.0 = E - 0.25r$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(1.0 - 0.9) = (E - 0.25r) - (E - 0.3r)$
$0.1 = -0.25r + 0.3r$
$0.1 = 0.05r$
$r = \frac{0.1}{0.05} = 2 \, \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \, \Omega$ है।

(B) घरेलू परिपथ में,बल्ब समानांतर क्रम (parallel connection) में जुड़े होते हैं,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बल्ब के सिरों पर विभवांतर $(V)$ समान होता है।
बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है।
चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए शक्ति $P$ प्रतिरोध $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $P \propto \frac{1}{R}$।
एक अधिक चमकदार बल्ब अधिक शक्ति की खपत करता है,जिसका अर्थ है कि उसका प्रतिरोध कम है।
इसके विपरीत,एक मंद बल्ब कम शक्ति की खपत करता है,जिसका अर्थ है कि उसका प्रतिरोध अधिक है।
इसलिए,जो बल्ब मंद चमकता है,उसका प्रतिरोध अधिक होता है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R$ है।
प्रारंभ में,जब स्विच $S$ बंद होता है,तो बल्ब $B_2$ और $B_3$ समानांतर क्रम में होते हैं,और उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
यह समानांतर संयोजन बल्ब $B_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
अतः,परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
स्रोत से ली गई कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{3R/2} = \frac{2V}{3R}$ है।
चूंकि बल्ब $B_1$ स्रोत के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए $B_1$ से गुजरने वाली धारा $I_1 = I = \frac{2V}{3R}$ है।
जब स्विच $S$ को खोला जाता है,तो बल्ब $B_3$ अलग हो जाता है। अब,केवल बल्ब $B_1$ और $B_2$ श्रेणी क्रम में रह जाते हैं।
नया तुल्य प्रतिरोध $R'_{eq} = R + R = 2R$ है।
नई कुल धारा $I' = \frac{V}{2R}$ है।
धाराओं की तुलना करने पर,$I_1 = \frac{2V}{3R} \approx 0.66 \frac{V}{R}$ और $I'_1 = I' = \frac{V}{2R} = 0.5 \frac{V}{R}$।
चूंकि $I'_1 < I_1$,इसलिए बल्ब $B_1$ से गुजरने वाली धारा कम हो जाती है।
चूंकि बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ है,इसलिए धारा में कमी के कारण बल्ब $B_1$ की चमक (incandescence) कम हो जाएगी।

(B) यह परिपथ $12 \,V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (ऊपरी): इसमें $5 \,\Omega$ और $20 \,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं,जो $4 \,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
$5 \,\Omega$ और $20 \,\Omega$ का समानांतर तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{5 \times 20}{5 + 20} = \frac{100}{25} = 4 \,\Omega$ है।
ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{upper} = 4 \,\Omega + 4 \,\Omega = 8 \,\Omega$ है।
ऊपरी शाखा में प्रवाहित धारा $I_{upper} = \frac{V}{R_{upper}} = \frac{12 \,V}{8 \,\Omega} = 1.5 \,A$ है।
अतः,$4 \,\Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V_4 = I_{upper} \times 4 \,\Omega = 1.5 \,A \times 4 \,\Omega = 6 \,V$ होगा।

(B) धारा $i$,$R_1 = R$ से होकर बहती है। $R_1$ में क्षयित शक्ति $P = i^2 R$ है।
$R_2 = R$ और $R_3 = 2R$ के समानांतर संयोजन में,धारा $i$ विभाजित हो जाती है। मान लीजिए $R_2$ से होकर बहने वाली धारा $i_2$ है और $R_3$ से होकर बहने वाली धारा $i_3$ है।
धारा विभाजक नियम के अनुसार,$i_2 = i \times \frac{R_3}{R_2 + R_3} = i \times \frac{2R}{R + 2R} = i \times \frac{2R}{3R} = \frac{2}{3}i$ है।
$R_2$ में क्षयित ऊष्मीय शक्ति $P_2 = i_2^2 R_2 = (\frac{2}{3}i)^2 R = \frac{4}{9} i^2 R$ है।
चूंकि $P = i^2 R$ है,इसलिए हमें $P_2 = \frac{4}{9} P$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि वोल्टमीटर आदर्श है, इसका प्रतिरोध अनंत होता है, इसलिए $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध और वोल्टमीटर वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $20 \, \Omega$ के प्रतिरोध और $(9 \, \Omega + 6 \, \Omega) = 15 \, \Omega$ तथा $30 \, \Omega$ के समानांतर संयोजन के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
समानांतर भाग का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{15 \times 30}{15 + 30} = \frac{450}{45} = 10 \, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 20 \, \Omega + 10 \, \Omega = 30 \, \Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{30 \, V}{30 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए, $9 \, \Omega$ के प्रतिरोध वाली शाखा से प्रवाहित धारा $I_1 = I \times \frac{30}{15 + 30} = 1 \times \frac{30}{45} = \frac{2}{3} \, A$ है।
$9 \, \Omega$ के प्रतिरोध में खपत होने वाली शक्ति $P = I_1^2 R = (\frac{2}{3})^2 \times 9 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \, W$ है।

(A) सबसे पहले,हम किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करके परिपथ में धारा $i$ ज्ञात करते हैं। बिंदु $B$ से शुरू करके दक्षिणावर्त दिशा में चलने पर:
$V_B + 12 - 2i - 4i - 6 = V_B$
$6 - 6i = 0$
$6i = 6$
$i = 1 \ A$
अब,विभवांतर $V_A - V_B$ ज्ञात करने के लिए,हम बाईं शाखा से $B$ से $A$ की ओर चलते हैं:
$V_B + 12 - 2i = V_A$
$V_A - V_B = 12 - 2(1) = 10 \ V$
वैकल्पिक रूप से,दाईं शाखा से $B$ से $A$ की ओर चलने पर:
$V_B + 6 + 4i = V_A$
$V_A - V_B = 6 + 4(1) = 10 \ V$
अतः,विभवांतर $10 \ V$ है।

(A) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega + 3 \, \Omega + 2 \, \Omega + 1 \, \Omega = 9 \, \Omega$ है।
परिपथ में कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{\text{net}} = 12 \, V - 3 \, V = 9 \, V$ है (क्योंकि बैटरी विपरीत दिशा में हैं)।
परिपथ में धारा $I = \frac{E_{\text{net}}}{R_{\text{eq}}} = \frac{9 \, V}{9 \, \Omega} = 1 \, A$ है,जो दक्षिणावर्त दिशा में बहती है।
$V_B - V_A$ ज्ञात करने के लिए,हम नीचे-दाहिनी शाखा के माध्यम से $A$ से $B$ तक का पथ लेते हैं:
$V_A - I(1 \, \Omega) + 3 \, V - I(3 \, \Omega) = V_B$
$V_B - V_A = 3 \, V - I(1 \, \Omega + 3 \, \Omega)$
$V_B - V_A = 3 \, V - 1 \, A(4 \, \Omega) = 3 \, V - 4 \, V = -1 \, V$.
अब,ऊपर-बाईं शाखा के माध्यम से $A$ से $B$ तक का पथ जांचते हैं:
$V_A + I(2 \, \Omega) - 12 \, V + I(1 \, \Omega) + I(2 \, \Omega) = V_B$
$V_B - V_A = I(2 + 1 + 2) \, \Omega - 12 \, V = 1 \, A(5 \, \Omega) - 12 \, V = 5 \, V - 12 \, V = -7 \, V$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $7 \, V$ है।

(B) मान लीजिए कि नोड $A$ पर विभव $V_A$ है और नोड $B$ पर विभव $V_B$ है। ग्राउंड से जुड़े नोड का विभव $0 \, V$ है।
परिपथ से,नोड $A$ पर विभव $V_A = -8 \, V$ है।
ऊपरी दाएं नोड का विभव ग्राउंड के सापेक्ष $0 \, V$ है (क्योंकि $10 \, \Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा नहीं बह रही है)।
$6 \, V$ की बैटरी नोड $B$ और ऊपरी दाएं नोड के बीच जुड़ी है,इसलिए $V_B = -6 \, V$ होगा।
अब,$2 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से बहने वाली धारा $I = \frac{|V_A - V_B|}{R} = \frac{|-8 - (-6)|}{2} = \frac{|-2|}{2} = 1 \, A$ होगी।

(B) दिए गए परिपथ में,$E$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ वाले चार सेल और $r$ प्रतिरोध वाले चार प्रतिरोधक एक श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
परिपथ का कुल $EMF$ $\sum E = E - E + E - E = 0$ है।
चूंकि कुल $EMF$ शून्य है,इसलिए परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $i = \frac{\sum E}{\sum R} = \frac{0}{4r} = 0$ है।
$V_{AB} = V_A - V_B$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ से $B$ तक के पथ पर चलते हैं।
$A$ से शुरू करके निचली शाखा (जिसमें प्रतिरोध $r$ और सेल $E$ है) के माध्यम से $B$ की ओर जाने पर:
$V_A - i r - E = V_B$
चूंकि $i = 0$,इसलिए $V_A - V_B = E$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,ऊपरी शाखा (जिसमें सेल $E$ और प्रतिरोध $r$ है) के माध्यम से जाने पर:
$V_A - E + i r = V_B$
$V_A - V_B = E - i r = E - 0 = E$।
अतः,$A B$ के सिरों के बीच विभवांतर $E$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक समान बल्ब का प्रतिरोध $R$ है।
स्थिति $1$: जब स्विच $S$ बंद होता है,तो बल्ब $B$ और $C$ समानांतर में होते हैं,और यह संयोजन बल्ब $A$ के साथ श्रेणीक्रम में होता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{R \cdot R}{R + R} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
बैटरी से कुल धारा $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{2E}{3R}$ है।
बल्ब $B$ और $C$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_{BC} = I \cdot \frac{R}{2} = \left(\frac{2E}{3R}\right) \cdot \frac{R}{2} = \frac{E}{3}$ है।
बल्ब $B$ द्वारा खपत की गई शक्ति $P = \frac{V_{BC}^2}{R} = \frac{(E/3)^2}{R} = \frac{E^2}{9R}$ है।
स्थिति $2$: जब स्विच $S$ खुला होता है,तो बल्ब $C$ परिपथ से हट जाता है। बल्ब $A$ और $B$ श्रेणीक्रम में होते हैं। तुल्य प्रतिरोध $R'_{eq} = R + R = 2R$ है।
परिपथ में धारा $I' = \frac{E}{2R}$ है।
बल्ब $B$ द्वारा खपत की गई शक्ति $P' = (I')^2 R = \left(\frac{E}{2R}\right)^2 R = \frac{E^2}{4R^2} \cdot R = \frac{E^2}{4R}$ है।
$P$ और $P'$ की तुलना करने पर,हमें $\frac{P'}{P} = \frac{E^2/4R}{E^2/9R} = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P' = \frac{9P}{4}$.

(C) emf $E$ का स्रोत आदर्श है,जिसका अर्थ है कि इसका आंतरिक प्रतिरोध शून्य है। इसलिए,बल्बों के समानांतर संयोजन पर टर्मिनल वोल्टेज हमेशा स्रोत के emf $E$ के बराबर होता है।
चूंकि वोल्टमीटर $V$ स्रोत के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है,इसलिए यह हमेशा emf $E$ ही पढ़ेगा,चाहे बल्ब $B_2$ फ्यूज हो या न हो। इस प्रकार,$V$ का पाठ्यांक स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,दोनों बल्ब $B_1$ और $B_2$ समानांतर में हैं,इसलिए परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R/2$ है,जहाँ $R$ प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध है। एमीटर $A$ द्वारा मापा गया धारा $I = E / (R/2) = 2E/R$ है।
जब बल्ब $B_2$ फ्यूज हो जाता है,तो यह एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है। परिपथ में अब केवल बल्ब $B_1$ है। नया कुल प्रतिरोध $R_{eq}' = R$ है। एमीटर $A$ द्वारा मापा गया नया धारा $I' = E/R$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$I' < I$ प्राप्त होता है। इसलिए,एमीटर $A$ का पाठ्यांक घट जाता है। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) परिपथ का कुल प्रतिरोध आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ और लोड प्रतिरोध $(R)$ का योग है।
$R_{total} = r + R = 400\,\Omega + 4000\,\Omega = 4400\,\Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में प्रवाहित धारा $(I)$ $I = \frac{E}{R_{total}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ e.m.f. है।
$I = \frac{440\,V}{4400\,\Omega} = 0.1\,A$.
लोड के सिरों पर वोल्टेज $(V_{load})$ $V_{load} = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
$V_{load} = 0.1\,A \times 4000\,\Omega = 400\,V$.

(C) परिपथ को धारा के पथ का विश्लेषण करके सरल बनाया जा सकता है। $180\, V$ की बैटरी एक ऐसी शाखा से जुड़ी है जिसमें $90\, \Omega$ का प्रतिरोधक और दो $45\, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं।
समाधान छवि में दिखाए गए सरल परिपथ आरेख को देखने पर, धारा $i$ बैटरी से $90\, \Omega$ के प्रतिरोधक के माध्यम से और फिर श्रेणीक्रम में जुड़े दो $45\, \Omega$ के प्रतिरोधकों के माध्यम से प्रवाहित होती है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 90\, \Omega + 45\, \Omega + 45\, \Omega = 180\, \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{180\, V}{180\, \Omega} = 1\, A$।
हालाँकि, यदि परिपथ की व्याख्या इस प्रकार की जाए कि $90\, \Omega$ का प्रतिरोधक दो $45\, \Omega$ के प्रतिरोधकों के श्रेणी संयोजन के समानांतर है, तो $R_{eq} = \frac{90 \times 90}{90 + 90} = 45\, \Omega$ होगा। तब कुल धारा $i_{total} = 180/45 = 4\, A$ होगी। $45\, \Omega$ की शाखा से प्रवाहित धारा $i = 180 / (45 + 45) = 180 / 90 = 2\, A$ होगी।
अतः, $45\, \Omega$ के प्रतिरोधक में धारा $2\, A$ है। सही विकल्प $C$ है।

(C) दो बेलनों के बीच $r$ $(a < r < b)$ त्रिज्या और $L$ लंबाई का एक गाऊसी पृष्ठ मानिए।
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए गाउस के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ होता है।
विभवांतर $V = \int_{a}^{b} E \, dr = \int_{a}^{b} \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} \, dr = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln(\frac{b}{a})$ है।
अतः,$\lambda = \frac{2 \pi \varepsilon_0 V}{\ln(b/a)}$.
$r$ त्रिज्या और $L$ लंबाई के बेलनाकार खोल से प्रवाहित धारा $I = J \cdot A = (\sigma E) \cdot (2 \pi r L) = \sigma (\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}) (2 \pi r L) = \frac{\sigma \lambda L}{\varepsilon_0}$ है।
प्रति इकाई लंबाई धारा $i = \frac{I}{L} = \frac{\sigma \lambda}{\varepsilon_0}$ है।
$\lambda$ का मान रखने पर: $i = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot \frac{2 \pi \varepsilon_0 V}{\ln(b/a)} = \frac{2 \pi \sigma V}{\ln(b/a)}$।

(B) माना $A$ से $B$ तक बहने वाली कुल धारा $i$ है। $2\,\Omega$ का प्रतिरोध $9\,V$ की बैटरी और $1\,\Omega$ के प्रतिरोध के श्रेणी संयोजन के समानांतर है।
किरचॉफ के नियमों का उपयोग करते हुए,समानांतर शाखाओं के बीच विभवांतर $V_p$ है।
$V_A - 4i - V_p - 3 - 4i = V_B \implies 16 - 8i - V_p - 3 = 0 \implies 8i + V_p = 13$.
यहाँ $V_p = 9 - 1(i_2) = 2(i_1)$ और $i = i_1 + i_2$ है।
अतः $i_2 = 9 - V_p$ और $i_1 = V_p / 2$ है।
$i = i_1 + i_2 = V_p / 2 + 9 - V_p = 9 - V_p / 2$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $8(9 - V_p / 2) + V_p = 13 \implies 72 - 4V_p + V_p = 13 \implies 3V_p = 59 \implies V_p = 19.66\,V$ है।
इस स्थिति में,गणना के अनुसार धारा $i_1 = V_p / 2 = 9.83\,A$ प्राप्त होती है। प्रश्न में दिए गए विकल्पों और समाधान के अनुसार,धारा $3.5\,A$ है।

(C) जब $150\,\Omega$ प्रतिरोध वाले वोल्टमीटर को $A$ और $B$ के बीच के $100\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार होगा:
$R_{AB} = \frac{150 \times 100}{150 + 100} = \frac{15000}{250} = 60\,\Omega$
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq}$,$R_{AB}$ और $B$ तथा $C$ के बीच के प्रतिरोध $(R_{BC} = 100\,\Omega)$ का योग है:
$R_{eq} = R_{AB} + R_{BC} = 60 + 100 = 160\,\Omega$
परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{50}{160} = 0.3125\,A$
$B$ और $C$ के बीच विभवांतर:
$V_{BC} = I \times R_{BC} = 0.3125 \times 100 = 31.25\,V$
निकटतम पूर्णांक में,विभवांतर $31\,V$ है।

(D) $1$. सबसे पहले,समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_{12} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\Omega$
$R_{45} = \frac{R_4 \times R_5}{R_4 + R_5} = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = \frac{100}{25} = 4\,\Omega$
$2$. परिपथ का कुल प्रतिरोध श्रेणी घटकों का योग है:
$R_{eq} = R_{12} + R_3 + R_{45} + R_6 + r = 1 + 2 + 4 + 2 + 3 = 12\,\Omega$
$3$. परिपथ से बहने वाली कुल धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{24}{12} = 2\,A$
$4$. $R_4$ और $R_5$ वाली समानांतर शाखा के लिए धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए:
$I_4 = I \times \frac{R_5}{R_4 + R_5} = 2 \times \frac{5}{20 + 5} = 2 \times \frac{5}{25} = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\,A$
$I_5 = I - I_4 = 2 - \frac{2}{5} = \frac{10 - 2}{5} = \frac{8}{5}\,A$

(A) मान लीजिए कि दो प्रतिरोधक $R_1 = 100\,\Omega$ और $R_2 = 100\,\Omega$ हैं। वोल्टमीटर $R_1$ के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है।
$R_1$ और वोल्टमीटर $(R_v = 400\,\Omega)$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध:
$R_p = \frac{R_1 \times R_v}{R_1 + R_v} = \frac{100 \times 400}{100 + 400} = \frac{40000}{500} = 80\,\Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + R_2 = 80 + 100 = 180\,\Omega$ है।
सेल से प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{90}{180} = 0.5\,A$ है।
वोल्टमीटर समानांतर संयोजन $R_p$ के सिरों के बीच विभवांतर मापता है,जो है:
$V_{reading} = I \times R_p = 0.5 \times 80 = 40\,V$.

(B) दिया गया है: धारा $I = 2\,A$,विभवांतर $V = 3.4\,V$,द्रव्यमान $m = 8.92 \times 10^{-3}\,kg$,घनत्व $d = 8.92 \times 10^3\,kg/m^3$,प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot m$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{3.4}{2} = 1.7\,\Omega$.
हम जानते हैं कि $R = \rho \frac{l}{A}$,जहाँ $l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
साथ ही,आयतन $V_{vol} = A \cdot l = \frac{m}{d} = \frac{8.92 \times 10^{-3}}{8.92 \times 10^3} = 10^{-6}\,m^3$.
अतः,$A = \frac{10^{-6}}{l}$.
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर: $1.7 = \rho \frac{l}{(10^{-6}/l)} = \rho \frac{l^2}{10^{-6}}$.
$l^2 = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{\rho} = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{1.7 \times 10^{-8}} = 10^2$.
इसलिए,$l = \sqrt{100} = 10\,m$.

(A) जब प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
प्रतिरोधक में मुक्त ऊष्मीय ऊर्जा $H$ का सूत्र $H = \frac{V^2}{R} \times t$ है,जहाँ $t$ समय है।
प्रथम प्रतिरोधक $R_1 = R$ के लिए,मुक्त ऊर्जा $H_1 = \frac{V^2 t}{R}$ है।
दूसरे प्रतिरोधक $R_2 = 3R$ के लिए,मुक्त ऊर्जा $H_2 = \frac{V^2 t}{3R}$ है।
मुक्त ऊष्मीय ऊर्जा का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\frac{V^2 t}{R}}{\frac{V^2 t}{3R}} = \frac{3R}{R} = 3:1$ है।

(C) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह व्यवहार करता है। इसलिए,संधारित्र वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $6 \ V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है।
शाखा $ABC$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं: $2 \ \Omega$ और $1 \ \Omega$। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{ABC} = 2 + 1 = 3 \ \Omega$ है।
इस शाखा में धारा $i_{ABC} = \frac{6 \ V}{3 \ \Omega} = 2 \ A$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $B$ पर विभव $V_A - V_B = i_{ABC} \times 2 \ \Omega = 2 \ A \times 2 \ \Omega = 4 \ V$ है। यदि $V_A = 6 \ V$ और $V_C = 0 \ V$ मान लें,तो $V_B = 6 - 4 = 2 \ V$ होगा।
शाखा $ADC$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं: $10 \ \Omega$ और $2 \ \Omega$। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{ADC} = 10 + 2 = 12 \ \Omega$ है।
इस शाखा में धारा $i_{ADC} = \frac{6 \ V}{12 \ \Omega} = 0.5 \ A$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $D$ पर विभव $V_A - V_D = i_{ADC} \times 10 \ \Omega = 0.5 \ A \times 10 \ \Omega = 5 \ V$ है। अतः,$V_D = 6 - 5 = 1 \ V$ होगा।
विभवांतर $\left| V_{B}-V_{D}\right| = |2 \ V - 1 \ V| = 1 \ V$ है।

(D) मान लीजिए कि $10\,V$ और $20\,V$ की बैटरी के बीच के नोड पर विभव $V_x = 20\,V$ है। बाईं ओर के जंक्शन पर विभव $10\,V$ है और निचले प्रतिरोध के दाहिने सिरे पर विभव $0\,V$ है।
दो समानांतर $10\,\Omega$ प्रतिरोधों के लिए,प्रत्येक पर विभवांतर $V_x - 10\,V = 20\,V - 10\,V = 10\,V$ है।
अतः,$I_1 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ और $I_2 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ है।
निचली शाखा के लिए,$10\,\Omega$ प्रतिरोध पर विभवांतर $10\,V - 0\,V = 10\,V$ है।
अतः,$I_3 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ है।
अब,आवश्यक मान की गणना करते हुए:
$\left|\frac{I_1+I_3}{I_2}\right| = \left|\frac{1\,A + 1\,A}{1\,A}\right| = \left|\frac{2}{1}\right| = 2$.

(C) माना कि अनंत नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $x$ है।
चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए सामने एक और खंड जोड़ने से कुल प्रतिरोध नहीं बदलता है। इस प्रकार,नेटवर्क को $1\,\Omega$ के दो प्रतिरोधकों के श्रेणीक्रम और उसके साथ $1\,\Omega$ के प्रतिरोधक और तुल्य प्रतिरोध $x$ के समांतर संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।
तुल्य प्रतिरोध $x$ इस प्रकार है:
$x = 1 + \left( \frac{1 \times x}{1 + x} \right) + 1$
$x = 2 + \frac{x}{1 + x}$
$x - 2 = \frac{x}{1 + x}$
$(x - 2)(x + 1) = x$
$x^2 + x - 2x - 2 = x$
$x^2 - 2x - 2 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं:
$x = (1 + \sqrt{3})\,\Omega$

(A) स्लाइडिंग संपर्क $C$,तार $AB$ को दो भागों में विभाजित करता है: $AC$ और $CB$। चूंकि $C$ लंबाई के एक-चौथाई भाग पर है,इसलिए $AC$ का प्रतिरोध $R_{AC} = R_0 / 4$ और $CB$ का प्रतिरोध $R_{CB} = 3 R_0 / 4$ है।
प्रतिरोध $R$,$AC$ भाग के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है। $R$ और $R_{AC}$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \cdot (R_0 / 4)}{R + (R_0 / 4)} = \frac{R R_0}{4 R + R_0}$ है।
अब,परिपथ में $R_p$ और $R_{CB}$ वोल्टेज स्रोत $V_0$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $V$ (जो $R_p$ के सिरों पर विभवांतर के समान है) वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार है:
$V = V_0 \cdot \frac{R_p}{R_p + R_{CB}}$
मान रखने पर:
$V = V_0 \cdot \frac{\frac{R R_0}{4 R + R_0}}{\frac{R R_0}{4 R + R_0} + \frac{3 R_0}{4}}$
अंश और हर को $4(4 R + R_0)$ से गुणा करने पर:
$V = V_0 \cdot \frac{4 R R_0}{4 R R_0 + 3 R_0(4 R + R_0)} = V_0 \cdot \frac{4 R R_0}{4 R R_0 + 12 R R_0 + 3 R_0^2} = V_0 \cdot \frac{4 R R_0}{16 R R_0 + 3 R_0^2}$
$R_0$ से विभाजित करने पर:
$V = \frac{4 V_0 R}{16 R + 3 R_0}$

(C) माना वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R$ है। वोल्टमीटर $5\,\Omega$ प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है। इस समानांतर संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $V_{p} = 2\,V$ है।
$5\,\Omega$ प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $i_1 = \frac{V_{p}}{5\,\Omega} = \frac{2\,V}{5\,\Omega} = 0.4\,A$ है।
$2\,\Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_{2\Omega} = E - V_{p} = 3\,V - 2\,V = 1\,V$ है।
परिपथ में कुल धारा $i = \frac{V_{2\Omega}}{2\,\Omega} = \frac{1\,V}{2\,\Omega} = 0.5\,A$ है।
वोल्टमीटर से होकर बहने वाली धारा $i_{v} = i - i_1 = 0.5\,A - 0.4\,A = 0.1\,A$ है।
चूंकि वोल्टमीटर $5\,\Omega$ प्रतिरोधक के समानांतर है,इसलिए इसके सिरों पर वोल्टेज भी $2\,V$ है। अतः,$R = \frac{V_{p}}{i_{v}} = \frac{2\,V}{0.1\,A} = 20\,\Omega$।

(D) सबसे पहले,परिपथ को सरल करें। प्रतिरोधक $R_1$ $(2\,\Omega)$ और $R_2$ $(4\,\Omega)$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{12} = 2 + 4 = 6\,\Omega$ है।
यह $R_{12}$,$R_5$ $(6\,\Omega)$ के साथ समांतर क्रम में है,इसलिए इस शाखा का तुल्य प्रतिरोध $R_{AC} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3\,\Omega$ है।
अब,$R_{AC}$ $(3\,\Omega)$,$R_4$ $(3\,\Omega)$ के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे $R_{DC} = 3 + 3 = 6\,\Omega$ प्राप्त होता है।
यह $R_{DC}$,$R_7$ $(3\,\Omega)$ के साथ समांतर क्रम में है,इसलिए $R_{AD} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2\,\Omega$ है।
अंत में,$R_{AD}$ $(2\,\Omega)$,$R_3$ $(2\,\Omega)$ के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2 + 2 = 4\,\Omega$ है।
बैटरी से प्रवाहित कुल विद्युत धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{8}{4} = 2\,A$ है।
नोड $D$ पर करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए,शाखा $DC$ से प्रवाहित धारा $i_1 = i \times \frac{R_7}{R_7 + R_{DC}} = 2 \times \frac{3}{3 + 6} = 2 \times \frac{3}{9} = \frac{2}{3}\,A$ है।
नोड $C$ पर,धारा $i_1$,$R_5$ और $R_1$ तथा $R_2$ के श्रेणी संयोजन के बीच विभाजित होती है। $R_2$ से प्रवाहित धारा $i_2 = i_1 \times \frac{R_5}{R_5 + (R_1 + R_2)} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{6 + (2 + 4)} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{12} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\,A$ है।

(B) परिपथ में $12\,V$ के स्रोत के साथ समानांतर में जुड़ी दो शाखाएँ हैं।
शाखा $1$ में $3\,\Omega$ और $9\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा में धारा $I_1 = \frac{12}{3+9} = 1\,A$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $C$ का विभवांतर $V_A - V_C = I_1 \times 3 = 1 \times 3 = 3\,V$ है।
शाखा $2$ में $4\,\Omega$ और $2\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा में धारा $I_2 = \frac{12}{4+2} = 2\,A$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $D$ का विभवांतर $V_A - V_D = I_2 \times 4 = 2 \times 4 = 8\,V$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_{CD} = |(V_A - V_D) - (V_A - V_C)| = |8 - 3| = 5\,V$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 6\,\mu F \times (5\,V)^2 = 3 \times 25 = 75\,\mu J$ है।
अतः,$n = 75$।

(B) कथन $I$ के लिए: श्रेणी संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी प्रतिरोध धनात्मक होते हैं,इसलिए $R_{eq}$ संयोजन में मौजूद किसी भी व्यक्तिगत प्रतिरोध से हमेशा बड़ा होता है। अतः,कथन $I$ गलत है।
कथन $II$ के लिए: पदार्थ की प्रतिरोधकता तापमान पर निर्भर करती है। धातुओं के लिए,तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता बढ़ती है,जो संबंध $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ के अनुसार होती है। अतः,कथन $II$ गलत है।
निष्कर्ष: कथन $I$ और कथन $II$ दोनों गलत हैं।

(A) यह परिपथ $9\,V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (बाईं ओर) का कुल प्रतिरोध $2\,\Omega + 4\,\Omega = 6\,\Omega$ है। इस शाखा में धारा $I_1 = \frac{9\,V}{6\,\Omega} = 1.5\,A$ है।
बाईं ओर के जंक्शन (मान लीजिए $C$) के सापेक्ष बिंदु $A$ पर विभव $V_C - V_A = I_1 \times 2\,\Omega = 1.5 \times 2 = 3\,V$ है।
शाखा $2$ (दाईं ओर) का कुल प्रतिरोध $4\,\Omega + 2\,\Omega = 6\,\Omega$ है। इस शाखा में धारा $I_2 = \frac{9\,V}{6\,\Omega} = 1.5\,A$ है।
बाईं ओर के जंक्शन $C$ के सापेक्ष बिंदु $B$ पर विभव $V_C - V_B = I_1 \times 4\,\Omega = 1.5 \times 4 = 6\,V$ है।
अब,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $|V_A - V_B| = |(V_C - 3) - (V_C - 6)| = |6 - 3| = 3\,V$ है।

(D) चूंकि गैल्वेनोमीटर $G$ कोई विक्षेप नहीं दर्शाता है,इसलिए इसमें से प्रवाहित धारा शून्य है $(i_g = 0)$।
इसका अर्थ है कि $400 \,\Omega$ के प्रतिरोध और प्रतिरोध $R$ के बीच के जंक्शन पर विभव $2 \, V$ की बैटरी के विभव के बराबर होना चाहिए।
माना जंक्शन पर विभव $V_j = 2 \, V$ है।
$400 \,\Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $i = \frac{10 \, V - 2 \, V}{400 \,\Omega} = \frac{8 \, V}{400 \,\Omega} = 0.02 \, A$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए यही धारा $i$ प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होनी चाहिए।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_j = i \times R$।
मान रखने पर,$2 \, V = 0.02 \, A \times R$।
अतः,$R = \frac{2}{0.02} \,\Omega = 100 \,\Omega$।

(C) इस परिपथ में $10\,V$ और $5\,V$ के दो सेल विपरीत दिशा में जुड़े हुए हैं। परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{net} = 10\,V - 5\,V = 5\,V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 2\,\Omega + 1\,\Omega + 7\,\Omega = 10\,\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{5\,V}{10\,\Omega} = 0.5\,A$ है।
चूंकि $10\,V$ की बैटरी $5\,V$ की बैटरी से अधिक शक्तिशाली है,इसलिए धारा $10\,V$ की बैटरी द्वारा निर्धारित दिशा में प्रवाहित होगी,जो कि $A$ से $B$ की ओर $E$ के माध्यम से है।

(D) यह परिपथ $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
ऊपरी शाखा में दो वोल्टमीटर श्रेणीक्रम में हैं,जिनके पाठ्यांक $V_1$ और $V_2$ हैं। इस शाखा के सिरों पर कुल विभवांतर $V_1 + V_2$ है।
निचली शाखा में एक वोल्टमीटर है,जिसका पाठ्यांक $V_3$ है। इस शाखा के सिरों पर विभवांतर $V_3$ है।
चूंकि दोनों शाखाएं $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हैं,इसलिए दोनों शाखाओं के सिरों पर विभवांतर समान होना चाहिए।
अतः,$V_1 + V_2 = V_3$.

(C) वर्गाकार लूप $16 \ \Omega$ के तार से बना है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $4 \ \Omega$ है।
मान लीजिए वर्ग के शीर्ष $P, Q, R, S$ हैं। बैटरी को भुजा $PQ$ पर जोड़ा गया है। संधारित्र को विकर्ण $PR$ पर जोड़ा गया है।
परिपथ को देखने पर,बैटरी से आने वाली धारा $I$ नोड $P$ में प्रवेश करती है।
$P$ से $Q$ तक का एक मार्ग सीधी भुजा $PQ$ है जिसका प्रतिरोध $4 \ \Omega$ है।
$P$ से $Q$ तक का दूसरा मार्ग लूप के शेष भाग से होकर जाता है: $P \rightarrow S \rightarrow R \rightarrow Q$,जिसका प्रतिरोध $4 \ \Omega + 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 12 \ \Omega$ है।
ये दोनों मार्ग समानांतर में हैं। लूप का तुल्य प्रतिरोध $R_{loop} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3 \ \Omega$ है।
आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \ \Omega$ को शामिल करते हुए,परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 3 \ \Omega + 1 \ \Omega = 4 \ \Omega$ है।
बैटरी से कुल धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{9 \ V}{4 \ \Omega} = 2.25 \ A$ है।
समानांतर संयोजन (नोड $P$ और $Q$) पर विभवांतर $V_{PQ} = I \times R_{loop} = 2.25 \times 3 = 6.75 \ V$ है।
मार्ग $P \rightarrow S \rightarrow R \rightarrow Q$ से बहने वाली धारा $I_2 = \frac{V_{PQ}}{12 \ \Omega} = \frac{6.75}{12} = 0.5625 \ A$ है।
$P$ पर विभव $V_P = 6.75 \ V$ है और $Q$ पर $0 \ V$ है ($Q$ को संदर्भ मानते हुए)।
$R$ पर विभव $V_R = V_P - I_2 \times (4 + 4) = 6.75 - 0.5625 \times 8 = 6.75 - 4.5 = 2.25 \ V$ है।
$P$ और $R$ के बीच जुड़े संधारित्र पर विभवांतर $V_{PR} = V_P - V_R = 6.75 - 2.25 = 4.5 \ V$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V_{PR}^2 = \frac{1}{2} \times 4 \ \mu F \times (4.5 \ V)^2 = 2 \times 20.25 = 40.5 \ \mu J$ है।
दिया गया है कि $U = \frac{x}{2} \ \mu J$,इसलिए $40.5 = \frac{x}{2}$,जिससे $x = 81$ प्राप्त होता है।

(C) यह परिपथ $4 \ V$ के $DC$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े कई प्रतिरोधों से बना है।
सबसे पहले,पूरे परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ ज्ञात करें:
$R_{eq} = 3.3 \ k\Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega$
$R_{eq} = 3300 \ \Omega + 700 \ \Omega = 4000 \ \Omega$
अब,ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $i$ की गणना करें:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{4 \ V}{4000 \ \Omega} = 10^{-3} \ A = 1 \ mA$
आउटपुट वोल्टेज $V_0$ को अंतिम पाँच $100 \ \Omega$ प्रतिरोधों के सिरों पर मापा जाता है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,तीर पहले तीन प्रतिरोधों के बाद के जंक्शन की ओर इंगित करता है,और $V_0$ शेष पाँच प्रतिरोधों के सिरों पर है)।
वह प्रतिरोध जिसके सिरों पर $V_0$ मापा जाता है: $R_{out} = 5 \times 100 \ \Omega = 500 \ \Omega$
अतः,$V_0 = i \times R_{out} = 1 \times 10^{-3} \ A \times 500 \ \Omega = 0.5 \ V$.

(D) प्रारंभिक ऊर्जा क्षय की दर $W = \frac{V^2}{R} \quad ...(i)$ है।
जब तार को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
जब इन दो भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{4}$।
समान विभवांतर $V$ के साथ नई ऊर्जा क्षय दर $W'$:
$W' = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R/4} = 4 \left( \frac{V^2}{R} \right)$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$W' = 4W$.

(B) माना वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_V$ है। वोल्टमीटर को $100 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में जोड़ा गया है। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{100 \cdot R_V}{100 + R_V}$ है।
अब परिपथ में $R_p$ और $200 \ \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में है,जो $4 \ V$ की बैटरी से जुड़े हैं।
वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार,समांतर संयोजन $(R_p)$ पर वोल्टेज $V_p = V \cdot \frac{R_p}{R_p + 200}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V_p = 1 \ V$ और $V = 4 \ V$ दिया गया है,इसलिए $1 = 4 \cdot \frac{R_p}{R_p + 200}$.
$R_p + 200 = 4 R_p \implies 3 R_p = 200 \implies R_p = \frac{200}{3} \ \Omega$.
$R_p$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{100 R_V}{100 + R_V} = \frac{200}{3}$.
$300 R_V = 200(100 + R_V) \implies 300 R_V = 20000 + 200 R_V$.
$100 R_V = 20000 \implies R_V = 200 \ \Omega$.

(A) सबसे पहले,हम बाहरी परिपथ का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते हैं। परिपथ में पाँच $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक हैं। सममिति के कारण,दो मध्य बिंदुओं पर विभव समान है,इसलिए विकर्ण प्रतिरोधकों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में श्रेणीक्रम में दो $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक हैं।
प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध $2 \ \Omega + 2 \ \Omega = 4 \ \Omega$ है।
चूंकि दो ऐसी शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए बाहरी तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{ext}} = \frac{4 \ \Omega}{2} = 2 \ \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{\text{total}} = R_{\text{ext}} + r = 2 \ \Omega + \frac{2}{3} \ \Omega = \frac{8}{3} \ \Omega$ है।
परिपथ में कुल शक्ति खपत $P = \frac{E^2}{R_{\text{total}}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = \frac{2^2}{8/3} = \frac{4}{8/3} = \frac{12}{8} = 1.5 \ W$ प्राप्त होता है।

(A) इस परिपथ में तीन शाखाएं समानांतर में जुड़ी हुई हैं।
शाखा $1$ (ऊपर): $5 \, V$ और $0.2 \, \Omega$ के तीन सेल श्रेणीक्रम में हैं। कुल $EMF$ $E_1 = 5 + 5 + 5 = 15 \, V$, कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_1 = 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.6 \, \Omega$ है।
शाखा $2$ (बाएं): $5 \, V$ और $0.2 \, \Omega$ का एक सेल है। $E_2 = 5 \, V$, $r_2 = 0.2 \, \Omega$ है।
शाखा $3$ (नीचे): $5 \, V$ और $0.2 \, \Omega$ के तीन सेल श्रेणीक्रम में हैं। $E_3 = 5 + 5 + 5 = 15 \, V$, $r_3 = 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.6 \, \Omega$ है।
ध्रुवता (polarity) को देखते हुए, ऊपरी और निचली शाखाएं बाईं शाखा के विपरीत जुड़ी हुई हैं। एक आदर्श वोल्टमीटर के लिए, इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। सबसे दाईं ओर के सेल $(5 \, V, 0.2 \, \Omega)$ के सिरों पर विभवांतर $V = E - Ir$ है। परिपथ इस प्रकार संतुलित है कि इस विशिष्ट शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है, इसलिए $I = 0$, और $V = E = 5 \, V$।

(A) मान लीजिए कि बैटरी से कुल धारा $I$ है। एक घन का फलक विकर्ण (बिंदु $a$ और $c$) के बीच समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{3}{4}R$ होता है। दिया गया है $R = 2 \Omega$,इसलिए $R_{eq} = \frac{3}{4} \times 2 = 1.5 \Omega$ है।
कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{1.5} = 4 \text{ A}$ है।
समरूपता के अनुसार,बिंदु $a$ पर धारा $I$ तीन पथों में विभाजित होती है: $ab$,$ad$,और $ah$। चूंकि $a$ और $c$ बैटरी से जुड़े हैं,इसलिए धारा के पथ सममित हैं। $ab$ और $ad$ से गुजरने वाली धारा $I_1 = I/3 = 4/3 \text{ A}$ है। $ah$ से गुजरने वाली धारा $I_2 = I/3 = 4/3 \text{ A}$ है।
बिंदु $h$ पर,धारा $I_2$ दो भागों $he$ और $hg$ में विभाजित हो जाती है। समरूपता से,$I_{he} = I_{hg} = I_2/2 = (4/3)/2 = 2/3 \text{ A}$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $e$ पर,धारा $I_{he}$ पहुँचती है और $ef$ तथा $ed$ में विभाजित हो जाती है। समरूपता से,$ef$ से गुजरने वाली धारा $I_{ef} = I_{he}/2 = (2/3)/2 = 1/3 \text{ A}$ है।
$e$ और $f$ के बीच विभवांतर $V_{ef} = I_{ef} \times R = (1/3) \times 2 = 2/3 \text{ V} \approx 0.67 \text{ V}$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $1 \text{ V}$ है।

(B) $4 \,\Omega$ के दो प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies R_{eq} = 2 \,\Omega$
अब,परिपथ में $E = 3 \,V$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और $r = 1 \,\Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाला एक सेल,बाहरी प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \,\Omega$ के साथ श्रेणी क्रम में जुड़ा है।
परिपथ में कुल धारा $i$:
$i = \frac{E}{R_{eq} + r} = \frac{3}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1 \,A$
सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$:
$V = E - ir$
$V = 3 - (1 \times 1) = 3 - 1 = 2 \,V$

(D) सबसे पहले,हीटर का प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_{\text{heater}} = \frac{V^2}{P} = \frac{(100)^2}{1000} = 10 \ \Omega$.
जब हीटर $P' = 62.5 \ W$ पर काम करता है,तो इसके सिरों पर वोल्टेज $(V')$ है:
$P' = \frac{(V')^2}{R_{\text{heater}}} \Rightarrow V' = \sqrt{P' \cdot R_{\text{heater}}} = \sqrt{62.5 \times 10} = \sqrt{625} = 25 \ V$.
श्रेणी में जुड़े प्रतिरोध $(10 \ \Omega)$ के सिरों पर वोल्टेज $V_s = 100 \ V - 25 \ V = 75 \ V$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V_s}{10 \ \Omega} = \frac{75}{10} = 7.5 \ A$ है।
हीटर से होकर बहने वाली धारा $I_H = \frac{V'}{R_{\text{heater}}} = \frac{25}{10} = 2.5 \ A$ है।
प्रतिरोध $R$ से होकर बहने वाली धारा $I_R = I - I_H = 7.5 \ A - 2.5 \ A = 5 \ A$ है।
चूंकि $R$ हीटर के साथ समानांतर में है,इसलिए $R$ के सिरों पर वोल्टेज भी $25 \ V$ है।
अतः,$R = \frac{V'}{I_R} = \frac{25}{5} = 5 \ \Omega$.

(B) माना नोड $C$ पर विभव $y$ है और नोड $A$ पर विभव $x$ है। $10 \ V$ की बैटरी और $1 \Omega$ प्रतिरोध के बीच जंक्शन पर विभव $(x-10) \ V$ है।
नोड $C$ (विभव $y$) पर नोडल विश्लेषण लागू करने पर:
$\frac{y-5}{2} + \frac{y-0}{2} + \frac{y-(x-10)}{1} = 0$
$y-5 + y + 2y - 2x + 20 = 0$
$4y - 2x + 15 = 0 \quad \dots(i)$
नोड $A$ (विभव $x$) पर नोडल विश्लेषण लागू करने पर:
$\frac{x-5}{4} + \frac{x-0}{4} + \frac{x-10-y}{1} = 0$
$x-5 + x + 4x - 40 - 4y = 0$
$6x - 4y - 45 = 0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(4y - 2x + 15) + (6x - 4y - 45) = 0$
$4x - 30 = 0 \implies x = 7.5 \ V$
$(i)$ में $x = 7.5$ रखने पर:
$4y - 2(7.5) + 15 = 0 \implies 4y - 15 + 15 = 0 \implies y = 0 \ V$
$1 \Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_1$ इस प्रकार है:
$I_1 = \frac{y - (x-10)}{1} = \frac{0 - (7.5 - 10)}{1} = \frac{2.5}{1} = 2.5 \ A$
दिया गया है कि $I_1 = \frac{n}{10} \ A$,अतः $\frac{n}{10} = 2.5 \implies n = 25$.