Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(C) $E$ सेल को जोड़ने से पहले,परिपथ में $6\,\Omega$,$8\,\Omega$ और $10\,\Omega$ के तीन प्रतिरोध $12\,V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 6 + 8 + 10 = 24\,\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{24} = 0.5\,A$ है।
$8\,\Omega$ के प्रतिरोध के समांतर $E$ सेल को जोड़ने के बाद,$8\,\Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा समान $(0.5\,A)$ रहती है।
इसका अर्थ है कि $8\,\Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर पहले के समान ही रहना चाहिए,जो कि $V_{8\Omega} = I \times R = 0.5 \times 8 = 4\,V$ है।
चूंकि सेल $E$,$8\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में जुड़ा है,इसलिए $8\,\Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर सेल $E$ के $EMF$ के बराबर होगा।
अतः,$E = 4\,V$ है।

(B) दिए गए परिपथ में,$2 \, \Omega$ के तीन प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए ये $R_1, R_2,$ और $R_3$ हैं।
इन तीन समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \, \Omega^{-1}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $R_p = \frac{2}{3} \, \Omega$ है।
यह समानांतर संयोजन एक अन्य $2 \, \Omega$ के प्रतिरोधक और $2 \, V$ की बैटरी के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + 2 \, \Omega = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \, \Omega$ है।
परिपथ से बहने वाली कुल धारा $i$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{8/3} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \, A$.

(C) सभी प्रतिरोधकों में ऊर्जा का क्षय करने के लिए,परिपथ के प्रत्येक प्रतिरोधक से विद्युत धारा का प्रवाहित होना आवश्यक है।
यदि हम टर्मिनल $B$ और $D$ के बीच बैटरी जोड़ते हैं,तो विद्युत धारा नीचे वाले प्रतिरोधक,$B$ और $D$ से जुड़े प्रतिरोधकों और केंद्रीय नेटवर्क से होकर प्रवाहित होगी।
विशेष रूप से,$B$ और $D$ के बीच जोड़ने से परिपथ की सभी शाखाओं में एक मार्ग बन जाता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि कोई भी प्रतिरोधक बायपास न हो या खुला परिपथ न रहे।
यदि हम $A$ और $C$ के बीच जोड़ते हैं,तो समरूपता और विभव वितरण के आधार पर कुछ प्रतिरोधकों से धारा प्रवाहित नहीं हो सकती है।
इसलिए,टर्मिनल $B$ और $D$ के बीच बैटरी जोड़ने से यह सुनिश्चित होता है कि प्रत्येक प्रतिरोधक से धारा प्रवाहित होती है और उन सभी में ऊर्जा का क्षय होता है।

(B) परिपथ में तीन प्रतिरोध $R_1, R_2, R_3$ एक $12\,V$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
मान लीजिए कि परिपथ से बहने वाली धारा $I$ है।
प्रतिरोधों पर वोल्टेज ड्रॉप उनके प्रतिरोध के समानुपाती होता है,क्योंकि $V = IR$ होता है।
निचले सिरे पर विभव $0\,V$ है।
$R_1$ और $R_2$ के जंक्शन पर विभव $4\,V$ है। अतः,$R_1$ पर वोल्टेज ड्रॉप $V_1 = 4\,V - 0\,V = 4\,V$ है।
$R_2$ और $R_3$ के जंक्शन पर विभव $8\,V$ है। अतः,$R_2$ पर वोल्टेज ड्रॉप $V_2 = 8\,V - 4\,V = 4\,V$ है।
$R_3$ के ऊपरी सिरे पर विभव $12\,V$ है। अतः,$R_3$ पर वोल्टेज ड्रॉप $V_3 = 12\,V - 8\,V = 4\,V$ है।
चूंकि श्रेणीक्रम में जुड़े सभी प्रतिरोधों के लिए धारा $I$ समान है और वोल्टेज ड्रॉप समान $(V_1 = V_2 = V_3 = 4\,V)$ है,इसलिए प्रतिरोध भी समान होने चाहिए।
अतः,$R_1 = R_2 = R_3$,जो $R_1 : R_2 : R_3 = 1 : 1 : 1$ का अनुपात देता है।

(C) यह परिपथ समानांतर क्रम में जुड़ी दो शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा में $20 \, \Omega$ और $4 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए इसका कुल प्रतिरोध $R_1 = 20 + 4 = 24 \, \Omega$ है।
निचली शाखा में $50 \, \Omega$ और $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए इसका कुल प्रतिरोध $R_2 = 50 + 10 = 60 \, \Omega$ है।
कुल विद्युत धारा $I = 1.4 \, A$ इन दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है।
करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए, ऊपरी शाखा (जिसमें $4 \, \Omega$ का प्रतिरोध है) से होकर बहने वाली धारा $I_1$ इस प्रकार है:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$I_1 = 1.4 \times \frac{60}{24 + 60}$
$I_1 = 1.4 \times \frac{60}{84}$
$I_1 = 1.4 \times \frac{5}{7} = 0.2 \times 5 = 1 \, A$.
अतः, $4 \, \Omega$ के प्रतिरोध से होकर बहने वाली विद्युत धारा $1 \, A$ है।

(B) चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों तारों से बहने वाली विद्युत धारा $I$ समान होगी।
ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,इसलिए $V \propto R$.
दिया गया है कि $\frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2}$ और $\frac{L_A}{L_B} = \frac{6}{1}$.
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ है।
पदार्थ समान होने के कारण,$\rho$ स्थिर है,इसलिए $R \propto \frac{L}{r^2}$.
अतः,$\frac{V_A}{V_B} = \frac{R_A}{R_B} = \frac{L_A}{r_A^2} \times \frac{r_B^2}{L_B}$.
मान रखने पर: $\frac{3}{2} = \frac{6}{1} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$.
$\left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_B}{r_A} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

(A) मान लीजिए नोड्स $A$,$B$,$C$ (शीर्ष),$D$ (नीचे बाएँ),$E$ (नीचे दाएँ) और $F$ (केंद्र) हैं। यह सर्किट शीर्ष नोड $C$ और केंद्र नोड $F$ से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष सममित है।
समरूपता का उपयोग करके,नोड्स पर विभव का विश्लेषण किया जा सकता है।
मान लीजिए $A$ पर विभव $V_A$ है और $B$ पर विभव $V_B$ है।
सर्किट की समरूपता के कारण,शीर्ष नोड $C$ पर विभव $(V_A + V_B)/2$ होता है।
इसी प्रकार,निचले नोड्स $D$ और $E$ पर विभव निर्धारित किया जा सकता है।
समरूपता के सिद्धांत या नोडल विश्लेषण का उपयोग करके सर्किट को सरल बनाने पर,हम तुल्य प्रतिरोध ज्ञात कर सकते हैं।
केंद्रीय नोड वाले इस विशिष्ट पंचकोणीय नेटवर्क के लिए,$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $\frac{8R}{11}$ प्राप्त होता है।

(C) एमीटर परिपथ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ को मापता है,और वोल्टमीटर प्रतिरोध $R$ के सिरों के बीच विभवांतर $V$ को मापता है।
चूंकि वोल्टमीटर प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है,यह आदर्श नहीं है और इसका एक सीमित प्रतिरोध $R_V$ है।
इसलिए,एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा $I$ दो भागों में विभाजित हो जाती है: प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I_R$ और वोल्टमीटर से प्रवाहित धारा $I_V$।
अतः,$I = I_R + I_V$।
चूंकि $I_V > 0$,प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_R = I - I_V$ एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा $I$ से कम होती है।
ओम के नियम के अनुसार,वास्तविक प्रतिरोध $R = \frac{V}{I_R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $I_R < I$,इसलिए $R = \frac{V}{I_R} > \frac{V}{I}$ होगा।
यहाँ $V = 20\,\, V$ और $I = 4\,\, A$ दिया गया है,इसलिए मापा गया मान $\frac{V}{I} = \frac{20}{4} = 5\,\, \Omega$ है।
अतः,वास्तविक प्रतिरोध $R$ का मान $5\,\, \Omega$ से अधिक होना चाहिए।

(C) सबसे पहले,$E_1 = 2 \, V$ और $E_2 = 6 \, V$ के $emf$ और $r_1 = 1 \, \Omega$ और $r_2 = 1 \, \Omega$ के आंतरिक प्रतिरोध वाली दो बैटरियों के समानांतर संयोजन पर विचार करें।
इन दो समानांतर बैटरियों का समतुल्य $emf$ $(E_{eq})$ इस प्रकार है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{2}{1} + \frac{6}{1}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1}} = \frac{8}{2} = 4 \, V$.
समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ है:
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$.
अब,यह समतुल्य बैटरी $4 \, V$ की बैटरी (जिसका आंतरिक प्रतिरोध $0.5 \, \Omega$ है) के साथ श्रेणीक्रम में है।
चित्र में ध्रुवीयता को देखते हुए,$4 \, V$ की बैटरी और समतुल्य $4 \, V$ की बैटरी श्रेणीक्रम में इस प्रकार जुड़ी हैं कि वे एक-दूसरे का विरोध करती हैं।
इसलिए,परिपथ का कुल $emf$ $4 \, V - 4 \, V = 0 \, V$ है।

(D) स्थिर अवस्था में, संधारित्र एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है, इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि सेल के ऋणात्मक टर्मिनल पर विभव $0\, V$ है। तो धनात्मक टर्मिनल पर विभव $E$ है।
परिपथ प्रतिरोधों के श्रेणी-समांतर संयोजन में सरल हो जाता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
बाईं लूप में दो प्रतिरोध श्रेणी में हैं $(R+R = 6\, \Omega)$, जो मध्य प्रतिरोध $(R=3\, \Omega)$ के साथ समांतर में हैं।
इस भाग का तुल्य प्रतिरोध: $R_p = \frac{6 \times 3}{6+3} = \frac{18}{9} = 2\, \Omega$.
यह $R_p$ सबसे दाहिने प्रतिरोध $(R=3\, \Omega)$ के साथ श्रेणी में है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2 + 3 = 5\, \Omega$.
सेल से प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{E}{5}$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = \frac{2E}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V_C = 10\, V$ दिया गया है, इसलिए $\frac{2E}{5} = 10$, जिसका अर्थ है $E = 25\, V$।

(C) परिपथ में $\varepsilon_1 = 5 \, V$ और $\varepsilon_2 = 5 \, V$ के दो सेल हैं, जिनके आंतरिक प्रतिरोध $r_1 = 2 \, \Omega$ और $r_2 = 2 \, \Omega$ हैं। ये दोनों सेल $R = 10 \, \Omega$ के बाह्य प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में जुड़े हैं।
समांतर संयोजन के लिए तुल्य $EMF$ $\varepsilon_{eq}$ इस प्रकार है:
$\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{5}{2} + \frac{5}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{2.5 + 2.5}{0.5 + 0.5} = \frac{5}{1} = 5 \, V$
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \, \Omega^{-1} \Rightarrow r_{eq} = 1 \, \Omega$
बाह्य प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित कुल धारा $i$:
$i = \frac{\varepsilon_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{5}{10 + 1} = \frac{5}{11} \approx 0.45 \, A$
चूंकि बैटरी के धनात्मक टर्मिनल $P_2$ की ओर जुड़े हैं, इसलिए धारा $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध में $P_2$ से $P_1$ की ओर प्रवाहित होगी।

(C) दिए गए परिपथ में दो अलग-अलग बंद लूप हैं। बाईं ओर के लूप में $10\,V$ की बैटरी और $5\,\Omega$ का प्रतिरोध है। दाईं ओर के लूप में $20\,V$ की बैटरी और $10\,\Omega$ का प्रतिरोध है।
ये दोनों लूप $2\,\Omega$ के प्रतिरोध द्वारा जुड़े हुए हैं,लेकिन इस प्रतिरोध के माध्यम से एक लूप से दूसरे लूप तक धारा प्रवाहित होने के लिए कोई पूर्ण पथ नहीं है।
चूंकि परिपथ $2\,\Omega$ के प्रतिरोध पर बंद नहीं है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,$2\,\Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $0\,A$ है।

(B) सबसे पहले,परिपथ को सरल करें। बाईं ओर के दो प्रतिरोधक ($6 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$) समानांतर में हैं,और दाईं ओर के दो प्रतिरोधक ($3 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$) समानांतर में हैं। ये दोनों समानांतर संयोजन एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
बाईं ओर का तुल्य प्रतिरोध: $R_L = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega$.
दाईं ओर का तुल्य प्रतिरोध: $R_R = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega$.
कुल तुल्य प्रतिरोध: $R_{eq} = R_L + R_R = 2 + 2 = 4 \, \Omega$.
कुल धारा $i_4 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{20}{4} = 5 \, A$.
बाईं ओर के लिए धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए:
$i_1 = i_4 \times \frac{3}{6 + 3} = 5 \times \frac{3}{9} = \frac{5}{3} \, A$.
$i_2 = i_4 \times \frac{6}{6 + 3} = 5 \times \frac{6}{9} = \frac{10}{3} \, A$.
दाईं ओर के लिए,धारा $i_4$ दो शाखाओं में विभाजित होती है। समरूपता के अनुसार,$i_3 = i_4 \times \frac{6}{3 + 6} = 5 \times \frac{6}{9} = \frac{10}{3} \, A$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कथन $B$ $(i_3 = \frac{5}{3} \, A)$ गलत है।

(A) परिपथ में कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E = 10\,V + 20\,V = 30\,V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 7.5\,\Omega + 0.5\,\Omega + 1\,\Omega + 1\,\Omega = 10\,\Omega$ है।
परिपथ में धारा $i = \frac{E}{R_{total}} = \frac{30\,V}{10\,\Omega} = 3\,A$ है।
चूंकि बिंदु $S$ ग्राउंडेड है,इसलिए $S$ पर विभव $V_S = 0\,V$ है।
$S$ से $P$ तक $7.5\,\Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हुए,विभव का अंतर $V_P - V_S = i \times 7.5\,\Omega = 3\,A \times 7.5\,\Omega = 22.5\,V$ है। इसलिए $V_P = 22.5\,V$ है।
$R$ से $Q$ तक $1\,\Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हुए,विभव का अंतर $V_Q - V_R = i \times 1\,\Omega = 3\,A \times 1\,\Omega = 3\,V$ है। चूंकि $V_R = 0\,V$ है,इसलिए $V_Q = 3\,V$ है।
अतः,विकल्प $A$ $(V_P = -7.5\,V)$ गलत कथन है।

(A) माना परिपथ में प्रवाहित धारा $I$ है। परिपथ में दो सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $2E$ है और कुल प्रतिरोध $R_{total} = r + 1 + 2 = r + 3$ है।
ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{2E}{r+3}$ होगी।
वोल्टमीटर $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल के सिरों पर जुड़ा है। इस सेल के लिए टर्मिनल वोल्टेज $V = E - Ir$ होता है।
दिया गया है कि $V = \frac{E}{2}$,इसलिए $\frac{E}{2} = E - Ir$,जिसका अर्थ है $Ir = \frac{E}{2}$,अर्थात $I = \frac{E}{2r}$।
धारा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2E}{r+3} = \frac{E}{2r}$।
$4r = r + 3 \implies 3r = 3 \implies r = 1 \ \Omega$।

(D) मान लीजिए कि $10 \, \Omega$ और $x \, \Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{10x}{10+x}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{1}{2} + R_p + 1 = \frac{3}{2} + \frac{10x}{10+x}$ है।
परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{\frac{3}{2} + \frac{10x}{10+x}}$ है।
$1 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा परिपथ की कुल धारा $I$ है।
$1 \, \Omega$ के प्रतिरोधक में उत्पन्न शक्ति $P = I^2 R = I^2 (1) = I^2$ है।
$P$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $I$ को अधिकतम करना होगा,जिसका अर्थ है कि हमें कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ को न्यूनतम करना होगा।
$R_{eq} = 1.5 + \frac{10x}{10+x}$।
जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,पद $\frac{10x}{10+x}$ बढ़ता है। इसलिए,$R_{eq}$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $x$ के लिए सबसे छोटा संभव मान चुनना होगा।
दिए गए विकल्पों में से,न्यूनतम मान $x = 0 \, \Omega$ है।

(A) स्थिति $1$: जब दोनों स्विच खुले होते हैं,तो परिपथ में $1.5 \, V$ की बैटरी,$300 \, \Omega$ का प्रतिरोध,$100 \, \Omega$ का प्रतिरोध और $50 \, \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में होते हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{eq1} = 300 + 100 + 50 = 450 \, \Omega$ है।
एमीटर से प्रवाहित धारा $I = \frac{1.5}{450} = \frac{1}{300} \, A$ है।
स्थिति $2$: जब दोनों स्विच बंद होते हैं,तो $R$ प्रतिरोध,$100 \, \Omega$ वाली शाखा (जिसमें एमीटर है) के साथ समानांतर क्रम में होता है। समानांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{100 R}{100 + R}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq2} = 300 + R_p = 300 + \frac{100 R}{100 + R}$ है (क्योंकि $50 \, \Omega$ प्रतिरोध शॉर्ट हो जाता है)।
बैटरी से कुल धारा $I_{total} = \frac{1.5}{R_{eq2}}$ है।
एमीटर वाली शाखा से प्रवाहित धारा $I' = I_{total} \times \frac{R}{100 + R} = \frac{1.5}{300 + \frac{100 R}{100 + R}} \times \frac{R}{100 + R} = \frac{1.5 R}{300(100 + R) + 100 R} = \frac{1.5 R}{30000 + 400 R}$ है।
$I = I'$ रखने पर,$\frac{1}{300} = \frac{1.5 R}{30000 + 400 R} \Rightarrow 30000 + 400 R = 450 R \Rightarrow 50 R = 30000 \Rightarrow R = 600 \, \Omega$।

(A) परिपथ के लिए किरचॉफ का लूप नियम लागू करने पर:
$(2 + 2) = (0.1 + 0.3 + 0.2) \times i$
$4 = 0.6 \times i$
$i = \frac{4}{0.6} = \frac{20}{3}\,A$
सेल $A$ के लिए,धारा धनात्मक टर्मिनल से बाहर निकलती है,इसलिए यह डिस्चार्ज हो रहा है। $A$ के सिरों पर विभवांतर:
$V_A = E_A - i \times r_A = 2 - (\frac{20}{3}) \times 0.1 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\,V$
सेल $B$ के लिए,धारा धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करती है,इसलिए यह चार्ज हो रहा है। $B$ के सिरों पर विभवांतर:
$V_B = 2 - 0.3 \times \frac{20}{3} = 2 - 2 = 0\,V$

(B) सर्किट स्थिर अवस्था में है,इसलिए संधारित्र ओपन सर्किट की तरह कार्य करते हैं। धारा प्रतिरोधकों से होकर बहती है।
मान लीजिए $V_A = 120 \, V$ और $V_B = 0 \, V$ है।
बिंदु $a$ पर विभव $V_a = 120 - (120/6) \times 1 = 100 \, V$ है।
बिंदु $b$ पर विभव $V_b = 120 - (120/6) \times 2 = 80 \, V$ है।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_a - V_b = 100 - 80 = 20 \, V$ है।
$C_1$ पर आवेश $q_1 = 4 \, \mu F \times 20 \, V = 80 \, \mu C$ है।
$C_2$ के लिए: $V_c = 120 - (120/6) \times (1+2) = 60 \, V$ और $V_d = 120 - (120/6) \times (2+1) = 60 \, V$ है।
चूंकि $V_c = V_d$,इसलिए $C_2$ पर आवेश $0$ है।
इसी प्रकार,$V_e = V_f = 0 \, V$ है,इसलिए $C_3$ पर आवेश $0$ है।

(C) परिपथ आरेख से,कुल प्रतिरोध $R_{total}$ श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधों का योग है: $R_{total} = 20\,\Omega + 5\,\Omega + R = 25\,\Omega + R$.
परिपथ में कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ दो सेलों के बीच का अंतर है: $E_{net} = 6\,V - 2\,V = 4\,V$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{E_{net}}{R_{total}}$,हमें प्राप्त होता है $0.1 = \frac{4}{25 + R}$.
$25 + R = \frac{4}{0.1} = 40$,जिससे $R = 15\,\Omega$ प्राप्त होता है।
अब,$X$ और $Y$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हम बाईं शाखा के माध्यम से $X$ से $Y$ तक का मार्ग लेते हैं।
विभवांतर $V_{XY} = V_X - V_Y = I \times (20\,\Omega + 5\,\Omega)$.
$V_{XY} = 0.1\,A \times 25\,\Omega = 2.5\,V$.

(B) यह दिया गया है कि $R_2$ से बहने वाली धारा शून्य है,इसलिए ऊपरी नोड का विभव (मान लीजिए $V_A$) और निचले नोड का विभव (मान लीजिए $V_B$) समान होना चाहिए।
परिपथ के दाईं ओर देखने पर,$5\,V$ की बैटरी और $R_4$ से जुड़ा नोड ग्राउंडेड $(0\,V)$ है।
चूंकि $R_2$ से बहने वाली धारा शून्य है,$R_1, R_2$ और $5\,V$ की बैटरी के बीच के जंक्शन पर विभव $-5\,V$ है (क्योंकि $5\,V$ की बैटरी $0\,V$ ग्राउंड से जुड़ी है)।
इसी प्रकार,$R_3$ और $R_4$ के बीच के जंक्शन पर विभव $-5\,V$ है।
$R_3$ के बाईं ओर का विभव ग्राउंड के सापेक्ष $15\,V$ है।
इसलिए,$R_3$ से बहने वाली धारा $I = \frac{15 - (-5)}{4} = \frac{20}{4} = 5\,A$ होगी।

(A) माना परिपथ में प्रवेश करने वाली कुल धारा $I = 2\,A$ है। परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ में $6\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में $2\,\Omega$ का प्रतिरोध है।
समानांतर भाग ($6\,\Omega$ और $3\,\Omega$) का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\,\Omega$ है।
अतः,ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{upper} = 2\,\Omega + 2\,\Omega = 4\,\Omega$ है।
निचली शाखा में $4\,\Omega$ का प्रतिरोध है,इसलिए $R_{lower} = 4\,\Omega$ है।
चूंकि दोनों शाखाओं का प्रतिरोध समान $(4\,\Omega)$ है,इसलिए कुल धारा $I = 2\,A$ दोनों शाखाओं में समान रूप से विभाजित हो जाती है।
इसलिए,ऊपरी शाखा से प्रवाहित धारा $I_{upper} = 1\,A$ है।
यह धारा $I_{upper} = 1\,A$,$6\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के समानांतर संयोजन से होकर गुजरती है।
इस समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर $V_p = I_{upper} \times R_p = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ है।
चूंकि $6\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के प्रतिरोध समानांतर में हैं,इसलिए प्रत्येक के सिरों के बीच विभवांतर समान होगा,जो कि $2\,V$ है।

(B) मान लीजिए कि $500 \, \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I$ है। चूंकि गैल्वेनोमीटर $G$ शून्य पाठ्यांक दर्शाता है, इसलिए $E_2$ और $G$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
प्रतिरोध $X$ के सिरों पर विभवांतर बैटरी $E_2$ के $e.m.f.$ के बराबर यानी $2 \, V$ होना चाहिए।
$500 \, \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{E_1 - V_X}{500} = \frac{12 \, V - 2 \, V}{500 \, \Omega} = \frac{10 \, V}{500 \, \Omega} = 0.02 \, A$.
चूंकि गैल्वेनोमीटर से कोई धारा नहीं बहती है, इसलिए यह पूरी धारा $I$ प्रतिरोध $X$ से होकर प्रवाहित होगी। ओम के नियम का उपयोग करने पर:
$V_X = I \times X$
$2 \, V = 0.02 \, A \times X$
$X = \frac{2}{0.02} \, \Omega = 100 \, \Omega$.
अतः, प्रतिरोध $X$ का मान $100 \, \Omega$ है।

(A) $1$. परिपथ में $10\,V$ और $20\,V$ की दो बैटरी श्रेणी क्रम में हैं,और $7.5\,\Omega$,$0.5\,\Omega$,$1\,\Omega$,और $1\,\Omega$ के प्रतिरोध हैं।
$2$. कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{net} = 20\,V - 10\,V = 10\,V$ है।
$3$. परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 7.5\,\Omega + 0.5\,\Omega + 1\,\Omega + 1\,\Omega = 10\,\Omega$ है।
$4$. परिपथ में धारा $I = E_{net} / R_{total} = 10\,V / 10\,\Omega = 1\,A$ है।
$5$. बिंदु $G$ ग्राउंडेड है,इसलिए $V_G = 0\,V$ है। चूंकि $S$ और $R$ आदर्श तारों द्वारा $G$ से जुड़े हैं,इसलिए $V_S = 0\,V$ और $V_R = 0\,V$ है।
$6$. $R$ से $Q$ की ओर $1\,\Omega$ प्रतिरोध के माध्यम से धारा की विपरीत दिशा में जाने पर,$V_Q = V_R - I \times 1\,\Omega = 0 - 1\,A \times 1\,\Omega = -1\,V$।
$7$. $S$ से $P$ की ओर $7.5\,\Omega$ प्रतिरोध के माध्यम से धारा की दिशा में जाने पर,$V_P = V_S - I \times 7.5\,\Omega = 0 - 1\,A \times 7.5\,\Omega = -7.5\,V$।
$8$. इन परिणामों की तुलना विकल्पों से करने पर,सभी कथन $A, B, C, D$ सही हैं।

(D) $A$ और $B$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए, हम $A$ से $B$ तक के पथ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करते हैं।
बिंदु $A$ से शुरू करते हुए, विभव $V_A$ है।
परिपथ में धारा $I = 2 \, A$ प्रवाहित हो रही है।
$6 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभव पतन $V_R = I \times R = 2 \, A \times 6 \, \Omega = 12 \, V$ है।
$A$ से $B$ की ओर जाने पर:
$V_A - (I \times 6 \, \Omega) - 12 \, V - (I \times 9 \, \Omega) + 4 \, V - (I \times 5 \, \Omega) = V_B$
$V_A - 12 - 12 - 18 + 4 - 10 = V_B$
$V_A - V_B = 12 + 12 + 18 - 4 + 10$
$V_A - V_B = 48 \, V$.

(B) दिए गए परिपथ में,एमीटर कुल धारा $I_{total} = 4\, A$ को मापता है। वोल्टमीटर प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।
मान लीजिए कि वोल्टमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ है।
तब,प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली धारा $(4 - i)$ होगी।
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर वोल्टमीटर के पाठ्यांक के बराबर है,जो $20\, V$ है।
प्रतिरोध $R$ के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर:
$V = I_R \times R$
$20 = (4 - i) \times R$
$R = \frac{20}{4 - i}$
चूंकि वोल्टमीटर आदर्श नहीं है,इसलिए यह कुछ धारा $i > 0$ लेगा।
यदि $i > 0$ है,तो $(4 - i) < 4$ होगा।
इसलिए,$R = \frac{20}{4 - i} > \frac{20}{4} = 5\, \Omega$।
अतः,प्रतिरोध $R$ का मान $5\, \Omega$ से अधिक होगा।

(C) परिपथ में $10\,V$ की बैटरी $3\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है,जो $2\,\Omega$ और $1\,\Omega$ के श्रेणीक्रम संयोजन के साथ समांतर क्रम में है। यह पूरा संयोजन $6\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,समांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = (2 + 1) \parallel 3 = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = \frac{9}{6} = 1.5\,\Omega$.
अब,परिपथ का कुल प्रतिरोध:
$R_{eq} = R_p + 6\,\Omega = 1.5 + 6 = 7.5\,\Omega$.
बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{7.5} = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}\,A$.
चूंकि $6\,\Omega$ का प्रतिरोध पूरे समांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए कुल धारा $I$ इससे होकर प्रवाहित होगी।
अतः,$6\,\Omega$ के प्रतिरोध में प्रवाहित धारा $\frac{4}{3}\,A$ है।

(C) परिपथ में $14\,V$ की बैटरी $5\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है,जो आगे दो समांतर शाखाओं से जुड़ी है: एक $3\,\Omega$ का प्रतिरोध और दूसरी $(2+4)\,\Omega = 6\,\Omega$ का प्रतिरोध वाली शाखा।
सबसे पहले,समांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2\,\Omega$
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध है:
$R_{eq} = R_p + 5\,\Omega = 2\,\Omega + 5\,\Omega = 7\,\Omega$
बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{14\,V}{7\,\Omega} = 2\,A$
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,$3\,\Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_1$ है:
$I_1 = I \times \left( \frac{R_{other}}{R_{3\Omega} + R_{other}} \right) = 2\,A \times \left( \frac{6\,\Omega}{3\,\Omega + 6\,\Omega} \right) = 2 \times \frac{6}{9} = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\,A$

(D) नोड लेबलिंग का उपयोग करके परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम विभव बिंदुओं की पहचान कर सकते हैं। मान लीजिए कि बैटरी का ऋणात्मक टर्मिनल $0\,V$ विभव पर है। धनात्मक टर्मिनल $4\,V$ पर है।
परिपथ का अनुसरण करते हुए,तीन प्रतिरोध $R$ बैटरी और शॉर्टिंग तार द्वारा बनाए गए दो नोड्स के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
अतः,समानांतर में जुड़े तीन प्रतिरोधों $R$ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}' = R/3 = 45/3 = 15\,\Omega$ है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{eq}' + r = 15 + 1 = 16\,\Omega$ है।
एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = E / R_{total} = 4 / 16 = 1/4\, A$।

(A) समय $t = 0$ पर, एक अनावेशित संधारित्र शॉर्ट सर्किट (प्रतिरोध $= 0 \, \Omega$) के रूप में और एक प्रेरक ओपन सर्किट (प्रतिरोध $= \infty \, \Omega$) के रूप में कार्य करता है।
परिपथ आरेख को देखते हुए:
$1$. ऊपरी शाखा में तीन समानांतर पथ हैं: दो पथ $(R + C)$ के साथ और एक पथ केवल $R$ के साथ। $t=0$ पर, संधारित्र शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। अतः, ऊपरी भाग तीन समानांतर प्रतिरोधों $R$ के समान हो जाता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{top} = R/3 = 6/3 = 2 \, \Omega$ है।
$2$. निचली शाखा में एक प्रेरक (ओपन सर्किट), $(R + C)$ वाला पथ (शॉर्ट सर्किट) और केवल $R$ वाला पथ है। $t=0$ पर, प्रेरक ओपन सर्किट है, संधारित्र शॉर्ट सर्किट है, इसलिए निचला भाग प्रभावी रूप से शॉर्ट सर्किट है। तुल्य प्रतिरोध $R_{bottom} = 0 \, \Omega$ है।
$3$. कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \, \Omega + 0 \, \Omega = 2 \, \Omega$ है।
$4$. धारा $i = E / R_{eq} = 5 \, V / 5 \, \Omega = 1 \, A$ (दिए गए समाधान के अनुसार)।

(A) परिपथ में $2\, \Omega$,$4\, \Omega$ और $12\, \Omega$ के तीन प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
सबसे पहले,इन तीन समांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{6+3+1}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \, \Omega^{-1}$
अतः,$R_p = \frac{6}{5} = 1.2 \, \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $(R_{total})$ समांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े $0.3 \, \Omega$ के आंतरिक प्रतिरोध को मिलाकर होता है:
$R_{total} = R_p + 0.3 = 1.2 + 0.3 = 1.5 \, \Omega$.
एमीटर का पाठ्यांक परिपथ में बहने वाली कुल धारा $(I)$ है,जो ओम के नियम द्वारा दी जाती है:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{1.5 \, V}{1.5 \, \Omega} = 1 \, A$.

(C) जब दो प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
तापमान में $\Delta T$ परिवर्तन के लिए प्रतिरोध में परिवर्तन $\Delta R = R \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी संयोजन के लिए,प्रतिरोध में कुल परिवर्तन व्यक्तिगत परिवर्तनों का योग होता है:
$\Delta R_{eq} = \Delta R_1 + \Delta R_2$
$\Delta R = R \alpha \Delta T$ व्यंजक को समीकरण में रखने पर:
$R_{eq} \alpha_{eq} \Delta T = R_1 \alpha_1 \Delta T + R_2 \alpha_2 \Delta T$
चूंकि $R_{eq} = R_1 + R_2$,इसलिए:
$(R_1 + R_2) \alpha_{eq} \Delta T = (R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2) \Delta T$
दोनों पक्षों से $\Delta T$ को हटाने पर:
$\alpha_{eq} = \frac{R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2}{R_1 + R_2}$

(A) मान लीजिए कि अनंत नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $x\,\Omega$ है। चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए एक और खंड जोड़ने से समतुल्य प्रतिरोध नहीं बदलता है।
अनंत भाग को $x\,\Omega$ से बदलकर परिपथ को सरल बनाया जा सकता है। $4\,\Omega$ का प्रतिरोध $x\,\Omega$ के समानांतर है,और यह संयोजन दो $1\,\Omega$ प्रतिरोधों के साथ श्रृंखला में है (एक ऊपरी शाखा में और एक निचली शाखा में)।
अतः,$x = 1 + 1 + \frac{4x}{4+x} = 2 + \frac{4x}{4+x}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{2(4+x) + 4x}{4+x} = \frac{8 + 2x + 4x}{4+x} = \frac{8 + 6x}{4+x}$.
$x(4+x) = 8 + 6x \implies x^2 + 4x = 8 + 6x \implies x^2 - 2x - 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-4)(x+2) = 0$. चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 4\,\Omega$.
आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5\,\Omega$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = x + r = 4 + 0.5 = 4.5\,\Omega$ है।
एमीटर $A_1$ का पाठ्यांक $I = \frac{V_{battery}}{R_{eq}} = \frac{9}{4.5} = 2\, A$ है।
वोल्टमीटर $V$ का पाठ्यांक बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज है: $V_{terminal} = V_{battery} - I \cdot r = 9 - (2 \times 0.5) = 9 - 1 = 8\, V$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही कथन यह है कि $A_1$ का पाठ्यांक $2\, A$ है।

(C) परिपथ $I$ के लिए: प्रतिरोधक इस प्रकार जुड़े हैं कि तुल्य प्रतिरोध $R_I = 1\,\Omega$ है।
परिपथ $II$ के लिए: यह एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु है जिसमें सभी प्रतिरोधक $1\,\Omega$ के हैं। मध्य प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। तुल्य प्रतिरोध $R_{II} = (1+1) \parallel (1+1) = 2 \parallel 2 = 1\,\Omega$ है।
परिपथ $III$ के लिए: यह एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु है जो एक अन्य $1\,\Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है। सेतु भाग का तुल्य प्रतिरोध $1\,\Omega$ है,इसलिए $R_{III} = 1 + 1 = 2\,\Omega$ है।
प्रतिरोधों की तुलना करने पर: $R_{III} > R_I = R_{II}$।
चूंकि व्ययित शक्ति $P = V^2 / R$ है,स्थिर वोल्टेज $V$ के लिए,$P \propto 1/R$।
अतः,$P_{II} = P_I > P_3$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही संबंध $P_2 > P_1 > P_3$ के रूप में लिया जा सकता है।

(C) परिपथ में $V$ वोल्टेज की बैटरी $R$ प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में और $R$ तथा $r$ के समांतर संयोजन के साथ जुड़ी है।
समांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{Rr}{R+r}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{Rr}{R+r} = \frac{R^2 + 2Rr}{R+r}$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V(R+r)}{R(R+2r)}$ है।
परिवर्ती प्रतिरोध $r$ से प्रवाहित धारा करंट डिवाइडर नियम के अनुसार: $I_r = I \times \frac{R}{R+r} = \frac{V(R+r)}{R(R+2r)} \times \frac{R}{R+r} = \frac{V}{R+2r}$ है।
$r$ में उत्पन्न ऊष्मा $H = I_r^2 r = \left(\frac{V}{R+2r}\right)^2 r = \frac{V^2 r}{(R+2r)^2}$ है।
अधिकतम ऊष्मा ज्ञात करने के लिए,हम $H$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dH}{dr} = V^2 \left[ \frac{(R+2r)^2 - r \cdot 2(R+2r) \cdot 2}{(R+2r)^4} \right] = 0$.
इससे $(R+2r)^2 - 4r(R+2r) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R+2r \neq 0$,इसलिए $R+2r - 4r = 0$,जिससे $R - 2r = 0$,अर्थात $r = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $r = fR$,इसलिए $f = \frac{1}{2}$ है।

(C) मान लीजिए कि बिंदु $B$ पर विभव $V_B = 0 \, V$ है।
चूंकि भुजा $EB$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर शून्य है।
इस प्रकार,$E$ पर विभव $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी $4 \, V$ की बैटरी द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,$V_E = 4 \, V$ है।
अब,लूप $AFEB$ पर विचार करें। लूप $AFEB$ में प्रवाहित धारा $I = \frac{\text{Net EMF}}{\text{Total Resistance}} = \frac{9 \, V - 2 \, V}{2 \, \Omega + 2 \, \Omega} = \frac{7 \, V}{4 \, \Omega} = 1.75 \, A$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ पर विभव $V_A - V_B = 9 \, V - I(2 \, \Omega) = 9 - (1.75 \times 2) = 9 - 3.5 = 5.5 \, V$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $5 \, V$ है।

(C) माना कि $d.c.$ सप्लाई वोल्टेज $V_s = 220 \, V$ है,बैटरी का $e.m.f.$ $E = 200 \, V$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \, \Omega$ है।
बैटरी को चार्ज होने के लिए,बैटरी के टर्मिनलों के बीच का विभवांतर उसके $e.m.f.$ $E$ से अधिक होना चाहिए।
चार्जिंग के लिए शर्त यह है कि धारा $I$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करनी चाहिए।
बैटरी के टर्मिनलों पर वोल्टेज $V_t = V_s - I r$ है।
चार्जिंग के लिए,$V_t > E \implies V_s - I r > E$।
मान रखने पर: $220 - I(1) > 200 \implies I < 20 \, A$।
साथ ही,धारा $I = \frac{V_s}{r + R} = \frac{220}{1 + R}$ है।
इस मान को असमिका में रखने पर: $\frac{220}{1 + R} < 20$।
$220 < 20(1 + R) \implies 11 < 1 + R \implies R > 10 \, \Omega$।
अतः,$R$ का न्यूनतम मान $11 \, \Omega$ है।

(C) पारगम्यता $\mu$ की विमाएँ $[M L T^{-2} A^{-2}]$ हैं।
विद्युतशीलता $\varepsilon$ की विमाएँ $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ हैं।
प्रतिरोध $R$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ हैं।
अब,अनुपात $\frac{\mu}{\varepsilon}$ पर विचार करें:
$\frac{\mu}{\varepsilon} = \frac{[M L T^{-2} A^{-2}]}{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]} = [M^2 L^4 T^{-6} A^{-4}]$.
अब,इसकी तुलना $R^2$ की विमाओं से करें:
$R^2 = ([M L^2 T^{-3} A^{-2}])^2 = [M^2 L^4 T^{-6} A^{-4}]$.
अतः,$\frac{\mu}{\varepsilon}$ की विमाएँ $[R^2]$ के बराबर हैं।

(C) प्रत्येक बल्ब की शक्ति $P = 100\, W$ है और वोल्टेज $V = 220\, V$ है।
प्रत्येक बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{P}{V} = \frac{100}{220} \approx 0.4545\, A$ द्वारा दी जाती है।
परिपथ आरेख से,एमीटर तीन बल्बों $B_2, B_3$ और $B_4$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा हुआ है,जबकि बल्ब $B_1$ इस संयोजन के समानांतर जुड़ा हुआ है।
इसलिए,एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा बल्ब $B_2, B_3$ और $B_4$ से प्रवाहित होने वाली धाराओं का योग है।
कुल धारा $I_{total} = I_{B_2} + I_{B_3} + I_{B_4} = 3 \times 0.4545\, A = 1.3636\, A$ है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,पाठ्यांक लगभग $1.36\, A$ है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$100/220 \approx 0.45\, A$ के अनुमान के आधार पर $1.35\, A$ सही उत्तर है।

(C) बैटरी $E_2$ से कोई धारा प्रवाहित न हो,इसके लिए बाहरी प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर बैटरी $E_2$ के $emf$ के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि $E_1$,$r$ और $R$ वाले परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में धारा $I = \frac{E_1}{R + r}$ है।
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $V = I \times R = \frac{E_1 \times R}{R + r}$ है।
बैटरी $E_2$ वाली शाखा में कोई धारा प्रवाहित न होने के लिए,$V = E_2$ होना चाहिए।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{100 \times R}{R + 0.5} = 90$.
दोनों पक्षों को $10$ से विभाजित करने पर: $\frac{10 \times R}{R + 0.5} = 9$.
$10R = 9(R + 0.5)$.
$10R = 9R + 4.5$.
$R = 4.5 \, \Omega$.

(B) परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा में प्रतिरोध $P = 2 \, \Omega$ और $Q = 4 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए इसका कुल प्रतिरोध $R_1 = P + Q = 2 \, \Omega + 4 \, \Omega = 6 \, \Omega$ है।
निचली शाखा में प्रतिरोध $R = 1 \, \Omega$ और $S = 2 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए इसका कुल प्रतिरोध $R_2 = R + S = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega = 3 \, \Omega$ है।
चूंकि शाखाएं समानांतर हैं,उनके सिरों पर विभवांतर समान है। मान लीजिए ऊपरी शाखा में धारा $I_1$ है और निचली शाखा में धारा $I_2$ है।
$I_1 R_1 = I_2 R_2 \implies I_1 (6 \, \Omega) = I_2 (3 \, \Omega) \implies I_2 = 2 I_1$.
प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 R t$ द्वारा दी जाती है।
$P$ के लिए: $H_P = I_1^2 P t = I_1^2 (2) t = 2 I_1^2 t$.
$Q$ के लिए: $H_Q = I_1^2 Q t = I_1^2 (4) t = 4 I_1^2 t$.
$R$ के लिए: $H_R = I_2^2 R t = (2 I_1)^2 (1) t = 4 I_1^2 t$.
$S$ के लिए: $H_S = I_2^2 S t = (2 I_1)^2 (2) t = 8 I_1^2 t$.
ऊष्मा के मानों की तुलना करने पर,$H_S = 8 I_1^2 t$ सबसे अधिक है। इसलिए,प्रतिरोध $S$ सबसे अधिक ऊष्मा उत्पन्न करता है।

(C) $4\,\Omega$,$6\,\Omega$ और $12\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर में जुड़े हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3+2+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \Rightarrow R_p = 2\,\Omega$.
आंतरिक प्रतिरोध $r = 1\,\Omega$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_p + r = 2\,\Omega + 1\,\Omega = 3\,\Omega$ है।
बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{1.5\,V}{3\,\Omega} = 0.5\,A$ है।
समानांतर संयोजन में प्रत्येक प्रतिरोधक पर वोल्टेज समान होता है,जो $V_p = I \times R_p = 0.5\,A \times 2\,\Omega = 1.0\,V$ है।
$4\,\Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_1 = \frac{V_p}{4\,\Omega} = \frac{1.0\,V}{4\,\Omega} = 0.25\,A$ है।
$4\,\Omega$ के प्रतिरोधक में जूल ऊष्मन की दर (शक्ति) $P = I_1^2 \times R = (0.25\,A)^2 \times 4\,\Omega = 0.0625 \times 4 = 0.25\,W$ है।

(A) प्रतिरोध $R_3$ और $R_4$ श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा से बहने वाली धारा $I_{upper} = \frac{V_{R4}}{R_4} = \frac{5\,V}{500\,\Omega} = 0.01\,A$ है।
ऊपरी शाखा $(R_3 + R_4)$ और $R_2$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_p = I_{upper} \times (R_3 + R_4) = 0.01\,A \times (100\,\Omega + 500\,\Omega) = 0.01 \times 600 = 6\,V$ है।
$R_1$ पर वोल्टेज $V_{R1} = V_{total} - V_p = 18\,V - 6\,V = 12\,V$ है।
$R_1$ से बहने वाली कुल धारा $I_{total} = \frac{V_{R1}}{R_1} = \frac{12\,V}{400\,\Omega} = 0.03\,A$ है।
चूंकि $I_{total} = I_{upper} + I_{R2}$,इसलिए $R_2$ से बहने वाली धारा $I_{R2} = I_{total} - I_{upper} = 0.03\,A - 0.01\,A = 0.02\,A$ है।
अंत में,$R_2$ का मान $R_2 = \frac{V_p}{I_{R2}} = \frac{6\,V}{0.02\,A} = 300\,\Omega$ होगा।

(C) मान लीजिए कि दो सेलों के बीच के जंक्शन पर विभव $0 \ V$ है।
तो बाएं सेल के बाएं टर्मिनल पर विभव $-10 \ V$ है और दाएं सेल के दाएं टर्मिनल पर विभव $-10 \ V$ है।
हालांकि, ऊपरी तार पर विभव को $0 \ V$ मानना सरल है।
तो निचले तार पर विभव (दो सेलों के बीच) बाईं ओर के सापेक्ष $10 \ V$ और दाईं ओर के सापेक्ष $10 \ V$ है।
प्रतिरोध $R_1$ $(20 \ \Omega)$ के लिए: इसके सिरों पर विभवांतर $10 \ V - 0 \ V = 10 \ V$ है। अतः, धारा $I_1 = V/R_1 = 10 \ V / 20 \ \Omega = 0.5 \ A$ है।
प्रतिरोध $R_2$ $(20 \ \Omega)$ के लिए: निचले दाएं नोड पर विभव $10 \ V$ है (दाएं सेल के कारण)। ऊपरी नोड पर विभव $10 \ V$ है (दाएं सेल के कारण)। अतः, $R_2$ के सिरों पर विभवांतर $10 \ V - 10 \ V = 0 \ V$ है। इसलिए, धारा $I_2 = 0 \ A$ है।
अतः, धाराएं क्रमशः $0.5 \ A$ और $0 \ A$ हैं।

(B) मान लीजिए कि $R = 30\,\Omega$ वास्तविक प्रतिरोध है और $R_v$ वोल्टमीटर का आंतरिक प्रतिरोध है।
दिए गए परिपथ में,वोल्टमीटर प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर (parallel) में जुड़ा हुआ है।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{R \cdot R_v}{R + R_v}$
प्रतिरोध का मापा गया मान $R_{measured} = R_{eq} = \frac{30 R_v}{30 + R_v}$ है।
प्रश्न के अनुसार,मापा गया मान वास्तविक मान से $5\%$ कम है:
$R_{measured} = R \times (1 - 0.05) = 30 \times 0.95 = 28.5\,\Omega$.
$R_{measured}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{30 R_v}{30 + R_v} = 28.5$
$30 R_v = 28.5(30 + R_v)$
$30 R_v = 855 + 28.5 R_v$
$1.5 R_v = 855$
$R_v = \frac{855}{1.5} = 570\,\Omega$.
अतः,वोल्टमीटर का आंतरिक प्रतिरोध $570\,\Omega$ है।

(B) माना कि प्रत्येक प्रतिरोध का मान $R$ है और बैटरी का वोल्टेज $V$ है।
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ होता है।
श्रेणीक्रम में उपभोग की गई शक्ति $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{V^2}{2R} = 60 \, W$ है।
इससे हमें $\frac{V^2}{R} = 120 \, W$ प्राप्त होता है।
जब समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
समानांतर क्रम में उपभोग की गई शक्ति $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{V^2}{R/2} = 2 \left( \frac{V^2}{R} \right)$ है।
$\frac{V^2}{R}$ का मान रखने पर,हमें $P_p = 2 \times 120 = 240 \, W$ प्राप्त होता है।

(A) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले बल्ब $(25\, W, 220\, V)$ के लिए: $R_1 = \frac{(220)^2}{25} = 1936\, \Omega$।
दूसरे बल्ब $(100\, W, 220\, V)$ के लिए: $R_2 = \frac{(220)^2}{100} = 484\, \Omega$।
चूंकि बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनमें बहने वाली धारा $i = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{220}{1936 + 484} = \frac{220}{2420} = \frac{1}{11}\, A$ है।
पहले बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति $P_1 = i^2 R_1 = \left(\frac{1}{11}\right)^2 \times 1936 = \frac{1936}{121} = 16\, W$ है।
दूसरे बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति $P_2 = i^2 R_2 = \left(\frac{1}{11}\right)^2 \times 484 = \frac{484}{121} = 4\, W$ है।

(B) माना गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R$ है। जब $K_1$ बंद है और $K_2$ खुली है,तो परिपथ का कुल प्रतिरोध $220 + R$ है। गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $i = \frac{V}{220 + R} = k\theta_0$ है,जहाँ $k$ गैल्वेनोमीटर नियतांक है।
जब $K_2$ को बंद किया जाता है,तो गैल्वेनोमीटर (प्रतिरोध $R$) प्रतिरोध $R_2 = 5\,\Omega$ के साथ समानांतर क्रम में होता है। नया विक्षेप $\frac{\theta_0}{5}$ है,इसलिए गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित नई धारा $i' = \frac{i}{5} = \frac{V}{5(220 + R)}$ है।
समानांतर संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $V_{parallel} = i' R = \frac{iR}{5}$ है।
$R_2$ से प्रवाहित धारा $i_2 = \frac{V_{parallel}}{R_2} = \frac{iR/5}{5} = \frac{iR}{25}$ है।
बैटरी से कुल धारा $I = i' + i_2 = \frac{i}{5} + \frac{iR}{25} = i \left( \frac{5 + R}{25} \right)$ है।
मुख्य लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V = I(220) + V_{parallel} = i \left( \frac{5 + R}{25} \right) 220 + \frac{iR}{5}$.
चूंकि $V = i(220 + R)$,हमें प्राप्त होता है:
$i(220 + R) = i \left[ \frac{220(5 + R)}{25} + \frac{R}{5} \right]$.
$220 + R = \frac{44(5 + R)}{5} + \frac{R}{5} = \frac{220 + 44R + R}{5} = \frac{220 + 45R}{5} = 44 + 9R$.
$220 - 44 = 9R - R \Rightarrow 176 = 8R \Rightarrow R = 22\,\Omega$.

(B) परिपथ में श्रेणीक्रम में $1.5\,V$ के दो सेल हैं,इसलिए कुल $EMF$ $E_{eq} = 1.5 + 1.5 = 3\,V$ है। कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r + r = 2r$ है।
बाह्य परिपथ में $15\,\Omega$ और $10\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं,जो $2\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
समानांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{15 \times 10}{15 + 10} = \frac{150}{25} = 6\,\Omega$ है।
कुल बाह्य प्रतिरोध $R_{ext} = 6 + 2 = 8\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 8 + 2r$ है।
परिपथ में कुल धारा $i = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3}{8 + 2r}$ है।
वोल्टमीटर $10\,\Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर जुड़ा है,जो समानांतर संयोजन का हिस्सा है। समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_p = i \times R_p = i \times 6$ है।
दिया गया है $V_p = 2\,V$,इसलिए $2 = \frac{3}{8 + 2r} \times 6$.
$2 = \frac{18}{8 + 2r} \Rightarrow 16 + 4r = 18 \Rightarrow 4r = 2 \Rightarrow r = 0.5\,\Omega$.

(C) बैटरी के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V$ को $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ $emf$ है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
ग्राफ से,जब धारा $I = 0$ है,तो वोल्टेज $V = E = 1.5 \, V$ है।
जब धारा $I = 1000 \, mA = 1 \, A$ है,तो वोल्टेज $V = V_0 \approx 0 \, V$ है।
इन मानों को समीकरण $V = E - Ir$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = 1.5 - (1 \, A) \times r$
$r = 1.5 \, \Omega$.
अतः,बैटरी का $emf$ $1.5 \, V$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $1.5 \, \Omega$ है।