Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(B) $E_2$ emf वाली बैटरी को शॉर्ट-सर्किट करने से पहले परिपथ में धारा इस प्रकार है:
$I_1 = \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$
$E_2$ emf वाली बैटरी को शॉर्ट-सर्किट करने के बाद,प्रतिरोध $R$ से गुजरने वाली धारा होगी:
$I_2 = \frac{E_1}{R + r_1}$
धारा बढ़ाने के लिए,हमारे पास $I_2 > I_1$ होना चाहिए:
$\frac{E_1}{R + r_1} > \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$E_1(R + r_1 + r_2) > (E_1 + E_2)(R + r_1)$
$E_1R + E_1r_1 + E_1r_2 > E_1R + E_1r_1 + E_2R + E_2r_1$
दोनों पक्षों से $E_1R + E_1r_1$ घटाने पर:
$E_1r_2 > E_2(R + r_1)$

(C) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा (लाइन $(2)$) से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ बैटरी $E$,इसके आंतरिक प्रतिरोध $r$ और प्रतिरोध $R_2$ के श्रेणी संयोजन के रूप में सरल हो जाता है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $i = \frac{E}{R_2 + r}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिरोध $R_2$ के सिरों पर विभवांतर $V = i R_2 = \frac{E R_2}{R_2 + r}$ है।
चूंकि संधारित्र प्रतिरोध $R_2$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $R_2$ के विभवांतर के समान ही होता है।
अतः,संधारित्र पर आवेश $Q = C V = C \left( \frac{E R_2}{R_2 + r} \right) = \frac{C E R_2}{R_2 + r}$ है।

(C) स्थिति $1$: जब कुंजी $K$ खुली हो।
परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं। बाईं शाखा में $R$ और $2R$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,और दाईं शाखा में $2R$ और $R$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं।
बाईं शाखा का तुल्य प्रतिरोध: $R_L = R + 2R = 3R$।
दाईं शाखा का तुल्य प्रतिरोध: $R_R = 2R + R = 3R$।
ये दोनों शाखाएँ समानांतर में हैं,इसलिए कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq1} = \frac{3R \times 3R}{3R + 3R} = \frac{9R^2}{6R} = \frac{3R}{2}$ है।
एमीटर द्वारा मापी गई धारा $I_1 = \frac{V}{R_{eq1}} = \frac{V}{3R/2} = \frac{2V}{3R}$ है।
स्थिति $2$: जब कुंजी $K$ बंद हो।
कुंजी $K$ दोनों शाखाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। यह प्रभावी रूप से श्रेणी में दो समानांतर संयोजन बनाती है।
बाईं ओर $R$ और $2R$ का समानांतर संयोजन है: $R_{p1} = \frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}$।
दाईं ओर $2R$ और $R$ का समानांतर संयोजन है: $R_{p2} = \frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2R}{3}$।
ये दोनों संयोजन श्रेणी में हैं,इसलिए कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq2} = R_{p1} + R_{p2} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$ है।
एमीटर द्वारा मापी गई धारा $I_2 = \frac{V}{R_{eq2}} = \frac{V}{4R/3} = \frac{3V}{4R}$ है।
धाराओं का अनुपात: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{2V/3R}{3V/4R} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$।

(A) $1$. सर्किट का विश्लेषण: $10\,\Omega$ और $15\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर में हैं और उनके बीच का वोल्टेज $10\,V$ है।
$2$. $10\,\Omega$ प्रतिरोधक में धारा: $I_{10} = \frac{V}{R} = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$.
$3$. $15\,\Omega$ प्रतिरोधक में धारा: $I_{15} = \frac{10\,V}{15\,\Omega} = \frac{2}{3}\,A$.
$4$. मध्य शाखा से प्रवाहित कुल धारा: $I_{total} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\,A$.
$5$. नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध: सर्किट $4\,\Omega$,समानांतर ब्लॉक और $2\,\Omega$ के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है। समानांतर ब्लॉक में $(10\,\Omega || 15\,\Omega) = 6\,\Omega$ है जो $3\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के साथ श्रेणी में है (जो $6\,\Omega$ के साथ समानांतर में हैं)। कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 4 + 6 + 2 = 12\,\Omega$ है।
$6$. विभवांतर $V_{AB} = I_{total} \times R_{eq} = \frac{5}{3}\,A \times 12\,\Omega = 20\,V$.

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,परिपथ प्रभावी रूप से $6 \, V$ की बैटरी के साथ समानांतर में जुड़े तीन प्रतिरोधों $(1 \, \Omega, 2 \, \Omega, 3 \, \Omega)$ से बना है।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6} \, \Omega^{-1}$
$R_{eq} = \frac{6}{11} \, \Omega$
बैटरी से ली गई कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{6/11} = 11 \, A$
चूंकि संधारित्र बैटरी के साथ समानांतर में है,इसलिए संधारित्र पर विभवांतर बैटरी वोल्टेज के बराबर,यानी $V = 6 \, V$ होगा।
संधारित्र पर आवेश $Q$ है:
$Q = C \times V = 0.5 \, \mu F \times 6 \, V = 3 \, \mu C$

(A) आइए परिपथ में नोड्स पर विभव निर्धारित करें। मान लीजिए कि $E_2$ और $R_2$ के बीच के जंक्शन पर विभव $0\,V$ है।
अतः $E_2$ बैटरी के कारण $E_2$ और $E_3$ के बीच के जंक्शन पर विभव $3\,V$ होगा।
समाधान छवि में दिखाए गए अनुसार,$R_1$ के सिरों के बीच विभवांतर $2\,V$ है,इसलिए $i_1 = \frac{2\,V}{10\,\Omega} = 0.2\,A$ है।
इसी प्रकार,$R_2$ के सिरों के बीच विभवांतर $3\,V$ है,इसलिए $i_2 = \frac{3\,V}{30\,\Omega} = 0.1\,A$ है।
अतः,धाराएं $i_1 = 0.2\,A$ और $i_2 = 0.1\,A$ हैं।

(C) परिपथ में प्रवाहित धारा $I$ का मान $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R = nr$ बाहरी प्रतिरोध है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{E}{nr + r} = \frac{E}{r(n+1)}$ प्राप्त होता है।
सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$,$V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $V = E - \left( \frac{E}{r(n+1)} \right) r = E - \frac{E}{n+1}$ प्राप्त होता है।
$E$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$V = E \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = E \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = E \left( \frac{n}{n+1} \right)$.
अतः,टर्मिनल विभवांतर और $emf$ का अनुपात $\frac{V}{E} = \frac{n}{n+1}$ है।

(D) इस परिपथ में $10 \text{ V}$ और $4 \text{ V}$ के दो सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,साथ ही $1 \, \Omega$,$2 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$ के तीन प्रतिरोधक भी श्रेणीक्रम में हैं।
परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{eq} = 10 \text{ V} - 4 \text{ V} = 6 \text{ V}$ है,क्योंकि सेल विपरीत दिशा में जुड़े हैं (धनात्मक टर्मिनल एक-दूसरे के सामने हैं)।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega + 3 \, \Omega = 6 \, \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धारा $I = E_{eq} / R_{eq} = 6 \text{ V} / 6 \, \Omega = 1.0 \text{ A}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $10 \text{ V}$ का सेल $4 \text{ V}$ के सेल से अधिक शक्तिशाली है,इसलिए धारा $10 \text{ V}$ के सेल द्वारा निर्धारित दिशा में,यानी $a$ से $b$ की ओर $e$ के माध्यम से प्रवाहित होगी।

(C) परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो $2 \, V$ की बैटरी से जुड़ी हैं।
शाखा $CBD$ के लिए: कुल प्रतिरोध $R_1 = 15 \, \Omega$ (चित्रानुसार)। धारा $I = \frac{2}{15} \, A$ है।
$V_C - V_B = I \times 10 = \frac{2}{15} \times 10 = \frac{4}{3} \, V$ है।
शाखा $CAD$ के लिए: कुल प्रतिरोध $R_2 = 5 \, \Omega$ (चित्रानुसार)। धारा $I = \frac{2}{15} \times 5 = \frac{2}{3} \, V$ है।
अतः,$V_A - V_B = (V_C - V_B) - (V_C - V_A) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \, V$ है।

(C) परिपथ में $10\,V$ की बैटरी के साथ समानांतर में जुड़ी दो शाखाएँ हैं।
शाखा $1$ (ऊपरी) में $1\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_1 = 1 + 3 = 4\,\Omega$.
शाखा $1$ में धारा $I_1 = \frac{10\,V}{4\,\Omega} = 2.5\,A$.
$C$ के सापेक्ष $A$ का विभव $V_C - V_A = I_1 \times 1\,\Omega = 2.5\,V$,इसलिए $V_A = V_C - 2.5$.
शाखा $2$ (निचली) में $3\,\Omega$ और $1\,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_2 = 3 + 1 = 4\,\Omega$.
शाखा $2$ में धारा $I_2 = \frac{10\,V}{4\,\Omega} = 2.5\,A$.
$C$ के सापेक्ष $B$ का विभव $V_C - V_B = I_2 \times 3\,\Omega = 7.5\,V$,इसलिए $V_B = V_C - 7.5$.
अब,विभवांतर $V_A - V_B$ की गणना करने पर:
$V_A - V_B = (V_C - 2.5) - (V_C - 7.5) = -2.5 + 7.5 = 5\,V$.

(A) दिया गया है कि बिंदु $A$ पर विभव $V_{A} = 0 \ V$ है।
$1$. $1 \ V$ की बैटरी के माध्यम से $A$ से $C$ तक जाने पर,विभव $1 \ V$ बढ़ जाता है क्योंकि हम ऋणात्मक टर्मिनल से धनात्मक टर्मिनल की ओर जाते हैं। अतः,$V_{C} = V_{A} + 1 = 0 + 1 = 1 \ V$.
$2$. $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के माध्यम से $C$ से $D$ तक जाने पर,$1 \ A$ की धारा $D$ से $C$ की ओर बहती है। इसलिए,$D$ पर विभव $C$ की तुलना में $I \times R = 1 \ A \times 2 \ \Omega = 2 \ V$ अधिक है। अतः,$V_{D} = V_{C} + 2 = 1 + 2 = 3 \ V$.
$3$. $2 \ V$ की बैटरी के माध्यम से $D$ से $B$ तक जाने पर,हम धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जाते हैं,जिसका अर्थ है कि विभव में $2 \ V$ की कमी होती है। अतः,$V_{B} = V_{D} - 2 = 3 - 2 = 1 \ V$.
अतः,बिंदु $B$ पर विभव $1 \ V$ है।

(B) $6\,\Omega$ और $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। इसलिए,दोनों प्रतिरोधकों के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होगा।
$6\,\Omega$ के प्रतिरोधक के लिए,शक्ति $P_6$ का सूत्र $P_6 = \frac{V^2}{R_6}$ है।
यहाँ $P_6 = 6\,W$ और $R_6 = 6\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए:
$6 = \frac{V^2}{6} \Rightarrow V^2 = 36 \Rightarrow V = 6\,V$.
अब,$4\,\Omega$ के प्रतिरोधक के लिए,शक्ति $P_4$ होगी:
$P_4 = \frac{V^2}{R_4} = \frac{6^2}{4} = \frac{36}{4} = 9\,W$.

(A) मान लीजिए परिपथ का प्रारंभिक प्रतिरोध $G$ है। परिपथ में धारा $I = \frac{V}{G}$ है।
गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में $R$ जोड़ने के बाद,नया प्रतिरोध $G + R$ हो जाता है।
मुख्य धारा को अपरिवर्तित रखने के लिए,हम $(G + R)$ संयोजन के साथ समांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ते हैं ताकि तुल्य प्रतिरोध $G$ बना रहे।
अतः,$\frac{(G + R)S}{(G + R) + S} = G$.
$(G + R)S = G(G + R + S)$.
$GS + RS = G^2 + GR + GS$.
$RS = G^2 + GR$.
$S = \frac{G^2 + GR}{R} = \frac{G^2}{R} + G$.

(A) एक आदर्श एमीटर का प्रतिरोध शून्य होता है। दिए गए परिपथ में,एमीटर $A_2$ को $10\,\Omega$ के प्रतिरोध और एमीटर $A_1$ वाली शाखा के समानांतर जोड़ा गया है।
चूंकि $A_2$ आदर्श है,इसलिए इसका प्रतिरोध $0\,\Omega$ है। यह $A_1$ और $10\,\Omega$ के प्रतिरोध वाली शाखा में शॉर्ट सर्किट उत्पन्न करता है।
चूंकि विद्युत धारा हमेशा कम प्रतिरोध वाले पथ का अनुसरण करती है,इसलिए स्रोत से आने वाली पूरी विद्युत धारा आदर्श एमीटर $A_2$ से होकर प्रवाहित होगी।
परिणामस्वरूप,$A_1$ और $10\,\Omega$ के प्रतिरोध वाली शाखा से कोई विद्युत धारा प्रवाहित नहीं होगी।
अतः,एमीटर $A_1$ का पाठ्यांक $0\,A$ है।

(A) यह परिपथ दो लूपों से बना है जो एक केंद्रीय $2\,\Omega$ प्रतिरोधक द्वारा जुड़े हुए हैं। मान लीजिए कि $5\,\Omega$ प्रतिरोधक और $2\,\Omega$ प्रतिरोधक के बीच के नोड पर विभव $V_1$ है,और $10\,\Omega$ प्रतिरोधक और $2\,\Omega$ प्रतिरोधक के बीच के नोड पर विभव $V_2$ है। नीचे वाले तार का विभव $0\,V$ मानते हुए:
नोड $V_1$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_1 - 10}{5} + \frac{V_1 - V_2}{2} = 0$
$2(V_1 - 10) + 5(V_1 - V_2) = 0$
$7V_1 - 5V_2 = 20$ --- (समीकरण $1$)
नोड $V_2$ पर $KCL$ लागू करने पर:
$\frac{V_2 - V_1}{2} + \frac{V_2 - 20}{10} = 0$
$5(V_2 - V_1) + 1(V_2 - 20) = 0$
$-5V_1 + 6V_2 = 20$ --- (समीकरण $2$)
समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर:
समीकरण $1$ को $6$ से और समीकरण $2$ को $5$ से गुणा करने पर:
$42V_1 - 30V_2 = 120$
$-25V_1 + 30V_2 = 100$
इनका योग करने पर $17V_1 = 220$ प्राप्त होता है,अतः $V_1 = \frac{220}{17}\,V$.
$V_1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$6V_2 = 20 + 5(\frac{220}{17}) = \frac{340 + 1100}{17} = \frac{1440}{17}$
$V_2 = \frac{240}{17}\,V$.
$2\,\Omega$ प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I = \frac{V_2 - V_1}{2} = \frac{1}{2} (\frac{240}{17} - \frac{220}{17}) = \frac{1}{2} (\frac{20}{17}) = \frac{10}{17}\,A$.

(A) माना एमीटर का प्रतिरोध $R_A$ है।
जब स्विच खुला होता है,तो परिपथ में एक शाखा में $1\,\Omega$ का प्रतिरोध और दूसरी शाखा में दो श्रेणीबद्ध प्रतिरोध $(1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega)$ तथा एमीटर $(R_A)$ होते हैं।
एमीटर से प्रवाहित धारा $I_1 = \frac{10}{2 + R_A}$ है।
जब स्विच बंद किया जाता है,तो बीच वाली शाखा का प्रतिरोध बाईपास हो जाता है। परिपथ सरल होकर दो श्रेणीबद्ध प्रतिरोधों $(1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega)$ और एमीटर $(R_A)$ वाली शाखा में बदल जाता है।
एमीटर से प्रवाहित नई धारा $I_2 = \frac{10}{R_A}$ है।
दिया गया है कि पाठ्यांक दोगुना हो जाता है,इसलिए $I_2 = 2 I_1$.
$\frac{10}{R_A} = 2 \times \frac{10}{2 + R_A}$.
$2 + R_A = 2 R_A$.
$R_A = 2\,\Omega$.

(C) दिए गए परिपथ में, $6\, \Omega, 3\, \Omega$ और $2\, \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में जुड़े हैं।
उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2 + 3}{6} = \frac{6}{6} = 1\, \Omega$.
अब, यह तुल्य प्रतिरोध $R_p = 1\, \Omega$, $4\, \Omega$ के प्रतिरोध और $2\, V$ की बैटरी के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_p + 4\, \Omega = 1\, \Omega + 4\, \Omega = 5\, \Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में प्रवाहित धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2\, V}{5\, \Omega} = 0.4\, A$.
अतः, अमीटर का पाठ्यांक $0.4\, A$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोधक में क्षयित शक्ति $P$ है।
चूंकि $R_2$ और $R_3$ समानांतर में हैं,इसलिए उनके बीच का वोल्टेज समान है।
समान शक्ति क्षय के लिए,$P = \frac{V_2^2}{R_2} = \frac{V_3^2}{R_3}$। चूंकि $V_2 = V_3$,इसलिए $R_2 = R_3$ होना चाहिए।
मान लीजिए $R_2 = R_3 = R$। समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
$R_1$ से होकर बहने वाली धारा $I$ है,और $R_2$ तथा $R_3$ प्रत्येक से होकर बहने वाली धारा $I/2$ है।
$R_1$ में क्षयित शक्ति $P_1 = I^2 R_1$ है।
$R_2$ में क्षयित शक्ति $P_2 = (I/2)^2 R_2 = \frac{I^2 R_2}{4}$ है।
चूंकि $P_1 = P_2$,इसलिए $I^2 R_1 = \frac{I^2 R_2}{4}$,जिससे $R_1 = \frac{R_2}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,शर्त $R_2 = R_3$ और $R_1 = \frac{R_2}{4}$ है।

(D) मान लीजिए कि सामान्य ऊपरी नोड $ABCD$ पर विभव $V_1$ है और सामान्य निचले नोड $HGFE$ पर विभव $V_2$ है। मान लीजिए $V_1 - V_2 = V$ है।
मिलमैन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,समानांतर शाखाओं में समतुल्य वोल्टेज $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{\sum \frac{E_i}{r_i}}{\sum \frac{1}{r_i}} = \frac{\frac{10}{2} + \frac{15}{2} + \frac{20}{4} + \frac{25}{5}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}} = \frac{5 + 7.5 + 5 + 5}{0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.2} = \frac{22.5}{1.45} = \frac{450}{29} \, V$.
शाखा $BG$ ($15 \, V$ और $2 \, \Omega$ युक्त) से होकर बहने वाली धारा $I_{BG}$ इस प्रकार है:
$I_{BG} = \frac{E_2 - V}{r_2} = \frac{15 - \frac{450}{29}}{2} = \frac{\frac{435 - 450}{29}}{2} = \frac{-15}{58} \approx -0.258 \, A$.
चूंकि प्रश्न में धारा का परिमाण पूछा गया है और दिए गए विकल्प गणना से मेल नहीं खाते हैं,नोडल विश्लेषण के अनुसार,धारा बहुत कम है। दिए गए विकल्पों में से $0$ सबसे निकटतम मान है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक लैंप का प्रतिरोध $R$ है। यदि परिपथ में $L_1$,$L_2$ और $L_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,तो $L_3$ के फ्यूज होने पर समानांतर भाग का प्रतिरोध बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,$L_2$ के सिरों के बीच विभवांतर बढ़ जाता है,जिससे $L_2$ की चमक बढ़ जाती है। जबकि $L_1$ से प्रवाहित होने वाली धारा कम हो जाती है,जिससे उसकी चमक घट जाती है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) इस परिपथ में $E = 2 \ V$ का $EMF$ और $r = 1 \ \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध वाली एक बैटरी है।
चित्र का अवलोकन करने पर,परिपथ का कुल बाह्य प्रतिरोध $1 \ \Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{E}{R_{ext} + r}$ है।
यहाँ $R_{ext} = 0 \ \Omega$ और $r = 1 \ \Omega$ होने के कारण,$I = \frac{2}{1} = 2 \ A$ प्राप्त होता है।

(B) $RC$ परिपथ का समय नियतांक (time constant),प्रतिरोध $R$ और धारिता $C$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
धारिता की परिभाषा से,$C = Q/V$,जहाँ $Q$ आवेश है और $V$ विभवांतर है।
ओम के नियम से,$R = V/I$,जहाँ $I$ विद्युत धारा है।
इनका गुणा करने पर,$RC = (V/I) \times (Q/V) = Q/I$ प्राप्त होता है।
चूँकि विद्युत धारा $I = Q/t$,जहाँ $t$ समय है,इसलिए $Q/I = t$ होता है।
अतः,$RC$ की विमाएँ समय $[T]$ की विमाओं के समान होती हैं।

(A) दिया गया है कि अमीटर और वोल्टमीटर आदर्श हैं, इसलिए अमीटर का प्रतिरोध $R_A = 0 \, \Omega$ और वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_V = \infty \, \Omega$ है।
परिपथ में, अमीटर को वोल्टमीटर के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा गया है। चूंकि अमीटर का प्रतिरोध शून्य है, यह वोल्टमीटर के सिरों पर शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है।
इसलिए, स्रोत से आने वाली पूरी धारा अमीटर से होकर गुजरेगी और अमीटर तथा वोल्टमीटर के समानांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर शून्य होगा।
अतः, आदर्श वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0 \, V$ होगा।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र (capacitor) एक खुले परिपथ (open circuit) के रूप में कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,$C = 0.2 \ \mu F$ संधारित्र और $4 \ \Omega$ प्रतिरोधक वाली शाखा को अनदेखा किया जा सकता है।
परिपथ में प्रभावी रूप से $6 \ V$ की बैटरी,$2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के समानांतर संयोजन और $2.8 \ \Omega$ का प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं।
सबसे पहले,$2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$.
अब,परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq}$,$R_p$ और $2.8 \ \Omega$ प्रतिरोधक का योग है:
$R_{eq} = 1.2 \ \Omega + 2.8 \ \Omega = 4.0 \ \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,स्थिर अवस्था में धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{4 \ \Omega} = 1.5 \ A$.

(B) स्रोत द्वारा आपूर्ति की गई कुल धारा $I = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(at - bt^2) = a - 2bt$ है।
धारा तब शून्य हो जाती है जब $a - 2bt = 0$, जिससे $t = \frac{a}{2b}$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोध $R$ और $2R$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए, $2R$ प्रतिरोधक से प्रवाहित होने वाली धारा $I'$ है:
$I' = I \times \frac{R}{R + 2R} = \frac{1}{3}I = \frac{1}{3}(a - 2bt)$.
$2R$ प्रतिरोधक में उत्पन्न ऊष्मा $H = \int_0^{a/2b} (I')^2 (2R) dt$ द्वारा दी जाती है।
$H = \int_0^{a/2b} \left[ \frac{1}{3}(a - 2bt) \right]^2 (2R) dt = \frac{2R}{9} \int_0^{a/2b} (a - 2bt)^2 dt$.
माना $u = a - 2bt$, तो $du = -2b dt$, या $dt = -\frac{du}{2b}$.
जब $t=0, u=a$. जब $t=a/2b, u=0$.
$H = \frac{2R}{9} \int_a^0 u^2 \left( -\frac{du}{2b} \right) = \frac{2R}{9(2b)} \int_0^a u^2 du = \frac{R}{9b} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^a = \frac{R}{9b} \left( \frac{a^3}{3} \right) = \frac{a^3R}{27b}$.

(C) आकृति-$1$ से,वोल्टमीटर प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है। मान लीजिए वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_v$ है।
$R$ और $R_v$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R \cdot R_v}{R + R_v}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 2 + \frac{R \cdot R_v}{R + R_v}$ है।
वोल्टमीटर के सिरों पर वोल्टेज (पाठ्यांक $V$) वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा दिया जाता है:
$V = 10 \cdot \frac{R_{eq}}{R_{total}} = 10 \cdot \frac{\frac{R \cdot R_v}{R + R_v}}{2 + \frac{R \cdot R_v}{R + R_v}} = 10 \cdot \frac{R \cdot R_v}{2(R + R_v) + R \cdot R_v}$.
आकृति-$2$ से,जैसे $R_v \rightarrow \infty$,पाठ्यांक $V \rightarrow 8 \, V$ होता है।
$V$ के व्यंजक में $R_v \rightarrow \infty$ प्रतिस्थापित करने पर:
$V = 10 \cdot \frac{R \cdot R_v}{2R + 2R_v + R \cdot R_v} = 10 \cdot \frac{R}{\frac{2R}{R_v} + 2 + R} = \frac{10R}{2 + R}$.
सीमा पर $V = 8 \, V$ दिया गया है:
$8 = \frac{10R}{2 + R} \Rightarrow 16 + 8R = 10R \Rightarrow 2R = 16 \Rightarrow R = 8 \, \Omega$.

(A) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय के अनुसार,बाहरी सर्किट को अधिकतम शक्ति तब मिलती है जब बाहरी प्रतिरोध $(R_{eq})$ बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ के बराबर होता है।
$1$. सबसे पहले,सर्किट को सरल बनाएं। सर्किट में बैटरी के टर्मिनलों $A$ और $B$ के पार दो समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
$2$. बाईं शाखा में $2R$,$4R$ और $6R$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_1 = 2R + 4R + 6R = 12R$ है।
$3$. दाईं शाखा में $R$,$2R$ और $4R$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_2 = R + 2R + 4R = 7R$ है।
$4$. ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं। समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{12R} + \frac{1}{7R} = \frac{7 + 12}{84R} = \frac{19}{84R}$
$R_{eq} = \frac{84R}{19}$
$5$. अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए,$R_{eq} = r$,जहाँ $r = 4\,\Omega$ है।
$\frac{84R}{19} = 4$
$84R = 76$
$R = \frac{76}{84} = \frac{19}{21}\,\Omega$.

(C) जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो बिंदु $a$ और $b$ शॉर्ट-सर्किट हो जाते हैं। परिपथ दो लूप से बना है। मान लीजिए $b$ पर विभव $0 \ V$ है। तो $a$ पर भी विभव $0 \ V$ होगा। $10 \ V$ की बैटरी $20 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ जुड़ी हुई है। $20 \ \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I_1 = 10 \ V / 20 \ \Omega = 0.5 \ A$ (ऊपर की ओर) है। $10 \ V$ की बैटरी $10 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ भी जुड़ी हुई है। $10 \ \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I_2 = 10 \ V / 10 \ \Omega = 1.0 \ A$ (दाएं से बाएं) है। नोड $a$ पर,धारा $I_2$ दाईं ओर से आती है और दो रास्तों में विभाजित होती है: एक $5 \ \Omega$ के प्रतिरोध के माध्यम से और दूसरी स्विच $S$ के माध्यम से $b$ की ओर। $5 \ \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I_3 = V_a / 5 \ \Omega = 0 \ V / 5 \ \Omega = 0 \ A$ है। इसलिए,पूरी धारा $I_2$ को स्विच $S$ के माध्यम से $a$ से $b$ तक बहना चाहिए। अतः,$a$ से $b$ तक की धारा $1.0 \ A$ है।

(D) माना कि बाएं जंक्शन पर विभव $V_L = 0 \text{ V}$ है और दाएं जंक्शन पर विभव $V_R = 10 \text{ V}$ है।
यह परिपथ $10 \text{ V}$ के स्रोत के साथ जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (बाईं ओर): $2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। बिंदु $a$ पर विभव वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा निर्धारित होता है: $V_a = V_L + (V_R - V_L) \times \frac{2}{2+3} = 0 + 10 \times \frac{2}{5} = 4 \text{ V}$.
शाखा $2$ (दाईं ओर): $4 \ \Omega$ और $6 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। बिंदु $b$ पर विभव वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा निर्धारित होता है: $V_b = V_L + (V_R - V_L) \times \frac{4}{4+6} = 0 + 10 \times \frac{4}{10} = 4 \text{ V}$.
अतः,$V_a - V_b = 4 \text{ V} - 4 \text{ V} = 0 \text{ V}$.

(C) परिपथ आरेख से,हम देखते हैं कि तीन $6 \Omega$ के प्रतिरोधक एक-दूसरे के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ है।
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Omega^{-1}$,अतः $R_p = 2 \Omega$.
यह समानांतर संयोजन उस शाखा में मौजूद $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है जिसमें बैटरी और एमीटर लगे हैं।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + 2 \Omega = 2 \Omega + 2 \Omega = 4 \Omega$.
बैटरी का वोल्टेज $V = 2 \text{ V}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,एमीटर द्वारा मापी गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2 \text{ V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{ A}$ होगी।

(A) मान लीजिए कि $R_1$,$R_2$ और $10\,\Omega$ प्रतिरोधक के बीच के नोड पर विभव $V$ है। निचले तार पर विभव $0\,V$ है। $R_1$ के बाद ऊपरी तार पर विभव $69\,V$ है।
सबसे पहले,सबसे दाईं ओर की शाखा पर विचार करें जिसमें $20\,\Omega$ का प्रतिरोधक है और $1\,A$ की धारा प्रवाहित हो रही है। इस शाखा पर वोल्टेज $V = I \times R = 1\,A \times 20\,\Omega = 20\,V$ है।
अतः,नोड पर विभव $20\,V$ है।
अब,$R_2$ वाली शाखा के लिए,धारा $0.5\,A$ है और उस पर वोल्टेज $20\,V$ है। इसलिए,$R_2 = V / I = 20\,V / 0.5\,A = 40\,\Omega$।
आगे,बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा पर विचार करें। $R_2$ से प्रवाहित धारा $0.5\,A$ है। $10\,\Omega$ प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_{10} = V / 10\,\Omega = 20\,V / 10\,\Omega = 2\,A$ है। $20\,\Omega$ प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $1\,A$ है।
कुल धारा $I_{total} = 0.5\,A + 2\,A + 1\,A = 3.5\,A$ है।
यह धारा $R_1$ से होकर बहती है। $R_1$ पर वोल्टेज ड्रॉप $69\,V - 20\,V = 49\,V$ है।
इसलिए,$R_1 = 49\,V / 3.5\,A = 14\,\Omega$।
अतः,$R_1 = 14\,\Omega$ और $R_2 = 40\,\Omega$ है।

(B) बिंदु $P$ ग्राउंडेड है,इसलिए इसका विभव $V_P = 0\,V$ है।
परिपथ में कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{net} = 12\,V - 6\,V = 6\,V$ है।
परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1\,\Omega + 2\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$ (घड़ी की दिशा में)।
बिंदु $P$ $(0\,V)$ से शुरू करके $12\,V$ की बैटरी और $1\,\Omega$ तथा $2\,\Omega$ के प्रतिरोधों से होते हुए $C$ की ओर जाने पर:
$V_C = V_P + 12\,V - I(1\,\Omega + 2\,\Omega) = 0 + 12 - 1(3) = 9\,V$.
बिंदु $C$ से $D$ की ओर $3\,\Omega$ के प्रतिरोध से होते हुए जाने पर:
$V_D = V_C - I(3\,\Omega) = 9 - 1(3) = 6\,V$.
अतः,$V_C = 9\,V$ और $V_D = 6\,V$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. परिपथ का विश्लेषण करें: परिपथ में $6 \ V$ की बैटरी प्रतिरोधकों के एक नेटवर्क से जुड़ी है।
$2$. कनेक्शन की पहचान करें: $2 \ \Omega$ और $6 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_s = 2 \ \Omega + 6 \ \Omega = 8 \ \Omega$ है।
$3$. यह संयोजन $1.5 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है। इस समानांतर भाग का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{8 \times 1.5}{8 + 1.5} = \frac{12}{9.5} \approx 1.26 \ \Omega$ है।
$4$. यह समानांतर संयोजन $3 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है। परिपथ का कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 3 + 1.26 = 4.26 \ \Omega$ है।
$5$. बैटरी से प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{4.26} \approx 1.4 \ A$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,$I = 2 \ A$ सबसे उपयुक्त उत्तर है,जो $R_{eq} = 3 \ \Omega$ मानने पर प्राप्त होता है।

(B) इस परिपथ में एक $12 \, V$ की बैटरी,$2 \, \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध,एक प्रतिरोध $R$ और एक $4 \, \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
ओम के नियम के अनुसार,कुल वोल्टेज $V$,कुल धारा $I$ और कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ के गुणनफल के बराबर होता है।
श्रेणीक्रम परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + 4\,\Omega + 2\,\Omega = R + 6\,\Omega$ है।
दिया गया है कि धारा $I = 1 \, A$ और वोल्टेज $V = 12 \, V$ है,इसलिए:
$V = I \times R_{eq}$
$12 \, V = 1 \, A \times (R + 6\,\Omega)$
$12 = R + 6$
$R = 12 - 6 = 6\,\Omega$.
अतः,प्रतिरोध $R$ का मान $6\,\Omega$ है।

(C) माना वोल्टमीटर का आंतरिक प्रतिरोध $R$ है।
जब वोल्टमीटर को $B$ और $C$ के बीच जोड़ा जाता है,तो यह $50 \ k\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में होता है।
$B$ और $C$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{50} = \frac{50+R}{50R} \implies R' = \frac{50R}{50+R} \ k\Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R'' = 50 + R' = 50 + \frac{50R}{50+R} = \frac{2500 + 50R + 50R}{50+R} = \frac{2500 + 100R}{50+R} \ k\Omega$.
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R''} = \frac{100}{\frac{2500 + 100R}{50+R}} = \frac{100(50+R)}{2500 + 100R} \ mA$ है।
$B$ और $C$ के बीच वोल्टेज $V' = \frac{100}{3} \ V$ दिया गया है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V' = I \cdot R'$.
$\frac{100}{3} = \left( \frac{100(50+R)}{2500 + 100R} \right) \cdot \left( \frac{50R}{50+R} \right)$.
$\frac{1}{3} = \frac{50R}{2500 + 100R}$.
$2500 + 100R = 150R$.
$50R = 2500$.
$R = 50 \ k\Omega$.

(A) परिपथ में $E = 10 \ V$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और $r = 1 \ \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाली एक बैटरी,$R = 4 \ \Omega$ के बाह्य प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = 4 \ \Omega + 1 \ \Omega = 5 \ \Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$ है।
बैटरी के टर्मिनलों के बीच विभवांतर $V = E - Ir$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर: $V = 10 \ V - (2 \ A \times 1 \ \Omega) = 10 \ V - 2 \ V = 8 \ V$.

(B) परिपथ में सेल $E_1$ और प्रतिरोध $P$ तथा $Q$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
जब गैल्वेनोमीटर कोई विक्षेप नहीं दिखाता है,तो इसका अर्थ है कि $E_2$ और गैल्वेनोमीटर वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है।
इसलिए,प्रतिरोध $P$ के सिरों के बीच विभवांतर सेल $E_2$ के $e.m.f.$ के बराबर है।
सेल $E_1$ के कारण $P$ और $Q$ के श्रेणी संयोजन से प्रवाहित होने वाली धारा $I = E_1 / (P + Q)$ है।
प्रतिरोध $P$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_P = I \times P = [E_1 / (P + Q)] \times P$ है।
चूंकि $V_P = E_2$,इसलिए $E_2 = E_1 \times [P / (P + Q)]$ है।
अतः,अनुपात $E_2 / E_1 = P / (P + Q)$ है।

(B) परिपथ एक एकल लूप से बना है। कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ लूप में सभी प्रतिरोधों का योग है: $R_{eq} = 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 1 \, \Omega + 2 \, \Omega = 7 \, \Omega$।
लूप में कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{net} = 13 \, V - 6 \, V = 7 \, V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, लूप में धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{eq}} = \frac{7 \, V}{7 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
बिंदु $x$ से शुरू करके और परिपथ में दक्षिणावर्त दिशा में ग्राउंड (जहाँ विभव $0 \, V$ है) तक जाने पर:
$V_x + 6 + 2 + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad V_x = -10 \, V$।

(A) परिपथ में व्ययित शक्ति $P = \frac{\varepsilon^2}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\varepsilon$ बैटरी का $EMF$ है और $R_{eq}$ तुल्यांकी प्रतिरोध है। शक्ति $P$ को अधिकतम करने के लिए,हमें तुल्यांकी प्रतिरोध $R_{eq}$ को न्यूनतम करना होगा।
परिपथ $A$ के लिए: $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2} = 0.5R$.
परिपथ $B$ के लिए: $R_{eq} = R + R = 2R$.
परिपथ $C$ के लिए: $R_{eq} = \frac{R}{2} + R = 1.5R$.
परिपथ $D$ के लिए: $R_{eq} = \frac{(2R) \times R}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \approx 0.67R$.
$R_{eq}$ के मानों की तुलना करने पर,परिपथ $A$ का तुल्यांकी प्रतिरोध न्यूनतम $(0.5R)$ है। इसलिए,परिपथ $A$ में व्ययित शक्ति सबसे अधिक है।

(C) इस परिपथ में $64 \, \Omega$ और $32 \, \Omega$ के दो प्रतिरोध $60 \, V$ के विभवांतर के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
वोल्टेज विभाजक नियम का उपयोग करते हुए, ग्राउंड $(G)$ के सापेक्ष बिंदु $J$ पर विभव इस प्रकार होगा:
$V_J = V_{total} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
यहाँ, $V_{total} = 60 \, V$, $R_1 = 64 \, \Omega$, और $R_2 = 32 \, \Omega$ है।
$V_J = 60 \times \frac{32}{64 + 32}$
$V_J = 60 \times \frac{32}{96}$
$V_J = 60 \times \frac{1}{3}$
$V_J = 20 \, V$

(B) $4\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। चूंकि समानांतर शाखाओं में विभवांतर समान होता है,इसलिए $3\,\Omega$ प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $i_1$ का मान $4\,\Omega \times 1\,A = 3\,\Omega \times i_1$ द्वारा प्राप्त होता है,जिससे $i_1 = \frac{4}{3}\,A$ मिलता है।
ऊपरी शाखा से प्रवाहित कुल धारा $I_{upper} = 1\,A + \frac{4}{3}\,A = \frac{7}{3}\,A$ है।
$4\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{4 \times 3}{4 + 3} = \frac{12}{7}\,\Omega$ है।
बिंदुओं $P$ और $M$ के बीच विभवांतर $V_{PM} = I_{upper} \times R_{eq} = \frac{7}{3}\,A \times \frac{12}{7}\,\Omega = 4\,V$ है।
निचली शाखा में दो $0.5\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर में हैं,जो $R_{lower1} = \frac{0.5 \times 0.5}{0.5 + 0.5} = 0.25\,\Omega$ के बराबर है। यह $1\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है। निचली शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{lower} = 0.25\,\Omega + 1\,\Omega = 1.25\,\Omega$ है।
निचली शाखा में धारा $I_{lower} = \frac{V_{PM}}{R_{lower}} = \frac{4\,V}{1.25\,\Omega} = 3.2\,A$ है।
बिंदुओं $M$ और $N$ के बीच विभवांतर $1\,\Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है: $V_{MN} = I_{lower} \times 1\,\Omega = 3.2\,A \times 1\,\Omega = 3.2\,V$.

(B) $1$. परिपथ में नोड्स (nodes) की पहचान करें। मान लें कि $A$ पर नोड $1$ है। पहले प्रतिरोध के बाद नोड $2$ है। दूसरे प्रतिरोध के बाद नोड $3$ है। तीसरे प्रतिरोध के बाद नोड $4$ है। चौथे प्रतिरोध के बाद नोड $5$ है। $B$ पर नोड अंतिम है।
$2$. ध्यान दें कि नोड $4$ और $5$ के बीच का प्रतिरोध एक तार द्वारा शॉर्ट-सर्किट है,इसलिए इसे अनदेखा किया जा सकता है।
$3$. परिपथ को फिर से बनाएं: $1-2$,$1-3$,$2-3$,$2-4$,और $3-4$ के बीच के प्रतिरोध एक व्हीटस्टोन ब्रिज जैसी संरचना बनाते हैं।
$4$. विशेष रूप से,नोड $2$ और $3$,$4 \ \Omega$ के प्रतिरोधों द्वारा $1$ और $4$ से जुड़े हैं। $2$ और $3$ के बीच का प्रतिरोध $4 \ \Omega$ है। यह एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है।
$5$. ब्रिज भाग का तुल्य प्रतिरोध ($1$ और $4$ के बीच) $4 \ \Omega$ है।
$6$. अंत में,यह $B$ से जुड़े अंतिम $4 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम (series) में है।
$7$. कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 8 \ \Omega$ है।

(D) $6\,\Omega$ के प्रतिरोधक में क्षयित शक्ति $P = I^2 R_{6}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $P = 6\,W$ और $R_{6} = 6\,\Omega$,तो $6\,\Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I$ है:
$I = \sqrt{\frac{P}{R_{6}}} = \sqrt{\frac{6}{6}} = 1\,A$.
यह धारा $I$,$12\,V$ की बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा है।
$R$ और $8\,\Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{p} = \frac{8R}{8+R}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 6 + \frac{8R}{8+R}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R_{eq}}$,हमारे पास है:
$1 = \frac{12}{6 + \frac{8R}{8+R}}$.
$6 + \frac{8R}{8+R} = 12$.
$\frac{8R}{8+R} = 6$.
$8R = 6(8+R) = 48 + 6R$.
$2R = 48$.
$R = 24\,\Omega$.

(A) सबसे पहले,हम देखते हैं कि $60 \, \Omega$ का प्रतिरोध और $40 \, \Omega$ का वोल्टमीटर समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{60 \times 40}{60 + 40} = \frac{2400}{100} = 24 \, \Omega$.
अब,परिपथ में $40 \, \Omega$ का प्रतिरोध और यह तुल्य प्रतिरोध $R_p = 24 \, \Omega$ श्रेणी क्रम में $6 \, \text{V}$ की बैटरी के साथ जुड़े हैं।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 40 \, \Omega + 24 \, \Omega = 64 \, \Omega$ है।
समानांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर (जो वोल्टमीटर का पाठ्यांक है) वोल्टेज विभाजक नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$V = V_{total} \times \frac{R_p}{R_{total}} = 6 \times \frac{24}{64} = 6 \times \frac{3}{8} = \frac{18}{8} = 2.25 \, \text{V}$.

(D) यह परिपथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है। मिलमैन के प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$V_{AB} = \frac{\sum \frac{E_i}{R_i}}{\sum \frac{1}{R_i}}$
ऊपरी शाखा में,बैटरी $7\,V$ है और प्रतिरोध $10\,\Omega$ है। निचली शाखा में,बैटरी $4\,V$ है और प्रतिरोध $R$ है।
$V_{AB} = \frac{7/10 + 4/R}{1/10 + 1/R} = 6$
$0.7 + 4/R = 6(0.1 + 1/R)$
$0.7 + 4/R = 0.6 + 6/R$
$0.7 - 0.6 = 6/R - 4/R$
$0.1 = 2/R$
$R = 2 / 0.1 = 20\,\Omega$.
अतः,प्रतिरोध $R$ का मान $20\,\Omega$ है।

(B) वोल्टमीटर $80 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।
माना वोल्टमीटर $(80 \, \Omega)$ और प्रतिरोध $(80 \, \Omega)$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R'$ है।
$R' = \frac{80 \times 80}{80 + 80} = \frac{6400}{160} = 40 \, \Omega$.
अब,यह $R'$,$20 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है।
अतः,परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 20 + 40 = 60 \, \Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \, A$ है।
वोल्टमीटर का पाठ्यांक समानांतर संयोजन $R'$ के सिरों पर विभवांतर है,जो $V' = I \times R'$ द्वारा दिया जाता है।
$V' = \frac{1}{30} \times 40 = \frac{4}{3} = 1.33 \, V$.

(C) सबसे पहले, परिपथ के विन्यास को पहचानें। $6 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega$
यह समानांतर संयोजन $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है।
इसलिए, परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध:
$R_{eq} = R_p + 4 \, \Omega = 2 \, \Omega + 4 \, \Omega = 6 \, \Omega$
परिपथ में व्यय होने वाली कुल शक्ति की गणना $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ $V = 18 \, V$ बैटरी का वोल्टेज है।
$P = \frac{18^2}{6} = \frac{324}{6} = 54 \, W$
अतः, व्यय होने वाली कुल शक्ति $54 \, W$ है।

(D) दी गई सर्किट में तीन बैटरी हैं। मान लीजिए कि धारा $I$ दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है।
विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $40\, V$, $10\, V$, $15\, V$ और $20\, V$ हैं। ध्रुवता (polarity) को देखने पर:
$40\, V$ और $15\, V$ की बैटरी धारा को दक्षिणावर्त दिशा में धकेल रही हैं, जबकि $10\, V$ और $20\, V$ की बैटरी वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में धकेल रही हैं।
कुल $EMF$ $E_{net} = (40 + 15) - (10 + 20) = 55 - 30 = 25\, V$.
कुल प्रतिरोध $R_{net}$ सभी आंतरिक और बाहरी प्रतिरोधों का योग है:
$R_{net} = 1\, \Omega + 2\, \Omega + 2\, \Omega + 1\, \Omega + 1\, \Omega + 3\, \Omega + 1\, \Omega = 11\, \Omega$.
लूप के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $I = \frac{E_{net}}{R_{net}} = \frac{25}{11}\, A$.

(C) जब स्विच $S$ खुला होता है,तो $10\,\Omega$ और $20\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम (series) में होते हैं। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 10\,\Omega + 20\,\Omega = 30\,\Omega$ है। धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{30\,\Omega} = \frac{1}{10} \text{ A}$ होगी।
$(b)$ जब स्विच $S$ बंद होता है,तो $20\,\Omega$ का प्रतिरोधक शॉर्ट-सर्किट हो जाता है। अब परिपथ में केवल $10\,\Omega$ का प्रतिरोधक बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में होता है। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 10\,\Omega$ है। धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{10\,\Omega} = \frac{3}{10} \text{ A}$ होगी।
अतः,धाराएँ क्रमशः $\frac{1}{10} \text{ A}$ और $\frac{3}{10} \text{ A}$ हैं।

(B) वोल्टमीटर $3 \, k\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है। मान लीजिए वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_v = 6 \, k\Omega$ है और इसके समानांतर जुड़ा प्रतिरोध $R_2 = 3 \, k\Omega$ है।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{R_v \times R_2}{R_v + R_2} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \, k\Omega$
अब,यह $R_p$,$2 \, k\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega = 4 \, k\Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V_{source}}{R_{total}} = \frac{10 \, V}{4 \, k\Omega} = 2.5 \, mA$ है।
समानांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर (जो वोल्टमीटर का पाठ्यांक है) होगा:
$V_{reading} = I \times R_p = 2.5 \, mA \times 2 \, k\Omega = 5 \, V$.