Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(B) $E_2$ emf ધરાવતી બેટરીને શોર્ટ-સર્કિટ કરતા પહેલા પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ નીચે મુજબ છે:
$I_1 = \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$
$E_2$ emf ધરાવતી બેટરીને શોર્ટ-સર્કિટ કર્યા પછી,અવરોધ $R$ માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$I_2 = \frac{E_1}{R + r_1}$
વિદ્યુતપ્રવાહ વધારવા માટે,આપણી પાસે $I_2 > I_1$ હોવું જોઈએ:
$\frac{E_1}{R + r_1} > \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$E_1(R + r_1 + r_2) > (E_1 + E_2)(R + r_1)$
$E_1R + E_1r_1 + E_1r_2 > E_1R + E_1r_1 + E_2R + E_2r_1$
બંને બાજુથી $E_1R + E_1r_1$ બાદ કરતા:
$E_1r_2 > E_2(R + r_1)$

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખા (લાઇન $(2)$) માંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ બેટરી $E$,તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ અને અવરોધ $R_2$ ના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બને છે.
પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{E}{R_2 + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ $R_2$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = i R_2 = \frac{E R_2}{R_2 + r}$ છે.
કેપેસિટર અવરોધ $R_2$ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $R_2$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
તેથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C V = C \left( \frac{E R_2}{R_2 + r} \right) = \frac{C E R_2}{R_2 + r}$ થાય.

(C) કિસ્સો $1$: જ્યારે કી $K$ ખુલ્લી હોય.
પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે. ડાબી શાખામાં $R$ અને $2R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને જમણી શાખામાં $2R$ અને $R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ડાબી શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ: $R_L = R + 2R = 3R$.
જમણી શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ: $R_R = 2R + R = 3R$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq1} = \frac{3R \times 3R}{3R + 3R} = \frac{9R^2}{6R} = \frac{3R}{2}$ થાય.
એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_{eq1}} = \frac{V}{3R/2} = \frac{2V}{3R}$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે કી $K$ બંધ હોય.
કી $K$ બંને શાખાઓના મધ્ય બિંદુઓને જોડે છે. આ અસરકારક રીતે શ્રેણીમાં બે સમાંતર જોડાણો બનાવે છે.
ડાબી બાજુ $R$ અને $2R$ નું સમાંતર જોડાણ છે: $R_{p1} = \frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}$.
જમણી બાજુ $2R$ અને $R$ નું સમાંતર જોડાણ છે: $R_{p2} = \frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2R}{3}$.
આ બંને જોડાણો શ્રેણીમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq2} = R_{p1} + R_{p2} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$ થાય.
એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{V}{R_{eq2}} = \frac{V}{4R/3} = \frac{3V}{4R}$ છે.
પ્રવાહનો ગુણોત્તર: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{2V/3R}{3V/4R} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$.

(A) $1$. સર્કિટનું વિશ્લેષણ: $10\,\Omega$ અને $15\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે અને તેમની વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $10\,V$ છે.
$2$. $10\,\Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ: $I_{10} = \frac{V}{R} = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$.
$3$. $15\,\Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ: $I_{15} = \frac{10\,V}{15\,\Omega} = \frac{2}{3}\,A$.
$4$. મધ્ય શાખામાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ: $I_{total} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\,A$.
$5$. નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ: સર્કિટ $4\,\Omega$,સમાંતર બ્લોક અને $2\,\Omega$ ના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે. સમાંતર બ્લોકમાં $(10\,\Omega || 15\,\Omega) = 6\,\Omega$ એ $3\,\Omega$ અને $3\,\Omega$ સાથે શ્રેણીમાં છે (જે $6\,\Omega$ સાથે સમાંતર છે). કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 4 + 6 + 2 = 12\,\Omega$ મળે છે.
$6$. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I_{total} \times R_{eq} = \frac{5}{3}\,A \times 12\,\Omega = 20\,V$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,સર્કિટ અસરકારક રીતે $6 \, V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલા ત્રણ અવરોધો $(1 \, \Omega, 2 \, \Omega, 3 \, \Omega)$ ની બનેલી છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6} \, \Omega^{-1}$
$R_{eq} = \frac{6}{11} \, \Omega$
બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{6/11} = 11 \, A$
કેપેસિટર બેટરી સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ એટલે કે $V = 6 \, V$ હશે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C \times V = 0.5 \, \mu F \times 6 \, V = 3 \, \mu C$

(A) ચાલો પરિપથના નોડ્સ પર સ્થિતિમાન નક્કી કરીએ. ધારો કે $E_2$ અને $R_2$ વચ્ચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે.
તેથી $E_2$ બેટરીને કારણે $E_2$ અને $E_3$ વચ્ચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $3\,V$ થશે.
ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$R_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2\,V$ છે,તેથી $i_1 = \frac{2\,V}{10\,\Omega} = 0.2\,A$.
તે જ રીતે,$R_2$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $3\,V$ છે,તેથી $i_2 = \frac{3\,V}{30\,\Omega} = 0.1\,A$.
આમ,પ્રવાહો $i_1 = 0.2\,A$ અને $i_2 = 0.1\,A$ છે.

(C) પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ એ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = nr$ એ બાહ્ય અવરોધ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{E}{nr + r} = \frac{E}{r(n+1)}$ મળે છે.
કોષનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = E - \left( \frac{E}{r(n+1)} \right) r = E - \frac{E}{n+1}$ મળે છે.
$E$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,$V = E \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = E \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = E \left( \frac{n}{n+1} \right)$.
તેથી,ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત અને $emf$ નો ગુણોત્તર $\frac{V}{E} = \frac{n}{n+1}$ થાય છે.

(D) આ સર્કિટમાં $10 \text{ V}$ અને $4 \text{ V}$ ના બે કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,સાથે $1 \, \Omega$,$2 \, \Omega$ અને $3 \, \Omega$ ના ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
સર્કિટનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E_{eq} = 10 \text{ V} - 4 \text{ V} = 6 \text{ V}$ છે,કારણ કે કોષો વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલા છે (ધન ટર્મિનલ એકબીજાની સામે છે).
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega + 3 \, \Omega = 6 \, \Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ $I = E_{eq} / R_{eq} = 6 \text{ V} / 6 \, \Omega = 1.0 \text{ A}$ મળે છે.
$10 \text{ V}$ નો કોષ $4 \text{ V}$ ના કોષ કરતા શક્તિશાળી હોવાથી,પ્રવાહ $10 \text{ V}$ ના કોષ દ્વારા નક્કી થયેલ દિશામાં એટલે કે $a$ થી $b$ તરફ $e$ દ્વારા વહેશે.

(C) પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $2 \, V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
શાખા $CBD$ માટે: કુલ અવરોધ $R_1 = 5 + 5 + 5 = 15 \, \Omega$ (આકૃતિ મુજબ). પ્રવાહ $I = \frac{2}{15} \, A$.
$V_C - V_B = I \times 10 = \frac{2}{15} \times 10 = \frac{4}{3} \, V$.
શાખા $CAD$ માટે: કુલ અવરોધ $R_2 = 5 + 5 = 10 \, \Omega$ (આકૃતિ મુજબ). પ્રવાહ $I = \frac{2}{10} = 0.2 \, A$.
$V_C - V_A = I \times 5 = 0.2 \times 5 = 1 \, V$.
પરંતુ આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા: $V_C - V_B = \frac{2}{15} \times 10 = \frac{4}{3} \, V$ અને $V_C - V_A = \frac{2}{15} \times 5 = \frac{2}{3} \, V$.
તેથી,$V_A - V_B = (V_C - V_B) - (V_C - V_A) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \, V$.

(C) પરિપથમાં $10\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
શાખા $1$ (ઉપરની) માં $1\,\Omega$ અને $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_1 = 1 + 3 = 4\,\Omega$.
શાખા $1$ માં પ્રવાહ $I_1 = \frac{10\,V}{4\,\Omega} = 2.5\,A$.
$C$ ની સાપેક્ષે $A$ નું સ્થિતિમાન $V_C - V_A = I_1 \times 1\,\Omega = 2.5\,V$,તેથી $V_A = V_C - 2.5$.
શાખા $2$ (નીચેની) માં $3\,\Omega$ અને $1\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_2 = 3 + 1 = 4\,\Omega$.
શાખા $2$ માં પ્રવાહ $I_2 = \frac{10\,V}{4\,\Omega} = 2.5\,A$.
$C$ ની સાપેક્ષે $B$ નું સ્થિતિમાન $V_C - V_B = I_2 \times 3\,\Omega = 7.5\,V$,તેથી $V_B = V_C - 7.5$.
હવે,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B$ શોધતા:
$V_A - V_B = (V_C - 2.5) - (V_C - 7.5) = -2.5 + 7.5 = 5\,V$.

(A) આપેલ છે કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_{A} = 0 \ V$ છે.
$1$. $1 \ V$ ની બેટરી દ્વારા $A$ થી $C$ તરફ જતાં,સ્થિતિમાનમાં $1 \ V$ નો વધારો થાય છે કારણ કે આપણે ઋણ ટર્મિનલથી ધન ટર્મિનલ તરફ જઈએ છીએ. તેથી,$V_{C} = V_{A} + 1 = 0 + 1 = 1 \ V$.
$2$. $2 \ \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા $C$ થી $D$ તરફ જતાં,$1 \ A$ નો પ્રવાહ $D$ થી $C$ તરફ વહે છે. તેથી,$D$ પરનું સ્થિતિમાન $C$ કરતા $I \times R = 1 \ A \times 2 \ \Omega = 2 \ V$ જેટલું વધારે છે. તેથી,$V_{D} = V_{C} + 2 = 1 + 2 = 3 \ V$.
$3$. $2 \ V$ ની બેટરી દ્વારા $D$ થી $B$ તરફ જતાં,આપણે ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જઈએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિમાનમાં $2 \ V$ નો ઘટાડો થાય છે. તેથી,$V_{B} = V_{D} - 2 = 3 - 2 = 1 \ V$.
આમ,બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $1 \ V$ છે.

(B) $6\,\Omega$ અને $4\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,બંને અવરોધો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
$6\,\Omega$ ના અવરોધ માટે,પાવર $P_6$ નું સૂત્ર $P_6 = \frac{V^2}{R_6}$ છે.
અહીં $P_6 = 6\,W$ અને $R_6 = 6\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$6 = \frac{V^2}{6} \Rightarrow V^2 = 36 \Rightarrow V = 6\,V$.
હવે,$4\,\Omega$ ના અવરોધ માટે,પાવર $P_4$:
$P_4 = \frac{V^2}{R_4} = \frac{6^2}{4} = \frac{36}{4} = 9\,W$.

(A) ધારો કે પરિપથનો પ્રારંભિક અવરોધ $G$ છે. પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{G}$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં $R$ જોડ્યા પછી,નવો અવરોધ $G + R$ થાય છે.
મુખ્ય પ્રવાહ અચળ રાખવા માટે,આપણે $(G + R)$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડીએ છીએ જેથી સમતુલ્ય અવરોધ $G$ જળવાઈ રહે.
તેથી,$\frac{(G + R)S}{(G + R) + S} = G$.
$(G + R)S = G(G + R + S)$.
$GS + RS = G^2 + GR + GS$.
$RS = G^2 + GR$.
$S = \frac{G^2 + GR}{R} = \frac{G^2}{R} + G$.

(A) આદર્શ એમીટરનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે. આપેલ પરિપથમાં,એમીટર $A_2$ એ $10\,\Omega$ ના અવરોધ અને એમીટર $A_1$ ધરાવતી શાખા સાથે સમાંતર જોડેલું છે.
$A_2$ આદર્શ હોવાથી,તેનો અવરોધ $0\,\Omega$ છે. આ $A_1$ અને $10\,\Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખામાં શોર્ટ સર્કિટ બનાવે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ હંમેશા ઓછા અવરોધવાળા માર્ગે વહેતો હોવાથી,સ્ત્રોતમાંથી આવતો તમામ વિદ્યુતપ્રવાહ આદર્શ એમીટર $A_2$ માંથી પસાર થશે.
પરિણામે,$A_1$ અને $10\,\Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેશે નહીં.
તેથી,એમીટર $A_1$ નું અવલોકન $0\,A$ થશે.

(A) આ પરિપથમાં બે લૂપ છે જે મધ્યમાં રહેલા $2\,\Omega$ ના અવરોધ દ્વારા જોડાયેલા છે. ધારો કે $5\,\Omega$ ના અવરોધ અને $2\,\Omega$ ના અવરોધ વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $V_1$ છે,અને $10\,\Omega$ ના અવરોધ અને $2\,\Omega$ ના અવરોધ વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $V_2$ છે. નીચેના વાયરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ લેતા:
નોડ $V_1$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_1 - 10}{5} + \frac{V_1 - V_2}{2} = 0$
$2(V_1 - 10) + 5(V_1 - V_2) = 0$
$7V_1 - 5V_2 = 20$ --- (સમીકરણ $1$)
નોડ $V_2$ પર $KCL$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_2 - V_1}{2} + \frac{V_2 - 20}{10} = 0$
$5(V_2 - V_1) + 1(V_2 - 20) = 0$
$-5V_1 + 6V_2 = 20$ --- (સમીકરણ $2$)
આ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા:
સમીકરણ $1$ ને $6$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$42V_1 - 30V_2 = 120$
$-25V_1 + 30V_2 = 100$
બંનેનો સરવાળો કરતા $17V_1 = 220$ મળે,તેથી $V_1 = \frac{220}{17}\,V$.
$V_1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$6V_2 = 20 + 5(\frac{220}{17}) = \frac{340 + 1100}{17} = \frac{1440}{17}$
$V_2 = \frac{240}{17}\,V$.
$2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V_2 - V_1}{2} = \frac{1}{2} (\frac{240}{17} - \frac{220}{17}) = \frac{1}{2} (\frac{20}{17}) = \frac{10}{17}\,A$.

(A) ધારો કે એમીટરનો અવરોધ $R_A$ છે.
જ્યારે સ્વીચ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથમાં એક શાખામાં $1\,\Omega$ નો અવરોધ અને બીજી શાખામાં બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો $(1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega)$ તથા એમીટર $(R_A)$ હોય છે.
એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{10}{2 + R_A}$ છે.
જ્યારે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વચ્ચેની શાખાનો અવરોધ બાયપાસ થઈ જાય છે. પરિપથ સરળ બનીને બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો $(1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega)$ અને એમીટર $(R_A)$ ધરાવતી શાખામાં ફેરવાય છે.
એમીટરમાંથી વહેતો નવો પ્રવાહ $I_2 = \frac{10}{R_A}$ છે.
આપેલ છે કે રીડિંગ બમણું થાય છે,તેથી $I_2 = 2 I_1$.
$\frac{10}{R_A} = 2 \times \frac{10}{2 + R_A}$.
$2 + R_A = 2 R_A$.
$R_A = 2\,\Omega$.

(C) આપેલ પરિપથમાં, $6\, \Omega, 3\, \Omega$ અને $2\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2 + 3}{6} = \frac{6}{6} = 1\, \Omega$.
હવે, આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = 1\, \Omega$ એ $4\, \Omega$ ના અવરોધ અને $2\, V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_p + 4\, \Omega = 1\, \Omega + 4\, \Omega = 5\, \Omega$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2\, V}{5\, \Omega} = 0.4\, A$.
આમ, એમીટરનું અવલોકન $0.4\, A$ છે.

(C) ધારો કે દરેક અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P$ છે.
$R_2$ અને $R_3$ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વોલ્ટેજ સમાન છે.
સમાન પાવર વ્યય માટે,$P = \frac{V_2^2}{R_2} = \frac{V_3^2}{R_3}$. $V_2 = V_3$ હોવાથી,$R_2 = R_3$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $R_2 = R_3 = R$. સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
$R_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે,અને $R_2$ તથા $R_3$ દરેકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I/2$ છે.
$R_1$ માં વ્યય થતો પાવર $P_1 = I^2 R_1$ છે.
$R_2$ માં વ્યય થતો પાવર $P_2 = (I/2)^2 R_2 = \frac{I^2 R_2}{4}$ છે.
$P_1 = P_2$ હોવાથી,$I^2 R_1 = \frac{I^2 R_2}{4}$,જે આપણને $R_1 = \frac{R_2}{4}$ આપે છે.
આમ,શરત $R_2 = R_3$ અને $R_1 = \frac{R_2}{4}$ છે.

(D) ધારો કે સામાન્ય ઉપરના નોડ $ABCD$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_1$ છે અને સામાન્ય નીચેના નોડ $HGFE$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_2$ છે. ધારો કે $V_1 - V_2 = V$.
મિલમેનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,સમાંતર શાખાઓમાં સમતુલ્ય વોલ્ટેજ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{\sum \frac{E_i}{r_i}}{\sum \frac{1}{r_i}} = \frac{\frac{10}{2} + \frac{15}{2} + \frac{20}{4} + \frac{25}{5}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}} = \frac{5 + 7.5 + 5 + 5}{0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.2} = \frac{22.5}{1.45} = \frac{450}{29} \, V$.
શાખા $BG$ ($15 \, V$ અને $2 \, \Omega$ ધરાવતી) માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{BG}$ નીચે મુજબ છે:
$I_{BG} = \frac{E_2 - V}{r_2} = \frac{15 - \frac{450}{29}}{2} = \frac{\frac{435 - 450}{29}}{2} = \frac{-15}{58} \approx -0.258 \, A$.
પ્રશ્નમાં પ્રવાહનું મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું છે અને આપેલા વિકલ્પો ગણતરી સાથે મેળ ખાતા નથી. નોડલ વિશ્લેષણ મુજબ,પ્રવાહ ખૂબ નાનો છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી $0$ એ સૌથી નજીકની કિંમત છે.

(B) ધારો કે દરેક લેમ્પનો અવરોધ $R$ છે. જો પરિપથમાં $L_1$ એ $L_2$ અને $L_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં હોય,તો $L_3$ ફ્યુઝ થવાથી સમાંતર ભાગનો અવરોધ વધે છે. પરિણામે,$L_2$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધે છે,જેથી $L_2$ ની તેજસ્વિતા વધે છે. જ્યારે $L_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ ઘટતા તેની તેજસ્વિતા ઘટે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આ સર્કિટમાં $E = 2 \ V$ $EMF$ અને $r = 1 \ \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી છે.
આકૃતિનું અવલોકન કરતા,સર્કિટનો કુલ બાહ્ય અવરોધ $1 \ \Omega$ થાય છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{ext} + r}$ છે.
અહીં $R_{ext} = 0 \ \Omega$ અને $r = 1 \ \Omega$ હોવાથી,$I = \frac{2}{1} = 2 \ A$ મળે છે.

(B) $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ એ અવરોધ $R$ અને કેપેસીટન્સ $C$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસીટન્સની વ્યાખ્યા મુજબ,$C = Q/V$,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$R = V/I$,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$RC = (V/I) \times (Q/V) = Q/I$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I = Q/t$,જ્યાં $t$ એ સમય છે,તેથી $Q/I = t$.
આમ,$RC$ ના પરિમાણો સમય $[T]$ ના પરિમાણોને સમાન છે.

(A) આપેલ છે કે એમીટર અને વોલ્ટમીટર આદર્શ છે, તેથી એમીટરનો અવરોધ $R_A = 0 \, \Omega$ અને વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_V = \infty \, \Omega$ છે.
સર્કિટમાં, એમીટરને વોલ્ટમીટર સાથે સમાંતર જોડવામાં આવ્યું છે. એમીટરનો અવરોધ શૂન્ય હોવાથી, તે વોલ્ટમીટરની આસપાસ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી, સ્ત્રોતમાંથી આવતો સમગ્ર પ્રવાહ એમીટરમાંથી પસાર થશે અને એમીટર તથા વોલ્ટમીટરના સમાંતર જોડાણ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થશે.
આમ, આદર્શ વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $0 \, V$ થશે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,$C = 0.2 \ \mu F$ કેપેસિટર અને $4 \ \Omega$ અવરોધ ધરાવતી શાખાને અવગણી શકાય છે.
પરિપથમાં અસરકારક રીતે $6 \ V$ ની બેટરી,$2 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ અને $2.8 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ,$2 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$.
હવે,પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq}$ એ $R_p$ અને $2.8 \ \Omega$ ના અવરોધનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = 1.2 \ \Omega + 2.8 \ \Omega = 4.0 \ \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,સ્થાયી અવસ્થામાં પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{4 \ \Omega} = 1.5 \ A$.

(B) સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(at - bt^2) = a - 2bt$ છે.
જ્યારે $a - 2bt = 0$ થાય ત્યારે પ્રવાહ શૂન્ય થાય છે, જે $t = \frac{a}{2b}$ આપે છે.
અવરોધો $R$ અને $2R$ સમાંતર જોડાણમાં છે. કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, $2R$ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I'$ નીચે મુજબ છે:
$I' = I \times \frac{R}{R + 2R} = \frac{1}{3}I = \frac{1}{3}(a - 2bt)$.
$2R$ અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \int_0^{a/2b} (I')^2 (2R) dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H = \int_0^{a/2b} \left[ \frac{1}{3}(a - 2bt) \right]^2 (2R) dt = \frac{2R}{9} \int_0^{a/2b} (a - 2bt)^2 dt$.
ધારો કે $u = a - 2bt$, તો $du = -2b dt$, અથવા $dt = -\frac{du}{2b}$.
જ્યારે $t=0, u=a$. જ્યારે $t=a/2b, u=0$.
$H = \frac{2R}{9} \int_a^0 u^2 \left( -\frac{du}{2b} \right) = \frac{2R}{9(2b)} \int_0^a u^2 du = \frac{R}{9b} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^a = \frac{R}{9b} \left( \frac{a^3}{3} \right) = \frac{a^3R}{27b}$.

(C) આકૃતિ-$1$ પરથી,વોલ્ટમીટર અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_v$ છે.
$R$ અને $R_v$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \cdot R_v}{R + R_v}$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 2 + \frac{R \cdot R_v}{R + R_v}$ છે.
વોલ્ટમીટર પરનો વોલ્ટેજ (રીડિંગ $V$) વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V = 10 \cdot \frac{R_{eq}}{R_{total}} = 10 \cdot \frac{\frac{R \cdot R_v}{R + R_v}}{2 + \frac{R \cdot R_v}{R + R_v}} = 10 \cdot \frac{R \cdot R_v}{2(R + R_v) + R \cdot R_v}$.
આકૃતિ-$2$ પરથી,જેમ $R_v \rightarrow \infty$,તેમ રીડિંગ $V \rightarrow 8 \, V$ થાય છે.
$V$ ના સમીકરણમાં $R_v \rightarrow \infty$ મૂકતા:
$V = 10 \cdot \frac{R \cdot R_v}{2R + 2R_v + R \cdot R_v} = 10 \cdot \frac{R}{\frac{2R}{R_v} + 2 + R} = \frac{10R}{2 + R}$.
સીમા પર $V = 8 \, V$ આપેલ છે:
$8 = \frac{10R}{2 + R} \Rightarrow 16 + 8R = 10R \Rightarrow 2R = 16 \Rightarrow R = 8 \, \Omega$.

(A) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ બેટરીના આંતરિક અવરોધ $(r)$ જેટલો હોય ત્યારે બાહ્ય સર્કિટને મહત્તમ પાવર મળે છે.
$1$. સૌ પ્રથમ,સર્કિટને સરળ બનાવો. સર્કિટમાં બેટરીના ટર્મિનલ્સ $A$ અને $B$ ની આજુબાજુ બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
$2$. ડાબી શાખામાં $2R$,$4R$ અને $6R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 2R + 4R + 6R = 12R$ છે.
$3$. જમણી શાખામાં $R$,$2R$ અને $4R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = R + 2R + 4R = 7R$ છે.
$4$. આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{12R} + \frac{1}{7R} = \frac{7 + 12}{84R} = \frac{19}{84R}$
$R_{eq} = \frac{84R}{19}$
$5$. મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર માટે,$R_{eq} = r$,જ્યાં $r = 4\,\Omega$.
$\frac{84R}{19} = 4$
$84R = 76$
$R = \frac{76}{84} = \frac{19}{21}\,\Omega$.

(C) જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બિંદુઓ $a$ અને $b$ શોર્ટ-સર્કિટ થાય છે. સર્કિટ બે લૂપની બનેલી છે. ધારો કે $b$ પરનું પોટેન્શિયલ $0 \ V$ છે. તો $a$ પરનું પોટેન્શિયલ પણ $0 \ V$ થશે. $10 \ V$ ની બેટરી $20 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે જોડાયેલ છે. $20 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = 10 \ V / 20 \ \Omega = 0.5 \ A$ (ઉપરની તરફ) છે. $10 \ V$ ની બેટરી $10 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે પણ જોડાયેલ છે. $10 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = 10 \ V / 10 \ \Omega = 1.0 \ A$ (જમણેથી ડાબે) છે. નોડ $a$ પર,પ્રવાહ $I_2$ જમણી બાજુથી આવે છે અને બે માર્ગોમાં વહેંચાય છે: એક $5 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી અને બીજો સ્વિચ $S$ દ્વારા $b$ તરફ. $5 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_3 = V_a / 5 \ \Omega = 0 \ V / 5 \ \Omega = 0 \ A$ છે. તેથી,સમગ્ર પ્રવાહ $I_2$ સ્વિચ $S$ માંથી $a$ થી $b$ તરફ વહેવો જોઈએ. આમ,$a$ થી $b$ તરફનો પ્રવાહ $1.0 \ A$ છે.

(D) ધારો કે ડાબી બાજુના જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V_L = 0 \text{ V}$ છે અને જમણી બાજુના જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V_R = 10 \text{ V}$ છે.
આ સર્કિટ $10 \text{ V}$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓની બનેલી છે.
શાખા $1$ (ડાબી બાજુ): $2 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. બિંદુ $a$ પરનું પોટેન્શિયલ વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે: $V_a = V_L + (V_R - V_L) \times \frac{2}{2+3} = 0 + 10 \times \frac{2}{5} = 4 \text{ V}$.
શાખા $2$ (જમણી બાજુ): $4 \ \Omega$ અને $6 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. બિંદુ $b$ પરનું પોટેન્શિયલ વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે: $V_b = V_L + (V_R - V_L) \times \frac{4}{4+6} = 0 + 10 \times \frac{4}{10} = 4 \text{ V}$.
તેથી,$V_a - V_b = 4 \text{ V} - 4 \text{ V} = 0 \text{ V}$.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રણ $6 \Omega$ ના અવરોધો એકબીજા સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ છે.
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Omega^{-1}$,તેથી $R_p = 2 \Omega$.
આ સમાંતર જોડાણ બેટરી અને એમીટર ધરાવતી શાખામાં રહેલા $2 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + 2 \Omega = 2 \Omega + 2 \Omega = 4 \Omega$.
બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = 2 \text{ V}$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2 \text{ V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{ A}$ થાય.

(A) ધારો કે $R_1$,$R_2$ અને $10\,\Omega$ ના અવરોધ વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. નીચેના વાયર પરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે. $R_1$ પછી ઉપરના વાયર પરનું સ્થિતિમાન $69\,V$ છે.
પ્રથમ,સૌથી જમણી બાજુની શાખાને ધ્યાનમાં લો જેમાં $20\,\Omega$ નો અવરોધ છે અને $1\,A$ નો પ્રવાહ વહે છે. આ શાખા પરનો વોલ્ટેજ $V = I \times R = 1\,A \times 20\,\Omega = 20\,V$ છે.
આમ,નોડ પરનું સ્થિતિમાન $20\,V$ છે.
હવે,$R_2$ વાળી શાખા માટે,પ્રવાહ $0.5\,A$ છે અને તેના પરનો વોલ્ટેજ $20\,V$ છે. તેથી,$R_2 = V / I = 20\,V / 0.5\,A = 40\,\Omega$.
આગળ,બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ ધ્યાનમાં લો. $R_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $0.5\,A$ છે. $10\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{10} = V / 10\,\Omega = 20\,V / 10\,\Omega = 2\,A$ છે. $20\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $1\,A$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I_{total} = 0.5\,A + 2\,A + 1\,A = 3.5\,A$.
આ પ્રવાહ $R_1$ માંથી વહે છે. $R_1$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $69\,V - 20\,V = 49\,V$ છે.
તેથી,$R_1 = 49\,V / 3.5\,A = 14\,\Omega$.
આમ,$R_1 = 14\,\Omega$ અને $R_2 = 40\,\Omega$ છે.

(B) બિંદુ $P$ ગ્રાઉન્ડેડ છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન $V_P = 0\,V$ છે.
પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $E_{net} = 12\,V - 6\,V = 6\,V$ છે.
પરિપથમાં કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1\,\Omega + 2\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં).
બિંદુ $P$ $(0\,V)$ થી શરૂ કરીને $12\,V$ ની બેટરી અને $1\,\Omega$ તથા $2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈને $C$ તરફ જતાં:
$V_C = V_P + 12\,V - I(1\,\Omega + 2\,\Omega) = 0 + 12 - 1(3) = 9\,V$.
બિંદુ $C$ થી $D$ તરફ $3\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતાં:
$V_D = V_C - I(3\,\Omega) = 9 - 1(3) = 6\,V$.
આમ,$V_C = 9\,V$ અને $V_D = 6\,V$ મળે છે.

(B) $1$. સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરો: સર્કિટમાં $6 \ V$ ની બેટરી અવરોધોના નેટવર્ક સાથે જોડાયેલી છે.
$2$. જોડાણો ઓળખો: $2 \ \Omega$ અને $6 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 2 \ \Omega + 6 \ \Omega = 8 \ \Omega$ છે.
$3$. આ સંયોજન $1.5 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે. આ સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{8 \times 1.5}{8 + 1.5} = \frac{12}{9.5} \approx 1.26 \ \Omega$ છે.
$4$. આ સમાંતર સંયોજન $3 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 3 + 1.26 = 4.26 \ \Omega$ છે.
$5$. બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{4.26} \approx 1.4 \ A$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે ગણતરી કરીએ તો $I = 2 \ A$ એ સૌથી નજીકનો જવાબ છે,જે $R_{eq} = 3 \ \Omega$ લેતા મળે છે.

(B) આ પરિપથમાં $12 \, V$ ની બેટરી,$2 \, \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ,$R$ અવરોધ અને $4 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ કુલ પ્રવાહ $I$ અને કુલ અવરોધ $R_{eq}$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
શ્રેણી પરિપથમાં કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + 4\,\Omega + 2\,\Omega = R + 6\,\Omega$ થાય.
આપેલ છે કે પ્રવાહ $I = 1 \, A$ અને વોલ્ટેજ $V = 12 \, V$,તેથી:
$V = I \times R_{eq}$
$12 \, V = 1 \, A \times (R + 6\,\Omega)$
$12 = R + 6$
$R = 12 - 6 = 6\,\Omega$.
તેથી,અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય $6\,\Omega$ છે.

(C) ધારો કે વોલ્ટમીટરનો આંતરિક અવરોધ $R$ છે.
જ્યારે વોલ્ટમીટરને $B$ અને $C$ ની વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે $50 \ k\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{50} = \frac{50+R}{50R} \implies R' = \frac{50R}{50+R} \ k\Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R'' = 50 + R' = 50 + \frac{50R}{50+R} = \frac{2500 + 50R + 50R}{50+R} = \frac{2500 + 100R}{50+R} \ k\Omega$.
પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R''} = \frac{100}{\frac{2500 + 100R}{50+R}} = \frac{100(50+R)}{2500 + 100R} \ mA$.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V' = \frac{100}{3} \ V$ આપેલ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$V' = I \cdot R'$.
$\frac{100}{3} = \left( \frac{100(50+R)}{2500 + 100R} \right) \cdot \left( \frac{50R}{50+R} \right)$.
$\frac{1}{3} = \frac{50R}{2500 + 100R}$.
$2500 + 100R = 150R$.
$50R = 2500$.
$R = 50 \ k\Omega$.

(A) આ પરિપથમાં $E = 10 \ V$ જેટલું ઈ.એમ.એફ. $(EMF)$ અને $r = 1 \ \Omega$ જેટલો આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી,$R = 4 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r = 4 \ \Omega + 1 \ \Omega = 5 \ \Omega$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$ મળે.
બેટરીના ટર્મિનલ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - Ir$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = 10 \ V - (2 \ A \times 1 \ \Omega) = 10 \ V - 2 \ V = 8 \ V$.

(B) પરિપથમાં $E_1$ કોષ અને $P$ તથા $Q$ અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર કોઈ વિચલન દર્શાવતું નથી,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે $E_2$ અને ગેલ્વેનોમીટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,અવરોધ $P$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ કોષ $E_2$ ના $e.m.f.$ જેટલો હોય છે.
કોષ $E_1$ ને કારણે $P$ અને $Q$ ના શ્રેણી જોડાણમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = E_1 / (P + Q)$ છે.
અવરોધ $P$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_P = I \times P = [E_1 / (P + Q)] \times P$ છે.
કારણ કે $V_P = E_2$,તેથી $E_2 = E_1 \times [P / (P + Q)]$.
આમ,ગુણોત્તર $E_2 / E_1 = P / (P + Q)$ થાય છે.

(B) સર્કિટ એક જ લૂપની બનેલી છે। કુલ અવરોધ $R_{eq}$ એ લૂપના તમામ અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 1 \, \Omega + 2 \, \Omega = 7 \, \Omega$।
લૂપમાં કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E_{net} = 13 \, V - 6 \, V = 7 \, V$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{eq}} = \frac{7 \, V}{7 \, \Omega} = 1 \, A$ મળે છે.
બિંદુ $x$ થી શરૂ કરીને અને સર્કિટમાં ક્લોકવાઇઝ દિશામાં ગ્રાઉન્ડ (જ્યાં સ્થિતિમાન $0 \, V$ છે) સુધી જતા:
$V_x + 6 + 2 + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad V_x = -10 \, V$.

(A) સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{\varepsilon^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon$ એ બેટરીનું $EMF$ છે અને $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે. પાવર $P$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ ને ન્યૂનતમ કરવો જોઈએ.
સર્કિટ $A$ માટે: $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2} = 0.5R$.
સર્કિટ $B$ માટે: $R_{eq} = R + R = 2R$.
સર્કિટ $C$ માટે: $R_{eq} = \frac{R}{2} + R = 1.5R$.
સર્કિટ $D$ માટે: $R_{eq} = \frac{(2R) \times R}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \approx 0.67R$.
$R_{eq}$ ના મૂલ્યોની તુલના કરતા,સર્કિટ $A$ નો સમતુલ્ય અવરોધ ન્યૂનતમ $(0.5R)$ છે. તેથી,સર્કિટ $A$ માં પાવરનો વ્યય સૌથી વધુ છે.

(C) આ પરિપથમાં $64 \, \Omega$ અને $32 \, \Omega$ ના બે અવરોધો $60 \, V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, ગ્રાઉન્ડ $(G)$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $J$ પાસેનું સ્થિતિમાન નીચે મુજબ મળે છે:
$V_J = V_{total} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
અહીં, $V_{total} = 60 \, V$, $R_1 = 64 \, \Omega$, અને $R_2 = 32 \, \Omega$ છે.
$V_J = 60 \times \frac{32}{64 + 32}$
$V_J = 60 \times \frac{32}{96}$
$V_J = 60 \times \frac{1}{3}$
$V_J = 20 \, V$

(B) $4\,\Omega$ અને $3\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. સમાંતર શાખાઓમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોવાથી,$3\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ એ $4\,\Omega \times 1\,A = 3\,\Omega \times i_1$ દ્વારા મળે છે,જે $i_1 = \frac{4}{3}\,A$ આપે છે.
ઉપરની શાખામાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{upper} = 1\,A + \frac{4}{3}\,A = \frac{7}{3}\,A$ છે.
$4\,\Omega$ અને $3\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{4 \times 3}{4 + 3} = \frac{12}{7}\,\Omega$ છે.
બિંદુઓ $P$ અને $M$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PM} = I_{upper} \times R_{eq} = \frac{7}{3}\,A \times \frac{12}{7}\,\Omega = 4\,V$ છે.
નીચેની શાખામાં બે $0.5\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{lower1} = \frac{0.5 \times 0.5}{0.5 + 0.5} = 0.25\,\Omega$ થાય. આ $1\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. નીચેની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{lower} = 0.25\,\Omega + 1\,\Omega = 1.25\,\Omega$ છે.
નીચેની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I_{lower} = \frac{V_{PM}}{R_{lower}} = \frac{4\,V}{1.25\,\Omega} = 3.2\,A$ છે.
બિંદુઓ $M$ અને $N$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $1\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે: $V_{MN} = I_{lower} \times 1\,\Omega = 3.2\,A \times 1\,\Omega = 3.2\,V$.

(B) $1$. પરિપથમાં નોડ્સ (nodes) ઓળખો. ધારો કે $A$ પરનો નોડ $1$ છે. પ્રથમ અવરોધ પછીનો નોડ $2$ છે. બીજા અવરોધ પછીનો નોડ $3$ છે. ત્રીજા અવરોધ પછીનો નોડ $4$ છે. ચોથા અવરોધ પછીનો નોડ $5$ છે. $B$ પરનો નોડ અંતિમ છે.
$2$. અવલોકન કરો કે નોડ $4$ અને $5$ વચ્ચેનો અવરોધ વાયર દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ છે,તેથી તેને અવગણી શકાય છે.
$3$. પરિપથને ફરીથી દોરો: $1-2$,$1-3$,$2-3$,$2-4$,અને $3-4$ વચ્ચેના અવરોધો વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના બનાવે છે.
$4$. ખાસ કરીને,નોડ $2$ અને $3$ એ $4 \ \Omega$ ના અવરોધો દ્વારા $1$ અને $4$ સાથે જોડાયેલા છે. $2$ અને $3$ વચ્ચેનો અવરોધ $4 \ \Omega$ છે. આ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે.
$5$. બ્રિજ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ ($1$ અને $4$ વચ્ચે) $4 \ \Omega$ છે.
$6$. અંતે,આ $B$ સાથે જોડાયેલા છેલ્લા $4 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$7$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 8 \ \Omega$ છે.

(D) $6\,\Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R_{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 6\,W$ અને $R_{6} = 6\,\Omega$,તેથી $6\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \sqrt{\frac{P}{R_{6}}} = \sqrt{\frac{6}{6}} = 1\,A$.
આ પ્રવાહ $I$ એ $12\,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ છે.
$R$ અને $8\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p} = \frac{8R}{8+R}$ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 6 + \frac{8R}{8+R}$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R_{eq}}$,તેથી:
$1 = \frac{12}{6 + \frac{8R}{8+R}}$.
$6 + \frac{8R}{8+R} = 12$.
$\frac{8R}{8+R} = 6$.
$8R = 6(8+R) = 48 + 6R$.
$2R = 48$.
$R = 24\,\Omega$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે જોઈએ છીએ કે $60 \, \Omega$ નો અવરોધ અને $40 \, \Omega$ નું વોલ્ટમીટર સમાંતર જોડાણમાં છે.
આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_p = \frac{60 \times 40}{60 + 40} = \frac{2400}{100} = 24 \, \Omega$.
હવે,પરિપથમાં $40 \, \Omega$ નો અવરોધ અને આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = 24 \, \Omega$ શ્રેણીમાં $6 \, \text{V}$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 40 \, \Omega + 24 \, \Omega = 64 \, \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ (જે વોલ્ટમીટરનું અવલોકન છે) વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$V = V_{total} \times \frac{R_p}{R_{total}} = 6 \times \frac{24}{64} = 6 \times \frac{3}{8} = \frac{18}{8} = 2.25 \, \text{V}$.

(D) આ સર્કિટ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે. મિલમેનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$V_{AB} = \frac{\sum \frac{E_i}{R_i}}{\sum \frac{1}{R_i}}$
ઉપરની શાખામાં,બેટરી $7\,V$ છે અને અવરોધ $10\,\Omega$ છે. નીચેની શાખામાં,બેટરી $4\,V$ છે અને અવરોધ $R$ છે.
$V_{AB} = \frac{7/10 + 4/R}{1/10 + 1/R} = 6$
$0.7 + 4/R = 6(0.1 + 1/R)$
$0.7 + 4/R = 0.6 + 6/R$
$0.7 - 0.6 = 6/R - 4/R$
$0.1 = 2/R$
$R = 2 / 0.1 = 20\,\Omega$.
આમ,અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય $20\,\Omega$ છે.

(B) વોલ્ટમીટર $80 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે વોલ્ટમીટર $(80 \, \Omega)$ અને અવરોધ $(80 \, \Omega)$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R'$ છે.
$R' = \frac{80 \times 80}{80 + 80} = \frac{6400}{160} = 40 \, \Omega$.
હવે,આ $R'$ એ $20 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 20 + 40 = 60 \, \Omega$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \, A$ છે.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન એ સમાંતર જોડાણ $R'$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,જે $V' = I \times R'$ દ્વારા મળે છે.
$V' = \frac{1}{30} \times 40 = \frac{4}{3} = 1.33 \, V$.

(C) સૌ પ્રથમ, સર્કિટનું જોડાણ ઓળખો। $6 \, \Omega$ અને $3 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_p = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega$
આ સમાંતર જોડાણ $4 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી, સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_{eq} = R_p + 4 \, \Omega = 2 \, \Omega + 4 \, \Omega = 6 \, \Omega$
સર્કિટમાં વ્યય થતો કુલ પાવર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે, જ્યાં $V = 18 \, V$ એ બેટરીનો વોલ્ટેજ છે.
$P = \frac{18^2}{6} = \frac{324}{6} = 54 \, W$
આમ, વ્યય થતો કુલ પાવર $54 \, W$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં ત્રણ બેટરીઓ છે. ધારો કે પ્રવાહ $I$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહે છે.
ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $40\, V$, $10\, V$, $15\, V$ અને $20\, V$ છે. પોલેરિટી જોતા:
$40\, V$ અને $15\, V$ ની બેટરીઓ પ્રવાહને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ધકેલે છે, જ્યારે $10\, V$ અને $20\, V$ ની બેટરીઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ધકેલે છે.
કુલ $EMF$ $E_{net} = (40 + 15) - (10 + 20) = 55 - 30 = 25\, V$.
કુલ અવરોધ $R_{net}$ એ તમામ આંતરિક અને બાહ્ય અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_{net} = 1\, \Omega + 2\, \Omega + 2\, \Omega + 1\, \Omega + 1\, \Omega + 3\, \Omega + 1\, \Omega = 11\, \Omega$.
લૂપ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $I = \frac{E_{net}}{R_{net}} = \frac{25}{11}\, A$.

(C) જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે $10\,\Omega$ અને $20\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં હોય છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 10\,\Omega + 20\,\Omega = 30\,\Omega$ થાય. વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{30\,\Omega} = \frac{1}{10} \text{ A}$ મળે.
$(b)$ જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ હોય,ત્યારે $20\,\Omega$ નો અવરોધ શોર્ટ-સર્કિટ થઈ જાય છે. હવે પરિપથમાં માત્ર $10\,\Omega$ નો અવરોધ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં રહે છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 10\,\Omega$ થાય. વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{10\,\Omega} = \frac{3}{10} \text{ A}$ મળે.
આમ,વિદ્યુતપ્રવાહ અનુક્રમે $\frac{1}{10} \text{ A}$ અને $\frac{3}{10} \text{ A}$ છે.

(B) વોલ્ટમીટર $3 \, k\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_v = 6 \, k\Omega$ છે અને તેની સાથે સમાંતરમાં રહેલ અવરોધ $R_2 = 3 \, k\Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$R_p = \frac{R_v \times R_2}{R_v + R_2} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \, k\Omega$
હવે,આ $R_p$ એ $2 \, k\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega = 4 \, k\Omega$ છે.
સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_{source}}{R_{total}} = \frac{10 \, V}{4 \, k\Omega} = 2.5 \, mA$ છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ (જે વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ છે) તે:
$V_{reading} = I \times R_p = 2.5 \, mA \times 2 \, k\Omega = 5 \, V$.