Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(D) સૌ પ્રથમ,બેટરીના સંયોજનનું કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $(E_{net})$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $(r_{net})$ ગણો. બેટરીઓ વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. તેથી,$E_{net} = 8\,V - 4\,V = 4\,V$. આંતરિક અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $r_{net} = 0.5\,\Omega + 1.0\,\Omega = 1.5\,\Omega$.
ત્યારબાદ,બાહ્ય પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો. $3\,\Omega$ અને $6\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2\,\Omega$. આ $4.5\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી કુલ બાહ્ય અવરોધ $R_{ext} = 4.5\,\Omega + 2\,\Omega = 6.5\,\Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{ext} + r_{net} = 6.5\,\Omega + 1.5\,\Omega = 8.0\,\Omega$ છે.
અંતે,પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4\,V}{8.0\,\Omega} = 0.5\,A$ છે. $4.5\,\Omega$ નો અવરોધ મુખ્ય શાખામાં હોવાથી,તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $0.5\,A$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$2\,\Omega$ અને $4\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો:
$R_p = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\,\Omega$.
પરિપથમાં,$3\,\Omega$ નો અવરોધ સમાંતર જોડાણ $(4/3\,\Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
શ્રેણી જોડાણમાં પ્રવાહ $I$ સમાન હોવાથી,પાવર $P = I^2 R$ એ અવરોધના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto R)$.
$3\,\Omega$ ના અવરોધમાં પાવર $P_3 = 27\,W$ આપેલ છે,ધારો કે સમાંતર જોડાણમાં પાવર $P_p$ છે:
$\frac{P_3}{P_p} = \frac{R_3}{R_p} \Rightarrow \frac{27}{P_p} = \frac{3}{4/3} = \frac{9}{4}$.
$P_p = 27 \times \frac{4}{9} = 12\,W$.
હવે,સમાંતર જોડાણ માટે,બંને અવરોધો પરનો વોલ્ટેજ $V_p$ સમાન હોય છે. પાવર $P = V^2/R$ હોવાથી,$P \propto 1/R$.
$\frac{P_2}{P_4} = \frac{R_4}{R_2} = \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow P_2 = 2 P_4$.
$P_2 + P_4 = P_p = 12\,W$ હોવાથી,$2 P_4 + P_4 = 12\,W \Rightarrow 3 P_4 = 12\,W \Rightarrow P_4 = 4\,W$.
તેથી,$P_2 = 2 \times 4 = 8\,W$.

(B) ધારો કે છેલ્લા અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_4$ છે.
છેડેથી પાછળની તરફ ગણતરી કરતા:
$1$. છેલ્લા ઉભા અવરોધમાંથી $1\,A$ પ્રવાહ વહે છે,તેથી તેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_4 = 1\,A \times 1\,\Omega = 1\,V$ છે.
$2$. છેલ્લા આડા અવરોધમાંથી $1\,A$ પ્રવાહ વહે છે. તેના પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $1\,A \times 1\,\Omega = 1\,V$ છે. તેથી,આ અવરોધ પહેલાનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $1\,V + 1\,V = 2\,V$ છે.
$3$. પછીના ઉભા અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $V/R = 2\,V / 1\,\Omega = 2\,A$ છે. આ નોડમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $1\,A + 2\,A = 3\,A$ છે.
$4$. પછીના આડા અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $3\,A \times 1\,\Omega = 3\,V$ છે. આ પહેલાનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $2\,V + 3\,V = 5\,V$ છે.
$5$. પછીના ઉભા અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $5\,V / 1\,\Omega = 5\,A$ છે. કુલ પ્રવાહ $3\,A + 5\,A = 8\,A$ છે.
$6$. પછીના આડા અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $8\,A \times 1\,\Omega = 8\,V$ છે. આ પહેલાનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $5\,V + 8\,V = 13\,V$ છે.
$7$. પછીના ઉભા અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $13\,V / 1\,\Omega = 13\,A$ છે. કુલ પ્રવાહ $8\,A + 13\,A = 21\,A$ છે.
$8$. પ્રથમ આડા અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $21\,A \times 1\,\Omega = 21\,V$ છે. કુલ ઇનપુટ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $13\,V + 21\,V = 34\,V$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં $6 \, V$ ની બેટરી $1.5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે અને તેની સાથે ત્રણ અવરોધો ($4 \, \Omega$,$4 \, \Omega$,અને $6 \, \Omega$) સમાંતર જોડાણમાં છે.
સૌ પ્રથમ,ત્રણ સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ શોધો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+3+2}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \, \Omega^{-1}$
તેથી,$R_p = 1.5 \, \Omega$.
સર્કિટનો કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{eff} = 1.5 \, \Omega + R_p = 1.5 \, \Omega + 1.5 \, \Omega = 3 \, \Omega$ છે.
બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = \frac{V^2}{R_{eff}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{(6)^2}{3} = \frac{36}{3} = 12 \, W$.

(A) આ પરિપથમાં $9\, V$ ની બેટરી છે જેનો આંતરિક અવરોધ $r = 1\, \Omega$ છે, જે $6\, \Omega$ અને $3\, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
સૌ પ્રથમ, સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણીએ:
$R_p = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\, \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{\text{total}} = R_p + r = 2\, \Omega + 1\, \Omega = 3\, \Omega$ થાય.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{\text{total}}} = \frac{9\, V}{3\, \Omega} = 3\, A$ છે.
સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $(V)$ $V = E - Ir = 9\, V - (3\, A \times 1\, \Omega) = 6\, V$ થાય.
એમીટર $3\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_A = \frac{V}{R} = \frac{6\, V}{3\, \Omega} = 2\, A$ મળે.

(B) પરિપથને સમપ્રમાણતા અને શ્રેણી-સમાંતર જોડાણોને ધ્યાનમાં લઈને સરળ બનાવી શકાય છે.
$1$. $AF$ અને $FE$ પરના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 3 \; \Omega + 3 \; \Omega = 6 \; \Omega$ છે.
$2$. આ $R_1$ એ $AE$ પર જોડાયેલા $6 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AE}'$ માટે $\frac{1}{R_{AE}'} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow R_{AE}' = 3 \; \Omega$ મળે છે.
$3$. તેવી જ રીતે, $ED$ અને $DC$ પરના અવરોધો $AD$ પરના $6 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં શ્રેણીબદ્ધ છે, જેનાથી $A$ અને $C$ વચ્ચે $3 \; \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ મળે છે.
$4$. અંતે, પરિપથ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલા $3 \; \Omega$ ના ત્રણ અવરોધોમાં ઘટાડો થાય છે (એક સીધો, અને બે $C$ માર્ગ દ્વારા).
$5$. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ સીધા $3 \; \Omega$ ના અવરોધ અને અન્ય બે $3 \; \Omega$ ના અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ $(3+3=6 \; \Omega)$ નું સમાંતર જોડાણ છે.
$6$. $R_{eq} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \; \Omega$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $r$ છે. સર્કિટ અનંત લેડર (infinite ladder) હોવાથી,ઇનપુટમાં એક વધારાનો વિભાગ ઉમેરવાથી કુલ અવરોધમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. તેથી,સર્કિટને બે $R$ અવરોધ શ્રેણીમાં અને તેની સાથે $R$ અવરોધ અને સમતુલ્ય અવરોધ $r$ ના સમાંતર જોડાણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $r$ નીચે મુજબ મળે છે:
$r = R + R + \frac{R \cdot r}{R + r}$
$r = 2R + \frac{Rr}{R + r}$
$(R + r)$ વડે ગુણતા:
$r(R + r) = 2R(R + r) + Rr$
$Rr + r^2 = 2R^2 + 2Rr + Rr$
$r^2 - 2Rr - 2R^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{2R \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2(1)}$
$r = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2}$
$r = \frac{2R \pm \sqrt{12R^2}}{2}$
$r = \frac{2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$
$r = R \pm R\sqrt{3}$
અવરોધ હંમેશા ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન કિંમત લઈએ છીએ:
$r = (1 + \sqrt{3})R$

(D) ધારો કે $0\,^oC$ તાપમાને બંને અવરોધોનું મૂલ્ય $R_0$ છે.
$t$ તાપમાને,અવરોધો $R_1 = R_0(1 + \alpha_1 t)$ અને $R_2 = R_0(1 + \alpha_2 t)$ થશે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
$R_{eq} = R_0(1 + \alpha_1 t) + R_0(1 + \alpha_2 t) = 2R_0 + R_0(\alpha_1 + \alpha_2)t$.
$R_{eq} = 2R_0 \left( 1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} t \right)$.
$0\,^oC$ તાપમાને સમતુલ્ય અવરોધ $R'_{0} = 2R_0$ હોવાથી,$R_{eq} = R'_{0}(1 + \alpha_{eq} t)$ લખી શકાય.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,સમતુલ્ય તાપમાન ગુણાંક $\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ મળે છે.

(B) અચળ વોલ્ટેજ $V$ ધરાવતા તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉષ્મા બમણી કરવા માટે,અવરોધ $R$ અડધો $(R' = R/2)$ થવો જોઈએ.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{\rho \ell}{\pi r^2}$ છે.
જો લંબાઈ $\ell$ અને ત્રિજ્યા $r$ બંને બમણી કરવામાં આવે,તો $\ell' = 2\ell$ અને $r' = 2r$ થાય.
તેથી $R' = \frac{\rho (2\ell)}{\pi (2r)^2} = \frac{2\rho \ell}{4\pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\rho \ell}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
અહીં $R' = R/2$ હોવાથી,નવી ઉષ્મા $H' = \frac{V^2}{R'} t = \frac{V^2}{R/2} t = 2 \left( \frac{V^2}{R} t \right) = 2H$ થાય. આમ,ઉષ્મા બમણી થાય છે.

(A) પરિપથ $POQ$ અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. સંમિતિને કારણે,નોડ $A$ અને $B$ પરનું સ્થિતિમાન નોડ $O$ જેટલું જ હોય છે. તેથી,$O$ સાથે જોડાયેલા $2R$ અવરોધ ધરાવતા શિરોલંબ અવરોધકોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ $P$ અને $Q$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
$1$. ઉપરની શાખા: શ્રેણીમાં બે $2R$ અવરોધકો,કુલ $= 4R$.
$2$. મધ્ય શાખા: શ્રેણીમાં બે $r$ અવરોધકો,કુલ $= 2r$.
$3$. નીચેની શાખા: શ્રેણીમાં બે $2R$ અવરોધકો,કુલ $= 4R$.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{PQ}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{4R} = \frac{2}{4R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2r} = \frac{r + R}{2Rr}$.
તેથી,$R_{PQ} = \frac{2Rr}{R + r}$.

(D) ધારો કે સ્ત્રોતનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે અને તેનું ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ છે.
$R_1$ અવરોધ ધરાવતી કોઈલમાં પ્રવાહ $I_1 = \frac{E}{r + R_1}$ છે.
$R_2$ અવરોધ ધરાવતી કોઈલમાં પ્રવાહ $I_2 = \frac{E}{r + R_2}$ છે.
જેમ કે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2 R t$ સમાન સમય $t$ માટે બંને કોઈલમાં સમાન છે,તેથી:
$I_1^2 R_1 t = I_2^2 R_2 t$
$I_1$ અને $I_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\left(\frac{E}{r + R_1}\right)^2 R_1 = \left(\frac{E}{r + R_2}\right)^2 R_2$
$\frac{R_1}{(r + R_1)^2} = \frac{R_2}{(r + R_2)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{R_1}}{r + R_1} = \frac{\sqrt{R_2}}{r + R_2}$
$\sqrt{R_1}(r + R_2) = \sqrt{R_2}(r + R_1)$
$r\sqrt{R_1} + \sqrt{R_1}R_2 = r\sqrt{R_2} + R_1\sqrt{R_2}$
$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = R_1\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}R_2$
$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_1 R_2}(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$
$r = \sqrt{R_1 R_2}$

(C) બેટરીનો પોઝિટિવ ટર્મિનલ સૌથી ઊંચા પોટેન્શિયલ પર હોય છે અને નેગેટિવ ટર્મિનલ સૌથી નીચા પોટેન્શિયલ પર હોય છે.
પરંપરાગત રીતે,વિદ્યુત પ્રવાહ ઊંચા પોટેન્શિયલથી નીચા પોટેન્શિયલ તરફ વહે છે,એટલે કે બાહ્ય સર્કિટમાં તે પોઝિટિવ ટર્મિનલથી નેગેટિવ ટર્મિનલ તરફ વહે છે.
વિધાન સાચું છે કારણ કે નેગેટિવ ટર્મિનલ એ ખરેખર સૌથી નીચા પોટેન્શિયલનું બિંદુ છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે પ્રવાહ ઊંચા પોટેન્શિયલથી નીચા પોટેન્શિયલ તરફ વહે છે,તેની વિરુદ્ધ દિશામાં નહીં.

(D) ફ્યુઝ એ વિદ્યુત પરિપથમાં ઓવરકરન્ટ અથવા શોર્ટ-સર્કિટની સ્થિતિ સામે રક્ષણ મેળવવા માટે વપરાતું સુરક્ષા ઉપકરણ છે. જ્યારે પ્રવાહ સુરક્ષિત મર્યાદા કરતા વધી જાય છે,ત્યારે વિદ્યુત પ્રવાહની ઉષ્મીય અસરને કારણે ફ્યુઝનો તાર ઓગળી જાય છે,જેનાથી પરિપથ તૂટી જાય છે અને ઉપકરણોને થતા નુકસાનથી બચાવી શકાય છે.

(C) પરિપથ $1$ માં, વોલ્ટમીટર $V_{1}$ એ $10 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે। આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોવાથી, તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી। તેથી, $10 \; \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $10 \; V$ છે, એટલે કે $V_{1} = 10 \; V$. પ્રવાહ $I_{1}$ એ $I_{1} = \frac{10 \; V}{10 \; \Omega} = 1 \; A$ દ્વારા મળે છે.
પરિપથ $2$ માં, વોલ્ટમીટર $V_{2}$ એ $10 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે, અને આ સંયોજન મુખ્ય $10 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે। આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોવાથી, વોલ્ટમીટર અને $10 \; \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી। આ શાખા પરનો વોલ્ટેજ હજુ પણ $10 \; V$ છે। વોલ્ટમીટર આદર્શ હોવાથી, $10 \; V$ નો સંપૂર્ણ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ વોલ્ટમીટર પર જ જોવા મળે છે, તેથી $V_{2} = 10 \; V$. પ્રવાહ $I_{2}$ ફક્ત મુખ્ય $10 \; \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે, તેથી $I_{2} = \frac{10 \; V}{10 \; \Omega} = 1 \; A$.
તેથી, $V_{1} = V_{2} = 10 \; V$ અને $I_{1} = I_{2} = 1 \; A$ થાય છે.

(D) પરિપથમાં $2 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
ઉપરની શાખામાં,$20 \ \Omega$ અને $30 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. જંકશન $V_1$ પરનો પોટેન્શિયલ વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે: $V_1 = 2 \text{ V} \times \frac{30 \ \Omega}{20 \ \Omega + 30 \ \Omega} = 2 \times \frac{30}{50} = 1.2 \text{ V}$.
નીચેની શાખામાં,$30 \ \Omega$ અને $20 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. જંકશન $V_2$ પરનો પોટેન્શિયલ: $V_2 = 2 \text{ V} \times \frac{20 \ \Omega}{30 \ \Omega + 20 \ \Omega} = 2 \times \frac{20}{50} = 0.8 \text{ V}$.
આદર્શ વોલ્ટમીટરનું અવલોકન એ બે જંકશન વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે: $V = |V_1 - V_2| = |1.2 \text{ V} - 0.8 \text{ V}| = 0.4 \text{ V}$.

(A) ધારો કે પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ છે. બેટરીઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ emf $E_{eq} = 10 + 10 = 20 \; V$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = 20 + 5 = 25 \; \Omega$ થશે.
$20 \; \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરીના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_1 = E - i r_1 = 10 - i(20)$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0,$ તેથી $10 - 20i = 0,$ જે પરથી $i = 0.5 \; A$ મળે છે.
કુલ બાહ્ય અવરોધ $R_{ext}$ એ $30 \; \Omega$ અને $R \; \Omega$ નું સમાંતર જોડાણ છે,તેથી $R_{ext} = \frac{30R}{30+R}$ થાય.
આખા પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$E_{eq} = i(R_{ext} + r_{eq}).$
$20 = 0.5 \left( \frac{30R}{30+R} + 25 \right).$
$40 = \frac{30R}{30+R} + 25.$
$15 = \frac{30R}{30+R}.$
$15(30+R) = 30R.$
$450 + 15R = 30R.$
$15R = 450 \implies R = 30 \; \Omega.$

(C) જ્યારે એલિમેન્ટમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ ખૂબ જ ઓછો હોય,ત્યારે ગરમીની અસરોને અવગણી શકાય છે અને એલિમેન્ટનું તાપમાન $T_{1}$ એ ઓરડાના તાપમાન જેટલું જ હોય છે.
જ્યારે ટોસ્ટરને સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક પ્રવાહ તેના સ્થિર મૂલ્ય $2.68\; A$ કરતા થોડો વધારે હશે. પરંતુ પ્રવાહની ગરમીની અસરને કારણે તાપમાન વધશે. આનાથી અવરોધમાં વધારો થશે અને પ્રવાહમાં થોડો ઘટાડો થશે.
થોડી સેકન્ડોમાં,એક સ્થિર સ્થિતિ પ્રાપ્ત થશે જ્યારે તાપમાનમાં વધુ વધારો થશે નહીં,અને એલિમેન્ટનો અવરોધ અને ખેંચાયેલ પ્રવાહ બંને સ્થિર મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરશે.
સ્થિર તાપમાન $T_{2}$ પર અવરોધ $R_{2}$ છે:
$R_{2} = \frac{230\; V}{2.68\; A} = 85.8\; \Omega$
સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$R_{2} = R_{1}[1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$
$\alpha = 1.70 \times 10^{-4}\; ^{\circ} C^{-1}$ સાથે,આપણને મળે છે:
$T_{2} - T_{1} = \frac{(85.8 - 75.3)}{(75.3) \times 1.70 \times 10^{-4}} = 820^{\circ} C$
એટલે કે,$T_{2} = (820 + 27.0)^{\circ} C = 847^{\circ} C$.
આમ,હીટિંગ એલિમેન્ટનું સ્થિર તાપમાન $847^{\circ} C$ છે.

(C) બેટરીનો $emf$ $E = 12\; V$ આપેલ છે.
બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r = 0.4\; \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી મહત્તમ પ્રવાહ $(I_{max})$ મેળવવા માટે,પરિપથમાં જોડાયેલ બાહ્ય અવરોધ શૂન્ય હોવો જોઈએ (શોર્ટ સર્કિટ સ્થિતિ).
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ માટે,આપણે બાહ્ય અવરોધ $R = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$I_{max} = \frac{E}{r} = \frac{12}{0.4}$.
$I_{max} = \frac{120}{4} = 30\; A$.
આમ,બેટરીમાંથી મેળવી શકાતો મહત્તમ પ્રવાહ $30\; A$ છે.

(N/A) બેટરીનો $emf$,$E = 10 \;V$
બેટરીનો આંતરિક અવરોધ,$r = 3 \;\Omega$
પરિપથમાં પ્રવાહ,$I = 0.5 \;A$
ધારો કે અવરોધકનો અવરોધ $R$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{E}{R + r}$.
$R + r$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$R + r = \frac{E}{I} = \frac{10}{0.5} = 20 \;\Omega$.
આથી,$R = 20 - 3 = 17 \;\Omega$.
બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = E - Ir$ અથવા $V = IR$ દ્વારા મળે છે.
$V = IR$ નો ઉપયોગ કરતા,$V = 0.5 \;A \times 17 \;\Omega = 8.5 \;V$.
તેથી,અવરોધકનો અવરોધ $17 \;\Omega$ છે અને બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $8.5 \;V$ છે.

(C) આપેલ છે: સ્ટોરેજ બેટરીનો $emf$ $E = 8.0\; V$. બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r = 0.5\; \Omega$. $DC$ સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = 120\; V$. શ્રેણી અવરોધ $R = 15.5\; \Omega$.
સર્કિટમાં અસરકારક વોલ્ટેજ $V' = V - E = 120 - 8.0 = 112\; V$ છે.
સર્કિટમાં કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r = 15.5 + 0.5 = 16.0\; \Omega$ છે.
ચાર્જિંગ પ્રવાહ $I = \frac{V'}{R_{total}} = \frac{112}{16.0} = 7.0\; A$ મળે છે.
ચાર્જિંગ દરમિયાન બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_{terminal} = E + Ir = 8.0 + (7.0 \times 0.5) = 8.0 + 3.5 = 11.5\; V$ થાય છે.
શ્રેણી અવરોધનો હેતુ ચાર્જિંગ પ્રવાહને સુરક્ષિત મૂલ્ય સુધી મર્યાદિત કરવાનો છે,જેથી વધુ પડતા પ્રવાહને કારણે બેટરી અને પાવર સપ્લાયને નુકસાન ન થાય.

(C) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R^{\prime}$ છે.
નેટવર્ક અનંત હોવાથી,સમાન રચનાનો વધુ એક વિભાગ ઉમેરવાથી સમતુલ્ય અવરોધ બદલાશે નહીં.
નેટવર્કમાં બે $1\; \Omega$ ના અવરોધો બાકીના અનંત નેટવર્ક સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $1\; \Omega$ ના શંટ અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
તેથી,$R^{\prime} = 1 + 1 + \frac{R^{\prime} \times 1}{R^{\prime} + 1} = 2 + \frac{R^{\prime}}{R^{\prime} + 1}$.
$(R^{\prime} + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $R^{\prime}(R^{\prime} + 1) = 2(R^{\prime} + 1) + R^{\prime}$.
$(R^{\prime})^2 + R^{\prime} = 2R^{\prime} + 2 + R^{\prime}$.
$(R^{\prime})^2 - 2R^{\prime} - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $R^{\prime} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$R^{\prime} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $R^{\prime} = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732\; \Omega$.
આંતરિક અવરોધ $r = 0.5\; \Omega$ સહિત પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R^{\prime} + r = 2.732 + 0.5 = 3.232\; \Omega$ છે.
$12\; V$ ના સપ્લાયમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{12}{3.232} \approx 3.713\; A$ છે.
દશાંશના બે અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પ્રવાહ $3.72\; A$ મળે છે.

(N/A) અર્થિંગ એ વિદ્યુત ઉપકરણ અથવા સર્કિટના ધાતુના ભાગને ઓછા અવરોધવાળા વાહક દ્વારા પૃથ્વી (ગ્રાઉન્ડ) સાથે જોડવાની પ્રક્રિયા છે.
અર્થિંગનું મહત્વ:
$1$. સુરક્ષા: તે લીકેજ કરંટને જમીનમાં વહેવા માટે ઓછા અવરોધનો માર્ગ પૂરો પાડે છે,જેથી જો ઇન્સ્યુલેશન નિષ્ફળતાને કારણે ઉપકરણની બોડીમાં કરંટ આવે,તો વપરાશકર્તાને ઇલેક્ટ્રિક શોક લાગતો નથી.
$2$. રક્ષણ: તે વોલ્ટેજમાં વધારો અથવા વીજળી પડવાને કારણે થતા નુકસાનથી વિદ્યુત ઉપકરણોને બચાવે છે,કારણ કે તે વધારાના ચાર્જને પૃથ્વીમાં વિસર્જિત કરવા માટે સુરક્ષિત માર્ગ પૂરો પાડે છે.
$3$. સ્થિરતા: તે વિદ્યુત પ્રણાલી માટે સ્થિર સંદર્ભ પોટેન્શિયલ (શૂન્ય પોટેન્શિયલ) જાળવવામાં મદદ કરે છે.

(R = R_1 - R_2) શ્રેણી જોડાણનો સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r = r_1 + r_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણનો સમતુલ્ય $emf$ $E' = E + E = 2E$ છે.
તેથી,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{E'}{R + r} = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$
પ્રથમ કોષના ટર્મિનલ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1$ નીચે મુજબ છે:
$V_1 = E - I r_1$
આપેલ છે કે પ્રથમ કોષના ટર્મિનલ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,તેથી $V_1 = 0$ લેતા:
$0 = E - I r_1$
$E = I r_1$
$I$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$
$1 = \frac{2 r_1}{R + r_1 + r_2}$
$R + r_1 + r_2 = 2 r_1$
$R = r_1 - r_2$
આમ,બાહ્ય અવરોધનું જરૂરી મૂલ્ય $R = r_1 - r_2$ છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ કોષોનો સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $R_{eq}$ છે,સમતુલ્ય વોલ્ટેજ $V_{eq}$ છે અને બાહ્ય અવરોધ $R$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_{1}$ નીચે મુજબ છે:
$I_{1} = \frac{V_{eq}}{R_{eq} + R}$ $(1)$
જ્યારે તમામ અવરોધો અને તમામ બેટરીઓના મૂલ્યોને તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યો કરતા $n$ ગણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા પરિમાણો નીચે મુજબ બને છે:
$V'_{eq} = n V_{eq}$,$R'_{eq} = n R_{eq}$,અને $R' = n R$.
નવી (સુધારેલી) સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_{2}$ નીચે મુજબ છે:
$I_{2} = \frac{V'_{eq}}{R'_{eq} + R'} = \frac{n V_{eq}}{n R_{eq} + n R} = \frac{n V_{eq}}{n(R_{eq} + R)} = \frac{V_{eq}}{R_{eq} + R}$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,
$I_{2} = I_{1}$
આમ,પ્રવાહમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(A) આપેલ છે કે તમામ અવરોધો $R_1$ થી $R_5$ એ $2\, \Omega$ છે. જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થઈ જાય છે,ત્યારે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સોલ્યુશન આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નોડ્સને ચિહ્નિત કરો. શાખા $ADB$ માં કેપેસિટર છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સર્કિટ અવરોધોના સંયોજનમાં સરળ બને છે જ્યાં $R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન $R_3$ સાથે સમાંતર છે. આ આખો બ્લોક $R_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરંતુ,સર્કિટને જોતા,$10\, V$ સ્ત્રોતમાંથી આવતો પ્રવાહ $i$ વિભાજિત થાય છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
શાખા $AEB$ કેપેસિટર દ્વારા પ્રવાહ વહન કરતી નથી. પ્રવાહ $R_1$ અને $R_2$ માં શ્રેણીમાં $(2+2=4\, \Omega)$ વહે છે,જે $R_3$ $(2\, \Omega)$ સાથે સમાંતર છે.
આ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $= (4 \times 2) / (4 + 2) = 8 / 6 = 4/3\, \Omega$.
$R_4$ ને શ્રેણીમાં ઉમેરતા,$R_{eq} = 4/3 + 2 = 10/3\, \Omega$.
કુલ પ્રવાહ $i = V / R_{eq} = 10 / (10/3) = 3\, A$.
કેપેસિટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો તફાવત છે,જે $V_{AB} = V_{AE} + V_{EB}$ છે.
$V_{AE} = I_{R2} \times R_2 = 1\, A \times 2\, \Omega = 2\, V$.
$V_{EB} = I_{R4} \times R_4 = 3\, A \times 2\, \Omega = 6\, V$.
આમ,$V_{AB} = 2\, V + 6\, V = 8\, V$.

(B) $10 \, k \Omega = 10000 \, \Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $400 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલું છે.
સૌ પ્રથમ,$400 \, \Omega$ ના અવરોધ અને $10000 \, \Omega$ ના વોલ્ટમીટરના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ શોધો:
$R_p = \frac{400 \times 10000}{400 + 10000} = \frac{4000000}{10400} \approx 384.6 \, \Omega \approx 385 \, \Omega$.
હવે,આ જોડાણ $800 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 385 \, \Omega + 800 \, \Omega = 1185 \, \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટમીટર દ્વારા માપવામાં આવેલ) વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V = V_{total} \times \frac{R_p}{R_{eq}} = 6 \, V \times \frac{385 \, \Omega}{1185 \, \Omega} \approx 1.949 \, V$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.95 \, V$ મળે છે.

(D) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય અવરોધ $R$ માં પાવર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે તે બેટરીના આંતરિક અવરોધ $r$ જેટલો હોય.
આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવા માટે,ઇલેક્ટ્રોલાઇટની અંદર $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈનું પાતળું નળાકાર કવચ ધ્યાનમાં લો.
આ કવચનો અવરોધ $dr = \frac{\rho \cdot dx}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $dx = dr$ અને $A = 2 \pi r l$ છે.
તેથી,$dr = \frac{\rho \cdot dr}{2 \pi r l}$.
કુલ આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવા માટે $r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરતા:
$r = \int_{a}^{b} \frac{\rho}{2 \pi l} \frac{dr}{r} = \frac{\rho}{2 \pi l} [\ln r]_{a}^{b} = \frac{\rho}{2 \pi l} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$.
તેથી,$R$ માં મહત્તમ જૂલ ઉષ્મા માટે,$R = r = \frac{\rho}{2 \pi l} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$ હોવું જોઈએ.

(C) પરિપથમાં $40 \ V$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
શાખા $ABC$ માં $40 \ \Omega$ અને $60 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_1 = 40 + 60 = 100 \ \Omega$.
પ્રવાહ $i_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{40}{100} = 0.4 \ A$.
$A$ ની સાપેક્ષે $B$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A - V_B = i_1 \times 40 = 0.4 \times 40 = 16 \ V$ છે. તેથી,$V_B = V_A - 16$.
શાખા $ADC$ માં $90 \ \Omega$ અને $110 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_2 = 90 + 110 = 200 \ \Omega$.
પ્રવાહ $i_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{40}{200} = 0.2 \ A$.
$A$ ની સાપેક્ષે $D$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A - V_D = i_2 \times 90 = 0.2 \times 90 = 18 \ V$ છે. તેથી,$V_D = V_A - 18$.
$BD$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $|V_B - V_D| = |(V_A - 16) - (V_A - 18)| = |-16 + 18| = 2 \ V$ થાય.

(D) આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E = 3.0 \ V$
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 2.5 \ V$
બાહ્ય અવરોધ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P_R = 0.5 \ W$
આપણે જાણીએ છીએ કે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E - ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
$2.5 = 3.0 - ir$
$ir = 0.5 \ V$
આંતરિક અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P_r = i^2r = (ir) \cdot i$ છે.
કારણ કે $V = iR = 2.5 \ V$,તેથી $i = \frac{2.5}{R}$.
વળી,$P_R = i^2R = 0.5 \ W$.
$i = \frac{2.5}{R}$ ને $P_R = i^2R$ માં મૂકતા:
$0.5 = (\frac{2.5}{R})^2 \cdot R = \frac{6.25}{R}$
$R = \frac{6.25}{0.5} = 12.5 \ \Omega$.
હવે,પ્રવાહ $i$ શોધો:
$i = \frac{V}{R} = \frac{2.5}{12.5} = 0.2 \ A$.
છેલ્લે,આંતરિક અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P_r$ ગણો:
$P_r = i^2r = i(ir) = 0.2 \ A \times 0.5 \ V = 0.10 \ W$.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_A = 0 \ V$ છે.
જંકશન $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
બેટરી શાખામાંથી આવતો પ્રવાહ $i_1 = 1 \ A$ છે.
$2 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_3$ છે ($D$ થી $C$ તરફ નીચેની દિશામાં).
$F$ તરફ જતો પ્રવાહ $i_2 = 2 \ A$ છે.
જંકશન $C$ પર $KCL$ મુજબ: $i_1 + i_3 = i_2$.
કિંમતો મૂકતા: $1 \ A + i_3 = 2 \ A$,જેથી $i_3 = 1 \ A$ મળે છે.
હવે,$A$ થી $C$ થઈને $D$ સુધી જઈને $D$ પાસેનું સ્થિતિમાન શોધીએ:
$V_D = V_A + 1 \ V - i_3 \times (2 \ \Omega) = 0 + 1 - (1 \times 2) = -1 \ V$.
હવે,$D$ થી $B$ તરફ જઈને $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન શોધીએ:
$V_B = V_D + 2 \ V = -1 + 2 = 1 \ V$.
આમ,બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_B - V_A = 1 - 0 = 1 \ V$ છે.

(B) ગેલ્વેનોમીટર $G$ નો અવરોધ $R_G = 60 \, \Omega$ છે અને તેને $r = 0.02 \, \Omega$ ના શંટ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવ્યો છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_P$ નીચે મુજબ મળે:
$R_P = \frac{R_G \times r}{R_G + r} = \frac{60 \times 0.02}{60 + 0.02} = \frac{1.2}{60.02} \approx 0.02 \, \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_P = R + 0.02 \, \Omega$ થાય.
આપેલ છે કે પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = 1 \, A$ છે અને વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $5.0 \, V$ છે,તેથી ઓહ્મના નિયમ મુજબ:
$I = \frac{V}{R_{total}}$
$1 = \frac{5}{R + 0.02}$
$R + 0.02 = 5$
$R = 5 - 0.02 = 4.98 \, \Omega$.
આમ,$R$ નું મૂલ્ય આશરે $5 \, \Omega$ છે.

(C) જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થઈ જાય છે,ત્યારે તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટ $1\, k\Omega$ ના અવરોધ અને $2\, k\Omega$ ના અવરોધના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બને છે જે $9\, V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 1\, k\Omega + 2\, k\Omega = 3\, k\Omega$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,સેલમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9\, V}{3\, k\Omega} = 3\, mA$.

(C) ધારો કે કોષનું emf $E$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. બાહ્ય અવરોધ $R = n r$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r = n r + r = r(n+1)$ થાય.
ઓમના નિયમ મુજબ પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = E / R_{total} = E / [r(n+1)]$ છે.
બાહ્ય અવરોધ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = I R = [E / (r(n+1))] \times (n r)$ થાય.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$V = E \times [n / (n+1)]$ મળે.
તેથી,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ અને emf નો ગુણોત્તર $V/E = n / (n+1)$ થાય.

(A) પરિપથમાં બિંદુ $P$ અને $R$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
શાખા $1$ માં $PQ$ અને $QR$ તાર શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનો અવરોધ $R_1 = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ છે.
શાખા $2$ માં સીધો $PR$ તાર છે,જેનો અવરોધ $R_2 = 2 \,\Omega$ છે.
કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 6 \, A$ આ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,શાખા $PQ$ (અને ત્યારબાદ $QR$) માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1$ નીચે મુજબ છે:
$i_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$i_1 = 6 \times \frac{2}{4 + 2} = 6 \times \frac{2}{6} = 2 \, A$.
આમ,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1$ નું મૂલ્ય $2 \, A$ છે.

(A) બલ્બનો રેટ કરેલ પાવર $P = 500 \, W$ અને રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $V_{bulb} = 100 \, V$ છે.
બલ્બનો અવરોધ $R_{bulb} = \frac{V_{bulb}^2}{P} = \frac{100^2}{500} = \frac{10000}{500} = 20 \, \Omega$ થાય.
બલ્બ તેના રેટ કરેલ પાવર $500 \, W$ પર કાર્ય કરે તે માટે,તેણે તેનો રેટ કરેલ પ્રવાહ $I = \frac{P}{V_{bulb}} = \frac{500}{100} = 5 \, A$ ખેંચવો જોઈએ.
કુલ સપ્લાય વોલ્ટેજ $V_{total} = 200 \, V$ છે. બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $100 \, V$ છે,તેથી શ્રેણીમાં જોડેલા અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = V_{total} - V_{bulb} = 200 - 100 = 100 \, V$ હોવો જોઈએ.
શ્રેણી અવરોધ $R$ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$V_R = I \times R$.
$100 = 5 \times R$.
$R = \frac{100}{5} = 20 \, \Omega$.

(B) આપેલ પરિપથમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{1}$ એ $r_{2}$ અને $r_{3}$ અવરોધ ધરાવતી બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ,$r_{3}$ અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{3}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i_{3} = i_{1} \left( \frac{r_{2}}{r_{2} + r_{3}} \right)$
બંને બાજુ $i_{1}$ વડે ભાગતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{i_{3}}{i_{1}} = \frac{r_{2}}{r_{2} + r_{3}}$

(D) બલ્બનો અવરોધ $R_B$ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R_B}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 200 \, W$ અને $V = 100 \, V$, તેથી $R_B = \frac{100^2}{200} = \frac{10000}{200} = 50 \, \Omega$.
બલ્બ સમાન પાવર આપે તે માટે, તેને $200 \, V$ ના સપ્લાય સાથે જોડવા છતાં તેના પર $100 \, V$ નો વોલ્ટેજ રહેવો જોઈએ.
ધારો કે $R$ એ શ્રેણીમાં જોડેલો અવરોધ છે. સર્કિટનો પ્રવાહ $I = \frac{V_{supply}}{R + R_B} = \frac{200}{R + 50}$ છે.
બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $V_B = I \times R_B = 100 \, V$ હોવો જોઈએ.
$I$ ની કિંમત મૂકતા, $\frac{200}{R + 50} \times 50 = 100$.
$\frac{10000}{R + 50} = 100 \implies 100 = R + 50 \implies R = 50 \, \Omega$.

(A) આકૃતિ $1$ માં આપેલા આલેખ પરથી,$t=3 \, s$ થી $t=4 \, s$ ના સમયગાળા માટે,વોલ્ટેજ $V(t)$ એ $5 \, V$ થી $10 \, V$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{10-5}{4-3} = 5 \, V/s$ છે.
$3 \le t \le 4$ માટે રેખાનું સમીકરણ $V(t) - 5 = 5(t - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $V(t) = 5t - 10$ થાય છે.
$t = 3.2 \, s$ સમયે,વોલ્ટેજ $V(3.2) = 5(3.2) - 10 = 16 - 10 = 6 \, V$ છે.
આકૃતિ $2$ માં દર્શાવેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી,લૂપમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$V(t) - iR - 5 = 0$
અહીં $R = 1 \, \Omega$ અને $t = 3.2 \, s$ સમયે $V(t) = 6 \, V$ આપેલ છે:
$6 - i(1) - 5 = 0$
$i = 1 \, A$.

(B) $1$. સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરો: સર્કિટમાં $5 \, V$ ની બેટરી અવરોધકોના નેટવર્ક સાથે જોડાયેલ છે.
$2$. સર્કિટને સરળ બનાવો: આપેલ આકૃતિ અને ઉકેલ મુજબ,સર્કિટ $5 \, V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર રીતે જોડાયેલ $2.5 \, \Omega$ ના સમતુલ્ય અવરોધમાં પરિણમે છે.
$3$. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ થાય.
$4$. અહીં $V = 5 \, V$ અને $R = 2.5 \, \Omega$ છે.
$5$. તેથી,$I = \frac{5 \, V}{2.5 \, \Omega} = 2 \, A$.

(A) જ્યારે $R_v = 2000 \,\Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $500 \,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$R_p = \frac{500 \times 2000}{500 + 2000} = \frac{1000000}{2500} = 400 \,\Omega$
હવે,પરિપથમાં $R_p = 400 \,\Omega$ અને $R_2 = 600 \,\Omega$ શ્રેણીમાં $20 \,V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 400 + 600 = 1000 \,\Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{20}{1000} = 0.02 \,A$ છે.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન એ સમાંતર જોડાણ $R_p$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે:
$V_{reading} = I \times R_p = 0.02 \times 400 = 8 \,V$.

(C) આ સર્કિટમાં $15 \, V$ ની બેટરી, $1 \, \Omega$ નો અવરોધ અને $2 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega = 3 \, \Omega$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{15 \, V}{3 \, \Omega} = 5 \, A$ મળે.
$V_{B} - V_{A}$ શોધવા માટે, આપણે ઉપરની શાખા દ્વારા $A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ લઈએ.
$A$ થી શરૂ કરીને, આપણે બેટરીમાંથી પસાર થઈએ છીએ (સ્થિતિમાનમાં $15 \, V$ નો વધારો થાય છે) અને પછી $1 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈએ છીએ (સ્થિતિમાનમાં $i \times R = 5 \, A \times 1 \, \Omega = 5 \, V$ નો ઘટાડો થાય છે).
આમ, $V_{B} = V_{A} + 15 \, V - 5 \, V = V_{A} + 10 \, V$ મળે.
તેથી, $V_{B} - V_{A} = 10 \, V$ થાય.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
જ્યારે પક્ષી એક જ હાઈ-ટેન્શન વાયર પર બેસે છે,ત્યારે તેના બંને પગ એકબીજાની ખૂબ નજીકના બિંદુઓ પર વાયરના સંપર્કમાં હોય છે. વાયર એક સારો વાહક હોવાથી,આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નગણ્ય (લગભગ શૂન્ય) હોય છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,વાહકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\Delta V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $R$ એ અવરોધ છે. કારણ કે $\Delta V \approx 0$ છે,તેથી પક્ષીના શરીરમાંથી વહેતો પ્રવાહ પણ લગભગ શૂન્ય હોય છે. તેથી,પક્ષીના શરીર દ્વારા જમીન અથવા અન્ય ફેઝ સુધી પરિપથ પૂર્ણ થતો નથી અને પક્ષીને વીજળીનો આંચકો લાગતો નથી.

(A) સૌ પ્રથમ,સર્કિટને સરળ બનાવો. અવરોધો $R_3 = 60 \, \Omega$ અને $R_4 = 30 \, \Omega$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ છે:
$R_p = \frac{60 \times 30}{60 + 30} = \frac{1800}{90} = 20 \, \Omega$.
આ સંયોજન $R_5 = 20 \, \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી આ શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{branch} = 20 + 20 = 40 \, \Omega$ છે.
હવે,આ શાખા $R_2 = 40 \, \Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે. આ સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq'} = \frac{40 \times 40}{40 + 40} = 20 \, \Omega$ છે.
અંતે,આ $R_1 = 40 \, \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં છે. સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 40 + 20 = 60 \, \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{3.0}{60} = 0.05 \, A$ છે.
$R_1$ માં વ્યય થતો પાવર $P_1 = I^2 R_1 = (0.05)^2 \times 40 = 0.0025 \times 40 = 0.1 \, W$ છે.
પ્રવાહ $I$ બે સમાંતર શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે ($R_2$ અને $R_3, R_4, R_5$ ધરાવતી શાખા) કારણ કે બંનેનો અવરોધ $40 \, \Omega$ છે. તેથી,$I_2 = I_{branch} = 0.025 \, A$.
$R_2$ માં પાવર $P_2 = (0.025)^2 \times 40 = 0.000625 \times 40 = 0.025 \, W$ છે.
$R_3, R_4, R_5$ વાળી શાખામાં,પ્રવાહ $0.025 \, A$ છે. $R_5$ માં પાવર $P_5 = (0.025)^2 \times 20 = 0.0125 \, W$ છે.
$R_3$ અને $R_4$ ના સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_p = I_{branch} \times R_p = 0.025 \times 20 = 0.5 \, V$ છે.
$R_3$ માં પાવર $P_3 = \frac{V_p^2}{R_3} = \frac{0.5^2}{60} = \frac{0.25}{60} \approx 0.0042 \, W$ છે.
$R_4$ માં પાવર $P_4 = \frac{V_p^2}{R_4} = \frac{0.5^2}{30} = \frac{0.25}{30} \approx 0.0083 \, W$ છે.
બધા પાવરની તુલના કરતા,$P_1 = 0.1 \, W$ મહત્તમ છે. તેથી,$R_1$ સૌથી વધુ પાવરનો વ્યય કરે છે.

(A) સર્કિટ $(a)$ માટે,$100 \, \Omega$ અને $200 \, \Omega$ ના અવરોધ શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન $300 \, \Omega$ અને $R$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. આકૃતિ $(a)$ જોતા,$100 \, \Omega$ અને $200 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,અને $300 \, \Omega$ અને $R$ એકબીજા સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (100 + 200) + \frac{300R}{300+R} = 300 + \frac{300R}{300+R} = \frac{90000 + 600R}{300+R}$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{10}{R_{eq}} = \frac{10(300+R)}{90000 + 600R}$ છે.
$R$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ $V_a = I \times \frac{300R}{300+R} = \frac{10(300+R)}{90000 + 600R} \times \frac{300R}{300+R} = \frac{3000R}{600R + 90000} = \frac{5R}{R + 150}$ છે.
સર્કિટ $(b)$ માટે,$200 \, \Omega$ અને $R$ શ્રેણીમાં છે,અને આ $300 \, \Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે. આ સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{300(200+R)}{300+200+R} = \frac{60000 + 300R}{500+R}$ છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 100 + R_p = 100 + \frac{60000 + 300R}{500+R} = \frac{50000 + 100R + 60000 + 300R}{500+R} = \frac{110000 + 400R}{500+R}$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{10}{R_{eq}} = \frac{10(500+R)}{110000 + 400R}$ છે.
સમાંતર જોડાણની આસપાસ વોલ્ટેજ $V_p = I \times R_p = \frac{10(500+R)}{110000 + 400R} \times \frac{60000 + 300R}{500+R} = \frac{600000 + 3000R}{110000 + 400R} = \frac{6000 + 30R}{1100 + 4R}$ છે.
$R$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ $V_b = V_p \times \frac{R}{200+R} = \frac{30(200+R)}{1100+4R} \times \frac{R}{200+R} = \frac{30R}{1100+4R}$ છે.
$V_a = V_b$ સરખાવતા: $\frac{5R}{R+150} = \frac{30R}{1100+4R} \Rightarrow \frac{1}{R+150} = \frac{6}{1100+4R} \Rightarrow 1100 + 4R = 6R + 900 \Rightarrow 2R = 200 \Rightarrow R = 100 \, \Omega$.

(C) વોલ્ટમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ વધારે (આદર્શ રીતે અનંત) હોય છે, અને એમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ ઓછો (આદર્શ રીતે શૂન્ય) હોય છે.
જ્યારે એમીટરને $8 \, k\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે એમીટર $8 \, k\Omega$ ના અવરોધને શોર્ટ સર્કિટ કરે છે. તેથી, આ સમાંતર જોડાણનો અસરકારક અવરોધ લગભગ $0 \, \Omega$ થાય છે.
હવે, સર્કિટમાં અસરકારક રીતે $6 \, V$ ની બેટરી, $2 \, k\Omega$ નો અવરોધ અને ઉચ્ચ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર શ્રેણીમાં છે.
વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $2 \, k\Omega$ ના અવરોધની સરખામણીમાં અત્યંત વધારે હોવાથી, બેટરીનો લગભગ સંપૂર્ણ પોટેન્શિયલ તફાવત વોલ્ટમીટર પર જ જોવા મળે છે.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું અવલોકન લગભગ $6.0 \, V$ હશે.

(D) બંને લૂપને અલગ-અલગ ધ્યાનમાં લો. પ્રથમ લૂપમાં,પ્રવાહ $i_1$ એ અવરોધ $R_1$ અને કોષ $\varepsilon_1$ માંથી વહે છે. કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,$i_1 = \frac{\varepsilon_1}{R_1}$.
તે જ રીતે,બીજા લૂપમાં,પ્રવાહ $i_2$ એ અવરોધ $R_2$ અને કોષ $\varepsilon_2$ માંથી વહે છે. કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,$i_2 = \frac{\varepsilon_2}{R_2}$.
દરેક લૂપ એકબીજાથી સ્વતંત્ર બંધ પરિપથ હોવાથી,વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ કોઈપણ જંકશનમાં દાખલ થતો પ્રવાહ તેમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
બે લૂપને તાર $1$ સાથે જોડતા જંકશન માટે,જો આપણે કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ કરીએ,તો પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ. લૂપ એકબીજાથી પ્રવાહની દ્રષ્ટિએ અલગ હોવાથી,વ્યક્તિગત લૂપની સાતત્યતા જાળવવા માટે જોડતા તાર $1$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહી શકતો નથી. આમ,તાર $1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(A) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $x$ છે। એક પુનરાવર્તિત એકમ ઉમેરવાથી અથવા દૂર કરવાથી અનંત નેટવર્કનો અવરોધ બદલાતો નથી। આમ, નેટવર્કને $r$ અને $r$ તથા $x$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે।
$x = r + \frac{rx}{r+x}$
$x(r+x) = r(r+x) + rx$
$xr + x^2 = r^2 + rx + rx$
$x^2 - rx - r^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{r \pm \sqrt{r^2 - 4(1)(-r^2)}}{2} = \frac{r \pm \sqrt{5r^2}}{2} = \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2}$ (ધન ઉકેલ લેતા)।
બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = i^2 R = 1 \, W$ છે।
$i^2 (16) = 1 \Rightarrow i^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow i = 0.25 \, A$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + x = 16 + \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2}$ છે।
ઓમના નિયમ $V = i R_{total}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 = 0.25 \times (16 + \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2})$
$40 = 16 + \frac{r(1 + 2.236)}{2}$
$24 = \frac{3.236r}{2} = 1.618r$
$r = \frac{24}{1.618} \approx 14.83 \, \Omega$.
આમ, $r$ નું મૂલ્ય આશરે $14.8 \, \Omega$ છે।

(A) કિસ્સા $I$ (સમાંતર જોડાણ) માં:
પરિપથનો કુલ અવરોધ,$R_{\text{eq}, 1} = R_0 + \frac{R}{n} = \frac{n R_0 + R}{n}$.
પરિપથનો પ્રવાહ,$i_1 = \frac{E}{R_{\text{eq}, 1}} = \frac{n E}{n R_0 + R}$.
$n$ અવરોધોમાં વ્યય થતો પાવર,$P_1 = i_1^2 \cdot \left(\frac{R}{n}\right) = \left(\frac{n E}{n R_0 + R}\right)^2 \cdot \frac{R}{n} = \frac{n E^2 R}{(n R_0 + R)^2}$.
કિસ્સા $II$ (શ્રેણી જોડાણ) માં:
પરિપથનો કુલ અવરોધ,$R_{\text{eq}, 2} = R_0 + n R$.
પરિપથનો પ્રવાહ,$i_2 = \frac{E}{R_{\text{eq}, 2}} = \frac{E}{R_0 + n R}$.
$n$ અવરોધોમાં વ્યય થતો પાવર,$P_2 = i_2^2 \cdot (n R) = \left(\frac{E}{R_0 + n R}\right)^2 \cdot n R = \frac{n E^2 R}{(R_0 + n R)^2}$.
આપેલ છે કે $P_1 = P_2$:
$\frac{n E^2 R}{(n R_0 + R)^2} = \frac{n E^2 R}{(R_0 + n R)^2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(n R_0 + R)^2 = (R_0 + n R)^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$n R_0 + R = R_0 + n R$ (કારણ કે $R_0, R, n > 0$).
$(n - 1) R_0 = (n - 1) R$.
$n > 1$ હોવાથી,આપણને $R_0 = R$ મળે છે,તેથી $\frac{R_0}{R} = 1$.

(A) આપેલ પરિપથમાં,$3 \,\Omega$ અને $1 \,\Omega$ ના અવરોધો $10 \,V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 3 \,\Omega + 1 \,\Omega = 4 \,\Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \,V}{4 \,\Omega} = 2.5 \,A$ છે.
$1 \,\Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = i^2 R = (2.5)^2 \times 1 = 6.25 \,W$ છે.
જ્યારે $1 \,\Omega$ ના અવરોધને $9 \,\Omega$ ના અવરોધ વડે બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R'_{eq} = 3 \,\Omega + 9 \,\Omega = 12 \,\Omega$ થાય છે.
પરિપથમાં નવો પ્રવાહ $i' = \frac{10 \,V}{12 \,\Omega} = \frac{5}{6} \,A$ છે.
$9 \,\Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P' = (i')^2 \times 9 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times 9 = \frac{25}{36} \times 9 = \frac{25}{4} \,W = 6.25 \,W$ છે.
આમ,$P = 6.25 \,W$ અને $P' = 6.25 \,W$ હોવાથી,$P' = P$ થાય છે.

(D) સર્કિટ $P$ માં,વોલ્ટમીટર $R$ સાથે સમાંતર છે. માપેલ વોલ્ટેજ $V$ એ $R$ પરનો વોલ્ટેજ છે,પરંતુ એમીટર કુલ પ્રવાહ $I = I_R + I_V = \frac{V}{R} + \frac{V}{R_V}$ માપે છે.
આમ,$R_{\text{est}} = \frac{V}{I} = \frac{V}{V/R + V/R_V} = \frac{R R_V}{R + R_V} = R \left(1 + \frac{R}{R_V}\right)^{-1} \approx R \left(1 - \frac{R}{R_V}\right)$.
ત્રુટિ $\delta R_P = |R - R_{\text{est}}| = |R - R(1 - R/R_V)| = \frac{R^2}{R_V}$ છે.
$(b)$ સર્કિટ $Q$ માં,એમીટર $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે. એમીટર $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ માપે છે,પરંતુ વોલ્ટમીટર $R$ અને એમીટર બંને પરનો વોલ્ટેજ $V = I(R + R_A)$ માપે છે.
આમ,$R_{\text{est}} = \frac{V}{I} = R + R_A$.
ત્રુટિ $\delta R_Q = |R - R_{\text{est}}| = |R - (R + R_A)| = R_A$ છે.
$(c)$ $\delta R_P \approx \delta R_Q$ માટે,આપણી પાસે $\frac{R^2}{R_V} = R_A$ છે,જેનો અર્થ છે $R^2 = R_A R_V$,અથવા $R = \sqrt{R_A R_V}$.