X-Rays Questions in Gujarati

(A) સ્ફટિકમાં વિવર્તનની ઘટના થવા માટે, આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ સ્ફટિક લેટિસમાં રહેલા પરમાણુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલી હોવી જોઈએ。
સ્ફટિકમાં આંતર-પરમાણ્વીય અંતર સામાન્ય રીતે $1 \text{ થી } 10 \text{ Å}$ $(10^{-10} \text{ m})$ ની રેન્જમાં હોય છે。
ક્ષ-કિરણોની તરંગલંબાઈ $0.01 \text{ થી } 10 \text{ Å}$ ની રેન્જમાં હોય છે, જે આંતર-પરમાણ્વીય અંતર સાથે મેળ ખાય છે。
તેથી, વિવર્તન ભાત દ્વારા સ્ફટિકના બંધારણનો અભ્યાસ કરવા માટે ક્ષ-કિરણો આદર્શ છે。

(C) ક્ષ-કિરણો એ ખૂબ જ ટૂંકી તરંગલંબાઈ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે. ક્ષ-કિરણોની સામાન્ય તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર આશરે $0.01 \, \mathring A$ થી $10 \, \mathring A$ જેટલો હોય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$1 \, \mathring A$ એ ક્ષ-કિરણો માટે સૌથી યોગ્ય ક્રમ છે.

(C) કુલીજ ટ્યૂબમાં,ક્ષ-કિરણોનો વર્ણપટ તરંગલંબાઈનો સતત ગાળો ધરાવે છે.
જ્યારે ઊંચી ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન લક્ષ્ય (target) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેઓનું મંદન થાય છે,જેના પરિણામે બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ (bremsstrahlung) વિકિરણ ઉત્સર્જિત થાય છે.
આ વિકિરણ એક ચોક્કસ ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ,જેને $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તેનાથી શરૂ કરીને તેનાથી મોટી તમામ તરંગલંબાઈઓ ધરાવે છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતા ક્ષ-કિરણોમાં ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ કરતા વધારે બધી જ તરંગલંબાઈઓનો સમાવેશ થાય છે.

(C) સખત (Hard) ક્ષ-કિરણો એ નરમ (Soft) ક્ષ-કિરણોની તુલનામાં ઉચ્ચ ઊર્જા અને ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવે છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે,તેથી ઉચ્ચ ઊર્જાનો અર્થ ઉચ્ચ આવૃત્તિ થાય છે.
વળી,$\lambda = c/\nu$ હોવાથી,ઉચ્ચ આવૃત્તિનો અર્થ ટૂંકી તરંગલંબાઈ થાય છે.
તેથી,સખત ક્ષ-કિરણો ઉચ્ચ આવૃત્તિ,ઉચ્ચ ઊર્જા અને ટૂંકી તરંગલંબાઈ ધરાવે છે.

(D) ક્ષ-કિરણોની સખતાઈ (તેમની ભેદન શક્તિ) આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K.E. = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ કેથોડ અને ટાર્ગેટ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત છે. તેથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત વધારવાથી ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા વધે છે,જેના પરિણામે ટૂંકી તરંગલંબાઇ ધરાવતા સખત ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન થાય છે.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણ રેખાની આવૃત્તિ $\nu$ અને ટાર્ગેટ દ્રવ્યના પરમાણ્વીય ક્રમાંક $Z$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\sqrt{\nu} = a(Z - b)$
જ્યાં $a$ અને $b$ એ ચોક્કસ વર્ણપટ રેખા (જેમ કે $K_{\alpha}$,$L_{\alpha}$) પર આધારિત અચળાંકો છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ પ્રકારની સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં $y = \sqrt{\nu}$,$x = Z$,$m = a$ (ઢાળ),અને $c = -ab$ (y-અંતઃખંડ).
અહીં $b > 0$ હોવાથી,y-અંતઃખંડ $-ab$ ઋણ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{\nu}$ વિરુદ્ધ $Z$ નો આલેખ એક એવી સીધી રેખા છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી અને તેનો y-અંતઃખંડ ઋણ છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,આલેખ $A$ ધન y-અંતઃખંડવાળી રેખા છે,આલેખ $B$ ઋણ y-અંતઃખંડવાળી રેખા છે,આલેખ $C$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે,અને આલેખ $D$ વક્ર છે.
આમ,આલેખ $B$ સાચો જવાબ છે.

(C) $X$-ray ટ્યુબમાં પાવર ઇનપુટ $P$ એ પ્રવેગક વોલ્ટેજ $V$ અને બીમ પ્રવાહ $I$ (જે ફિલામેન્ટ પ્રવાહ દ્વારા નક્કી થાય છે) ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $P = V \times I$.
ફિલામેન્ટ પ્રવાહ વધારવાથી ફિલામેન્ટનું તાપમાન વધે છે,જેના પરિણામે કેથોડમાંથી ઇલેક્ટ્રોનનું થર્મોનિક ઉત્સર્જન વધુ થાય છે. ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં આ વધારો બીમ પ્રવાહ $I$ માં વધારો કરે છે.
આમ,$P = V \times I$ હોવાથી,બીમ પ્રવાહ $I$ માં વધારો થવાથી $X$-ray ટ્યુબમાં પાવર ઇનપુટ $P$ માં સીધો વધારો થાય છે.

(C) કુલીજ ટ્યૂબમાં,જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન ટાર્ગેટ સાથે અથડાય છે ત્યારે તેમના વેગમાં ઘટાડો થવાને કારણે સળંગ ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન થાય છે,જે કોઈપણ પ્રવેગક સ્થિતિમાન માટે શક્ય છે.
લાક્ષણિક $K$-શ્રેણીના ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન થવા માટે,આપાત ઈલેક્ટ્રોન પાસે $K$-કવચમાંથી ઈલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે પૂરતી ઊર્જા હોવી જરૂરી છે.
$K$-કવચમાંથી ઈલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $40000 \,eV$ છે.
અહીં લાગુ પાડવામાં આવેલ પ્રવેગક સ્થિતિમાન $60000 \,eV$ છે,જે $K$-કવચની બંધન ઊર્જા કરતા વધારે છે $(60000 \,eV > 40000 \,eV)$,તેથી આપાત ઈલેક્ટ્રોન પાસે $K$-કવચનું આયનીકરણ કરવા માટે પૂરતી ઊર્જા છે.
આથી,સળંગ ક્ષ-કિરણો (Bremsstrahlung ને કારણે) અને લાક્ષણિક $K$-શ્રેણીના ક્ષ-કિરણો બંને મળશે.

(A) ક્ષ-કિરણ ટ્યુબમાં,કેથોડ અને એનોડ (ટાર્ગેટ) વચ્ચે લાગુ પાડવામાં આવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સામાન્ય રીતે કિલોવોલ્ટ $(kV)$ ના ક્રમમાં હોય છે.
તેથી,વોલ્ટેજનો ક્રમ $10^3 \, V$ અથવા $1000 \, V$ છે.

(A) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક $X$-કિરણોની આવૃત્તિ $\nu = a(Z - b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_\alpha$ રેખાઓ માટે $b = 1$ છે.
તેથી,$\nu \propto (Z - 1)^2$.
$Z_1 = 64$ માટે,$\nu_\alpha \propto (64 - 1)^2 = 63^2$.
$Z_2 = 80$ માટે,$\nu'_\alpha \propto (80 - 1)^2 = 79^2$.
તેમનો ગુણોત્તર $\frac{\nu_\alpha}{\nu'_\alpha} = \frac{(63)^2}{(79)^2} = \frac{3969}{6241}$ થાય.
નોંધ: જો પ્રશ્નમાં સરળ સંબંધ $\nu \propto Z^2$ (સ્ક્રીનિંગ અચળાંક $b=1$ ને અવગણીને) લેવામાં આવે,તો $\frac{\nu_\alpha}{\nu'_\alpha} = \frac{64^2}{80^2} = (\frac{64}{80})^2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$ થાય.

(A) કુલીજ ટ્યૂબમાં ઉત્પન્ન થતા ક્ષ-કિરણ ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા,સ્થિતિમાન તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે.
આપેલ છે,સ્થિતિમાન તફાવત $V = 120 \, kV = 120 \times 10^3 \, V$.
મહત્તમ ઊર્જા $E_{max}$ નીચેના સંબંધ દ્વારા મળે છે:
$E_{max} = eV$
કિંમતો મૂકતા:
$E_{max} = e \times (120 \times 10^3 \, V) = 120 \times 10^3 \, eV$
$E_{max} = 1.2 \times 10^5 \, eV$.

(B) ક્ષ-કિરણોની ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
કિંમતો મૂકતા $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,આપણને મળે છે $\lambda_{\min} \approx \frac{12400 \ \mathring{A} \cdot V}{V}$.
અહીં $\lambda_{\min} = 2 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
તેથી,$V = \frac{12400}{\lambda_{\min} (\text{in } \mathring{A})} \ V$.
$V = \frac{12400}{2} \ V = 6200 \ V$.
કિલોવોલ્ટમાં ફેરવતા,$V = 6.2 \ kV$.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ એ બે કવચો વચ્ચેના ઊર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે: $E = E_K - E_L$.
અહીં $E_K = 20 \, keV$ અને $E_L = 2 \, keV$ આપેલ છે,તેથી ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E = 20 \, keV - 2 \, keV = 18 \, keV = 18000 \, eV$ થાય.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{hc}{E}$ છે.
$\lambda \approx \frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{E \text{ (in } eV)}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{12400}{18000} \, \mathring{A} = 0.6888 \, \mathring{A}$.
આમ,નજીકના વિકલ્પ મુજબ તરંગલંબાઈ $0.6887 \, \mathring{A}$ મળે છે.

(D) $K_{\alpha}$ ઉત્સર્જન માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ,આવૃત્તિ $\nu \propto (Z - 1)^2$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = c/\nu$ હોવાથી,$\frac{1}{\lambda} \propto (Z - 1)^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$.
અહીં $Z_1 = 57$ માટે $\lambda_1 = \lambda$ આપેલ છે અને $Z_2 = 29$ માટે $\lambda_2$ શોધવાની છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{(Z_1 - 1)^2}{(Z_2 - 1)^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \frac{(57 - 1)^2}{(29 - 1)^2} = \frac{56^2}{28^2}$.
$\frac{\lambda_2}{\lambda} = (\frac{56}{28})^2 = 2^2 = 4$.
તેથી,$\lambda_2 = 4\lambda$.

(B) $K_\alpha$ ફોટોનની ઊર્જા $K$ અને $L$ કક્ષા વચ્ચેના ઊર્જા તફાવત જેટલી હોય છે: $\Delta E = E_K - E_L = \frac{hc}{\lambda}$.
અહીં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\lambda = 0.021 \times 10^{-9} \ m$ છે.
$\Delta E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{0.021 \times 10^{-9} \ m}$.
$\Delta E \approx 9.47 \times 10^{-15} \ J$.
આ ઊર્જાને $keV$ માં ફેરવવા માટે,તેને ઇલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ વડે ભાગીને ત્યારબાદ $1000$ વડે ભાગતા:
$\Delta E_{keV} = \frac{9.47 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1000} \approx 59.2 \ keV$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઊર્જા તફાવત $59 \ keV$ મળે છે.

(A) $K_\alpha$ એક્સ-રે રેખા ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $L$ કવચ (ઉચ્ચ ઊર્જા અવસ્થા) માંથી $K$ કવચ (નિમ્ન ઊર્જા અવસ્થા) માં સંક્રમણ કરે છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા બે કવચ વચ્ચેના ઊર્જાના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta E_{K_\alpha} = E_L - E_K$
આપેલ છે:
$E_L = 7200$ એકમ
$E_K = 1800$ એકમ
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta E_{K_\alpha} = 7200 - 1800 = 5400$ એકમ.

(A) પદાર્થમાંથી પસાર થયા પછી ક્ષ-કિરણોની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = I_0 e^{-\mu x}$ છે,જ્યાં $I_0$ એ પ્રારંભિક તીવ્રતા છે,$\mu$ એ એટેન્યુએશન અચળાંક છે અને $x$ એ પદાર્થની જાડાઈ છે.
આપેલ છે: $\mu = 1.73 \, cm^{-1}$ અને $x = 1.156 \, cm$.
પસાર થયેલી તીવ્રતા અને પ્રારંભિક તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I}{I_0} = e^{-\mu x}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I}{I_0} = e^{-(1.73 \times 1.156)} = e^{-2}$.
$e \approx 2.718$ હોવાથી,$e^2 \approx 7.389$.
તેથી,$\frac{I}{I_0} = \frac{1}{7.389} \approx 0.1353$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $0.1353 \times 100 = 13.53\%$.
આમ,આશરે $13.5\%$ ક્ષ-કિરણો શીટમાંથી પસાર થશે.

(B) આપેલ છે: લેટાઈસ અચળાંક $d = 3 \times 10^{-8} \, cm$,પૃષ્ઠસર્પી કોણ $\theta = 30^{\circ}$ અને વિવર્તનનો ક્રમ $n = 1$.
બ્રેગના નિયમ મુજબ: $2d \sin \theta = n\lambda$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{2 \times (3 \times 10^{-8} \, cm) \times \sin(30^{\circ})}{1}$.
અહીં $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી,$\lambda = 2 \times 3 \times 10^{-8} \times 0.5 = 3 \times 10^{-8} \, cm$.
આમ,$\lambda$ નું મૂલ્ય $3 \times 10^{-8} \, cm$ મળે છે.

(B) પદાર્થમાંથી પસાર થતા $X$-કિરણોની તીવ્રતા $I = I_0 e^{-\mu x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ રેખીય શોષણ ગુણાંક છે અને $x$ એ પદાર્થની જાડાઈ છે.
શોષણ ગુણાંક $\mu$ એ $X$-કિરણોની તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે. ખાસ કરીને,$\mu \propto \lambda^3$.
જ્યારે ટાર્ગેટ અને કેથોડ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા વધે છે,જેના પરિણામે ટૂંકી તરંગલંબાઇ (વધારે આવૃત્તિ) ધરાવતા $X$-કિરણો ઉત્સર્જિત થાય છે.
જેમ $V$ વધે છે તેમ $\lambda$ ઘટે છે,તેથી શોષણ ગુણાંક $\mu$ પણ ઘટે છે $(\mu \propto \lambda^3)$.
જેમ $\mu$ ઘટે છે,તેમ સંક્રમણ $I/I_0 = e^{-\mu x}$ વધે છે.
તેથી,સમાન ફોઈલમાંથી પસાર થતા $X$-કિરણોનો અંશ $50\%$ કરતા વધારે હશે.

(B) ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબમાં દાખલ થતો કુલ પાવર $P = V \times I = 50 \times 10^3 \, V \times 20 \times 10^{-3} \, A = 1000 \, W$ (અથવા $J/s$) છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 \%$ હોવાથી,ક્ષ-કિરણોમાં રૂપાંતરિત થતો પાવર $P_{X} = 0.01 \times 1000 = 10 \, J/s$ છે.
બાકીનો પાવર ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થાય છે: $P_{heat} = P - P_{X} = 1000 - 10 = 990 \, J/s$.
આને કેલરી પ્રતિ સેકન્ડમાં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \, cal \approx 4.2 \, J$ ના રૂપાંતરણ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $= \frac{990}{4.2} \approx 235.7 \, cal/s \approx 236 \, cal/s$.

(B) ક્ષ-કિરણો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.
બધા જ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશના વેગથી ગતિ કરે છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
ક્ષ-કિરણો વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ હોવાથી,તેમનો વેગ ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબના કાર્યરત વોલ્ટેજ પર આધાર રાખતો નથી.
તેથી,ક્ષ-કિરણોનો વેગ $3 \times 10^8 \, m/s$ છે.

(B) પ્રવેગિત વોલ્ટેજ $V$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષ-કિરણોની ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{min}$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{eV} \approx \frac{12400}{V(\text{volts})} \times 10^{-10} \ m$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{min} = 10^{-11} \ m = 10^{-10} \ \mathring{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-11} = \frac{12400 \times 10^{-10}}{V}$.
$V = \frac{12400 \times 10^{-10}}{10^{-11}} = 124000 \ V = 124 \ kV$.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ $10^{-11} \ m$ હોવી જોઈએ,તેથી ઈલેક્ટ્રોનની ઉર્જા ઓછામાં ઓછી $124 \ kV$ હોવી જોઈએ. તેથી,આ તરંગલંબાઈ અથવા તેનાથી ટૂંકી તરંગલંબાઈના ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે પ્રવેગિત વોલ્ટેજ $124.2 \ kV$ કે તેથી વધુ હોવો જોઈએ.

(D) ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર (પાવર) $P = VI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 60 \ kV = 60 \times 10^3 \ V$ અને $I = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$ છે.
$P = (60 \times 10^3) \times (50 \times 10^{-3}) = 3000 \ J/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ calorie = 4.2 \ J$,તેથી $cal/s$ માં ઉષ્માનો દર $\frac{3000}{4.2} \ cal/s$ થશે.
$P \approx 714.3 \ cal/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $c$ (પ્રકાશની ઝડપ) અચળ હોવાથી,ઊર્જા એ તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
ધારો કે $E_1$ એ $1 \mathring A$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા ક્ષ-કિરણ ફોટોનની ઊર્જા છે અને $E_2$ એ $5000 \mathring A$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા દ્રશ્ય પ્રકાશના ફોટોનની ઊર્જા છે.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{5000 \mathring A}{1 \mathring A} = 5000$.
તેથી,માંગેલ ગુણોત્તર $5000:1$ છે.

(C) મોઝલેના નિયમ મુજબ,$K_\alpha$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu$ એ $\nu = c/\lambda = R(Z-1)^2(1/1^2 - 1/2^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$1/\lambda \propto (Z-1)^2$.
ધારો કે $Z_1 = 43$ માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે અને $Z_2 = 29$ માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે.
તેથી,$\lambda_2 / \lambda_1 = (Z_1 - 1)^2 / (Z_2 - 1)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_2 / \lambda = (43 - 1)^2 / (29 - 1)^2$.
$\lambda_2 / \lambda = (42)^2 / (28)^2 = (42/28)^2$.
અપૂર્ણાંક $42/28$ નું સાદું રૂપ આપતા $3/2$ મળે છે.
તેથી,$\lambda_2 / \lambda = (3/2)^2 = 9/4$.
આમ,$\lambda_2 = (9/4) \lambda$.

(D) ઈલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V$ એ પ્રવેગિત સ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
આ ઉર્જા ઉત્સર્જિત ક્ષ-કિરણ ફોટોનની ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,$E = \frac{hc}{\lambda}$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $eV = \frac{hc}{\lambda}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{hc}{eV}$.
અહીં $h, c$ અને $e$ અચળાંકો હોવાથી,લઘુતમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{min}$ એ પ્રવેગિત સ્થિતિમાન $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\lambda_{min} \propto \frac{1}{V})$.
તેથી,સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ મેળવવા માટે,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો $10 \ kV, 20 \ kV, 30 \ kV$ અને $40 \ kV$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $40 \ kV$ છે.

(D) આપાત ઈલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E = 40 \ keV = 40 \times 10^3 \ eV$ છે.
ક્ષ-કિરણો માટે,લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\min}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જાને અનુરૂપ છે,જે આપાત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\lambda_{\min} = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{40 \times 10^3 \ eV}$.
$\lambda_{\min} = \frac{12400}{40000} \ \mathring{A} = 0.31 \ \mathring{A}$.

(B) આપેલ છે કે લેટાઈસ સમતલો વચ્ચેનું અંતર $d = 10\ \mathring A$ છે.
બ્રેગના નિયમ મુજબ,$2d \sin \theta = n \lambda$.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\max}$ શોધવા માટે,આપણે વિવર્તનનો ક્રમ $n = 1$ અને $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ લઈએ છીએ.
આ કિંમતો મૂકતા: $\lambda_{\max} = \frac{2d \sin \theta}{n} = \frac{2 \times 10\ \mathring A \times 1}{1} = 20\ \mathring A$.

(D) પદાર્થમાંથી પસાર થતા ક્ષ-કિરણોની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = I_0 e^{-\mu x}$ છે, જ્યાં $I$ એ અંતિમ તીવ્રતા છે, $I_0$ એ પ્રારંભિક તીવ્રતા છે, $\mu$ એ શોષણ ગુણાંક છે અને $x$ એ પદાર્થની જાડાઈ છે。
આપેલ છે કે $I = \frac{I_0}{6}$ અને $x = 10 \, mm$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_0}{6} = I_0 e^{-\mu (10)}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(6) = \mu \times 10$.
$\mu = \frac{\ln(6)}{10} = \frac{1.7917}{10} = 0.17917 \, mm^{-1}$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $\mu = 0.179 \, mm^{-1}$ મળે છે。

(A) $X$-ray ટ્યૂબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ) નું સૂત્ર: $\lambda_{min} = \frac{12400}{V(volts)} \, \mathring{A}$ છે.
અહીં આપેલ સ્થિતિમાન તફાવત $V = 40 \, kV = 40,000 \, V$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_{min} = \frac{12400}{40000} \, \mathring{A} = 0.31 \, \mathring{A}$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{min}$ કરતા ઓછી તરંગલંબાઈ શક્ય નથી.
અહીં $0.25 \, \mathring{A} < 0.31 \, \mathring{A}$ હોવાથી, $0.25 \, \mathring{A}$ તરંગલંબાઈ શક્ય નથી.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,$K_\alpha$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu = cR(Z-1)^2(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = \frac{3}{4}cR(Z-1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = \frac{c}{\nu}$ હોવાથી,$\frac{1}{\lambda} \propto (Z-1)^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{(Z-1)^2}$.
તેથી,$\frac{\lambda_{Zn}}{\lambda_{Mo}} = \frac{(Z_{Mo}-1)^2}{(Z_{Zn}-1)^2} = \left(\frac{42-1}{30-1}\right)^2 = \left(\frac{41}{29}\right)^2$.
$\lambda_{Zn} = \lambda_{Mo} \times \left(\frac{41}{29}\right)^2 = 0.7078 \times \left(\frac{1681}{841}\right) \approx 0.7078 \times 1.9988 \approx 1.414\, \mathring A$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણ ફોટોનની ઊર્જા બે સ્તરો વચ્ચેના ઊર્જા તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_{K_\alpha} = E_L - E_K$ .
અહીં $E_{K_\alpha} = 8578$ એકમ અને $E_L = -2859$ એકમ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $8578 = -2859 - E_K$ .
$E_K$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $E_K = -2859 - 8578$ .
તેથી,$E_K = -11437$ એકમ.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ $K_\alpha$ રેખાઓ માટે: $\frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3R(Z - 1)^2}{4}$.
અહીં $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ હોવાથી, $\frac{1}{R} \approx 912 \, \mathring{A} = 91200 \, pm$ થાય.
પ્રથમ તત્વ $(Z_1)$ માટે: $(Z_1 - 1)^2 = \frac{4}{3R \lambda_1} = \frac{4 \times 91200}{3 \times 250} = \frac{364800}{750} \approx 486.4$. તેથી, $Z_1 - 1 \approx 22.05 \Rightarrow Z_1 \approx 23$.
બીજા તત્વ $(Z_2)$ માટે: $(Z_2 - 1)^2 = \frac{4}{3R \lambda_2} = \frac{4 \times 91200}{3 \times 179} = \frac{364800}{537} \approx 679.3$. તેથી, $Z_2 - 1 \approx 26.06 \Rightarrow Z_2 \approx 27$.
$Z_1 = 23$ અને $Z_2 = 27$ ની વચ્ચે આવતા તત્વો $24, 25, 26$ છે. આમ, તત્વોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) પદાર્થમાંથી પસાર થતા $X$-કિરણોની તીવ્રતાનું સૂત્ર: $I = I_0 e^{-\mu x}$ છે,જ્યાં $I$ એ અંતિમ તીવ્રતા છે,$I_0$ એ પ્રારંભિક તીવ્રતા છે,$\mu$ એ શોષણ ગુણાંક છે અને $x$ એ પદાર્થની જાડાઈ છે.
અહીં તીવ્રતા પ્રારંભિક મૂલ્યના ચોથા ભાગની થાય છે,તેથી: $\frac{I}{I_0} = \frac{1}{4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{4} = e^{-\mu (3.5 \, mm)}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(1/4) = -\mu (3.5 \, mm) \Rightarrow -\ln(4) = -\mu (3.5 \, mm)$.
તેથી,$\mu = \frac{\ln(4)}{3.5 \, mm} = \frac{2 \ln(2)}{3.5 \, mm}$.
$\ln(2) \approx 0.693$ લેતા: $\mu \approx \frac{2 \times 0.693}{3.5 \, mm} = \frac{1.386}{3.5 \, mm} \approx 0.396 \, mm^{-1}$.
આમ,નજીકનું મૂલ્ય $\mu \approx 0.4 \, mm^{-1}$ મળે છે.

(C) $K_{\alpha}$ એક્સ-રે માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$K_{\alpha}$ સંક્રમણ માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R(Z - 1)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
આપેલ છે કે $\lambda = 0.76 \ \mathring{A} = 0.76 \times 10^{-10} \ m$ અને રિડબર્ગ અચળાંક $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$.
$(Z - 1)^2 = \frac{4}{3 \lambda R} = \frac{4}{3 \times 0.76 \times 10^{-10} \times 1.097 \times 10^7}$.
$(Z - 1)^2 \approx \frac{4}{2.501} \times 10^3 \approx 1600$.
$Z - 1 = \sqrt{1600} = 40$.
$Z = 41$.

(A) ક્ષ-કિરણ સંક્રમણો માટે મોઝલેના નિયમ અને રિડબર્ગ સૂત્ર મુજબ,આવૃત્તિ $\nu = c/\lambda = R(Z-b)^2 (1/n_1^2 - 1/n_2^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K_\alpha$ સંક્રમણ માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ છે. તેથી,$1/\lambda_{K_\alpha} \propto (1/1^2 - 1/2^2) = 3/4$.
$K_\beta$ સંક્રમણ માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 3$ છે. તેથી,$1/\lambda_{K_\beta} \propto (1/1^2 - 1/3^2) = 8/9$.
ગુણોત્તર લેતા: $\lambda_{K_\beta} / \lambda_{K_\alpha} = (3/4) / (8/9) = (3/4) \times (9/8) = 27/32$.
અહીં $\lambda_{K_\alpha} = 0.32 \, \mathring{A}$ આપેલ છે,તેથી $\lambda_{K_\beta} = (27/32) \times 0.32 \, \mathring{A} = 0.27 \, \mathring{A}$.

(D) લાયમન શ્રેણીની સીમા હાઈડ્રોજન $(Z=1)$ માટે $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રાંતિને અનુરૂપ છે.
$\frac{1}{\lambda_{\infty}} = R(1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies R = \frac{1}{911 \ \mathring{A}}$.
લાક્ષણિક $K$-શ્રેણીના ક્ષ-કિરણો માટે,લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રાંતિને અનુરૂપ છે (મોઝલેનો નિયમ):
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R(Z - 1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(Z - 1)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{0.7 \ \mathring{A}} = \frac{1}{911 \ \mathring{A}} (Z - 1)^2$.
$(Z - 1)^2 = \frac{911}{0.7} \approx 1301.4$.
$Z - 1 \approx 36.07$.
તેથી,$Z \approx 37$.

(D) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક એક્સ-રેની આવૃત્તિ $\nu = a(Z - b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $K_{\alpha}$ રેખાઓ માટે,$b = 1$ હોવાથી,$\nu \propto (Z - 1)^2$ થાય.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{c}{\nu}$ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$ મળે.
અહીં $Z_1 = 64$ અને $Z_2 = 80$ આપેલ છે,તેથી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{(Z_2 - 1)^2}{(Z_1 - 1)^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{(80 - 1)^2}{(64 - 1)^2} = \frac{79^2}{63^2} \approx \left(\frac{80}{64}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{25}{16}$ છે.

(A) ક્ષ-કિરણ ટ્યુબમાં દાખલ થતો કુલ પાવર $P_{in} = VI$ છે, જ્યાં $V = 50 \ kV = 50 \times 10^3 \ V$ અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે。
ઊર્જાનો $1\%$ ભાગ ક્ષ-કિરણોમાં રૂપાંતરિત થતો હોવાથી, બાકીનો $99\%$ ભાગ ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે。
આપેલ છે કે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $495 \ W$ છે, તેથી:
$P_{heat} = 0.99 \times P_{in} = 0.99 \times V \times I$
$495 = 0.99 \times (50 \times 10^3) \times I$
$I = \frac{495}{0.99 \times 50 \times 10^3} = \frac{495}{49500} = 0.01 \ A = 10 \ mA$.
ટાર્ગેટ સાથે પ્રતિ સેકન્ડે અથડાતા ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{I}{e}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$n = \frac{0.01}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{10^{-2}}{1.6 \times 10^{-19}} = 0.625 \times 10^{17} = 6.25 \times 10^{16}$ ઈલેક્ટ્રોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(A) ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\text{min}} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400}{50 \times 10^3} \, \mathring{A} = 0.248 \, \mathring{A} \approx 0.25 \, \mathring{A}$ મળે છે. તેથી,વિધાન $(4)$ સાચું છે.
ટાર્ગેટ પદાર્થ માટે ઊંચું ગલનબિંદુ જરૂરી છે જેથી તે ગરમીમાં પીગળી ન જાય,તેથી વિધાન $(1)$ સાચું છે. ગરમીને અસરકારક રીતે દૂર કરવા માટે ઉચ્ચ ઉષ્મીય વાહકતા જરૂરી છે,તેથી વિધાન $(2)$ ખોટું છે.
આપેલ પાવર $P = VI = (50 \times 10^3 \, V) \times (20 \times 10^{-3} \, A) = 1000 \, W$ છે.
ક્ષ-કિરણોમાં રૂપાંતરિત પાવર $1000 \, W$ ના $1\% = 10 \, W$ છે.
ગરમીમાં રૂપાંતરિત પાવર $P_H = 1000 \, W$ ના $99\% = 990 \, W$ છે.
$P_H = ms \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m = 1.0 \, kg$ અને $s = 495 \, J \cdot kg^{-1} \cdot ^\circ C^{-1}$:
$990 = 1.0 \times 495 \times \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$
$\frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{990}{495} = 2 \, ^\circ C/s$. તેથી,વિધાન $(3)$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $(1), (3)$ અને $(4)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે $K_\alpha$ રેખાની પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_{K_\alpha}$ છે અને પ્રારંભિક લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\min} = \frac{12400}{10000} \ \mathring{A} = 1.24 \ \mathring{A}$ છે.
વોલ્ટેજ $20 \ kV$ સુધી વધાર્યા પછી,નવી લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\min}' = \frac{12400}{20000} \ \mathring{A} = 0.62 \ \mathring{A}$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તફાવત $(\lambda_{K_\alpha} - \lambda_{\min}')$ એ $(\lambda_{K_\alpha} - \lambda_{\min})$ કરતા $3$ ગણો છે.
તેથી,$\lambda_{K_\alpha} - \lambda_{\min}' = 3(\lambda_{K_\alpha} - \lambda_{\min})$.
સાદુરૂપ આપતા,$2\lambda_{K_\alpha} = 3\lambda_{\min} - \lambda_{\min}'$.
મોઝલેના નિયમ મુજબ,$\lambda_{K_\alpha} = \frac{4}{3R(Z-1)^2}$,જ્યાં $\frac{1}{R} \approx 912 \ \mathring{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \left[ \frac{4 \times 912}{3(Z-1)^2} \right] = 3(1.24) - 0.62 = 3.72 - 0.62 = 3.10 \ \mathring{A}$.
$\frac{8 \times 304}{(Z-1)^2} = 3.10 \implies (Z-1)^2 = \frac{2432}{3.10} \approx 784.5$.
વર્ગમૂળ લેતા,$Z-1 \approx 28$,તેથી $Z = 29$.

(B) $L_\alpha$ રેખાની તરંગલંબાઈ મોઝલેના નિયમ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{\lambda} = R(Z-b)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$.
બે તત્વો માટે ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \left( \frac{Z_1 - b}{Z_2 - b} \right)^2$.
અહીં $\lambda_1 = 1.32 \, \mathring A$,$Z_1 = 78$,$\lambda_2 = 4.17 \, \mathring A$,$b = 7.4$ આપેલ છે.
$\frac{4.17}{1.32} = \left( \frac{78 - 7.4}{Z_2 - 7.4} \right)^2$.
$3.159 \approx \left( \frac{70.6}{Z_2 - 7.4} \right)^2$.
વર્ગમૂળ લેતા: $1.777 \approx \frac{70.6}{Z_2 - 7.4}$.
$Z_2 - 7.4 \approx \frac{70.6}{1.777} \approx 39.73$.
$Z_2 \approx 39.73 + 7.4 = 47.13$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પરમાણુ ક્રમાંક $47$ મળે છે.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક $X$-કિરણોની આવૃત્તિ $\nu = a(Z-b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\nu = c/\lambda$,તેથી $K_\alpha$ વિકિરણ માટે $\lambda \propto 1/(Z-1)^2$ થાય.
$Mo (Z_1 = 42)$ માટે આપેલ છે,$\lambda_1 = 0.71 \;\mathring A$.
$Cu (Z_2 = 29)$ માટે,આપણે $\lambda_2$ શોધવાની જરૂર છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{(Z_1 - 1)^2}{(Z_2 - 1)^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_2 = 0.71 \times \frac{(42 - 1)^2}{(29 - 1)^2}$.
$\lambda_2 = 0.71 \times \frac{41^2}{28^2} = 0.71 \times \frac{1681}{784}$.
$\lambda_2 \approx 0.71 \times 2.144 = 1.522 \;\mathring A$.
આમ,તરંગલંબાઈ $1.52 \;\mathring A$ છે.

(A) $K_\alpha$ ક્ષ-કિરણો માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ માં થાય છે.
રિડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda_{K\alpha}} = R(Z - 1)^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda_{K\alpha}} = R(Z - 1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R(Z - 1)^2 \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R(Z - 1)^2}{4}$.
આમ,$\lambda_{K\alpha} = \frac{4}{3R(Z - 1)^2}$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{R} \approx 912 \ \mathring{A}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda_{K\alpha} = \frac{4}{3} \times \frac{912}{(Z - 1)^2} = \frac{1216}{(Z - 1)^2} \ \mathring{A}$.

(D) પદાર્થમાંથી પસાર થયા પછી ક્ષ-કિરણોની તીવ્રતા $I = I_0 e^{-\mu x}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ અંતિમ તીવ્રતા છે,$I_0$ એ પ્રારંભિક તીવ્રતા છે,$\mu$ એ શોષણ ગુણાંક છે અને $x$ એ પદાર્થની જાડાઈ છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતા તેની પ્રારંભિક કિંમતના $36.8\%$ જેટલી ઘટે છે,તેથી $\frac{I}{I_0} = 36.8\% = 0.368$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{-1} \approx 0.368$,તેથી આપણે $e^{-\mu x} = e^{-1}$ લખી શકીએ.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,આપણને $\mu x = 1$ મળે છે.
અહીં $x = 5 \times 10^{-3} \ m$ આપેલ છે,તેથી $\mu = \frac{1}{x} = \frac{1}{5 \times 10^{-3} \ m}$ થાય.
$\mu = \frac{1000}{5} \ m^{-1} = 200 \ m^{-1}$.

(D) ઉત્પન્ન થતી ક્ષ-કિરણોની મહત્તમ આવૃત્તિ $(f_{max})$ સંબંધ $hf_{max} = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ પ્રવેગક સ્થિતિમાન છે.
$f_{max} = \frac{eV}{h} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \,C \times 50 \times 10^3 \,V}{6.63 \times 10^{-34} \,J \cdot s}$
$f_{max} \approx 1.206 \times 10^{19} \,Hz = 12.06 \times 10^{18} \,Hz$.
આમ,મહત્તમ શક્ય આવૃત્તિ આશરે $12.06 \times 10^{18} \,Hz$ છે,તેથી આનાથી વધારે આવૃત્તિ મેળવી શકાતી નથી.
તેથી,$14 \times 10^{18} \,Hz$ આવૃત્તિ શક્ય નથી.

(C) તરંગોનું વિવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ તરંગની તરંગલંબાઈ સાથે સરખાવી શકાય તેવું હોય.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ ખૂબ જ નાની હોય છે (સામાન્ય રીતે $0.01 \ nm$ થી $10 \ nm$ ની રેન્જમાં).
તેમની તરંગલંબાઈ અત્યંત નાની હોવાને કારણે,સામાન્ય વસ્તુઓ અથવા છિદ્રો દ્વારા તેમનું સરળતાથી વિવર્તન થઈ શકતું નથી.
જો કે,સ્ફટિક લેટીસ દ્વારા તેમનું વિવર્તન થઈ શકે છે જ્યાં આંતર-પરમાણુ અંતર $X$-કિરણની તરંગલંબાઈ સાથે સરખાવી શકાય તેવું હોય છે.
સામાન્ય વસ્તુઓના સંદર્ભમાં,તેમની નાની તરંગલંબાઈને કારણે તેમનું વિવર્તન થતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ક્ષ-કિરણોના ઉત્સર્જનના સંદર્ભમાં,$K$-શ્રેણી એ $n = 1$ કક્ષા ($K$-શેલ) માં થતા ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.
$K\alpha$ રેખા ખાસ કરીને નજીકની ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર,જે $L$-શેલ $(n = 2)$ છે,ત્યાંથી $K$-શેલ $(n = 1)$ માં થતા સંક્રમણને દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંક્રમણ $n = 2 \to n = 1$ છે.

(C) $X$-કિરણો એ ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે,જે ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતી ધાતુની સપાટી (ટાર્ગેટ) સાથે અથડાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,લાક્ષણિક $X$-કિરણો ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે આપાત ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન ટાર્ગેટ પરમાણુની અંદરની કક્ષામાંથી (જેમ કે $K$-કક્ષા) ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢે છે.
આનાથી અંદરની કક્ષામાં ખાલી જગ્યા (vacancy) સર્જાય છે,જેના કારણે પરમાણુ અસ્થિર બને છે.
સ્થિરતા પ્રાપ્ત કરવા માટે,બહારની ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતી કક્ષામાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન આ ખાલી જગ્યા પૂરવા માટે નીચેની કક્ષામાં આવે છે.
આ બે કક્ષાઓ વચ્ચેના ઊર્જાના તફાવતને ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોન તરીકે મુક્ત કરવામાં આવે છે,જેને $X$-કિરણ ફોટોન કહેવાય છે.

(B) $K$-શેલના ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી આયનીકરણ ઊર્જા $E$ એ $K$-એજ તરંગલંબાઈને અનુરૂપ ફોટોનની ઊર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે. સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\lambda = 1.54 \ \mathring{A} = 1.54 \times 10^{-10} \ m$.
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{1.54 \times 10^{-10}}$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{1.54 \times 10^{-10}}$
$E \approx 12.91 \times 10^{-16} \ J$.