X-Rays Questions in Gujarati

(C) હાર્ડ ક્ષ-કિરણો તેમની ઉચ્ચ ભેદન શક્તિ (penetrating power) માટે જાણીતા છે.
સંબંધ $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ મુજબ,ઉચ્ચ ભેદન શક્તિ એ ઉચ્ચ ઊર્જા $(E)$ અને ઉચ્ચ આવૃત્તિ $(\nu)$ સાથે સંબંધિત છે.
આવૃત્તિ એ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ઉચ્ચ આવૃત્તિનો અર્થ ટૂંકી (ઓછી) તરંગલંબાઈ થાય છે.
તેથી,સોફ્ટ ક્ષ-કિરણોની સરખામણીમાં હાર્ડ ક્ષ-કિરણોની આવૃત્તિ અને ઊર્જા વધારે હોય છે.

(D) બ્રેગના નિયમ મુજબ,વિવર્તનની શરત $2d \sin \theta = n\lambda$ છે.
આપેલ છે:
લેટાઈસ સ્પેસિંગ $d = 2.8 \ \mathring A = 2.8 \times 10^{-10} \ m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 1 \ \mathring A = 1 \times 10^{-10} \ m$.
વિવર્તનનો ક્રમ $n = 1$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \times (2.8 \times 10^{-10} \ m) \times \sin \theta = 1 \times (1 \times 10^{-10} \ m)$.
$5.6 \times 10^{-10} \times \sin \theta = 1 \times 10^{-10}$.
$\sin \theta = \frac{1}{5.6} \approx 0.1786$.
$\theta = \sin^{-1}(0.1786) \approx 10.27^\circ$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકનું મૂલ્ય $\theta \approx 10.3^\circ$ મળે છે.

(A) ક્ષ-કિરણો સ્વભાવે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે. તે ફોટોન ધરાવે છે,જે વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ કણો છે. તેમની પાસે કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોવાથી,જ્યારે તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેઓ કોઈ લોરેન્ઝ બળ $(F = q(v \times B))$ અનુભવતા નથી. તેથી,ક્ષ-કિરણો ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિચલિત થયા વગર સીધા પસાર થાય છે.

(B) $X$-rays એ ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે જે ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ખૂબ ઝડપી ઇલેક્ટ્રોન ધાતુના લક્ષ્ય (target) સાથે અથડાય છે. જ્યારે આ ઇલેક્ટ્રોન લક્ષ્ય પરમાણુઓના અંદરના કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોન સાથે આંતરક્રિયા કરે છે,ત્યારે તેઓ પરમાણુ ઊર્જાના સ્તરો વચ્ચે સંક્રમણ (transitions) પ્રેરે છે. ખાસ કરીને,જ્યારે ઊંચી ઊર્જા ધરાવતી કક્ષાનો ઇલેક્ટ્રોન અંદરની કક્ષાની (જેમ કે $K$-shell) ખાલી જગ્યામાં આવે છે,ત્યારે તે ઊર્જાના તફાવતને $X$-ray ફોટોન તરીકે ઉત્સર્જિત કરે છે. આમ,$X$-ray નું ઉત્પાદન મૂળભૂત રીતે પરમાણુ ઊર્જાના સ્તરો વચ્ચેના ફેરફારને કારણે થાય છે.

(C) $K_\alpha$ $X$-ray એ $L$ કક્ષા $(n=2)$ થી $K$ કક્ષા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તેની ઉર્જા $hf_1 = E_L - E_K$ છે.
$K_\beta$ $X$-ray એ $M$ કક્ષા $(n=3)$ થી $K$ કક્ષા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તેની ઉર્જા $hf_2 = E_M - E_K$ છે.
$L_\alpha$ $X$-ray એ $M$ કક્ષા $(n=3)$ થી $L$ કક્ષા $(n=2)$ માં ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તેની ઉર્જા $hf_3 = E_M - E_L$ છે.
ઉર્જા સ્તરો પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે: $(E_M - E_K) = (E_M - E_L) + (E_L - E_K)$.
ઉર્જાના સમીકરણો મૂકતા: $hf_2 = hf_3 + hf_1$.
$h$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $f_2 = f_1 + f_3$.

(B) $X$-કિરણો અને $\gamma$-કિરણો વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત તેમના ઉદ્ભવ સ્થાનમાં રહેલો છે.
$X$-કિરણો પરમાણુના બહારના કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનના સંક્રમણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
$\gamma$-કિરણો એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય દરમિયાન પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાંથી ઉત્સર્જિત થતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે.
જોકે બંને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,પરંતુ તેમના ઉદ્ભવનું સ્ત્રોત અલગ-અલગ છે.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^{8} \, m/s$,અને $\lambda = 1.65 \times 10^{-10} \, m$.
$E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1.65 \times 10^{-10}} \, J$.
$E = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{1.65 \times 10^{-10}} \, J = 12 \times 10^{-16} \, J$.
આને $eV$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{12 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 7.5 \times 10^{3} \, eV = 7.5 \, keV$.
વૈકલ્પિક રીતે,ટૂંકી રીત $E(eV) \approx \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E \approx \frac{12400}{1.65} \approx 7515 \, eV \approx 7.5 \, keV$ મળે છે.

(D) લાક્ષણિક $X$-કિરણોના વર્ણપટ માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ,$K_\alpha$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu$ એ $\nu = a(Z - b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
$K_\alpha$ રેખા માટે,સ્ક્રીનિંગ અચળાંક $b = 1$ છે.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,આપણને $\frac{c}{\lambda} = a(Z - 1)^2$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ માટે આ સમીકરણને ગોઠવતા,આપણને $\lambda = \frac{c}{a(Z - 1)^2}$ મળે છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$.

(D) ક્ષ-કિરણોની સખતાઈ તેમની ભેદનશક્તિ (penetrating power) દર્શાવે છે,જે સીધી રીતે તેમની ઊર્જા સાથે સંબંધિત છે. ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબમાં ઉત્પન્ન થતા ક્ષ-કિરણોની ઊર્જા ટાર્ગેટ પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે. આ ગતિઊર્જા કેથોડ અને ટાર્ગેટ વચ્ચે લાગુ પાડવામાં આવેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(p.d.)$ દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે. તેથી,વધુ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધુ સખત ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda = 0.01 \ \mathring A = 0.01 \times 10^{-10} \ m = 10^{-12} \ m$ છે.
ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે: $p = \frac{h}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા,જ્યાં પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ છે:
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{10^{-12}} = 6.6 \times 10^{-22} \ kg \ m/s$.

(B) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં $h$ અને $c$ અચળાંક હોવાથી,ઊર્જા $E$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ થશે.
અહીં $\lambda_1 = 1 \ \mathring A$ અને $\lambda_2 = 5000 \ \mathring A$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{5000 \ \mathring A}{1 \ \mathring A} = 5000 : 1$ મળે છે.

(A) ક્ષ-કિરણોની લઘુતમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\min})$ શોધવાનું સૂત્ર: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12375}{V(\text{વોલ્ટમાં})} \mathring A$ છે.
અહીં આપેલ વોલ્ટેજ $V = 40 \ kV = 40,000 \ V$ છે.
કિંમત મૂકતા: $\lambda_{\min} = \frac{12375}{40000} \mathring A$.
$\lambda_{\min} = 0.309375 \mathring A \approx 0.31 \mathring A$.

(C) $K$ અને $L$ સ્તરો વચ્ચેનો ઊર્જા-તફાવત એ ઉત્સર્જિત $K_{\alpha}$ ફોટોનની ઊર્જા જેટલો હોય છે:
$E = \frac{hc}{\lambda}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{0.021 \times 10^{-9} \ m}$
$E \approx 9.47 \times 10^{-15} \ J$
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{9.47 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 59,187 \ eV$
$E \approx 59 \ keV$.

(D) બ્રેગના નિયમ મુજબ,વિવર્તનની શરત $2d \sin \theta = n \lambda$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\max}$ શોધવા માટે,સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $\lambda = \frac{2d \sin \theta}{n}$.
$\lambda$ મહત્તમ હોય તે માટે $n$ ન્યૂનતમ $(n = 1)$ હોવું જોઈએ અને $\sin \theta$ મહત્તમ $(\sin \theta = 1)$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\lambda_{\max} = 2d$.
અહીં $d = 10^{-7} \ cm = 10^{-9} \ m = 10 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_{\max} = 2 \times 10 \ \mathring{A} = 20 \ \mathring{A}$.

(B) ક્ષ-કિરણ ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઉર્જા (ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ) માટે,પ્રવેગીત વોલ્ટેજ $V$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{hc}{eV}$ છે.
અહીં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{12400 \times 10^{-10} \ V \cdot m}{10^{-11} \ m} = 124000 \ V = 124 \ kV$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ વોલ્ટેજ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી (એટલે કે $\lambda = \frac{12400}{V} \ \text{Å}$),$10^{-11} \ m$ (જે $0.1 \ \text{Å}$ છે) જેટલી તરંગલંબાઈ મેળવવા માટે વોલ્ટેજ ઓછામાં ઓછો $124 \ kV$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$10^{-11} \ m$ કે તેથી ઓછી તરંગલંબાઈના ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે પ્રવેગીત વોલ્ટેજ $124 \ kV$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(C) ક્ષ-કિરણોના ઉત્સર્જનના સંદર્ભમાં,$K$-શ્રેણી એ સંક્રાંતિઓને અનુરૂપ છે જ્યાં અંતિમ અવસ્થા $K$-કવચ $(n = 1)$ હોય છે.
$K_\alpha$ ક્ષ-કિરણો $L$-કવચ $(n = 2)$ થી $K$-કવચ $(n = 1)$ માં થતી સંક્રાંતિ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
$K_\beta$ ક્ષ-કિરણો $M$-કવચ $(n = 3)$ થી $K$-કવચ $(n = 1)$ માં થતી સંક્રાંતિ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,$K_\beta$ ક્ષ-કિરણો માટેની સંક્રાંતિ $n = 3$ થી $n = 1$ છે.

(C) $K_\alpha$ ક્ષ-કિરણો માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ,આવૃત્તિ $\nu = c/\lambda = R c (Z-1)^2 (1/1^2 - 1/2^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{\lambda} = R(Z-1)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$ મળે છે,જ્યાં $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
$Z$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$(Z-1)^2 = \frac{4}{3 R \lambda} = \frac{4}{3 \times (1.097 \times 10^7 \ m^{-1}) \times (0.76 \times 10^{-10} \ m)}$.
$(Z-1)^2 = \frac{4}{2.501 \times 10^{-3}} \approx 1599.36$.
વર્ગમૂળ લેતા,$Z-1 \approx 39.99 \approx 40$.
તેથી,$Z \approx 41$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$40$ એ સૌથી નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત છે.

(C) હાર્ડ (સખત) $X$-ray ઊંચી આવૃત્તિ અને ટૂંકી તરંગલંબાઈ ધરાવે છે.
$X$-ray ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાર્ડ $X$-ray ની ઊર્જા વધુ હોવાથી,તેની તરંગલંબાઈ સોફ્ટ $X$-ray ની સરખામણીમાં ઓછી હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$0.1 \ \mathring{A}$ એ સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ છે,જે સૌથી સખત (હાર્ડ) $X$-ray દર્શાવે છે.

(C) પ્રયોગશાળામાં $X$-કિરણો ભારે ધાતુના લક્ષ્ય (જેમ કે ટંગસ્ટન) પર ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો મારો ચલાવીને ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે.
જ્યારે આ ઝડપી ઇલેક્ટ્રોન ધાતુ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેમનું ઝડપી મંદન થાય છે,જેના પરિણામે $X$-કિરણોના સ્વરૂપમાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું ઉત્સર્જન થાય છે.

(B) $X$-ray ની લઘુતમ તરંગલંબાઈ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ) ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
અહીં, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે, $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V$ એ ટ્યુબને લાગુ પાડેલ પ્રવેગક સ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$.
તેથી, લઘુતમ તરંગલંબાઈ ફક્ત ટ્યુબને લાગુ પાડેલા વોલ્ટેજ પર આધાર રાખે છે.

(C) $X-$કિરણોની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સખત $X-$કિરણોની આવૃત્તિ વધારે હોય છે અને તેમની ભેદન શક્તિ (penetrating power) વધુ હોય છે,જ્યારે નરમ $X-$કિરણોની આવૃત્તિ ઓછી હોય છે અને તેમની ભેદન શક્તિ ઓછી હોય છે.
તેથી,નરમ અને સખત $X-$કિરણો વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત તેમની આવૃત્તિ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ તરંગોને તેમની આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈના આધારે વર્ગીકૃત કરે છે. $X$-કિરણો એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે. તેમની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $10^{-11} \, m$ થી $10^{-8} \, m$ ની વચ્ચે હોય છે. કારણ કે $1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m$ થાય છે,તેથી $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈનો ક્રમ આશરે $1 \, \mathring{A}$ જેટલો હોય છે.

(A) તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{hc}{E}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,અને $E = 14.4 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{14.4 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$\lambda = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{23.04 \times 10^{-16}}$
$\lambda \approx 0.86 \times 10^{-10} \, m = 0.86 \, \mathring{A}$.
આ તરંગલંબાઈ $0.01 \, \mathring{A}$ થી $100 \, \mathring{A}$ ની વચ્ચે હોવાથી,આ વિકિરણ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના $X$-કિરણોના વિસ્તારમાં આવે છે.

(A) વિદ્યુત પ્રવાહ $i$ એ વિદ્યુતભારના વહેવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, $i = \frac{q}{t}$.
અહીં $q = ne$, જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ છે, તેથી $i = \frac{ne}{t}$.
દર સેકન્ડે અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n/t)$ શોધવા માટે, સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{n}{t} = \frac{i}{e}$.
આપેલ છે કે $i = 3.2 \, mA = 3.2 \times 10^{-3} \, A$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{t} = \frac{3.2 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2 \times 10^{16} \, \text{ઇલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ}$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $p = \frac{h}{\lambda}$ હોવાથી,$K = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ થાય.
$X$-રે ટ્યુબમાં,ઉત્સર્જિત $X$-રે ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા એ આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
તેથી,$\frac{hc}{\lambda_0} = K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$\lambda_0$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
સતત $X$-રે માટે કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે,જે આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $E = \frac{hc}{\lambda_0} = K$.
$K$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$\lambda_0$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ, ${K_{\alpha}}$ $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ $\frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$.
કોબાલ્ટ $(Z_{Co} = 27)$ અને નિકલ $(Z_{Ni} = 28)$ માટે, આપણી પાસે છે:
$\frac{\lambda_{Ni}}{\lambda_{Co}} = \left( \frac{Z_{Co} - 1}{Z_{Ni} - 1} \right)^2 = \left( \frac{27 - 1}{28 - 1} \right)^2 = \left( \frac{26}{27} \right)^2$.
કારણ કે $\frac{26}{27} < 1$, તેથી $\left( \frac{26}{27} \right)^2 < 1$.
તેથી, $\lambda_{Ni} < \lambda_{Co}$.
આપેલ છે કે $\lambda_{Co} = 179\, pm$, તેથી $\lambda_{Ni} = \left( \frac{26}{27} \right)^2 \times 179 \approx 165.9\, pm$.
આમ, નિકલ માટે ${K_{\alpha}}$ $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ $ < 179\, pm$ છે.

(B) $X$-રે વર્ણપટની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વોલ્ટેજ $V_1 = V$ અને અંતિમ વોલ્ટેજ $V_2 = 1.5V$ છે.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{hc}{eV}$ અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{hc}{e(1.5V)} = \frac{hc}{1.5eV}$ છે.
જેમ વોલ્ટેજ વધે છે તેમ તરંગલંબાઈ ઘટે છે, તેથી ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = 26 \, pm$ થાય.
$\Delta \lambda = \frac{hc}{eV} - \frac{hc}{1.5eV} = \frac{hc}{eV} (1 - \frac{1}{1.5}) = \frac{hc}{eV} (1 - \frac{2}{3}) = \frac{hc}{3eV} = 26 \, pm$.
$hc \approx 1240000 \, eV \cdot pm$ લેતા:
$V = \frac{hc}{3e \cdot \Delta \lambda} = \frac{1240000 \, eV \cdot pm}{3 \cdot 26 \, pm} \approx 15897 \, V \approx 16 \, kV$.

(C) લાક્ષણિક $X$-ray ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K$-શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ઉચ્ચ કક્ષામાંથી $K$-કક્ષા $(n=1)$ માં થાય છે.
ઉર્જા સ્તરો $E(K_{\alpha}) < E(K_{\beta}) < E(K_{\gamma})$ હોય છે કારણ કે જેમ સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાંથી થાય છે તેમ ઉર્જાનો તફાવત વધે છે.
આમ,$E = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,ઉર્જા અને તરંગલંબાઇ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$E(K_{\gamma}) > E(K_{\beta}) > E(K_{\alpha})$ નો અર્થ એ છે કે $\lambda(K_{\gamma}) < \lambda(K_{\beta}) < \lambda(K_{\alpha})$.

(D) $R$ અને $S$ પરના શિખરો લાક્ષણિક $X$-રે સ્પેક્ટ્રમ દર્શાવે છે.
આ શિખરો ટાર્ગેટ મટીરીયલના પરમાણુઓની અંદરના ઇલેક્ટ્રોનના ચોક્કસ ઉર્જા સંક્રમણને અનુરૂપ છે. આ ઉર્જા સ્તરો ટાર્ગેટ મટીરીયલ માટે આંતરિક હોવાથી,જ્યારે પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બદલાય ત્યારે લાક્ષણિક શિખરોની તરંગલંબાઇ બદલાતી નથી.
બિંદુ $P$ એ કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ ${\lambda _{\min }}$ દર્શાવે છે,જે ${\lambda _{\min }} = \frac{hc}{eV}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધે છે,તેમ કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ ${\lambda _{\min }}$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે આલેખ બિંદુ $P$ પર ડાબી તરફ ખસે છે.

(C) $X-$રે સ્પેક્ટ્રમમાં, ઉત્સર્જન બે ભાગોનું બનેલું હોય છે: એક સતત પૃષ્ઠભૂમિ અને તીક્ષ્ણ શિખરો.
સતત પૃષ્ઠભૂમિ એ બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ વિકિરણને કારણે છે, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન લક્ષ્ય સામગ્રી દ્વારા ધીમા પડે છે.
તીક્ષ્ણ શિખરો, જેમ કે $A$ અને $B$, ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર જોવા મળે છે જે $X-$રે ટ્યુબમાં વપરાતી લક્ષ્ય સામગ્રી માટે અનન્ય હોય છે.
આ શિખરો લક્ષ્ય સામગ્રીના પરમાણુઓની અંદરના ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણોથી ઉદ્ભવે છે, જ્યાં ઉચ્ચ ઉર્જા કક્ષાનો ઇલેક્ટ્રોન નીચી ઉર્જા કક્ષાની ખાલી જગ્યા ભરે છે.
તેથી, આ તીક્ષ્ણ શિખરોને લાક્ષણિક $X-$રે સ્પેક્ટ્રમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) લાક્ષણિક $X$-રે સ્પેક્ટ્રમમાં, $K_{\alpha}$ રેખા $L$-શેલ $(n=2)$ થી $K$-શેલ $(n=1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે, જ્યારે $K_{\beta}$ રેખા $M$-શેલ $(n=3)$ થી $K$-શેલ $(n=1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$K_{\beta}$ સંક્રમણની ઉર્જા $(E_{K\beta} = E_M - E_K)$ એ $K_{\alpha}$ સંક્રમણની ઉર્જા $(E_{K\alpha} = E_L - E_K)$ કરતા વધારે હોવાથી, $K_{\beta}$ રેખાની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{K\beta} = hc / E_{K\beta})$ એ $K_{\alpha}$ રેખાની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{K\alpha} = hc / E_{K\alpha})$ કરતા ઓછી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં, $x$-અક્ષ તરંગલંબાઇ $\lambda$ દર્શાવે છે. શિખર $P$ લાંબી તરંગલંબાઇ પર છે અને શિખર $Q$ ટૂંકી તરંગલંબાઇ પર છે, તેથી $P$ એ $K_{\alpha}$ રેખાને અને $Q$ એ $K_{\beta}$ રેખાને અનુરૂપ છે.
તેથી, $P$ એ $K_{\alpha}$ રેખા દર્શાવે છે અને $Q$ એ $K_{\beta}$ રેખા દર્શાવે છે.

(B) સતત $X-$રે વર્ણપટની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{\min} = 66.3\, pm = 66.3 \times 10^{-12}\, m$.
$hc \approx 12400\, eV\cdot\mathring{A} = 1.24 \times 10^{-6}\, eV\cdot m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V = \frac{hc}{e\lambda_{\min}} = \frac{1.24 \times 10^{-6}}{66.3 \times 10^{-12}}\, V$.
$V = \frac{1.24}{66.3} \times 10^6\, V \approx 0.018702 \times 10^6\, V = 18.702\, kV \approx 18.75\, kV$.
આમ, ઇલેક્ટ્રોન આશરે $18.75\, kV$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થાય છે.

(D) $X-$રે ટ્યુબમાં ઉત્પન્ન થતા $X-$કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ) નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ઝડપ છે,$e$ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $V$ પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\lambda_{min} \propto \frac{1}{V}$.
તેથી,જો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધારવામાં આવે,તો લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{min}$ ઘટે છે.
વધુમાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધારવાથી આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા વધે છે,જે સામાન્ય રીતે ઉત્સર્જિત $X-$કિરણોની તીવ્રતામાં વધારો કરે છે.
આમ,તીવ્રતા વધે છે અને લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ ઘટે છે.

(A) $X$-રે ટ્યુબમાં,લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\min}$ એ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln \lambda_{\min} = \ln \left(\frac{hc}{e}\right) - \ln V$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \ln \lambda_{\min}$,$x = \ln V$,અને ઢાળ $m = -1$ છે.
જેથી ઢાળ $-1$ (જે ઋણ છે) હોવાથી,$\log \lambda_{\min}$ વિરુદ્ધ $\log V$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) લાક્ષણિક $X$-કિરણો લક્ષ્ય પદાર્થના પરમાણુઓમાં ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાંથી નિમ્ન ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરવાને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
પરમાણુમાં ઉર્જા સ્તરો ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોવાથી,ચોક્કસ તત્વ માટે આ સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત નિશ્ચિત હોય છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત $X$-કિરણ ફોટોન ચોક્કસ,અલગ (discrete) ઉર્જા અને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ ધરાવે છે.
આ તરંગલંબાઈ સંપૂર્ણપણે લક્ષ્ય પદાર્થના પરમાણુ ક્રમાંક પર આધાર રાખે છે અને તે આપાત (પ્રક્ષિપ્ત) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જાથી સ્વતંત્ર છે,જો ઉર્જા આંતરિક કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે પૂરતી હોય.

(D) વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના વહેવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $I = \frac{q}{t} = \frac{ne}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n$ એ દર સેકન્ડે ટાર્ગેટ પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ છે,અને $I$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ $(6.4 \ mA = 6.4 \times 10^{-3} \ A)$ છે.
$n$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$n = \frac{I}{e} = \frac{6.4 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$n = 4 \times 10^{16} \ \text{ઇલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ફિલામેન્ટ કરંટ કેથોડમાંથી એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા નક્કી કરે છે। ફિલામેન્ટ કરંટ વધારવાથી ટાર્ગેટ પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વધે છે, જેનાથી ઉત્સર્જિત $X$-કિરણોની તીવ્રતામાં વધારો થાય છે.
પ્રવેગિત પોટેન્શિયલ તફાવત $(V)$ ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઉર્જા નક્કી કરે છે, જે $E = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। ઉત્સર્જિત $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ પ્રવેગિત પોટેન્શિયલ સાથે $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
જેમ કે પોટેન્શિયલ તફાવત $(V)$ ઘટાડવામાં આવે છે, $\lambda_{\min}$ ના સૂત્રમાં છેદ ઘટે છે, જેના કારણે લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ વધે છે.
તેથી, તીવ્રતા વધે છે અને લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ પણ વધે છે.

(B) પરમાણુમાં,ઉર્જા સ્તરો એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે $K_{\beta}$ સંક્રમણની ઉર્જા એ $K_{\alpha}$ અને $L_{\alpha}$ સંક્રમણોની ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવતી હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$E(K_{\beta}) = E(K_{\alpha}) + E(L_{\alpha})$
આવૃત્તિના સંબંધો મૂકતા:
$h\nu_2 = h\nu_1 + h\nu_3$
$h$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\nu_2 = \nu_1 + \nu_3$

(A) મોઝલેના નિયમ મુજબ,$K_{\alpha}$ $X$-રેની આવૃત્તિ $\nu = a(Z - b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અચળાંક છે અને $K_{\alpha}$ રેખાઓ માટે $b = 1$ છે.
આમ,$\nu \propto (Z - 1)^2$.
કેલ્શિયમ $(Ca, Z = 20)$ માટે,$\nu_{Ca} = 8.95 \times 10^{17} \ Hz$.
કેડમિયમ $(Cd, Z = 48)$ માટે,આપણી પાસે છે:
$\frac{\nu_{Cd}}{\nu_{Ca}} = \left( \frac{Z_{Cd} - 1}{Z_{Ca} - 1} \right)^2$
$\frac{\nu_{Cd}}{8.95 \times 10^{17}} = \left( \frac{48 - 1}{20 - 1} \right)^2 = \left( \frac{47}{19} \right)^2$
$\nu_{Cd} = 8.95 \times 10^{17} \times \left( 2.4737 \right)^2$
$\nu_{Cd} = 8.95 \times 10^{17} \times 6.119 = 5.476 \times 10^{18} \ Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $5.46 \times 10^{18} \ Hz$ છે.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક $X$-રે રેખાની આવૃત્તિ $\nu$ એ $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$b$ એ સ્ક્રીનિંગ અચળાંક છે અને $a$ એ અચળાંક છે.
$\nu = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,$\sqrt{\frac{c}{\lambda}} = a(Z - b)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \propto (Z - b)$.
બે તત્વો માટે,આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\sqrt{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}} = \frac{Z_1 - b}{Z_2 - b}$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 1.32 \ \mathring{A}$,$Z_1 = 78$,$\lambda_2 = 4.17 \ \mathring{A}$,અને $b = 7.4$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{\frac{4.17}{1.32}} = \frac{78 - 7.4}{Z_2 - 7.4}$.
$\sqrt{3.159} \approx 1.777 = \frac{70.6}{Z_2 - 7.4}$.
$Z_2 - 7.4 = \frac{70.6}{1.777} \approx 39.73$.
$Z_2 \approx 39.73 + 7.4 = 47.13$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_2$ એ $47$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન માટે બામર શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda_{\infty}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$.
આપેલ છે $\lambda_{\infty} = 3646 \ \mathring{A}$,તેથી $R = \frac{4}{3646} \ \mathring{A}^{-1}$.
પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવતા તત્વની $K_{\alpha}$ રેખા માટે,મોઝલેનો નિયમ છે: $\frac{1}{\lambda} = R(Z-1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R(Z-1)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{1.0} = \left( \frac{4}{3646} \right) (Z-1)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
$(Z-1)^2 = \frac{3646}{3} \approx 1215.33$.
વર્ગમૂળ લેતા: $Z-1 = \sqrt{1215.33} \approx 34.86$.
આ દર્શાવે છે કે આપેલ અચળાંકોમાં તફાવત છે. પ્રમાણિત $R \approx 1.097 \times 10^7 \ \text{m}^{-1}$ અને $Z=31$ વિકલ્પનો ઉપયોગ કરતા,$Z=31$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ વિવિધ કક્ષામાંથી ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જાને અનુરૂપ છે. મહત્તમ ગતિ ઊર્જા સૌથી ઓછી બંધાયેલા ઇલેક્ટ્રોનને અનુરૂપ છે,જ્યારે ન્યૂનતમ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(24 \ kV)$ સૌથી વધુ બંધાયેલા ઇલેક્ટ્રોન એટલે કે $K$-કક્ષાને અનુરૂપ છે.
$K$-કક્ષાની ઊર્જા $E_K = -24 \ keV$ છે.
$L$-કક્ષાની ઊર્જા $E_L = -100 \ keV$ છે.
$K_{\alpha}$ સંક્રમણ ($L$-કક્ષાથી $K$-કક્ષા) માટે ઊર્જાનો તફાવત:
$\Delta E = E_L - E_K = 100 \ keV - 24 \ keV = 76 \ keV = 76 \times 10^3 \ eV$.
ઉત્સર્જિત $X-ray$ ફોટોનની તરંગલંબાઇ $\lambda$:
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} \approx \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{76 \times 10^3 \ eV} \approx 0.163 \ \mathring{A}$.

(B) મોઝલેનો નિયમ લાક્ષણિક $X$-કિરણોની આવૃત્તિ $f$ અને લક્ષ્ય પદાર્થના પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sqrt{f} = a(Z - b)$ તરીકે દર્શાવે છે.
$K_{\alpha}$ રેખાઓ માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{m_e q_e^4}{8 h^3 \varepsilon_0^2} \left( \frac{3}{4} \right) (Z - 1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\sqrt{f} = \sqrt{\frac{3 m_e q_e^4}{32 h^3 \varepsilon_0^2}} (Z - 1)$ મળે છે.
આને $\sqrt{f} = a(Z - b)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{\frac{3 m_e q_e^4}{32 h^3 \varepsilon_0^2}}$ અને $b = 1$ મળે છે.
અહીં,$a$ એ મૂળભૂત ભૌતિક અચળાંકો (ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e$,વીજભાર $q_e$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$,અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$) ધરાવતો અચળાંક છે,અને $b$ એ સ્ક્રીનિંગ અચળાંક છે ($K_{\alpha}$ રેખાઓ માટે $1$ છે).
આમ,$a$ અને $b$ બંને લક્ષ્ય પદાર્થથી સ્વતંત્ર છે.

(C) $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{min} = \frac{hc}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $hc = 12400 \ eV \mathring{A}$,તેથી $\lambda_{min} = \frac{12400}{V} \ \mathring{A}$.
ધારો કે $\lambda_{K_{\alpha}} = \lambda_0$ (આપેલ લક્ષ્ય પદાર્થ માટે અચળ).
કિસ્સો $1$: $V_1 = 3100 \ V$.
$\lambda_{min, 1} = \frac{12400}{3100} = 4 \ \mathring{A}$.
તફાવત $D_1 = \lambda_0 - 4$.
કિસ્સો $2$: $V_2 = 12400 \ V$.
$\lambda_{min, 2} = \frac{12400}{12400} = 1 \ \mathring{A}$.
તફાવત $D_2 = \lambda_0 - 1$.
પ્રશ્ન મુજબ,$D_2 = 2 \times D_1$.
$\lambda_0 - 1 = 2(\lambda_0 - 4)$.
$\lambda_0 - 1 = 2\lambda_0 - 8$.
$\lambda_0 = 7 \ \mathring{A}$.
આમ,$\lambda_{K_{\alpha}} = 7 \ \mathring{A}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = E_{initial} - E_{final}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K_{\alpha}$ રેખા માટે,સંક્રમણ $L$ કક્ષાથી $K$ કક્ષામાં થાય છે:
$E_{K_{\alpha}} = \frac{hc}{\lambda_{K_{\alpha}}} = E_K - E_L = 78 \ keV - 12 \ keV = 66 \ keV$.
$K_{\beta}$ રેખા માટે,સંક્રમણ $M$ કક્ષાથી $K$ કક્ષામાં થાય છે:
$E_{K_{\beta}} = \frac{hc}{\lambda_{K_{\beta}}} = E_K - E_M = 78 \ keV - 3 \ keV = 75 \ keV$.
આપણે $K_{\alpha}$ રેખાની તરંગલંબાઇ અને $K_{\beta}$ રેખાની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
$\frac{\lambda_{K_{\alpha}}}{\lambda_{K_{\beta}}} = \frac{E_{K_{\beta}}}{E_{K_{\alpha}}} = \frac{75}{66} = \frac{25}{22}$.

(C) મોઝલેના નિયમ મુજબ,$K_\alpha$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu = cR(Z-b)^2(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $\frac{1}{\lambda} \propto (Z-b)^2$ થાય.
પ્રથમ તત્વ માટે $Z_1 = 29$ અને $b = 1$ લેતા,$\frac{1}{\lambda_1} = k(29-1)^2 = k(28)^2$,જ્યાં $\lambda_1 = \lambda$ છે.
બીજા તત્વ માટે $Z_2 = 15$ અને $b = 1$ લેતા,$\frac{1}{\lambda_2} = k(15-1)^2 = k(14)^2$ મળે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{(Z_1 - b)^2}{(Z_2 - b)^2} = \frac{(29-1)^2}{(15-1)^2} = \frac{28^2}{14^2} = (\frac{28}{14})^2 = 2^2 = 4$.
આમ,$\lambda_2 = 4\lambda_1 = 4\lambda$ થાય.

(C) મોઝલેના નિયમ મુજબ,${K_\alpha}$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu$ એ $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $b$ એ સ્ક્રીનિંગ અચળાંક છે.
$\nu = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{1}{\lambda} \propto (Z - b)^2$.
પ્રથમ તત્વ માટે,$Z_1 = 29$ અને $\lambda_1 = \lambda$. બીજા તત્વ માટે,$Z_2 = 15$ અને $\lambda_2 = ?$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{(Z_1 - b)^2}{(Z_2 - b)^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \frac{(29 - 1)^2}{(15 - 1)^2} = \frac{28^2}{14^2} = \left(\frac{28}{14}\right)^2 = 2^2 = 4$.
તેથી,$\lambda_2 = 4\lambda$.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન હોવાથી,તેમની આવૃત્તિ અને ઊર્જા પણ સમાન હોય છે. પરિણામે,તેમની ભેદન શક્તિ,જે ઊર્જા પર આધાર રાખે છે,તે પણ સમાન હોય છે. જો કે,તેમની ઉત્પત્તિની રીત મૂળભૂત રીતે અલગ છે: સતત $X$-રે ઇલેક્ટ્રોનના વેગમાં ઘટાડા (Bremsstrahlung) દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,જ્યારે લાક્ષણિક $X$-રે પરમાણુની અંદરના ચોક્કસ ઊર્જા સ્તરો વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.