X-Rays Questions in Gujarati

(D) $K_{\alpha}$ $X$-કિરણો માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{\lambda} = R(Z-1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3R}{4}(Z-1)^2$.
ધાતુ $A$ માટે: $\frac{1875R}{4} = \frac{3R}{4}(Z_A-1)^2 \implies (Z_A-1)^2 = 625 \implies Z_A-1 = 25 \implies Z_A = 26$.
ધાતુ $B$ માટે: $675R = \frac{3R}{4}(Z_B-1)^2 \implies (Z_B-1)^2 = 900 \implies Z_B-1 = 30 \implies Z_B = 31$.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચે આવતા તત્વોની સંખ્યા $Z_B - Z_A - 1 = 31 - 26 - 1 = 4$ છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનથી પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્પન્ન થતા $X$-રેની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ) $\lambda_2 = \frac{hc}{eV}$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \times \frac{eV}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{eV}{2m}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{V}{2} \cdot \frac{e}{m}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V = 10^4\, V$,$\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11}\, C\, kg^{-1}$,અને $c = 3 \times 10^8\, m/s$.
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{3 \times 10^8} \sqrt{\frac{10^4}{2} \times 1.8 \times 10^{11}} = \frac{1}{3 \times 10^8} \sqrt{0.9 \times 10^{15}} = \frac{1}{3 \times 10^8} \sqrt{9 \times 10^{14}} = \frac{3 \times 10^7}{3 \times 10^8} = 0.1$.

(D) $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ ઘન સ્ફટિકોમાં પરમાણુઓ વચ્ચેના અંતરના ક્રમની $(10^{-10} \ m)$ હોય છે.
કારણ કે $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ આંતર-પરમાણુ અંતર સાથે તુલનાત્મક છે,તેથી જ્યારે તેઓ સ્ફટિક લેટીસ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે ત્યારે તેમનું વિવર્તન (diffraction) થાય છે.
તેથી,ઘન પદાર્થોના બંધારણની તપાસ કરવા માટે $X$-કિરણો સૌથી યોગ્ય વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.

(C) $X$-રે ટ્યુબમાં ઉત્પન્ન થતી લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400}{V(\text{volts માં})} \mathring{A}$ (આશરે).
આપેલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 50\, kV = 50,000\, V$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{\min} = \frac{12375}{50,000} \mathring{A}$.
$\lambda_{\min} = 0.2475 \mathring{A}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$\lambda_{\min} \approx 0.25 \mathring{A}$ મળે છે.

(D) લાક્ષણિક $X$-કિરણો ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે પરમાણુની અંદરની કક્ષા (જેમ કે $K$-શેલ) માં રહેલી ખાલી જગ્યાને બહારની કક્ષાનો ઇલેક્ટ્રોન ભરે છે.
જ્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે અંદરની કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢી શકે છે,જેનાથી ખાલી જગ્યા સર્જાય છે.
ત્યારબાદ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરનો ઇલેક્ટ્રોન આ ખાલી જગ્યા ભરવા માટે સંક્રમણ કરે છે,અને બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના તફાવત જેટલી ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે.
આ પ્રક્રિયા મૂળભૂત રીતે પરમાણુની અંદરના ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણો સાથે સંબંધિત છે,જે $K$-ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચરની પ્રક્રિયામાં પણ સામેલ છે,જ્યાં ન્યુક્લિયસ અંદરની કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોનને પકડી લે છે,જેના પરિણામે ખાલી જગ્યા સર્જાય છે જે પાછળથી બહારની કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ભરવામાં આવે છે,પરિણામે લાક્ષણિક $X$-કિરણોનું ઉત્સર્જન થાય છે.

(A) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E = eV$ છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (મહત્તમ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન) માટે,ઇલેક્ટ્રોનની તમામ ગતિ ઉર્જા એક ફોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે: $E = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$.
બંનેને સરખાવતા: $eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$,જે આપે છે $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
અહીં $V = 20 \, kV = 20 \times 10^3 \, V$ આપેલ છે.
અચળાંક $hc \approx 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{\min} = \frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{20 \times 10^3 \, eV} = \frac{12400}{20000} \, \mathring{A} = 0.62 \, \mathring{A}$.

(D) સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા $X$-કિરણો ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ ને અનુરૂપ હોય છે,જે ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા એક ફોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
આપેલ છે: $V = 40 \ keV = 40 \times 10^3 \ V$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
વૈકલ્પિક રીતે,શોર્ટકટનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda_{\min} \approx \frac{12400 \ \mathring{A} \cdot eV}{E \text{ (in } eV)} = \frac{12400}{40000} \ \mathring{A}$.
$\lambda_{\min} = 0.31 \ \mathring{A}$.

(A) બધા જ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપે $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ ગતિ કરે છે.
$X-$કિરણો એ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટનો એક ભાગ હોવાથી,તે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે કારણ કે કારણ તેમની વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ તરીકેની પ્રકૃતિને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જે તેમની ઝડપ નક્કી કરે છે.

(B) $X$-રે ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{min}$ માટે,પ્રવેગક વોલ્ટેજ $V$ એ $eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,અને $\lambda = 10^{-11} \, m$:
$V = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-11}}$
$V = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-30}} = 12.43 \times 10^4 \, V = 124.3 \, kV$.
આમ,લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે પ્રવેગક વોલ્ટેજ ઓછામાં ઓછો $124.2 \, kV$ હોવો જોઈએ.

(B) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે:
$E_1 = 2.5\,\text{eV}$ અને $\lambda_1 = 5000\,\mathring{A}$.
તેથી,$2.5 = \frac{hc}{5000\,\mathring{A}} \implies hc = 2.5 \times 5000\,\text{eV} \cdot \mathring{A}$.
$X$-રે ફોટોન માટે:
$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2}$ જ્યાં $\lambda_2 = 1\,\mathring{A}$.
$hc$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_2 = \frac{2.5 \times 5000}{1} = 12500\,\text{eV}$.
આમ,ઊર્જા $2.5 \times 5000\,\text{eV}$ થશે.

(D) વિધાન ખોટું છે કારણ કે નરમ અને કઠણ $X-$ કિરણો માત્ર આવૃત્તિમાં અલગ પડે છે,પરંતુ બંને શૂન્યાવકાશમાં સમાન વેગથી એટલે કે પ્રકાશના વેગ $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ થી ગતિ કરે છે.
કારણ સાચું છે કારણ કે કઠણ $X-$ કિરણોની ઉર્જા અને આવૃત્તિ વધારે હોય છે,જે તેમને નરમ $X-$ કિરણોની સરખામણીમાં વધુ ભેદન શક્તિ આપે છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = Rch(Z-1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K_{\alpha}$ રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે. તેથી,$\Delta E_{\alpha} \propto \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} = 0.75$.
$K_{\beta}$ રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$ છે. તેથી,$\Delta E_{\beta} \propto \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8}{9} \approx 0.889$.
આમ,$\Delta E_{\alpha} < \Delta E_{\beta}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_{\alpha}}{\Delta E_{\beta}}$ એ $1$ કરતા ઓછો છે.

(N/A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા એક ફોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય ત્યારે $X$-કિરણોની મહત્તમ આવૃત્તિ ઉત્પન્ન થાય છે. ફોટોનની ઊર્જા $E = h \nu_{\max} = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\nu_{\max} = \frac{eV}{h}$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu_{\max} = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (30 \times 10^3 \; V)}{6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s} = 7.24 \times 10^{18} \; Hz$.
$(b)$ લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ અને મહત્તમ આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda_{\min} = \frac{c}{\nu_{\max}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_{\min} = \frac{3 \times 10^8 \; m/s}{7.24 \times 10^{18} \; Hz} \approx 0.0414 \times 10^{-9} \; m = 0.0414 \; nm$.

(N/A) $X$-રે ટ્યુબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી તરંગલંબાઈ $\lambda = 0.45\,\mathring{A} = 0.45 \times 10^{-10}\,\text{m}$ છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક,$h = 6.626 \times 10^{-34}\,\text{J s}$.
પ્રકાશની ઝડપ,$c = 3 \times 10^{8}\,\text{m/s}$.
ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{0.45 \times 10^{-10} \times 1.602 \times 10^{-19}}\,\text{eV} \approx 27.6 \times 10^{3}\,\text{eV} = 27.6\,\text{keV}$.
તેથી,$X$-રે ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા $27.6\,\text{keV}$ છે.
$(b)$ પ્રવેગક વોલ્ટેજ $X$-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે ઇલેક્ટ્રોનને ગતિ ઉર્જા પૂરી પાડે છે. $27.6\,\text{keV}$ ના $X$-રે ફોટોન મેળવવા માટે,આપાત ઇલેક્ટ્રોન પાસે ઓછામાં ઓછી $27.6\,\text{keV}$ ગતિ ઉર્જા હોવી આવશ્યક છે.
આથી,આવા $X$-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે $30\,\text{kV}$ ના ક્રમનો પ્રવેગક વોલ્ટેજ જરૂરી છે.

(A) $X-$કિરણોની શોધ જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી વિલ્હેમ કોનરાડ રોન્ટજન દ્વારા $1895$ માં કરવામાં આવી હતી. તેમણે અવલોકન કર્યું કે જ્યારે ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન શૂન્યાવકાશ નળીમાં ધાતુના લક્ષ્ય સાથે અથડાય છે ત્યારે આ કિરણો ઉત્પન્ન થાય છે. આ ક્રાંતિકારી શોધ માટે,તેમને $1901$ માં ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રથમ નોબેલ પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો હતો.

(A) જ્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનને ધાતુના લક્ષ્ય પર અથડાવવામાં આવે ત્યારે $X$-કિરણો ઉત્પન્ન થાય છે. તેમની તરંગલંબાઇ $10^{-8} \text{ m}$ થી $10^{-13} \text{ m}$ ની વચ્ચે હોય છે.
$X$-કિરણોના ઉપયોગો:
$(i)$ હાડકાના ફ્રેક્ચર શોધવા અને અમુક પ્રકારના કેન્સરની સારવાર માટે તબીબી વિજ્ઞાનમાં વપરાય છે.
$(ii)$ ધાતુના ભાગોમાં તિરાડો અને ખામીઓ શોધવા માટે ઔદ્યોગિક ઉપયોગોમાં વપરાય છે.
ગેમા કિરણો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન અને અમુક કિરણોત્સર્ગી ન્યુક્લિયસમાંથી ઉત્સર્જિત થાય છે. વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટમાં તેમની આવૃત્તિ સૌથી વધુ હોય છે,જેની તરંગલંબાઇ $10^{-10} \text{ m}$ થી $10^{-14} \text{ m}$ ની વચ્ચે હોય છે.
ગેમા કિરણોના ઉપયોગો:
$(i)$ કેન્સરના કોષોનો નાશ કરવા માટે (રેડિયોથેરાપી) તબીબી વિજ્ઞાનમાં વપરાય છે.
$(ii)$ ખોરાક ઉદ્યોગમાં જંતુનાશક તરીકે અને બેક્ટેરિયાને મારવા માટે વપરાય છે.

(A) $X-$કિરણો ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ઉચ્ચ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતી ધાતુ (જેમ કે ટંગસ્ટન) ના લક્ષ્ય સાથે અથડાય છે.
જ્યારે આ ઝડપથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન લક્ષ્યના પરમાણુઓ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે,ત્યારે તેઓ ઝડપી મંદન (બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ) અનુભવે છે અથવા આંતરિક કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢે છે,જેના કારણે થતા સંક્રમણને લીધે ઉચ્ચ-આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો ઉત્સર્જિત થાય છે,જેને $X-$કિરણો કહેવામાં આવે છે.

(A) $X$-રે ટ્યુબમાં ઉત્પન્ન થતા $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
આપેલ છે કે પ્રવેગક સ્થિતિમાન $V = 1.24 \times 10^{6} \, V$,આપણે સરળ સંબંધનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: $\lambda_{\min} \approx \frac{1240}{V \text{ (kV માં)}} \, nm$.
અહીં,$V = 1.24 \times 10^{6} \, V = 1240 \times 10^{3} \, kV$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_{\min} = \frac{1240}{1.24 \times 10^{6}} \, nm = 10^{-3} \, nm$.

(C) $X$-ray ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમાન ઉર્જા ધરાવતા કાલ્પનિક કણનું દળ $m$ એ $E = mc^2$ દ્વારા મળે છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda} = mc^2$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{h}{c\lambda}$.
અહીં $\lambda = 10 \, \mathring{A} = 10 \times 10^{-10} \, \text{m} = 10^{-9} \, \text{m}$ આપેલ છે.
$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ ની કિંમત મૂકતા:
$m = \frac{h}{(3 \times 10^8) \times 10^{-9}} = \frac{h}{3 \times 10^{-1}} = \frac{h}{0.3} = \frac{10h}{3}$.
આને આપેલ પદ $\frac{x}{3} h$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 10$ મળે છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$p = \frac{h}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
$X$-રે ટ્યુબમાં,ઉત્સર્જિત $X$-રે ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા (જે કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ $\lambda_c$ ને અનુરૂપ છે) તે આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $K = \frac{hc}{\lambda_c}$.
$K$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{h^2}{2m\lambda^2} = \frac{hc}{\lambda_c}$.
$\lambda_c$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_c = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$.

(D) $K_{\alpha}$ $X$-રે ફોટોનની ઉર્જા $K$ શેલ અને $L$ શેલ વચ્ચેની ઉર્જાના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_{K_{\alpha}} = E_{K} - E_{L}$.
ફોટોનની ઉર્જા $E_{K_{\alpha}} = \frac{hc}{\lambda}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
આપેલ છે $h = 4.14 \times 10^{-15} \, eVs$ અને $c = 3 \times 10^{8} \, ms^{-1}$,તેથી $hc = 12.42 \times 10^{-7} \, eV \cdot m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 0.071 \times 10^{-9} \, m$ મૂકતા:
$E_{K_{\alpha}} = \frac{12.42 \times 10^{-7}}{0.071 \times 10^{-9}} \, eV \approx 17493 \, eV \approx 17.5 \, keV$.
આપણને $K$ ઇલેક્ટ્રોન દૂર થયેલ પરમાણુની ઉર્જા $E_{K} = 27.5 \, keV$ આપેલ છે.
સંબંધ $E_{L} = E_{K} - E_{K_{\alpha}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E_{L} = 27.5 \, keV - 17.5 \, keV = 10 \, keV$.

(D) $X$-ray સ્પેક્ટ્રમનો સતત ભાગ ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે કોઈ ઉચ્ચ-ગતિ ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન (જેને ઘણીવાર પ્રોજેક્ટાઇલ અથવા આપાત ઇલેક્ટ્રોન કહેવામાં આવે છે) લક્ષ્ય પરમાણુના ન્યુક્લિયસના વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા ધીમો પડે છે. આ પ્રક્રિયાને બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ (Bremsstrahlung) અથવા બ્રેકિંગ રેડિયેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ આંતરક્રિયા દરમિયાન,ઇલેક્ટ્રોન તેની ગતિ ઊર્જા ગુમાવે છે,જે $X$-ray ફોટોન સ્વરૂપે ઉત્સર્જિત થાય છે. ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta K = hf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta K$ એ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
આ પ્રક્રિયા મૂળભૂત રીતે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરથી ઉલટી છે. ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,પદાર્થમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે ફોટોનનું શોષણ થાય છે. સતત $X$-ray ના ઉત્પાદનમાં,ફોટોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે ઇલેક્ટ્રોનને ધીમો પાડવામાં આવે છે. તેથી,તેને વ્યસ્ત ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર કહેવામાં આવે છે.

(C) $X$-કિરણો એ આયનીકરણ કરતા વિકિરણો છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોસ્કોપને $X$-કિરણોના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઇલેક્ટ્રોસ્કોપના પાત્રમાં રહેલી હવાના અણુઓનું આયનીકરણ કરે છે.
આ આયનો (ધન અને ઋણ) વીજભારિત ગોલ્ડ લીફ (પાંદડાં) તરફ આકર્ષાય છે.
પાંદડાં પરના વીજભારથી વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા ધરાવતા વીજભારો પાંદડાં પરના વીજભારને તટસ્થ કરે છે.
જેમ પાંદડાં પરનો કુલ વીજભાર ઘટે છે,તેમ તેમની વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણ ઘટે છે,જેના કારણે પાંદડાં ભેગા થઈ જાય છે.

(A) કોમ્પ્ટન સ્થાનાંતર $\Delta \lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \phi)$.
અહીં, કોમ્પ્ટન તરંગલંબાઈ $\lambda_c = \frac{h}{m_0 c} \approx 2.43 \times 10^{-12} \, m = 2.43 \, pm$ છે।
વિખેરણનો ખૂણો $\phi = 85^{\circ}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \lambda = 2.43 \times (1 - \cos 85^{\circ})$.
કારણ કે $\cos 85^{\circ} \approx 0.087$, તેથી $\Delta \lambda = 2.43 \times (1 - 0.087) = 2.43 \times 0.913 \approx 2.218 \, pm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા, કોમ્પ્ટન સ્થાનાંતર આશરે $2.2 \, pm$ છે।

(C) $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ) નું સૂત્ર: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400}{V} \text{ Å}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V$ છે અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે, તેથી $\lambda = \frac{k}{V}$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
જ્યારે સ્થિતિમાન બદલીને $V' = 2V$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવી લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda'$ નીચે મુજબ થશે:
$\lambda' = \frac{k}{V'} = \frac{k}{2V} = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{V} \right) = \frac{\lambda}{2}$.

(C) $X$-ray ટ્યુબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\min})$ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda_{\min} = \frac{12400 \text{ } \mathring{A} \cdot V}{V}$
અહીં $\lambda_{\min} = 0.45 \mathring{A}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$0.45 = \frac{12400}{V}$
$V = \frac{12400}{0.45}$
$V \approx 27555 \text{ } V$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સૌથી નજીકની કિંમત $27500 \text{ } V$ છે.

(D) $X$-કિરણો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જે વેગમાન અને ઉર્જા ધરાવે છે.
$1$. જ્યારે $X$-કિરણો કોઈ પદાર્થ પર અથડાય છે,ત્યારે તેઓ રેડિયેશન દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે,જેના પરિણામે પદાર્થ પર બળ લાગે છે.
$2$. તેઓ શોષણ અથવા સ્કેટરિંગ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા પદાર્થને ઉર્જાનું સ્થાનાંતર કરે છે.
$3$. ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરને કારણે,$X$-કિરણો પદાર્થની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરાવી શકે છે.
તેથી,આપેલ તમામ વિધાનો સાચા છે.

(A) $X$-rays ની ભેદન શક્તિ તેમની ઊર્જાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સંબંધ $E = eV$ મુજબ,જ્યાં $E$ એ $X$-ray ફોટોનની ઊર્જા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V$ એ $X$-ray ટ્યુબ પર લાગુ પાડવામાં આવેલ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ છે.
જેમ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ $V$ વધે છે,તેમ $X$-rays ની ઊર્જા વધે છે,જેના પરિણામે તેમની ભેદન શક્તિમાં વધારો થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કૂલિજ ટ્યુબમાં ઉત્પન્ન થતા એક્સ-રેની કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ (જેને લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ પણ કહેવાય છે) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400}{V} \text{ Å}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$.
જો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ બમણો કરવામાં આવે (એટલે કે $V' = 2V$), તો નવી કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ $\lambda'_{\min}$ નીચે મુજબ થશે:
$\lambda'_{\min} = \frac{12400}{2V} = \frac{1}{2} \left( \frac{12400}{V} \right) = \frac{1}{2} \lambda_{\min}$.
તેથી, કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ અડધી થઈ જાય છે.

(C) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક $X$-કિરણોની આવૃત્તિ $v$ એ $\sqrt{v} = a(Z - b)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $b$ એ સ્ક્રીનિંગ અચળાંક છે. $K_\alpha$ $X$-કિરણો માટે,$b = 1$ છે.
પ્રથમ તત્વ માટે $Z_1 = 31$,આવૃત્તિ $v_1 = v$ છે:
$\sqrt{v} = a(31 - 1) = 30a \quad \dots (i)$
બીજા તત્વ માટે $Z_2 = 51$,ધારો કે આવૃત્તિ $v_2$ છે:
$\sqrt{v_2} = a(51 - 1) = 50a \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{v_2}}{\sqrt{v}} = \frac{50a}{30a} = \frac{5}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{v_2}{v} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$
તેથી,$v_2 = \frac{25}{9} v$.

(C) $X$-ray ટ્યુબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો $X$-ray સ્પેક્ટ્રમ તરંગલંબાઇનો સતત સ્પેક્ટ્રમ ધરાવે છે.
જ્યારે હાઇ-સ્પીડ ઇલેક્ટ્રોન ટાર્ગેટ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેઓ $X$-ray ફોટોનના સ્વરૂપમાં ઉર્જા ગુમાવે છે.
$X$-ray ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જાને અનુરૂપ હોય છે,જે $E_{max} = eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે એક લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ હોય છે,જેની નીચે કોઈ $X$-ray ઉત્પન્ન થતા નથી.
ઇલેક્ટ્રોન તેમની ગતિ ઉર્જાનો કોઈપણ અંશ ગુમાવી શકતા હોવાથી,પરિણામી $X$-ray બીમમાં $\lambda_{min}$ થી અનંત સુધીની (સૈદ્ધાંતિક રીતે) તરંગલંબાઇની સતત શ્રેણી હોય છે.
તેથી,બીમમાં ચોક્કસ લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ કરતા વધારે બધી જ તરંગલંબાઇઓ હોય છે.

(B) $K_\alpha$ $X$-ray માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ,આવૃત્તિ $f$ એ $\sqrt{f} = a(Z - b)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a = \sqrt{\frac{3}{4} R c}$ અને $b = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{f} = \sqrt{\frac{3}{4} \times 1.097 \times 10^7 \times 3 \times 10^8} \times (41 - 1)$.
$\sqrt{f} \approx 4.97 \times 10^7 \times 40 = 1.988 \times 10^9 \text{ Hz}^{1/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$f \approx 3.95 \times 10^{18} \text{ Hz}$.
$\lambda = \frac{c}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{3.95 \times 10^{18}} \approx 0.76 \times 10^{-10} \text{ m} = 0.76 \,\mathring A$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ એ ચુંબકીય બળ દ્વારા મળતા કેન્દ્રગામી બળ પરથી મળે છે: $evB = m\frac{v^2}{R} \implies v = \frac{eBR}{m}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2B^2R^2}{2m}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = 1.6 \times 10^{-19}\; C$,$B = 2 \times 10^{-2}\; T$,$R = 23 \times 10^{-3}\; m$,$m = 9.1 \times 10^{-31}\; kg$:
$K = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2 \times (2 \times 10^{-2})^2 \times (23 \times 10^{-3})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 2.97 \times 10^{-15}\; J$.
$keV$ માં રૂપાંતર કરતા: $K = \frac{2.97 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 18.56\; keV$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12.4\; keV \cdot \mathring{A}}{0.50\; \mathring{A}} = 24.8\; keV$ છે.
બંધન ઉર્જા $BE = E - K = 24.8\; keV - 18.6\; keV = 6.2\; keV$ થાય.

(B) જ્યારે ધાતુના લક્ષ્ય પર ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો મારો ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે લક્ષ્યના પરમાણુઓ સાથે આંતરક્રિયા દરમિયાન ઇલેક્ટ્રોનનું ઝડપથી મંદન થાય છે. ગતિ ઊર્જામાં થતો આ ઘટાડો $X$-કિરણો તરીકે ઓળખાતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના સ્વરૂપમાં ઉત્સર્જિત થાય છે. તેથી,સાચો જવાબ $X$-કિરણો છે.

(C) $V$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $K = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
જ્યારે આ ઇલેક્ટ્રોન લક્ષ્ય (target) સાથે અથડાય છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત $X$-કિરણ ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે,એટલે કે $E_{\max} = h\nu_{\max} = eV$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\min}$ એ મહત્તમ ઊર્જાને અનુરૂપ છે:
$\lambda_{\min} = \frac{hc}{E_{\max}} = \frac{hc}{eV}$.
અહીં $h$,$c$,અને $e$ અચળાંકો હોવાથી,$\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) લાક્ષણિક $X$-rays લક્ષ્ય પરમાણુઓની અંદરની કક્ષાઓ વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે। આ સંક્રમણોની ઊર્જા માત્ર લક્ષ્ય પદાર્થના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ પર આધાર રાખે છે, ઇલેક્ટ્રોનના પ્રવેગક પોટેન્શિયલ પર નહીં। તેથી, $\text{વિધાન}-1$ સાચું છે।
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન બીમ લક્ષ્ય પર અથડાય છે, ત્યારે તે ગતિઊર્જા ગુમાવે છે, જે $X$-ray ફોટોન (બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ અને લાક્ષણિક) તરીકે ઉત્સર્જિત થાય છે। આ ટ્યુબમાં થતી એક સામાન્ય ભૌતિક પ્રક્રિયા છે। તેથી, $\text{વિધાન}-2$ સાચું છે।
જોકે, $\text{વિધાન}-2$ એ $X$-rays ના સામાન્ય ઉત્પાદનનું વર્ણન કરે છે, જ્યારે $\text{વિધાન}-1$ ખાસ કરીને લાક્ષણિક $X$-ray તરંગલંબાઇની પ્રવેગક પોટેન્શિયલથી સ્વતંત્રતા વિશે વાત કરે છે। તેથી, $\text{વિધાન}-2$ એ $\text{વિધાન}-1$ માટે યોગ્ય સમજૂતી નથી।

(B) સતત $X$-rays ની કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\text{min}})$ સૂત્ર $\lambda_{\text{min}} = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ તફાવત છે。
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ ફક્ત પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ પર આધાર રાખે છે અને તે ટાર્ગેટ મટીરીયલના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ થી સ્વતંત્ર છે。
તેથી, એવું વિધાન કે કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ ટાર્ગેટના પરમાણુ ક્રમાંક પર આધાર રાખે છે તે $WRONG$ (ખોટું) છે。

$(A)$ $1$. કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ નું સૂત્ર: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ છે।
$2$. $V$ વધારીને $2V$ કરવામાં આવતા, નવી કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ $\lambda'_{\min} = \frac{hc}{e(2V)} = \frac{1}{2} \lambda_{\min}$ થાય છે। આમ, કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ અડધી થાય છે।
$3$. લાક્ષણિક $X$-rays ની તરંગલંબાઇ માત્ર ટાર્ગેટના દ્રવ્ય પર આધાર રાખે છે, પ્રવેગક પોટેન્શિયલ $V$ કે ફિલામેન્ટ પ્રવાહ $I$ પર નહીં। તેથી, તે બદલાતી નથી।
$4$. $X$-rays ની તીવ્રતા ટાર્ગેટ પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે ફિલામેન્ટ પ્રવાહ $I$ દ્વારા નક્કી થાય છે। $I$ ઘટાડીને $I/2$ કરવામાં આવતા, ટાર્ગેટ પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘટે છે, જેનાથી તમામ $X$-rays ની તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે।
$5$. આથી, કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ અડધી થાય છે અને તીવ્રતા ઘટે છે। તેથી, વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે।

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,$K_{\alpha}$ $X$-રે લાઇન માટે આવૃત્તિ $\nu$ નું સૂત્ર $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$ છે,જ્યાં $K_{\alpha}$ સંક્રમણ માટે $b = 1$ છે.
$\nu = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,$\sqrt{\frac{c}{\lambda}} = a(Z - 1)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \propto (Z - 1)$.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{\lambda_{Mo}}}{\sqrt{\lambda_{Cu}}} = \frac{Z_{Cu} - 1}{Z_{Mo} - 1}$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{\lambda_{Mo}}{\lambda_{Cu}} = \left( \frac{29 - 1}{42 - 1} \right)^2 = \left( \frac{28}{41} \right)^2$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{Cu}}{\lambda_{Mo}} = \left( \frac{41}{28} \right)^2 = \frac{1681}{784} \approx 2.144$.
તેથી,આ ગુણોત્તર $2.14$ ની નજીક છે.

(A) $K_\alpha$-રેખાની તરંગલંબાઇ મોઝલેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda_{K_\alpha}} = R(Z-1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R(Z-1)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ એ $\lambda_0 = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ઇલેક્ટ્રોન બીમનું પ્રવેગક પોટેન્શિયલ છે.
$Z_1 = 46$ માટે ગુણોત્તર $r = \frac{\lambda_{K_\alpha}}{\lambda_0} = 2$ આપેલ છે.
$\lambda_{K_\alpha}$ ના સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda_{K_\alpha} \propto \frac{1}{(Z-1)^2}$.
પ્રવેગક પોટેન્શિયલ $V$ સમાન હોવાથી,$\lambda_0$ અચળ રહે છે. તેથી,$r \propto \frac{1}{(Z-1)^2}$.
આમ,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{(Z_1-1)^2}{(Z_2-1)^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_2}{2} = \frac{(46-1)^2}{(41-1)^2} = \frac{45^2}{40^2} = \left( \frac{9}{8} \right)^2 = \frac{81}{64} = 1.2656$.
$r_2 = 2 \times 1.2656 = 2.5312 \approx 2.53$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$,તેથી $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
ઉત્સર્જિત $X$-કિરણોની કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જાને અનુરૂપ છે,જે આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E$ જેટલી હોય છે: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$E$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$\lambda_0$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ તરંગોને તેમની તરંગલંબાઇ અને આવૃત્તિના આધારે વર્ગીકૃત કરે છે। $X$-કિરણો એ ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જે અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણો અને ગામા કિરણોની વચ્ચેનો વિસ્તાર ધરાવે છે। $X$-કિરણો માટે તરંગલંબાઇની લાક્ષણિક શ્રેણી આશરે $1 \, nm$ થી $10^{-3} \, nm$ ($0.1 \, \text{\AA}$ થી $10 \, \text{\AA}$) છે। તેથી, વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે।

(D) $X$-કિરણો એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે જે ઊંચા પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ધરાવતા પરમાણુઓમાં આંતરિક ઇલેક્ટ્રોન કક્ષાઓ (જેમ કે $K$-કક્ષા થી $L$-કક્ષા) વચ્ચેના સંક્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે અને તેના ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ખૂબ જ ઓછો ($eV$ ના ક્રમમાં) હોય છે.
$X$-કિરણોના ઉત્સર્જન માટે $keV$ ના ક્રમની ઉર્જાના સંક્રમણની જરૂર હોય છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન પરમાણુ $X$-કિરણોનું ઉત્સર્જન કરી શકતું નથી કારણ કે તેના ઉર્જા સ્તરો આટલા ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન ઉત્પન્ન કરવા માટે એકબીજાની ખૂબ નજીક હોય છે.

(C) જ્યારે ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો બીમ ધાતુના લક્ષ્ય પર અથડાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનના અચાનક વેગમાં ઘટાડાને કારણે ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો ઉત્સર્જિત થાય છે,જેને $X$-રે તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{min})$ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $V = 20 \times 10^3 \ V$.
$\lambda_{min} = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (20 \times 10^3)} \ m$.
$\lambda_{min} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{3.2 \times 10^{-15}} \ m = 6.215 \times 10^{-11} \ m$.
$1 \ Å = 10^{-10} \ m$ હોવાથી,$\lambda_{min} = 0.6215 \times 10^{-10} \ m = 0.62 \ Å$ થાય.

(C) ઘન પદાર્થોનું બંધારણ $X$-રે ડિફ્રેક્શન (વિવર્તન) નો ઉપયોગ કરીને તપાસવામાં આવે છે। $X$-કિરણોની તરંગલંબાઇ સ્ફટિકોમાં આંતર-પરમાણુ અંતરના ક્રમની (આશરે $1 \ \text{\AA}$) હોવાથી, તેઓ ઘન પદાર્થમાં રહેલા પરમાણુ સમતલો દ્વારા વિવર્તિત થાય છે। આ ઘટનાનો ઉપયોગ પદાર્થોના સ્ફટિક બંધારણને નિર્ધારિત કરવા માટે થાય છે।

(B) $X-$રે ટ્યુબમાંથી ઉત્સર્જિત $X-$કિરણોની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ (જેને કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ,$\lambda_{min}$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V$ એ ટ્યુબ પર લાગુ પાડવામાં આવેલ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ તફાવત (વોલ્ટેજ) છે.
કારણ કે $h$,$c$ અને $e$ અચળાંકો છે,તેથી $\lambda_{min}$ એ ટ્યુબ પર લાગુ પાડવામાં આવેલા વોલ્ટેજ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માત્ર ટ્યુબને આપવામાં આવેલા વોલ્ટેજ પર આધાર રાખે છે.

(B) વિલ્હેમ રોન્ટજન,જેઓ બાવેરિયાના વુર્ઝબર્ગમાં ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રોફેસર હતા,તેમણે $1895$ માં આકસ્મિક રીતે $X$-કિરણોની શોધ કરી હતી,જ્યારે તેઓ એ તપાસી રહ્યા હતા કે શું કેથોડ કિરણો કાચમાંથી પસાર થઈ શકે છે કે નહીં.
$X$-કિરણો એ અત્યંત ટૂંકી તરંગલંબાઇ અને ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે,જેની તરંગલંબાઇ આશરે $10^{-8} \ m$ થી $10^{-12} \ m$ ની વચ્ચે હોય છે અને તેની અનુરૂપ આવૃત્તિ આશરે $10^{16} \ Hz$ થી $10^{20} \ Hz$ સુધીની હોય છે.

(A) આપેલ છે, $Z=31$ અને $a=5 \times 10^7 \, \text{Hz}^{1/2}$.
$K_{\alpha}$ રેખાઓ માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ, $\sqrt{\nu} = a(Z-1)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને મળે $\nu = a^2(Z-1)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = (5 \times 10^7)^2 \times (31-1)^2$.
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 30^2 = 25 \times 10^{14} \times 900 = 2.25 \times 10^{18} \, \text{Hz}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{c}{\nu}$, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{2.25 \times 10^{18}} = 1.33 \times 10^{-10} \, \text{m}$.
કારણ કે $1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, \text{m}$, તેથી તરંગલંબાઈ $1.33 \, \mathring{A}$ છે.