X-Rays Questions in Gujarati

(B) જ્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન ભારે ધાતુના ટાર્ગેટ (જેમ કે ટંગસ્ટન) પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે ટાર્ગેટના ન્યુક્લિયસના પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથેની આંતરક્રિયાને કારણે ઝડપથી મંદ પડે છે. આ પ્રક્રિયાના પરિણામે વર્ણપટના $X-$ કિરણ વિસ્તારમાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન થાય છે. તેથી,ઉત્સર્જિત વિકિરણ $X-$ કિરણો છે.

(B) આવૃત્તિ $\nu$,પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8\,m/s$ અને $\lambda = 1\,\mathring{A} = 1 \times 10^{-10}\,m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\nu = \frac{3 \times 10^8}{1 \times 10^{-10}} = 3 \times 10^{18}\,Hz$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) મોઝલેના નિયમ મુજબ,તત્વ દ્વારા ઉત્સર્જિત લાક્ષણિક $X-$કિરણોની આવૃત્તિ $(f)$ તેના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $f = a(Z - b)^2$,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
ઉચ્ચ પરમાણુ ક્રમાંક માટે,$b$ ને અવગણી શકાય છે,તેથી $f \propto Z^2$.
આમ,લાક્ષણિક $X-$કિરણોની આવૃત્તિ પરમાણુ ક્રમાંકના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના $X$-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ પ્રવેગક વોલ્ટેજ $V$ એ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જ્યાં ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા ફોટોનની ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $eV = \frac{hc}{\lambda}$.
આપેલ છે:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ \text{J}\cdot\text{s}$
$c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$
$\lambda = 1.50 \ \mathring{A} = 1.50 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.50 \times 10^{-10}}$
$V = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{2.4 \times 10^{-29}}$
$V = 8.2875 \times 10^3 \ \text{V} \approx 8280 \ \text{V}$.

(D) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક $X$-કિરણોની આવૃત્તિ $f$ એ $f = a(Z - b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K_{\alpha}$ રેખા માટે,સ્ક્રીનિંગ અચળાંક $b = 1$ છે,તેથી $f \propto (Z - 1)^2$.
આવૃત્તિ $f$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(f = \frac{c}{\lambda})$,આપણને મળે છે કે $\frac{c}{\lambda} \propto (Z - 1)^2$.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$.

(D) $X$-કિરણોનું શોષણ પદાર્થના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અને ઘનતા પર આધાર રાખે છે. શોષણ ગુણાંક ઊંચા પરમાણુ ક્રમાંક સાથે નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
આપેલા તત્વોના પરમાણુ ક્રમાંકની તુલના કરતા:
- બેરિલિયમ $(Be)$: $Z = 4$
- કોપર $(Cu)$: $Z = 29$
- ગોલ્ડ $(Au)$: $Z = 79$
- લેડ $(Pb)$: $Z = 82$
આપેલા વિકલ્પોમાં લેડ $(Pb)$ નો પરમાણુ ક્રમાંક સૌથી વધુ હોવાથી,તે $X$-કિરણોનું મહત્તમ શોષણ કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ (પ્લાન્કનો અચળાંક),
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ (પ્રકાશની ગતિ),
અને $\lambda = 1.54 \mathring A = 1.54 \times 10^{-10} \ m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.54 \times 10^{-10}} \ J$
$E = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{1.54 \times 10^{-10}} \ J$
$E \approx 12.857 \times 10^{-16} \ J \approx 12.9 \times 10^{-16} \ J$.

(C) મોઝલેના નિયમ મુજબ,${K_{\alpha}}$ એક્સ-રે રેખાની આવૃત્તિ $\nu = cR(Z-1)^2(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = \frac{3}{4}cR(Z-1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\nu = \frac{c}{\lambda}$,તેથી $\frac{c}{\lambda} \propto (Z-1)^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{(Z-1)^2}$.
અહીં $Z_1 = 43$ માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે.
$Z_2 = 29$ માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ ધારો.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \left(\frac{Z_1 - 1}{Z_2 - 1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \left(\frac{43 - 1}{29 - 1}\right)^2 = \left(\frac{42}{28}\right)^2$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{42}{28} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{9}{4}\lambda$.

(A) $X-$રે વર્ણપટમાં,$K_{\alpha}$ અને $K_{\beta}$ રેખાઓ એ લાક્ષણિક $X-$રે વર્ણપટનો ભાગ છે.
આ રેખાઓ ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ઊંચી ઉર્જા ધરાવતી કક્ષા (જેમ કે $L$ અથવા $M$ કક્ષા) માંથી ઇલેક્ટ્રોન $K$ કક્ષા $(n=1)$ માં રહેલી ખાલી જગ્યામાં સંક્રમણ કરે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$K_{\alpha}$ એ $L$ કક્ષા $(n=2)$ થી $K$ કક્ષા $(n=1)$ માં થતું સંક્રમણ છે,અને $K_{\beta}$ એ $M$ કક્ષા $(n=3)$ થી $K$ કક્ષા $(n=1)$ માં થતું સંક્રમણ છે.
આ રેખાઓ લક્ષ્ય પદાર્થના પરમાણુ ક્રમાંક પર આધારિત હોવાથી,તેમને લાક્ષણિક $X-$રે કહેવામાં આવે છે.

(A) કોમ્પટન સ્થાનાંતરનું સૂત્ર: $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \phi)$.
અહીં,$\lambda = 0.1 \ \mathring A$ અને $\lambda' = 0.111 \ \mathring A$ છે.
તેથી,$\Delta \lambda = 0.011 \ \mathring A = 0.011 \times 10^{-10} \ m$.
$\cos \phi$ શોધવા માટે સૂત્ર: $\cos \phi = 1 - \frac{\Delta \lambda \cdot m_0 c}{h}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \phi = 1 - \frac{0.011 \times 10^{-10} \times 9 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}{6.624 \times 10^{-34}}$.
ગણતરી કરતા: $\cos \phi = 1 - 0.4484 = 0.5516$. વિકલ્પો મુજબ,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ લેતા જવાબ $0.547$ મળે છે.
આમ,$\phi = \cos^{-1}(0.547)$.

(D) બ્રેગના નિયમ મુજબ, વિવર્તનની શરત $2d \sin \theta = n\lambda$ છે, જ્યાં $d$ એ આંતર-સમતલીય અંતર છે, $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ છે, $n$ એ વિવર્તનનો ક્રમ છે અને $\lambda$ એ $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ છે。
અભ્યાસ કરી શકાય તેવી મહત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{\max}$ શોધવા માટે, આપણે વિવર્તનનો ક્રમ $n = 1$ અને $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ લઈએ છીએ (કારણ કે $\sin \theta \leq 1$).
આમ, $\lambda_{\max} = 2d$.
અહીં $d = 10^{-7} \text{ cm} = 10^{-7} \times 10^7 \text{ Å} = 10 \text{ Å}$ આપેલ છે。
$d$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $\lambda_{\max} = 2 \times 10 \text{ Å} = 20 \text{ Å}$ મળે છે.

(D) કુલ પૂરો પાડવામાં આવેલ પાવર $P = VI = (50 \times 10^3 V) \times (20 \times 10^{-3} A) = 1000 W$ છે.
પાવરના $1\%$ ભાગનું $X$-rays માં રૂપાંતર થતું હોવાથી,$99\%$ ભાગ ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત પાવર $P_H = 0.99 \times 1000 W = 990 W$.
તાપમાનમાં વધારાનો દર $P_H = ms \frac{dT}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $990 = (1.0 kg) \times (495 J kg^{-1} {}^\circ C^{-1}) \times \frac{dT}{dt}$.
$\frac{dT}{dt} = \frac{990}{495} = 2 {}^\circ C/s$. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_{min} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 50 \times 10^3} \approx 0.248 \times 10^{-10} m \approx 0.25 \times 10^{-10} m$. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
ટાર્ગેટ મોટી માત્રામાં ઉષ્માનું શોષણ કરતું હોવાથી,નુકસાન અટકાવવા માટે તેનું ગલનબિંદુ ઊંચું હોવું આવશ્યક છે. આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) જ્યારે $X$-ray કિરણપુંજ $dx$ જાડાઈના દ્રવ્યમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તીવ્રતામાં થતો ઘટાડો $dI$ એ તીવ્રતા $I$ અને જાડાઈ $dx$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ વિકલ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $-dI = \mu I dx$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dI}{I} = -\mu dx$.
બંને બાજુ $x = 0$ (જ્યાં $I = I_0$) થી $x = d$ (જ્યાં $I = I$) સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{I_0}^{I} \frac{dI}{I} = -\int_{0}^{d} \mu dx$.
આના પરિણામે: $\ln(\frac{I}{I_0}) = -\mu d$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને મળે છે: $I = I_0e^{-\mu d}$.

(C) ઉત્સર્જિત $X$-રે ફોટોનની ઉર્જા સંક્રમણમાં સામેલ બે સ્તરો વચ્ચેના ઉર્જા તફાવત જેટલી હોય છે.
$K_{\alpha}$ રેખા માટે,સંક્રમણ $L$ સ્તરથી $K$ સ્તર તરફ થાય છે.
ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_K - E_L = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\lambda = 0.021 \times 10^{-9} \ m$.
$\Delta E = \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{0.021 \times 10^{-9}} \ J$.
આ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$\Delta E = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{0.021 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 58928 \ eV \approx 59 \ keV$.

(D) સતત $X$-રે સ્પેક્ટ્રમની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\min} = \frac{hc}{E}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring{A}$ લેતા,$\lambda_{\min} = \frac{12375}{80 \times 10^3} \approx 0.155 \ \mathring{A}$ મળે છે.
આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $(80 \ keV)$ એ $K$-શેલના ઇલેક્ટ્રોનની આયનીકરણ ઉર્જા $(72.5 \ keV)$ કરતા વધારે હોવાથી,આપાત ઇલેક્ટ્રોન પાસે ટંગસ્ટન પરમાણુમાંથી $K$-શેલના ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે પૂરતી ઉર્જા છે.
જ્યારે $K$-શેલમાંથી ઇલેક્ટ્રોન બહાર નીકળે છે,ત્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરના ઇલેક્ટ્રોન તે ખાલી જગ્યા ભરવા માટે સંક્રમણ કરે છે,જેના પરિણામે લાક્ષણિક $X$-કિરણોનું ઉત્સર્જન થાય છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત $X$-કિરણોમાં સતત સ્પેક્ટ્રમ (બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ) અને ટંગસ્ટનનો લાક્ષણિક $X$-રે સ્પેક્ટ્રમ બંનેનો સમાવેશ થાય છે.

(A) $L_{\alpha}$ રેખાની તરંગલંબાઈ $X$-કિરણો માટે મોઝલેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R(Z - b)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$L_{\alpha}$ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$,અને સ્ક્રીનિંગ અચળાંક $b \approx 7.4$ છે.
આમ,$\frac{1}{\lambda} \propto (Z - 7.4)^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{(Z - 7.4)^2}$.
અહીં $Z_1 = 78$ માટે $\lambda_1 = 1.30 \ \mathring{A}$ અને $Z_2 = 42$ માટે $\lambda_2$ શોધવાની છે:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{(Z_1 - 7.4)^2}{(Z_2 - 7.4)^2}$
$\lambda_2 = 1.30 \times \left( \frac{78 - 7.4}{42 - 7.4} \right)^2$
$\lambda_2 = 1.30 \times \left( \frac{70.6}{34.6} \right)^2$
$\lambda_2 = 1.30 \times (2.04)^2 \approx 1.30 \times 4.16 = 5.41 \ \mathring{A}$.

(A) મોઝલેના નિયમ મુજબ,$K_{\alpha}$ ક્ષ-કિરણોની આવૃત્તિ $\nu = c/\lambda = a(Z - b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_{\alpha}$ રેખાઓ માટે $b = 1$ છે.
આમ,$\frac{1}{\lambda} \propto (Z - 1)^2$,અથવા $\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \propto (Z - 1)$.
પ્રથમ પરમાણુ માટે,$Z_1 = 11$ અને $\lambda_1 = \lambda$. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = k(11 - 1) = 10k$.
બીજા પરમાણુ માટે,$Z_2 = Z$ અને $\lambda_2 = 4\lambda$. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{4\lambda}} = k(Z - 1) = \frac{1}{2\sqrt{\lambda}} = k(Z - 1)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{1/\sqrt{\lambda}}{1/(2\sqrt{\lambda})} = \frac{10k}{k(Z - 1)}$.
$2 = \frac{10}{Z - 1}$.
$Z - 1 = 5$,જે $Z = 6$ આપે છે.

(C) $X-$ કિરણોના વર્ણપટના ઉર્જા સ્તરના આકૃતિ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$.
$X-$ કિરણોના સંક્રમણ માટે:
$1$. $K_\beta$ રેખા $M$ કક્ષાથી $K$ કક્ષામાં સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$2$. $K_\alpha$ રેખા $L$ કક્ષાથી $K$ કક્ષામાં સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$3$. $L_\alpha$ રેખા $M$ કક્ષાથી $L$ કક્ષામાં સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,$K_\beta$ સંક્રમણની ઉર્જા એ $K_\alpha$ અને $L_\alpha$ સંક્રમણની ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$(\Delta E)_{K_\beta} = (\Delta E)_{K_\alpha} + (\Delta E)_{L_\alpha}$
આ સમીકરણમાં $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_\beta} = \frac{hc}{\lambda_\alpha} + \frac{hc}{\lambda'_\alpha}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_\beta} = \frac{1}{\lambda_\alpha} + \frac{1}{\lambda'_\alpha}$

(D) $K_{\alpha}$ રેખાની તરંગલંબાઇ લક્ષ્ય પદાર્થના ગુણધર્મ પર આધારિત છે અને તે પ્રવેગક વોલ્ટેજ $V$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$\lambda_{K_{\alpha}}$ અચળ રહે છે.
સતત $X-ray$ વર્ણપટની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વોલ્ટેજ $V$ ને અડધો કરીને $V' = V/2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda'_{\min} = \frac{hc}{e(V/2)} = 2\lambda_{\min}$ થાય છે.
પ્રારંભિક તફાવત $\Delta \lambda = \lambda_{K_{\alpha}} - \lambda_{\min}$ છે.
નવો તફાવત $\Delta \lambda' = \lambda_{K_{\alpha}} - 2\lambda_{\min}$ છે.
કારણ કે $\lambda_{K_{\alpha}} > \lambda_{\min}$,આપણે લખી શકીએ કે $\Delta \lambda' = \lambda_{K_{\alpha}} - 2\lambda_{\min} = (\lambda_{K_{\alpha}} - \lambda_{\min}) - \lambda_{\min} = \Delta \lambda - \lambda_{\min}$.
કારણ કે $\lambda_{\min} > 0$,તેથી $\Delta \lambda' < \Delta \lambda$ થાય છે.
વળી,$2\Delta \lambda = 2\lambda_{K_{\alpha}} - 2\lambda_{\min}$. $\Delta \lambda' = \lambda_{K_{\alpha}} - 2\lambda_{\min}$ ની સરખામણી $2\Delta \lambda$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\Delta \lambda' < 2\Delta \lambda$. તેથી,તફાવત મૂળ તફાવત કરતા બે ગણાથી ઓછો થાય છે.

(A) લાક્ષણિક $X$-રેખા,જેમ કે ${K_\alpha }$ રેખા $({\lambda _k})$,ની તરંગલંબાઈ માત્ર ટાર્ગેટના દ્રવ્ય પર આધાર રાખે છે અને તે પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ થી સ્વતંત્ર છે.
સતત $X$-કિરણ વર્ણપટની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $({\lambda _c})$ ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${\lambda _c} = \frac{hc}{eV}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ${\lambda _c}$ એ પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
જેમ પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ વધારવામાં આવે છે,તેમ ${\lambda _c}$ ઘટે છે,જ્યારે ${\lambda _k}$ અચળ રહે છે.
તેથી,તફાવત $({\lambda _K} - {\lambda _C})$ વધશે.

(C) $X-$ કિરણ સ્પેક્ટ્રમમાં,પ્રવેગક વોલ્ટેજ અને લક્ષ્ય તત્વના આધારે,આપણે સતત સ્પેક્ટ્રમ પર સુપરઇમ્પોઝ થયેલા તીક્ષ્ણ શિખરો જોઈ શકીએ છીએ.
આ તીક્ષ્ણ શિખરો ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર જોવા મળે છે જે $X-$ કિરણ ટ્યુબમાં વપરાતા લક્ષ્ય પદાર્થ માટે અનન્ય હોય છે.
આ શિખરો લક્ષ્ય પદાર્થના પરમાણુઓની અંદર ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણને કારણે ઉદ્ભવે છે,જ્યાં ઉચ્ચ ઉર્જા શેલમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન નીચલા ઉર્જા શેલમાં ખાલી જગ્યામાં પડે છે,જે ચોક્કસ ઉર્જાનો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે.
તેથી,આ શિખરોને લાક્ષણિક વિકિરણો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક $X$-કિરણની આવૃત્તિ $\nu$ અને લક્ષ્ય પદાર્થના પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\sqrt{\nu} = a(Z - b)$
જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\nu = a^2(Z - b)^2$
આ સમીકરણ $\nu = k(Z - b)^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે $Z$-અક્ષ પર $(b, 0)$ શિરોબિંદુ ધરાવતા ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\nu$ અને $Z$ વચ્ચે પરવલયાકાર સંબંધ દર્શાવતો આલેખ $C$ છે.

(B) $1$. સતત $X$-રે સ્પેક્ટ્રમની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. આલેખ પરથી,આપણે જોઈએ છીએ કે $\lambda_1 < \lambda_2$. કારણ કે $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$,નાની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ ઉચ્ચ પ્રવેગક વોલ્ટેજ સૂચવે છે. તેથી,$V_1 > V_2$.
$3$. લાક્ષણિક $K_{\alpha}$ રેખાની તરંગલંબાઇ મોઝલેના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે: $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$,જેનો અર્થ છે કે $\nu \propto (Z - 1)^2$. કારણ કે $\nu = \frac{c}{\lambda}$,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$.
$4$. આલેખ પરથી,વક્ર $1$ માટે $K_{\alpha}$ શિખર એ વક્ર $2$ ના $K_{\alpha}$ શિખર કરતા ટૂંકી તરંગલંબાઇ પર દેખાય છે. આમ,$\lambda_{K\alpha, 1} < \lambda_{K\alpha, 2}$.
$5$. આ સૂચવે છે કે $(Z_1 - 1)^2 > (Z_2 - 1)^2$,જેનો અર્થ છે કે $Z_1 > Z_2$.
$6$. આ પરિણામોને જોડતા,આપણને $V_1 > V_2$ અને $Z_1 > Z_2$ મળે છે.

(A) કુલિજ ટ્યુબમાં,ટાર્ગેટ પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનના વેગમાં ઘટાડાને કારણે સતત $X-$રે સ્પેક્ટ્રમ ઉત્પન્ન થાય છે. ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ એ આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જામાંથી મળે છે. મહત્તમ આવૃત્તિ $\nu_{\max}$ એ કિસ્સાને અનુરૂપ છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોનની સંપૂર્ણ ગતિ ઉર્જા એક જ ફોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે $h\nu_{\max} = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ છે. ઇલેક્ટ્રોન તેમની ગતિ ઉર્જાનો કોઈપણ અંશ ગુમાવી શકે છે,તેથી ઉત્સર્જિત $X-$રે ની આવૃત્તિ $\nu$ એ $0$ થી મહત્તમ મૂલ્ય $\nu_{\max}$ સુધીની હોઈ શકે છે. તીવ્રતા $I$ એ $\nu = 0$ અને $\nu = \nu_{\max}$ પર શૂન્ય હોય છે,અને તે વચ્ચેના ભાગમાં મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. આ વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) ટૂંકી તરંગલંબાઈની મર્યાદા $\lambda _{\min }$ સંબંધ $\lambda _{\min } = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને $\log \lambda _{\min } = \log \left( \frac{hc}{e} \right) - \log V$ મળે છે.
આને $\log \lambda _{\min } = - \log V + \log \left( \frac{hc}{e} \right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપની સીધી રેખાનું સમીકરણ છે,જ્યાં $y = \log \lambda _{\min }$,$x = \log V$,ઢાળ $m = -1$,અને આંતરછેદ $c = \log \left( \frac{hc}{e} \right)$ છે.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,આલેખ નીચે તરફ ઢળતી સીધી રેખા છે,જે આકૃતિમાં વક્ર $A$ ને અનુરૂપ છે.

(C) મોઝલેના નિયમ મુજબ,લાક્ષણિક $K_{\alpha}$ એક્સ-રે રેખાની આવૃત્તિ $\nu$ એ $\nu = cR(Z - b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_{\alpha}$ રેખાઓ માટે $b = 1$ છે.
આમ,$\nu \propto (Z - 1)^2$.
કારણ કે $\nu = \frac{c}{\lambda}$,તેથી આપણને $\frac{c}{\lambda} \propto (Z - 1)^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$.
જેમ $Z$ વધે છે,તેમ $\lambda$ ઝડપથી ઘટે છે. આ સંબંધ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) જેવો વક્ર દર્શાવે છે જે $Z$ વધવાની સાથે ઘટે છે,જે વક્ર $C$ ને અનુરૂપ છે.

(B) $1$. લાક્ષણિક $X$-રે સ્પેક્ટ્રમમાં,$K_\alpha$ રેખાની તરંગલંબાઇ $K_\beta$ રેખા કરતા વધારે હોય છે અને તેની તીવ્રતા પણ વધારે હોય છે.
$2$. આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $0.7 \ \mathring{A}$ પરનું શિખર $0.6 \ \mathring{A}$ પરના શિખર કરતા ઊંચું છે. તેથી,$K_\alpha$ રેખા $0.7 \ \mathring{A}$ ના શિખરને અનુરૂપ છે.
$3$. જો આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા વધારવામાં આવે,તો લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઇ) $\lambda_{min} = \frac{hc}{E}$ ઘટે છે,જેનાથી સતત સ્પેક્ટ્રમ ડાબી તરફ ખસે છે. જોકે,લાક્ષણિક શિખરો $(K_\alpha, K_\beta)$ માત્ર ટાર્ગેટ મટીરીયલ પર આધાર રાખે છે અને તેમની તરંગલંબાઇ નિશ્ચિત રહે છે. આમ,વિકલ્પ $(c)$ ખોટો છે કારણ કે લાક્ષણિક શિખરો ખસતા નથી,અને વિકલ્પ $(b)$ આલેખ પરથી સાચું અવલોકન છે.

(B) ${K_{\alpha }}$ $X$-રે લાઇન માટે,મોઝલેનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = \frac{3R}{4}(Z - 1)^2$
આપેલ છે કે $\lambda = 0.76 \, \mathring{A} = 0.76 \times 10^{-10} \, m$ અને રિડબર્ગ અચળાંક $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{0.76 \times 10^{-10}} = \frac{3}{4} \times 1.097 \times 10^7 \times (Z - 1)^2$
$1.315 \times 10^{10} = 0.82275 \times 10^7 \times (Z - 1)^2$
$(Z - 1)^2 = \frac{1.315 \times 10^{10}}{0.82275 \times 10^7} \approx 1598.3$
$Z - 1 \approx \sqrt{1600} = 40$
$Z = 41$.

(D) ફ્રોનહોફર રેખાઓ એ સૌર વર્ણપટમાં જોવા મળતી ઘેરી શોષણ રેખાઓ છે,જે સૂર્યના વાતાવરણના ઠંડા વાયુઓ (ફોટોસ્ફિયર) દ્વારા ચોક્કસ તરંગલંબાઇના શોષણને કારણે ઉદ્ભવે છે.
સંપૂર્ણ સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન,ચંદ્ર સૂર્યના તેજસ્વી ફોટોસ્ફિયરને અવરોધે છે.
આનાથી સૂર્યના વાતાવરણના ગરમ અને પાતળા સ્તર,જેને ક્રોમોસ્ફિયર કહેવાય છે,તેમાંથી આવતા પ્રકાશનું અવલોકન કરી શકાય છે.
ક્રોમોસ્ફિયર ઉત્સર્જન દ્વારા પ્રકાશ ફેંકે છે,જે તે જ તરંગલંબાઇ પર તેજસ્વી ઉત્સર્જન રેખાઓ ઉત્પન્ન કરે છે જ્યાં અગાઉ ઘેરી શોષણ રેખાઓ (ફ્રોનહોફર રેખાઓ) જોવા મળતી હતી.
તેથી,ઘેરી ફ્રોનહોફર રેખાઓ તેજસ્વી ઉત્સર્જન રેખાઓમાં બદલાઈ જાય છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે. ફ્રોનહોફર રેખાઓ સૂર્યના વાતાવરણમાં રહેલા વાયુઓ અને બાષ્પ દ્વારા સૂર્યના પ્રકાશના કિરણોના શોષણથી ઉત્પન્ન થાય છે. જ્યારે ફોટોસ્ફિયર (પ્રકાશમંડળ) માંથી સફેદ પ્રકાશ ઠંડા ક્રોમોસ્ફિયર (વર્ણમંડળ) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેમાં રહેલા પરમાણુઓ અને અણુઓ પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇનું શોષણ કરે છે. આ પ્રક્રિયાને કારણે સૂર્યના સતત વર્ણપટમાં ઘેરી રેખાઓ રચાય છે,જેને ફ્રોનહોફર રેખાઓ કહેવામાં આવે છે. તેથી,તે રેખીય શોષણ વર્ણપટનું ઉદાહરણ છે.

(B) ક્ષ-કિરણ ટ્યુબમાં,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની પાસે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = eV$ હોય છે.
જ્યારે આ ઇલેક્ટ્રોન લક્ષ્ય (target) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેઓ 'બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ' (Bremsstrahlung) વિકિરણને કારણે સતત ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન કરે છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા તે કિસ્સાને અનુરૂપ છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન એક જ અથડામણમાં તેની તમામ ગતિઊર્જા ગુમાવે છે,જે $E_{max} = h\nu_{max} = \frac{hc}{\lambda_{min}} = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન વિવિધ અથડામણોમાં $0$ થી $eV$ સુધીની કોઈપણ ઊર્જા ગુમાવી શકે છે,તેથી ઉત્સર્જિત ક્ષ-કિરણ ફોટોન $\lambda_{min}$ થી $\infty$ સુધીની કોઈપણ તરંગલંબાઈ ધરાવી શકે છે.
તેથી,સતત ક્ષ-કિરણો માટે તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર $\lambda_{min}$ થી $\infty$ છે.

(A) લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણો ટાર્ગેટ પરમાણુની અંદર થતા ઈલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણને કારણે ઉત્સર્જાય છે. જ્યારે ઊંચી ઊર્જા ધરાવતો આપાત ઈલેક્ટ્રોન ટાર્ગેટ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે આંતરિક કક્ષામાંથી (દા.ત.,$K$-કક્ષા) ઈલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢે છે. આનાથી તે કક્ષામાં ખાલી જગ્યા (vacancy) સર્જાય છે. પરમાણુને સ્થાયી કરવા માટે,ઊંચી ઊર્જા ધરાવતી કક્ષામાંથી (દા.ત.,$L$ અથવા $M$ કક્ષા) એક ઈલેક્ટ્રોન નીચેની કક્ષામાં આવીને આ ખાલી જગ્યા પૂરે છે. આ બે કક્ષાઓ વચ્ચેના ઊર્જાના તફાવત જેટલી ઊર્જા ફોટોન સ્વરૂપે મુક્ત થાય છે,જેને લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણ ઉત્સર્જન કહેવામાં આવે છે.

(B) ક્ષ-કિરણોની તીવ્રતા લક્ષ્ય (target) પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,જે ફિલામેન્ટના પ્રવાહ દ્વારા નક્કી થાય છે,નહીં કે પ્રવેગક વોલ્ટેજ દ્વારા. પ્રવેગક વોલ્ટેજ ક્ષ-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (મહત્તમ ઊર્જા) નક્કી કરે છે. તેથી,જો વોલ્ટેજ બમણો કરવામાં આવે,તો ક્ષ-કિરણોની તીવ્રતા અચળ રહે છે.

(C) $X$-રે એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જે આંતરડા જેવા નરમ પેશીઓમાંથી સરળતાથી પસાર થઈ જાય છે,કારણ કે તેનું શોષણ કે પ્રકીર્ણન નોંધપાત્ર રીતે થતું નથી. તેઓ ફોટોગ્રાફિક ફિલ્મ પર નરમ પેશીઓની રચનાનો સ્પષ્ટ પડછાયો પાડતા ન હોવાથી,તેઓ આંતરડાની ઉપયોગી નિદાન છબી પ્રદાન કરી શકતા નથી. આંતરડાને જોવા માટે,રેડિયોલોજિસ્ટ બેરિયમ સલ્ફેટ જેવા કોન્ટ્રાસ્ટ એજન્ટોનો ઉપયોગ કરે છે,જે $X$-રેને શોષી લે છે અને જરૂરી કોન્ટ્રાસ્ટ બનાવે છે.

(A) લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણો ટાર્ગેટ પદાર્થના પરમાણુઓમાં ઈલેક્ટ્રોનના ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરોમાંથી નીચા ઊર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
પરમાણુના ઊર્જા સ્તરો તે તત્વ માટે વિશિષ્ટ હોવાથી,ઉત્સર્જિત લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણોની ઊર્જા (અને તેથી તરંગલંબાઈ) સંપૂર્ણપણે ટાર્ગેટ પદાર્થના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણો ટાર્ગેટ પદાર્થની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે.

(A) જ્યારે ઉચ્ચ વેગ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન (કેથોડ કિરણો) ઉંચુ ગલનબિંદુ અને ઉંચો પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતી ધાતુની સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તેમનું અચાનક મંદન થાય છે. આ ગતિ ઉર્જાનો વ્યય ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો તરીકે બહાર આવે છે,જેને $X$-કિરણો કહેવામાં આવે છે.

(B) $K$-શ્રેણીના લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણોના ઉત્સર્જન માટે,આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $(E = eV)$ એ $K$-કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી આયનીકરણ ઊર્જા $(E_i)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
આપેલ ઓપરેટિંગ વોલ્ટેજ $V = 15 \, kV$ હોવાથી,આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E = 15 \, keV$ છે.
આની આયનીકરણ ઊર્જા સાથે સરખામણી કરતા:
$Co$ માટે: $7.8 \, keV < 15 \, keV$ (ઉત્સર્જન શક્ય છે).
$Cu$ માટે: $9.0 \, keV < 15 \, keV$ (ઉત્સર્જન શક્ય છે).
$Mo$ માટે: $20.1 \, keV > 15 \, keV$ (ઉત્સર્જન શક્ય નથી).
આમ,માત્ર $Co$ અને $Cu$ જ $K$-શ્રેણીના લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણો ઉત્સર્જિત કરી શકે છે.
સતત ક્ષ-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $V$ ત્રણેય માટે સમાન છે,તેથી $\lambda_{min}$ ત્રણેય ધાતુઓ માટે સમાન હશે.

(A) ઘન પદાર્થનું બંધારણ,ખાસ કરીને સ્ફટિક લેટીસમાં પરમાણુઓની ગોઠવણી,$X$-રે ડિફ્રેક્શન (વિવર્તન) નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $X$-કિરણોની તરંગલંબાઇ ઘન પદાર્થોમાં પરમાણુઓ વચ્ચેના અંતરના ક્રમની (આશરે $1 \ \mathring{A}$ અથવા $10^{-10} \ \text{m}$) હોય છે,તેથી જ્યારે તેઓ સ્ફટિક લેટીસ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે ત્યારે તેમનું વિવર્તન થાય છે.
આ ઘટના વૈજ્ઞાનિકોને ઘન પદાર્થની અંદર પરમાણુઓના સ્થાનને મેપ કરવાની મંજૂરી આપે છે,જેને $X$-રે ક્રિસ્ટલોગ્રાફી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબમાં ઉત્પન્ન થતી ટૂંકી તરંગલંબાઈ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ) ડ્યુએન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ ટ્યૂબ પર લાગુ પાડવામાં આવેલ પ્રવેગક સ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) છે.
$h$,$c$ અને $e$ અચળ હોવાથી,લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{min}$ એ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,ટૂંકી તરંગલંબાઈ ટ્યૂબ પર લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ પર આધાર રાખે છે.

(B) ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબમાં,લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણો ટાર્ગેટ પદાર્થના પરમાણુઓની અંદરની કક્ષાઓ વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોનના સંક્રમણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
કારણ કે અંદરની કક્ષાઓની ઉર્જા સ્તરો ટાર્ગેટ પદાર્થના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ પર આધાર રાખે છે,તેથી લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણોની તરંગલંબાઈ સંપૂર્ણપણે ટાર્ગેટ પદાર્થના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $X$-કિરણો એ ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનથી બનેલા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.
તેઓ કોઈ પણ પ્રકારનો વિદ્યુતભાર ધરાવતા નથી.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર ગતિશીલ વિદ્યુતભારો (લોરેન્ઝ બળ) અથવા ચુંબકીય ડાયપોલ પર જ બળ લગાડે છે,અને $X$-કિરણો પાસે આ બંનેમાંથી કંઈ જ હોતું નથી,તેથી તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રથી પ્રભાવિત થતા નથી.
આથી,જ્યારે $X$-કિરણો પ્રબળ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેઓ વિચલન પામતા નથી.

(B) $X$-કિરણો પરમાણુની અંદરની કક્ષાઓમાં ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે,જે તેને પરમાણ્વીય ગુણધર્મ બનાવે છે.
$\gamma$-કિરણો રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય દરમિયાન ન્યુક્લિયસની અંદર થતા સંક્રમણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે,જે તેને ન્યુક્લિયર ગુણધર્મ બનાવે છે.
તેથી,મૂળભૂત તફાવત એ છે કે $X$-કિરણો ઇલેક્ટ્રોન ક્લાઉડ (પરમાણ્વીય) માંથી ઉદ્ભવે છે,જ્યારે $\gamma$-કિરણો ન્યુક્લિયસમાંથી ઉદ્ભવે છે.

(B) ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબમાં, ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા ફિલામેન્ટના પ્રવાહ પર આધાર રાખે છે, જ્યારે ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{min})$ એ પ્રવેગક સ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ પર આધાર રાખે છે.
$(1)$ જો ફિલામેન્ટનો પ્રવાહ બદલાતો ન હોય, તો ક્ષ-કિરણોની તીવ્રતા અચળ રહે છે.
$(2)$ ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ છે. જેમ સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ વધે છે, તેમ ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{min})$ ઘટે છે.
તેથી, સાચા અવલોકનો એ છે કે તીવ્રતા અચળ રહે છે અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ ઘટે છે, જે વિધાનો $(3)$ અને $(4)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબમાં,ઉત્સર્જિત ક્ષ-કિરણ પુંજની તીવ્રતા એ એકમ સમયમાં ટાર્ગેટ પર અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ફિલામેન્ટમાંથી થતા થર્મોનિક ઉત્સર્જન દ્વારા નક્કી થાય છે.
તેથી,ફિલામેન્ટનો વિદ્યુતપ્રવાહ વધારવાથી ફિલામેન્ટનું તાપમાન વધે છે,જે બદલામાં ઇલેક્ટ્રોનનું થર્મોનિક ઉત્સર્જન વધારે છે.
પરિણામે,ક્ષ-કિરણ પુંજની તીવ્રતા વધે છે.

(B) ક્ષ-કિરણ વર્ણપટ્ટમાં,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા ઊર્જા સ્તરો $(n=2, 3, 4, ...)$ માંથી $K$-કક્ષા $(n=1)$ માં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે $K$-શ્રેણીની રેખાઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{hc}{E}$.
સંક્રમણ માટે ઊર્જાનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$K_\alpha$ માટે: $E_\alpha = E_2 - E_1$
$K_\beta$ માટે: $E_\beta = E_3 - E_1$
$K_\gamma$ માટે: $E_\gamma = E_4 - E_1$
અહીં $E_4 > E_3 > E_2$ હોવાથી,$E_\gamma > E_\beta > E_\alpha$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ એ ઊર્જાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને $\lambda_\alpha > \lambda_\beta > \lambda_\gamma$ મળે છે.

(A) ક્ષ-કિરણો ($X$-rays) એ $0.01 \ nm$ થી $10 \ nm$ ની તરંગલંબાઈ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.
માનવ આંખ ફક્ત દ્રશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટ પ્રત્યે સંવેદનશીલ હોય છે,જે આશરે $380 \ nm$ થી $750 \ nm$ ની વચ્ચે હોય છે.
ક્ષ-કિરણોની તરંગલંબાઈ દ્રશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટ કરતા ઘણી ઓછી હોવાથી,તે માનવ આંખ દ્વારા જોઈ શકાતા નથી.
તેથી,ક્ષ-કિરણો માનવ આંખ માટે અદ્રશ્ય છે.

(C) લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે,આપાત ઈલેક્ટ્રોન પાસે ટાર્ગેટ પરમાણુની સૌથી અંદરની કક્ષા ($K$-shell) માંથી ઈલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે પૂરતી ગતિ ઊર્જા હોવી જોઈએ.
આ ઈલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા તેની બંધન ઊર્જા જેટલી હોય છે,જે $40 \, keV$ છે.
તેથી,આપાત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $K$ એ બંધન ઊર્જા $E_b$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ:
$K > E_b$
સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઊર્જા $K = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી:
$eV > 40 \, keV$
બંને બાજુ $e$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V > 40 \, kV$
આમ,પરમાણુનું આયનીકરણ કરવા અને લાક્ષણિક ક્ષ-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે સ્થિતિમાનનો તફાવત $40 \, kV$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(C) ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબમાં પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા બાકી રહેલા વાયુના અણુઓનું આયનીકરણ અટકાવવા માટે ખૂબ જ ઉચ્ચ શૂન્યાવકાશની જરૂર હોય છે,કારણ કે જો આયનીકરણ થાય તો વિદ્યુત વિસર્જન (electrical discharge) થઈ શકે છે અને ટ્યૂબને નુકસાન થઈ શકે છે. ક્ષ-કિરણ ટ્યૂબની અંદરનું કાર્યકારી દબાણ સામાન્ય રીતે ખૂબ જ નીચા સ્તરે,આશરે $10^{-5} \, mm$ થી $10^{-6} \, mm$ $Hg$ જેટલું જાળવવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$10^{-6} \, mm$ $Hg$ એ યોગ્ય ક્રમ છે.

(C) લાક્ષણિક $X$-કિરણો ઊંચા પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ધરાવતા પરમાણુઓમાં આંતરિક ઇલેક્ટ્રોન કક્ષાઓ (જેમ કે $K$ અથવા $L$ કક્ષા) વચ્ચેના સંક્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે અને તેના ઊર્જા સ્તરો વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત ઘણો ઓછો ($eV$ ના ક્રમનો) હોય છે.
$X$-કિરણો ઉત્પન્ન કરવા માટે $keV$ ના ક્રમની ઊર્જાના સંક્રમણની જરૂર પડે છે,જે હાઈડ્રોજનના ઓછા પરમાણુ ક્રમાંક અને સ્તરો વચ્ચેના ઓછા ઊર્જા તફાવતને કારણે શક્ય નથી.

(B) સતત ક્ષ-કિરણોનું ઉત્પાદન ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાત ઊંચી ગતિ ધરાવતા ઈલેક્ટ્રોન ટાર્ગેટ પદાર્થના ન્યુક્લિયસના વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે આંતરક્રિયા કરે છે અને તેમનું પ્રતિવિકિરણ (deceleration) થાય છે. આ પ્રક્રિયાને 'બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ' (Bremsstrahlung) વિકિરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જેમ ઈલેક્ટ્રોન તેમની ગતિઊર્જા ગુમાવે છે,તેમ તે ઊર્જા સતત ક્ષ-કિરણ ફોટોન સ્વરૂપે ઉત્સર્જિત થાય છે.