Power in AC and Power Factor Questions in Hindi

(A) $AC$ सर्किट में पावर फैक्टर को वोल्टेज और करंट के बीच के फेज कोण $\phi$ के कोसाइन के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे $\cos \phi = R/Z$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ सर्किट का प्रतिबाधा (इम्पीडेंस) है।
$AC$ सर्किट में,वोल्टेज और करंट आमतौर पर एक ही फेज में नहीं होते हैं। इस संबंध को $V = V_m \sin(\omega t)$ और $I = I_m \sin(\omega t - \phi)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\phi$ फेज अंतर को दर्शाता है।

(N/A) मान लीजिए कि आरोपित $EMF$,$E = E_m \sin \omega t$ है और धारा $I = I_m \sin(\omega t \pm \phi)$ है।
तात्कालिक शक्ति $P$ को $P = EI = E_m I_m \sin(\omega t) \sin(\omega t \pm \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{E_m I_m}{2} [\cos(\phi) - \cos(2\omega t \pm \phi)]$.
चूंकि पद $\cos(2\omega t \pm \phi)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए जब $\cos(2\omega t \pm \phi) > \cos(\phi)$ होता है,तो तात्कालिक शक्ति $P$ ऋणात्मक हो सकती है। यह चक्र के उन हिस्सों के दौरान होता है जब धारा और वोल्टेज के चिह्न विपरीत होते हैं,जो यह दर्शाता है कि ऊर्जा स्रोत को वापस की जा रही है।
एक पूर्ण चक्र पर औसत शक्ति $P_{avg} = \frac{E_m I_m}{2} \cos \phi = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ होती है। चूंकि निष्क्रिय सर्किट के लिए $V_{rms}$,$I_{rms}$ और $\cos \phi$ (शक्ति कारक) आमतौर पर धनात्मक होते हैं,इसलिए औसत शक्ति ऋणात्मक नहीं हो सकती है। यह प्रति इकाई समय सर्किट द्वारा खपत की गई शुद्ध ऊर्जा को दर्शाता है।

(C) $LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
दिए गए मान $R = 6\, \Omega$,$X_L = 10\, \Omega$,और $X_C = 4\, \Omega$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = \sqrt{6^2 + (10 - 4)^2}$
$Z = \sqrt{36 + 6^2}$
$Z = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\, \Omega$
अब,शक्ति गुणांक की गणना करने पर:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
एक आदर्श चोक कुंडली के लिए,प्रतिरोध $R = 0$ होता है।
चूंकि कुंडली पूरी तरह से प्रेरक (inductive) है,इसलिए प्रतिबाधा $Z = X_L = \omega L$ होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $\cos \phi = \frac{0}{Z} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,एक आदर्श चोक कुंडली का शक्ति गुणांक $0$ होता है।

(C) तात्क्षणिक वोल्टेज $V = V_0 \cos \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ के लिए,रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ होता है।
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{V_0}{R \sqrt{2}}$ होती है।
$AC$ परिपथ में औसत व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
प्रतिरोधक के लिए,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = 0$ होता है,इसलिए $\cos \phi = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $P = \left( \frac{V_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{V_0}{R \sqrt{2}} \right) (1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = \frac{V_0^2}{2R}$।

(D) दिए गए समीकरण $V = 10 \sqrt{2} \sin \omega t$ और $I = 2 \sqrt{2} \cos \omega t$ हैं।
हम धारा के समीकरण को $I = 2 \sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन्हें मानक रूपों $V = V_m \sin \omega t$ और $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कलांतर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2}$,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ है।
अतः,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \ W$।

(A) शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$\frac{R}{\sqrt{R^2 + X^2}} = \frac{1}{3}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{R^2}{R^2 + X^2} = \frac{1}{9} \implies 9R^2 = R^2 + X^2 \implies X^2 = 8R^2 \implies X = R\sqrt{8}$।
अंत में,$\frac{R}{\sqrt{R^2 + (X')^2}} = \frac{1}{9}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{R^2}{R^2 + (X')^2} = \frac{1}{81} \implies 81R^2 = R^2 + (X')^2 \implies (X')^2 = 80R^2 \implies X' = R\sqrt{80}$।
प्रतिघातों का अनुपात $\frac{X'}{X} = \frac{R\sqrt{80}}{R\sqrt{8}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ है।
प्रतिघात में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{X' - X}{X} \times 100 = (\sqrt{10} - 1) \times 100 \approx (3.16 - 1) \times 100 = 216 \%$ है।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान के अनुसार,प्रतिघात में लगभग $200 \%$ की वृद्धि होती है।

(C) श्रेणी $R-L$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \theta = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = 2 \pi f$ है।
यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना कर दिया जाए,तो $\omega$ बढ़ जाता है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ बढ़ जाती है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{R}{Z}$,जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,शक्ति गुणांक $\cos \theta$ कम हो जाता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ में दिया गया सूत्र $\cos \theta = \frac{2R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ है,जो गलत है क्योंकि अंश में $2$ का गुणांक गलत है। अतः,कारण $(R)$ असत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) $LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ सूत्र का उपयोग करके परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें।
यहाँ $R = 80\,\Omega$,$X_L = 70\,\Omega$,और $X_C = 130\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए:
$Z = \sqrt{80^2 + (130 - 70)^2}$
$Z = \sqrt{80^2 + 60^2}$
$Z = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$.
अब,शक्ति गुणांक की गणना करें:
$\cos \phi = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}$.
इसकी तुलना दिए गए शक्ति गुणांक $\frac{x}{10}$ से करने पर,हमें $x = 8$ प्राप्त होता है।

(C) $a.c.$ परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति का सूत्र है: $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos(\phi)$.
दिया गया है $V = 100 \sin(100t) \ V$,अतः शिखर वोल्टेज $V_0 = 100 \ V$ है।
दिया गया है $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \ mA$,अतः शिखर धारा $I_0 = 100 \ mA = 100 \times 10^{-3} \ A = 0.1 \ A$ है।
कलांतर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
$V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \ V$.
$I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.1}{\sqrt{2}} \ A$.
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{0.1}{\sqrt{2}}\right) \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P_{\text{avg}} = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{4} = 2.5 \ W$.

(D) दिया गया वोल्टेज $V = V_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $V_0 = 20 \ V$ है।
दी गई धारा $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $I_0 = 10 \ A$ और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
$AC$ परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति का सूत्र $\langle P \rangle = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
हम जानते हैं कि $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ होता है।
मान रखने पर: $\langle P \rangle = \frac{20}{\sqrt{2}} \times \frac{10}{\sqrt{2}} \times \cos(60^{\circ})$.
$\langle P \rangle = \frac{200}{2} \times \frac{1}{2} = 100 \times 0.5 = 50 \ W$.

(C) $AC$ परिपथ में खपत औसत शक्ति का सूत्र $P_{av} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
दिया गया वोल्टेज $V_{s} = 200 \sqrt{2} \sin(\omega t + 15^{\circ})$ है,इसलिए शिखर वोल्टेज $V_{0} = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ है।
अतः,$V_{rms} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \text{ V}$।
दी गई धारा $I = 2 \sin(\omega t + 45^{\circ})$ है,इसलिए शिखर धारा $I_{0} = 2 \text{ A}$ है।
अतः,$I_{rms} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ A}$।
कलांतर $\phi$ वोल्टेज और धारा की कला के बीच का अंतर है: $\phi = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P_{av} = 200 \times \sqrt{2} \times \cos(30^{\circ})$
$P_{av} = 200 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 100 \sqrt{6} \text{ watt}$।

(B) तात्कालिक मान $e = E_0 \sin(\omega t)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिए गए हैं।
दिए गए समीकरणों के साथ तुलना करने पर,$E_0 = 10 \text{ V}$,$I_0 = 10 \text{ A}$,और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
$A.C.$ परिपथ में खपत औसत शक्ति $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $V_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P_{\text{avg}} = \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right) \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{2}\right) \times \frac{1}{2} = 50 \times 0.5 = 25 \text{ W}$.

(B) .$C$. परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
दिया है: $P = 1500 \ W$,$V_{rms} = 250 \ V$,$I_{rms} = 10 \ A$.
मान रखने पर: $1500 = 250 \times 10 \times \cos \phi$.
$1500 = 2500 \cos \phi \implies \cos \phi = \frac{1500}{2500} = \frac{3}{5} = 0.6$.
चूँकि $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$,इसलिए $\sin \phi = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8 = \frac{4}{5}$.
वाटहीन धारा $I_{wattless} = I_{rms} \sin \phi$ द्वारा दी जाती है।
$I_{wattless} = 10 \times 0.8 = 8 \ A$.

(B) दी गई धारा $i = 5 \sin(100t - \frac{\pi}{2}) \ A$ है और वोल्टेज $e = 200 \sin(100t) \ V$ है।
इन्हें मानक समीकरणों $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $e = E_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें धारा का कला कोण $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ और वोल्टेज का कला कोण $\phi_2 = 0$ प्राप्त होता है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ है।
$AC$ परिपथ में औसत शक्ति खपत का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
चूंकि $\phi = 90^{\circ}$ है,इसलिए शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos 90^{\circ} = 0$ होगा।
अतः,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \ W$.

(D) $AC$ परिपथ में खपत होने वाली वास्तविक शक्ति का सूत्र है: $P = V_{\text{rms}} \cdot I_{\text{rms}} \cdot \cos \phi$.
चूंकि $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$ और शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,हम लिख सकते हैं:
$P = V_{\text{rms}} \cdot \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{\text{rms}}^2 \cdot R}{Z^2}$.
यहाँ $V_{\text{rms}} = 220 \ V$,$R = 18 \ \Omega$,और $Z = 33 \ \Omega$ दिया गया है:
$P = \frac{220 \times 220 \times 18}{33 \times 33}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$P = \left( \frac{220}{33} \right) \times \left( \frac{220}{33} \right) \times 18 = \left( \frac{20}{3} \right) \times \left( \frac{20}{3} \right) \times 18$.
$P = \frac{400}{9} \times 18 = 400 \times 2 = 800 \ W$.

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
यहाँ $X_L = 3R$ और $X_C = R$ दिया गया है,इसलिए कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 3R - R = 2R$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{R^2 + 4R^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$ है।
वर्ग माध्य मूल वोल्टेज $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ है।
वर्ग माध्य मूल धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} \cdot R\sqrt{5}} = \frac{E_0}{R\sqrt{10}}$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{R\sqrt{10}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{E_0^2}{R \sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{E_0^2}{R \sqrt{100}} = \frac{E_0^2}{10R}$.

(D) $AC$ परिपथ में खपत वास्तविक शक्ति $P$ का सूत्र है: $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$,जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
सबसे पहले,$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करके $rms$ धारा $I_{rms}$ की गणना करें: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{210 \ V}{30 \ \Omega} = 7 \ A$.
इसके बाद,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{18 \ \Omega}{30 \ \Omega} = 0.6$ की गणना करें।
अब,इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखें: $P = 210 \ V \times 7 \ A \times 0.6$.
$P = 1470 \times 0.6 = 882 \ W$.
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान को देखते हुए,खपत वास्तविक शक्ति लगभग $900 \ W$ है।

(C) दिए गए समीकरण $V = 100 \sin(100t) \text{ V}$ और $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ हैं।
मानक रूपों $V = V_0 \sin(\omega t)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_0 = 100 \text{ V}$
$I_0 = 100 \text{ mA} = 100 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.1 \text{ A}$
कलांतर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
$A$.$C$. परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
$P = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos \phi = \frac{V_0 I_0}{2} \cos \phi$.
मान रखने पर:
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
$P = \frac{10}{2} \times \frac{1}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(D) दिए गए समीकरण $E = 200 \sin(50t) \text{ V}$ और $I = 100 \sin(50t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ हैं।
इन समीकरणों की तुलना मानक रूपों $E = E_0 \sin(\omega t)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ से करने पर:
$E_0 = 200 \text{ V}$
$I_0 = 100 \text{ mA} = 0.1 \text{ A}$
कलांतर (Phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = E_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ होता है।
मान रखने पर:
$P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{I_0}{\sqrt{2}} \right) \cos \phi = \frac{E_0 I_0}{2} \cos 60^{\circ}$.
$P = \frac{200 \times 0.1}{2} \times 0.5 = 10 \times 0.5 = 5 \text{ W}$.

(C) दिए गए समीकरण $e = 160 \sin(100t) \text{ V}$ और $i = 250 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ हैं।
इन्हें मानक रूपों $e = e_0 \sin(\omega t)$ और $i = i_0 \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
पीक वोल्टेज $e_0 = 160 \text{ V}$।
पीक धारा $i_0 = 250 \text{ mA} = 250 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.25 \text{ A}$।
कलांतर (Phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi) = \frac{e_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{i_0}{\sqrt{2}} \cos(\phi) = \frac{e_0 i_0}{2} \cos(\phi)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$P_{avg} = \frac{160 \times 0.25}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
$P_{avg} = \frac{40}{2} \times \frac{1}{2} = 20 \times 0.5 = 10 \text{ W}$।

(C) $AC$ परिपथ में खपत होने वाली औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर है।
जब धारा वाटहीन होती है,तो खपत होने वाली औसत शक्ति शून्य होती है,अर्थात $P = 0$।
इसलिए,$V_{rms} I_{rms} \cos \phi = 0$।
चूँकि $V_{rms}$ और $I_{rms}$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $\cos \phi = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि कलांतर $\phi = 90^{\circ}$ है।

(C) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है, जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में, वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi = 90^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है, इसलिए व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ हो जाती है।
अतः, यदि प्रेरकत्व बहुत उच्च हो (शुद्ध प्रेरक के रूप में कार्य करे) और प्रतिरोध नगण्य हो, तो $AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति शून्य होती है।

(D) $L-C-R$ परिपथ की औसत शक्ति का सूत्र निम्नलिखित है:
$P_{\text{av}} = V_{\text{rms}} \cdot I_{\text{rms}} \cos \phi$
जहाँ:
$V_{\text{rms}}$ विद्युत वाहक बल (emf) का वर्ग माध्य मूल मान है,
$I_{\text{rms}}$ धारा का वर्ग माध्य मूल मान है,
$\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase difference) है।
अतः,औसत शक्ति धारा,emf और कलांतर पर निर्भर करती है।

(C) दिए गए समीकरण $e = E_0 \sin(\omega t)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ हैं।
दिए गए मानों से तुलना करने पर,$E_0 = 200 \text{ V}$,$I_0 = 1 \text{ A}$,और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
रूट मीन स्क्वायर (rms) मान $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \text{ V}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$ हैं।
खपत औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P = \left(\frac{200}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P = \left(\frac{200}{2}\right) \times \frac{1}{2} = 100 \times 0.5 = 50 \text{ W}$.

(C) $AC$ परिपथ में तात्कालिक शक्ति $p$,तात्कालिक $emf$ और धारा के गुणनफल द्वारा दी जाती है:
$p = e \cdot i = (E_{0} \sin \omega t) \cdot (I_{0} \sin (\omega t - \phi))$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p = \frac{E_{0} I_{0}}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)]$
एक पूर्ण चक्र $T$ पर औसत शक्ति $P_{av}$,समय $T$ पर $p$ का औसत है:
$P_{av} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p \, dt = \frac{E_{0} I_{0}}{2T} \int_{0}^{T} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)] \, dt$
चूंकि एक पूर्ण चक्र पर $\cos(2\omega t - \phi)$ का औसत $0$ होता है,इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$P_{av} = \frac{E_{0} I_{0}}{2} \cos \phi$
यहाँ,$\cos \phi$ को $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक (power factor) कहा जाता है।

(B) $LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
दिया गया है:
प्रतिरोध $R = 80 \ \Omega$
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 70 \ \Omega$
धारितीय प्रतिघात $X_C = 130 \ \Omega$
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$Z = \sqrt{80^2 + (70 - 130)^2}$
$Z = \sqrt{80^2 + (-60)^2}$
$Z = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$.
अतः,शक्ति गुणांक $x = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$.

(B) $AC$ परिपथ का पावर फैक्टर $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ प्रतिबाधा है。
यह दिया गया है कि प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है, इसलिए $R = Z_1 \cos \phi_1 = Z_2 \cos \phi_2$ होगा。
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Z_1(0.5) = Z_2(0.25)$.
इसे सरल करने पर $Z_1 = \frac{0.25}{0.5} Z_2$ प्राप्त होता है。
अतः, $Z_1 = 0.5 Z_2$.
$Z_1 = x Z_2$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 0.5$ प्राप्त होता है。

(D) $A.C.$ परिपथ में वास्तविक शक्ति $P_{\text{true}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक (Power Factor) है।
$A.C.$ परिपथ में आभासी शक्ति $P_{\text{apparent}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ द्वारा दी जाती है।
वास्तविक शक्ति और आभासी शक्ति का अनुपात $\frac{P_{\text{true}}}{P_{\text{apparent}}} = \frac{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi}{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}} = \cos \phi$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,शक्ति गुणांक $\cos \phi$ को प्रतिरोध और प्रतिबाधा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\cos \phi = \frac{R}{Z}$।
अतः,वास्तविक शक्ति और आभासी शक्ति का अनुपात $\frac{R}{Z}$ है।

(D) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ प्रतिबाधा है।
जब शक्ति गुणांक इकाई होता है,तो $\cos \phi = 1$,जिसका अर्थ है $\phi = 0^\circ$।
चूँकि $\cos \phi = \frac{R}{Z} = 1$,हमें $R = Z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति $LCR$ परिपथ में अनुनाद (resonance) के समय होती है,जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारिता प्रतिघात $X_C$ एक-दूसरे के प्रभाव को समाप्त कर देते हैं $(X_L = X_C)$।
परिणामस्वरूप,परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ के रूप में कार्य करता है।

(B) $AC$ परिपथ में उपभोग की गई शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर है।
अधिकतम शक्ति $P_{max}$ तब होती है जब $\cos \phi = 1$ हो,इसलिए $P_{max} = V_{rms} I_{rms}$।
यह दिया गया है कि लैंप अधिकतम शक्ति का $50 \%$ उपभोग करता है:
$P = 0.5 \times P_{max}$
$V_{rms} I_{rms} \cos \phi = 0.5 \times V_{rms} I_{rms}$
$\cos \phi = 0.5 = \frac{1}{2}$
$\phi = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} \ rad$.

(D) $AC$ परिपथ में शक्ति का सूत्र इस प्रकार है: $P = VI \cos \phi$,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
दी गई मान हैं: $P = 63 \ W$,$V = 210 \ V$,और $I = 3 \ A$.
शक्ति गुणांक ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\cos \phi = \frac{P}{VI}$.
मान रखने पर: $\cos \phi = \frac{63}{3 \times 210}$.
$\cos \phi = \frac{63}{630} = 0.1$.
अतः,शक्ति गुणांक $0.1$ है।

(B) एसी परिपथ में तात्कालिक शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर है।
दिया गया वोल्टेज $V = V_{0} \sin \omega t$ और धारा $I = I_{0} \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$ है।
कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ है।
व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_{0}}{\sqrt{2}} \cdot \cos(\frac{\pi}{2})$ है।
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है, इसलिए व्ययित शक्ति $P = 0$ वाट है।

$(D)$ $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
शक्ति गुणांक को शून्य होने के लिए, प्रतिरोध $R$ का मान शून्य होना चाहिए।
श्रेणीक्रम में केवल एक प्रेरक $(L)$ और एक संधारित्र $(C)$ वाले आदर्श परिपथ में, प्रतिरोध $R = 0$ होता है।
इसलिए, शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{0}{Z} = 0$ होता है।
अतः, सही विकल्प $(D)$ है।

(D) $AC$ परिपथ में संचरित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
इससे,धारा $I_{rms} = \frac{P}{V_{rms} \cos \phi}$ होती है।
निश्चित शक्ति $P$ और वोल्टेज $V_{rms}$ के लिए,यदि शक्ति गुणांक $\cos \phi$ कम है,तो समान शक्ति को संचरित करने के लिए धारा $I_{rms}$ का मान अधिक होना चाहिए।
संचरण लाइनों में शक्ति हानि $P_{loss} = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I_{rms}$ अधिक है,इसलिए शक्ति हानि $I_{rms}^2 R$ भी अधिक होगी।
अतः,निम्न शक्ति गुणांक का अर्थ संचरण में बड़ी शक्ति हानि है।

(B) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति का सूत्र $P_{avg} = v_{rms} i_{rms} \cos \phi$ है।
emf $v = v_{0} \sin \omega t$ और धारा $i = i_{0} \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$ के समीकरण दिए गए हैं,इसलिए कलांतर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
रूट मीन स्क्वायर मान $v_{rms} = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ और $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ हैं।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P_{avg} = \left(\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{i_{0}}{\sqrt{2}}\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$
$P_{avg} = \frac{v_{0} i_{0}}{2} \times \frac{1}{2}$
$P_{avg} = \frac{v_{0} i_{0}}{4}$.

(A) दिए गए समीकरण $V = V_0 \sin(\omega t)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ हैं।
दिए गए मानों के साथ तुलना करने पर,$V_0 = 150 \text{ V}$,$I_0 = 150 \text{ A}$,और कलांतर $\phi = \pi/3 = 60^\circ$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $V_{rms} = V_0 / \sqrt{2}$ और $I_{rms} = I_0 / \sqrt{2}$ है,इसलिए सूत्र $P = \frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi$ हो जाता है।
मान रखने पर: $P = \frac{1}{2} \times 150 \times 150 \times \cos(60^\circ)$.
चूंकि $\cos(60^\circ) = 0.5$,हमें प्राप्त होता है $P = 0.5 \times 150 \times 150 \times 0.5$.
$P = 0.25 \times 22500 = 5625 \text{ W}$.

(B) दिया गया है,शक्ति गुणांक $= \frac{1}{\sqrt{3}}$.
प्रेरणिक प्रतिघात,$X_{L} = 2 \Omega$.
$R-L$ परिपथ में शक्ति गुणांक का सूत्र:
$\text{शक्ति गुणांक} = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + 2^{2}}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + 4}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{R^{2}}{R^{2} + 4}$
$R^{2} + 4 = 3R^{2}$
$2R^{2} = 4$
$R^{2} = 2$
$R = \sqrt{2} \Omega$.

(A) $A.C.$ परिपथ में औसत शक्ति क्षय का सूत्र है: $P = I_{rms}^2 Z \cos \phi$,जहाँ $P$ शक्ति है,$I_{rms}$ धारा है,$Z$ प्रतिबाधा है और $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
दिए गए मान हैं: $P = 2 \ W$,$I = 2 \ A$,और $Z = 1 \ \Omega$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $2 = (2)^2 \times 1 \times \cos \phi$.
$2 = 4 \times \cos \phi$.
$\cos \phi = \frac{2}{4} = 0.5$.
अतः,$A.C.$ परिपथ का शक्ति गुणांक $0.5$ है।

(C) दिया गया वोल्टेज $V(t) = 100 \sin(100 \pi t) \ V$ है। शिखर वोल्टेज $V_0 = 100 \ V$ है।
रूट मीन स्क्वायर वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \ V$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = 50 \ \Omega$ और प्रतिरोध $R = 25 \ \Omega$ है।
परिपथ में रूट मीन स्क्वायर धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{100/\sqrt{2}}{50} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ A$ है।
$AC$ परिपथ में औसत व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = (\sqrt{2})^2 \times 25 = 2 \times 25 = 50 \ W$ प्राप्त होता है।

(C) वोल्टेज $V(t) = 50 \sin(50t) \text{ V}$ द्वारा दिया गया है,इसलिए शिखर वोल्टेज $V_0 = 50 \text{ V}$ है।
धारा $I(t) = 50 \sin(50t + \frac{\pi}{4}) \text{ mA}$ द्वारा दी गई है,इसलिए शिखर धारा $I_0 = 50 \text{ mA} = 50 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ है।
वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = \frac{\pi}{4}$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \times \frac{I_0}{\sqrt{2}} \times \cos(\phi) = \frac{V_0 I_0}{2} \cos(\phi)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $P = \frac{50 \times 0.05}{2} \times \cos(\frac{\pi}{4})$.
$P = \frac{2.5}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1.25 \times 0.707 = 0.88375 \text{ W}$.
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें $P \approx 0.884 \text{ W}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है:
$I = 5 \sin \left(100 t - \frac{\pi}{2}\right) A$
$e = 200 \sin (100 t) V$
इन समीकरणों की तुलना मानक समीकरणों $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $e = E_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ से करने पर,हमें धारा की कला $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ और वोल्टेज की कला $\phi_2 = 0$ प्राप्त होती है।
कलांतर $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ है।
$AC$ परिपथ में औसत शक्ति उपभोग का सूत्र $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos(\phi)$ है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos(\phi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होगा।
अतः,$P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \times 0 = 0 W$.

(A) $AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति का सूत्र है:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
दिया गया है:
$V_0 = 50 \ V$
$I_0 = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$
कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$
$RMS$ मान $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ हैं।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \times \frac{I_0}{\sqrt{2}} \times \cos \phi = \frac{V_0 I_0}{2} \cos \phi$
$P = \frac{50 \times 50 \times 10^{-3}}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$P = \frac{2500 \times 10^{-3}}{2} \times 0.5 = 1.25 \times 0.5 = 0.625 \ W$

(B) $LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
परिपथ $A$ के लिए,घटक श्रेणीक्रम में $R$,$L$ और $C$ हैं। सामान्यतः ऐसे प्रश्नों में,परिपथ $A$ एक श्रेणी $RL$ परिपथ होता है जहाँ $R$ और $X_L = \sqrt{3}R$ होते हैं,जिससे $\cos \phi_A = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2}} = \frac{R}{2R} = 0.5$ प्राप्त होता है।
परिपथ $B$ के लिए,यदि यह एक श्रेणी $RC$ परिपथ है जहाँ $R$ और $X_C = R$ हैं,तो $\cos \phi_B = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,परिपथ $B$ और $A$ के शक्ति गुणांक का अनुपात $\sqrt{2}: 1$ है।

(C) दिया गया है: शिखर वोल्टेज $V_0 = 150 \text{ V}$, प्रतिरोध $R = 25 \ \Omega$, प्रतिबाधा $Z = 75 \ \Omega$।
$AC$ परिपथ में औसत व्ययित शक्ति का सूत्र है:
$P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}} V_{\text{rms}} \cos \phi$
चूंकि $\cos \phi = \frac{R}{Z}$, $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$, और $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$, हम लिख सकते हैं:
$P_{\text{avg}} = \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) V_{\text{rms}} \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{\text{rms}}^2 R}{Z^2} = \frac{(V_0 / \sqrt{2})^2 R}{Z^2} = \frac{V_0^2 R}{2 Z^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$P_{\text{avg}} = \frac{150^2 \times 25}{2 \times 75^2} = \frac{22500 \times 25}{2 \times 5625} = \frac{562500}{11250} = 50 \text{ W}$

(D) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण (phase angle) है।
दिया गया है कि शक्ति गुणांक $1/2$ है,इसलिए:
$\cos \phi = 1/2$
चूँकि $\cos 60^{\circ} = 1/2$ होता है,इसलिए कला कोण $\phi = 60^{\circ}$ है।
अतः,वोल्टेज और धारा के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ की गणना करते हैं:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
यहाँ $R = 60 \ \Omega$,$X_{L} = 70 \ \Omega$,और $X_{C} = 150 \ \Omega$ दिया गया है।
$Z = \sqrt{60^{2} + (70 - 150)^{2}}$
$Z = \sqrt{60^{2} + (-80)^{2}}$
$Z = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$.
अब,शक्ति गुणांक है:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{60}{100} = \frac{6}{10}$.
दिए गए शक्ति गुणांक $\frac{\alpha}{10}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 6$ प्राप्त होता है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ सूत्र का उपयोग करके परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ की गणना करें।
दिए गए मान $R = 80 \text{ }\Omega$,$X_L = 20.0 \text{ }\Omega$ और $X_C = 80.0 \text{ }\Omega$ हैं।
इन मानों को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{80^2 + (20 - 80)^2} = \sqrt{80^2 + (-60)^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \text{ }\Omega$.
अब,शक्ति गुणांक की गणना करें:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$.