Power in AC and Power Factor Questions in Hindi

(A) $AC$ परिपथ में तात्कालिक शक्ति $P$ का मान $P = V \cdot I$ होता है।
दिया गया है $V = 5 \cos(\omega t)$ और $I = 2 \sin(\omega t)$।
हम $V$ को $V = 5 \sin(\omega t + \pi/2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर $\phi = \pi/2$ है।
$AC$ परिपथ में औसत व्ययित शक्ति $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $\phi = \pi/2$ है,इसलिए शक्ति गुणांक $\cos(\phi) = \cos(\pi/2) = 0$ होगा।
अतः,व्ययित शक्ति $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \, W$ होगी।

(C) तात्क्षणिक वोल्टेज $V = 100 \sin(100t) \text{ V}$ है,इसलिए शिखर वोल्टेज $V_0 = 100 \text{ V}$ है।
तात्क्षणिक धारा $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ है,इसलिए शिखर धारा $I_0 = 100 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.1 \text{ A}$ है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
$ac$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
मान रखने पर: $P = \left( \frac{100}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{0.1}{\sqrt{2}} \right) \times \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$.
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ W}$.

(B) एक प्रतिरोधक में $AC$ धारा द्वारा व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
ज्यावक्रीय धारा के लिए,रूट-मीन-स्क्वायर $(RMS)$ धारा $I_{rms}$ शिखर धारा $I_p$ से $I_{rms} = \frac{I_p}{\sqrt{2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
इस मान को शक्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \left( \frac{I_p}{\sqrt{2}} \right)^2 R$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,$P = \frac{I_p^2}{2} R = \frac{1}{2} I_p^2 R$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया विभव $E = E_0 \sin(\omega t)$ है।
दी गई धारा $I = I_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$ है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर $\phi = \omega t - (\omega t - \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ या $90^{\circ}$ है।
$AC$ परिपथ में औसत शक्ति खपत का सूत्र $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ होता है।
चूंकि $\phi = 90^{\circ}$ है,इसलिए शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos(90^{\circ}) = 0$ होगा।
अतः,शक्ति खपत $P = E_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ होगी।

(D) दी गई धारा $i = 5 \sin \left( 100 t - \frac{\pi}{2} \right)$ है और विभव $V = 200 \sin (100 t)$ है।
इन्हें मानक रूपों $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें धारा का कला कोण $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ और वोल्टेज का कला कोण $\phi_2 = 0$ प्राप्त होता है।
वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$ है।
$ac$ परिपथ में औसत बिजली की खपत $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2}$,पावर फैक्टर $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ है।
अतः,बिजली की खपत $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \text{ watts}$ है।

(D) $ac$ परिपथ में शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर है।
चूँकि शक्ति पावर फैक्टर $\cos \phi$ पर निर्भर करती है,इसलिए परिपथ में व्ययित शक्ति $V$ और $I$ के बीच के कलांतर पर निर्भर करती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: $V = 15 \sin \omega t$ और $I = 20 \cos \omega t$।
हम धारा के समीकरण को $I = 20 \sin(\omega t + 90^\circ)$ के रूप में लिख सकते हैं।
वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = 90^\circ$ है।
$AC$ परिपथ में व्यय औसत शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
चूंकि $\phi = 90^\circ$ है,इसलिए शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos 90^\circ = 0$ होगा।
अतः,औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \ W$ होगी।

(B) $AC$ परिपथ में औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ पीक पावर $P_{peak} = V_0 I_0$ है।
प्रश्न के अनुसार,उपभोग की गई शक्ति $P = 0.5 P_{peak} = \frac{1}{2} V_0 I_0$ है।
अतः,$\frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi = \frac{1}{2} V_0 I_0$।
इससे $\cos \phi = 0.5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\phi = \frac{\pi}{3}$।

(B) $AC$ परिपथ में खपत होने वाली औसत शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है, जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
वैकल्पिक रूप से, परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
यदि परिपथ द्वारा खपत की गई औसत शक्ति शून्य $(P = 0)$ है, तो धारा को 'वाटहीन' कहा जाता है।
$P = I_{rms}^2 R$ सूत्र से यह स्पष्ट है कि यदि परिपथ का प्रतिरोध $R$ शून्य है, तो प्रवाहित होने वाली धारा के बावजूद खपत की गई शक्ति शून्य होगी।
इसलिए, वाटहीन धारा के लिए सही शर्त यह है कि परिपथ में प्रतिरोध शून्य होना चाहिए।

(B) $AC$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X^2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $X$ प्रतिघात है。
यहाँ $R = 3 \, \Omega$ और $X = 4 \, \Omega$ दिया गया है。
मान रखने पर, हमें $Z = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \Omega$ प्राप्त होता है。
$AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित होता है。
अतः, $\cos \phi = \frac{3}{5} = 0.6$ है。

(A) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ प्रतिबाधा है।
एक अच्छी चोक कुंडली में,प्रतिरोध $R$ का मान प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की तुलना में बहुत कम होता है,जिससे कला कोण (phase angle) $\phi$ का मान $90^\circ$ के बहुत करीब हो जाता है।
चूँकि $\cos 90^\circ = 0$ होता है,इसलिए एक अच्छी चोक कुंडली के लिए शक्ति गुणांक $\cos \phi$ लगभग शून्य होता है।

(B) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ प्रतिबाधा (impedance) है।
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + (2\pi f L)^2}$.
दिया गया है: $R = 12\,\Omega$,$L = 0.1\,H$,$f = 60\,Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = 2\pi f L = 2 \times 3.14 \times 60 \times 0.1 \approx 37.7\,\Omega$ की गणना करें।
अब,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{12^2 + 37.7^2} = \sqrt{144 + 1421.29} = \sqrt{1565.29} \approx 39.56\,\Omega$ की गणना करें।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{12}{39.56} \approx 0.303$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,शक्ति गुणांक $0.3$ है।

(D) शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
स्थिति $1$: जब परिपथ में केवल एक आदर्श प्रतिरोध होता है,तो प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
अतः,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ (इकाई) होता है।
स्थिति $2$: जब परिपथ में केवल एक आदर्श प्रेरकत्व होता है,तो प्रतिरोध $R = 0$ होता है।
अतः,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{0}{Z} = 0$ होता है।
चूँकि कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) $ac$ श्रेणी $LR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $(Z)$ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
अतः,$Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$।
शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ को प्रतिरोध और प्रतिबाधा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$।

(A) एक $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक प्रतिरोध $(R)$ और प्रतिबाधा $(Z)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$
दिया गया है: $R = 12 \; \Omega$ और $Z = 15 \; \Omega$.
मान रखने पर: $\cos \phi = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$.
अतः,परिपथ का शक्ति गुणांक $0.8$ है।

(B) एक प्रतिरोधक में व्यय होने वाली तात्कालिक शक्ति $P = I^2R$ द्वारा दी जाती है।
प्रत्यावर्ती धारा के लिए,रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ धारा को $I_{rms} = \frac{I_p}{\sqrt{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I_p$ शिखर धारा है।
प्रतिरोधक में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P_{avg} = I_{rms}^2 R$ होती है।
$I_{rms}$ का मान रखने पर,हमें $P_{avg} = \left( \frac{I_p}{\sqrt{2}} \right)^2 R = \frac{I_p^2}{2} R = \frac{1}{2} I_p^2 R$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है:
प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L} = 31\,\Omega$
प्रतिरोध $R = 8\,\Omega$
धारिता प्रतिघात $X_{C} = 25\,\Omega$
श्रेणीक्रम $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का सूत्र है:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = \sqrt{8^{2} + (31 - 25)^{2}}$
$Z = \sqrt{64 + 6^{2}}$
$Z = \sqrt{64 + 36}$
$Z = \sqrt{100} = 10\,\Omega$
परिपथ का शक्ति गुणांक इस प्रकार परिभाषित है:
$\cos \phi = \frac{R}{Z}$
$R$ और $Z$ के मान रखने पर:
$\cos \phi = \frac{8}{10} = 0.8$

(B) $A.C.$ परिपथ में तात्कालिक शक्ति $p$,तात्कालिक $e.m.f.$ और तात्कालिक धारा का गुणनफल है:
$p = E \cdot i = (E_o \sin \omega t) \cdot (I_o \sin(\omega t - \phi))$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{E_o I_o}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)]$
एक पूर्ण चक्र $T$ पर औसत शक्ति $P_{av}$ तात्कालिक शक्ति का औसत है:
$P_{av} = \frac{1}{T} \int_0^T p \, dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{E_o I_o}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)] \, dt$
चूंकि एक पूर्ण चक्र पर $\cos(2\omega t - \phi)$ का औसत $0$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$P_{av} = \frac{E_o I_o}{2} \cos \phi$
अतः,औसत शक्ति $\frac{E_o I_o}{2} \cos \phi$ है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है,जहाँ $X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
रूट-मीन-स्क्वायर धारा $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z}$ है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = E_{rms} \cdot \frac{E_{rms}}{Z} \cdot \frac{R}{Z} = \frac{E_{rms}^2 R}{Z^2}$।
$Z^2 = R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ और $E_{rms} = \varepsilon$ रखने पर,हमें $P = \frac{\varepsilon^2 R}{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $i = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(100\pi t) \text{ A}$.
$i = i_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,शिखर धारा $i_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$ प्राप्त होती है।
दिया गया है: $e = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{3}) \text{ V}$.
$e = e_0 \sin(\omega t + \phi)$ से तुलना करने पर,शिखर वोल्टेज $e_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ V}$ और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
$RMS$ मानों की गणना:
$i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \text{ A}$.
$e_{rms} = \frac{e_0}{\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \text{ V}$.
परिपथ में खपत औसत शक्ति $P = i_{rms} e_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
$P = (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) \cos(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{4}) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} \text{ W}$.

(A) दिया गया है: $V_{R} = 80 \, V$,$V_{C} = 40 \, V$,$V_{L} = 100 \, V$.
$L-C-R$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V = IZ$ और $V_{R} = IR$,हम लिख सकते हैं $\cos \phi = \frac{V_{R}}{V}$.
$L-C-R$ परिपथ में कुल वोल्टेज $V = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \sqrt{80^{2} + (100 - 40)^{2}}$
$V = \sqrt{80^{2} + 60^{2}}$
$V = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \, V$.
अब,शक्ति गुणांक की गणना करने पर:
$\cos \phi = \frac{V_{R}}{V} = \frac{80}{100} = 0.8$.

(A) दिए गए मान $L = 20 \, mH = 20 \times 10^{-3} \, H$,$C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F$,$R = 50 \, \Omega$,और $V = 10 \sin(314 \, t)$ हैं।
$V = V_0 \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $V_0 = 10 \, V$ और $\omega = 314 \, rad/s$ प्राप्त होता है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 314 \times 20 \times 10^{-3} = 6.28 \, \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.0314} \approx 31.85 \, \Omega$ है।
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{50^2 + (31.85 - 6.28)^2} = \sqrt{2500 + (25.57)^2} = \sqrt{2500 + 653.8} = \sqrt{3153.8} \approx 56.16 \, \Omega$ है।
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \, V$ है।
शक्ति क्षय $P_{av} = I_{rms}^2 R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{10}{\sqrt{2} \times 56.16}\right)^2 \times 50$ है।
$P_{av} = \left(\frac{10}{79.42}\right)^2 \times 50 = (0.1259)^2 \times 50 = 0.01585 \times 50 \approx 0.79 \, W$.

(C) $r.m.s.$ धारा $I_{rms} = 2 \ A$ दी गई है।
वाटहीन धारा का सूत्र $I_{WL} = I_{rms} \sin \phi$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{3} = 2 \sin \phi$.
अतः,$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसका अर्थ है कि कला कोण (phase angle) $\phi = 60^{\circ}$ है।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस प्रकार,$p.f. = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$.

(B) $AC$ सर्किट में शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ होता है।
यहाँ $P = 1000 \text{ W}$ और पीक वोल्टेज $V_0 = 200 \text{ V}$ दिया गया है।
$rms$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \text{ V}$ होता है।
यदि पावर फैक्टर $\cos \phi = \cos 60^\circ = 0.5$ लिया जाए,तो $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ के अनुसार,
$1000 = (100\sqrt{2}) \times I_{rms} \times 0.5$.
$I_{rms} = \frac{1000}{50\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \text{ A}$.

(C) $AC$ परिपथ में औसत शक्ति $P$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
चूंकि $V_{rms} = I_{rms} Z$ और शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,जहाँ $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा है और $R$ प्रतिरोध है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = (I_{rms} Z) \times I_{rms} \times \left( \frac{R}{Z} \right)$
$P = I_{rms}^2 R$
यहाँ $I_{rms} = 2 A$ और $R = 5 \Omega$ दिया गया है:
$P = (2)^2 \times 5$
$P = 4 \times 5 = 20 \, W$
अतः,परिपथ में औसत शक्ति $20 \, W$ है।

(C) मुख्य अवधारणा: एक $a.c.$ परिपथ में खपत औसत शक्ति का सूत्र है: $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$।
दिया गया है:
वोल्टेज $E = E_o \sin \omega t$
धारा $I = I_o \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$
इन समीकरणों की तुलना मानक रूपों $E = E_o \sin \omega t$ और $I = I_o \sin (\omega t - \phi)$ से करने पर,हमें कलांतर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
शक्ति के सूत्र में $\phi$ का मान रखने पर:
$P = E_{rms} I_{rms} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)$
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$,इसलिए शक्ति की खपत है:
$P = E_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$.

(A) प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 100\pi \times \frac{1}{\pi} = 100\, \Omega$ है।
दिया गया है $I_{rms} = 2.2\, A$ और $V_{rms} = 220\, V$,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{220}{2.2} = 100\, \Omega$ है।
कुल प्रतिबाधा का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
मान रखने पर: $100 = \sqrt{100^2 + (100 - X_C)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $100^2 = 100^2 + (100 - X_C)^2$,जिसका अर्थ है $(100 - X_C)^2 = 0$,अतः $X_C = 100\, \Omega$।
बॉक्स में एक प्रतिरोध $R = 100\, \Omega$ और एक संधारित्र $X_C = 100\, \Omega$ है।
बॉक्स की प्रतिबाधा $Z_{box} = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2}\, \Omega$ है।
बॉक्स का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z_{box}} = \frac{100}{100\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) दिए गए समीकरण $V = V_m \sin(\omega t)$ और $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ हैं।
दिए गए समीकरणों से तुलना करने पर,$V_m = 150 \, V$,$I_m = 150 \, A$,और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
$RMS$ मान $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{150}{\sqrt{2}} \, V$ और $I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{150}{\sqrt{2}} \, A$ हैं।
$AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P = \left( \frac{150}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{150}{\sqrt{2}} \right) \times \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$.
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $P = \frac{150 \times 150}{2} \times 0.5 = \frac{22500}{4} = 5625 \, W$.

(B) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
दिया गया है:
$V_0 = 100 \, V$
$I_0 = 100 \, mA = 0.1 \, A$
कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$V_{rms}$ और $I_{rms}$ की गणना:
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \, V$
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.1}{\sqrt{2}} \, A$
शक्ति गुणांक की गणना:
$\cos \phi = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} = 0.5$.
शक्ति के सूत्र में मान रखने पर:
$P = (\frac{100}{\sqrt{2}}) \times (\frac{0.1}{\sqrt{2}}) \times 0.5$
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times 0.5$
$P = \frac{10}{2} \times 0.5 = 5 \times 0.5 = 2.5 \, W$.

(D) तात्क्षणिक धारा $I = 5 \sin \left( 100t - \frac{\pi}{2} \right)$ और तात्क्षणिक वोल्टेज $V = 200 \sin 100t$ है।
इन्हें मानक रूपों $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें धारा का कला कोण $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ और वोल्टेज का कला कोण $\phi_2 = 0$ प्राप्त होता है।
कलांतर $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (- \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ है।
$AC$ परिपथ में खपत औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ है।
अतः,खपत की गई शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ है।

(A) दिए गए समीकरण $V = V_m \sin(\omega t)$ और $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ हैं।
दिए गए समीकरणों के साथ तुलना करने पर,$V_m = 150 \, V$,$I_m = 150 \, A$,और कलांतर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
$AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \times \frac{I_m}{\sqrt{2}} \times \cos \phi = \frac{V_m I_m}{2} \cos \phi$.
$P = \frac{150 \times 150}{2} \times \cos(60^{\circ}) = \frac{22500}{2} \times 0.5 = 11250 \times 0.5 = 5625 \, W$.

(C) दिए गए परिपथ आरेख से,हमारे पास श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं,$R_1 = 40\, \Omega$ और $R_2 = 40\, \Omega$।
कुल प्रतिरोध $R_{net} = R_1 + R_2 = 40 + 40 = 80\, \Omega$ है।
प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = 100\, \Omega$ है और धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = 40\, \Omega$ है।
शुद्ध प्रतिघात $X = |X_L - X_C| = |100 - 40| = 60\, \Omega$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R_{net}^2 + X^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\, \Omega$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R_{net}}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$ द्वारा दिया जाता है।

(C) दिया गया है: $I_{\text{rms}} = 2 \ A$ और वाटहीन धारा $= \sqrt{3} \ A$.
वाटहीन धारा का सूत्र $I_{\text{wattless}} = I_{\text{rms}} \sin \phi$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{3} = 2 \sin \phi$.
अतः,$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसका अर्थ है $\phi = 60^{\circ}$.
शक्ति गुणांक को $\cos \phi$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$\text{Power factor} = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(B) दी गई आवृत्ति $f = \frac{50}{\pi} \, Hz$.
प्रतिरोध $R = 1 \, \Omega$.
प्रेरकत्व $L = 10 \, mH = 10 \times 10^{-3} \, H = 0.01 \, H$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{50}{\pi} = 100 \, rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \times 0.01 = 1 \, \Omega$.
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
$Z = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \, \Omega$.
शक्ति गुणांक $= \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) दिए गए $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 100 \ \Omega$,धारितीय प्रतिघात $X_C = 50 \ \Omega$ और प्रतिरोध $R = 50 \ \Omega$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$Z = \sqrt{50^2 + (100 - 50)^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{2 \times 50^2} = 50\sqrt{2} \ \Omega$ प्राप्त होता है।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$\cos \phi = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।

(C) तात्क्षणिक वोल्टेज $V = V_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $V_0 = 100 \text{ V}$ है।
तात्क्षणिक धारा $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $I_0 = 100 \text{ mA} = 0.1 \text{ A}$ और $\phi = \pi/3$ है।
$A.C.$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \text{ V}$.
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.1}{\sqrt{2}} \text{ A}$.
मान रखने पर:
$P = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{0.1}{\sqrt{2}}\right) \times \cos(\pi/3)$.
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{2} \times 0.5 = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(B) $AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति का सूत्र $P = I_{rms}^2 \times R$ है।
सबसे पहले,$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ संबंध का उपयोग करके रूट मीन स्क्वायर करंट $I_{rms}$ की गणना करें,जहाँ $V_{rms} = 220\,V$ और $Z = 44\,\Omega$ है।
$I_{rms} = \frac{220}{44} = 5\,A$.
अब,इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखें:
$P = (5)^2 \times 22 = 25 \times 22 = 550\,W$.

(B) ज्यावक्रीय प्रत्यावर्ती धारा का रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ प्रतिरोध वाले हीटर का औसत शक्ति आउटपुट $(P)$ $RMS$ धारा का उपयोग करके गणना की जाती है:
$P = I_{rms}^2 R$
$I_{rms}$ का मान रखने पर:
$P = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right)^2 R$
$P = \frac{I_0^2}{2} R = \frac{I_0^2 R}{2}$

(B) $AC$ परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \theta$ है।
एक शुद्ध प्रतिरोध $R$ के लिए,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\theta = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos \theta = 1$ होता है।
हालाँकि,एक सामान्य $LCR$ परिपथ के लिए,व्यय होने वाली शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ होती है।
शिखर धारा $I_0$ और रूट मीन स्क्वायर धारा $I_{rms}$ के बीच संबंध $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ है।
इसे शक्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $P = \left( \frac{I_0}{\sqrt{2}} \right)^2 R = \frac{I_0^2 R}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि शक्ति केवल प्रतिरोधक में व्यय होती है,इसलिए $LCR$ परिपथ में कुल वोल्टेज और कुल धारा के बीच का कलांतर $\theta$ सीधे प्रतिरोध $R$ में व्यय होने वाली शक्ति को प्रभावित नहीं करता है,क्योंकि $P = I_{rms}^2 R$ मानक रूप है।

(B) तात्कालिक धारा $i = \sin \omega t$ है,इसलिए शिखर धारा $i_0 = 1 \ A$ है।
तात्कालिक विभवांतर $E = 100 \cos \omega t = 100 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ है।
इसे मानक रूप $E = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
वाटहीन धारा,धारा का वह घटक है जो वोल्टेज के साथ $90^\circ$ के कलांतर पर होता है,जिसे $i_w = i \sin \phi$ द्वारा दिया जाता है।
वाटहीन धारा का $r.m.s.$ मान $I_{w,rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} \sin \phi$ होता है।
मान रखने पर: $I_{w,rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \ A$।

(A) दिए गए समीकरण $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ और $i = i_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ हैं।
यहाँ,$V_0 = 200 \text{ V}$,$i_0 = 50 \text{ mA} = 50 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ है।
कलांतर $\phi = \phi_1 - \phi_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$ है।
औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \frac{i_0}{\sqrt{2}} \cos \phi = \frac{V_0 i_0}{2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P = \frac{200 \times 0.05}{2} \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{10}{2} \times \frac{1}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(D) तात्क्षणिक धारा $I = 5\,sin\,(100\,t - \pi/2)\,A$ द्वारा दी गई है।
तात्क्षणिक वोल्टेज $V = 200\,sin\,(100\,t)\,V$ द्वारा दिया गया है।
वोल्टेज का कला (phase) $\phi_V = 100\,t$ है और धारा का कला $\phi_I = 100\,t - \pi/2$ है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase difference) $\phi = \phi_V - \phi_I = \pi/2$ है।
$A.C.$ परिपथ में खपत औसत शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos\,\phi$ है।
चूंकि कलांतर $\phi = \pi/2$ है,इसलिए शक्ति गुणांक $\cos(\pi/2) = 0$ है।
अतः,शक्ति की खपत $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0\,W$ है।

(N/A) हम जानते हैं कि $P = IV \cos \phi$, जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है। दिए गए वोल्टेज $V$ पर दी गई शक्ति $P$ की आपूर्ति करने के लिए, यदि $\cos \phi$ छोटा है, तो धारा $I = P / (V \cos \phi)$ बड़ी होनी चाहिए। इससे ट्रांसमिशन लाइनों में बड़ी शक्ति हानि $I^2 R$ होती है।
$(b)$ मान लीजिए कि एक सर्किट में, धारा $I$, वोल्टेज $V$ से $\phi$ कोण पीछे है। तो शक्ति गुणांक $\cos \phi = R / Z$ है। हम प्रतिबाधा $Z$ को प्रतिरोध $R$ के करीब लाकर शक्ति गुणांक में सुधार ($1$ के करीब) कर सकते हैं। यह एक संधारित्र का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। आइए धारा $I$ को दो घटकों में विभाजित करें: $I_p$ (शक्ति घटक) जो अनुप्रयुक्त वोल्टेज $V$ की दिशा में है, और $I_q$ (वाटहीन घटक) जो अनुप्रयुक्त वोल्टेज के लंबवत है। $I_q$ को वाटहीन घटक कहा जाता है क्योंकि यह शक्ति हानि में कोई योगदान नहीं देता है। $I_p$ वोल्टेज के साथ समान कला में है और शक्ति हानि के अनुरूप है। शक्ति गुणांक में सुधार करने के लिए, हमें लैगिंग वाटहीन धारा $I_q$ को समानांतर में जुड़े संधारित्र द्वारा प्रदान की गई समान लीडिंग वाटहीन धारा $I_q'$ द्वारा निष्प्रभावी करना होगा। इस प्रकार, $I_q$ और $I_q'$ एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं, और शक्ति $P = I_p V$ हो जाती है।

(N/A) विद्युत शक्ति एक विद्युत परिपथ में ऊर्जा की खपत की दर है। $AC$ परिपथ में तात्क्षणिक शक्ति को मापा नहीं जा सकता है,इसलिए वास्तविक शक्ति (true power) को मापा जाता है। $AC$ परिपथ में वास्तविक शक्ति का अर्थ एक पूर्ण चक्र में औसत शक्ति का मान है।
मान लीजिए कि $AC$ परिपथ पर लगाया गया वोल्टेज $V = V_{m} \sin \omega t$ है,जो परिपथ में धारा $I = I_{m} \sin (\omega t + \phi)$ उत्पन्न करता है।
जहाँ $I_{m} = \frac{V_{m}}{Z}$ और $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_{L} - X_{C}}{R} \right)$ है।
स्रोत द्वारा प्रदान की गई तात्क्षणिक शक्ति है:
$P = VI = (V_{m} \sin \omega t) [I_{m} \sin (\omega t + \phi)]$
$P = V_{m} I_{m} \sin \omega t \cdot \sin (\omega t + \phi)$
सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos (A - B) - \cos (A + B)$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{V_{m} I_{m}}{2} [\cos \phi - \cos (2 \omega t + \phi)]$
एक चक्र पर औसत शक्ति दाईं ओर के दो पदों का औसत है। समय पर निर्भर पद $\cos (2 \omega t + \phi)$ का एक पूर्ण चक्र पर औसत शून्य होता है।
इसलिए,औसत शक्ति है:
$P_{avg} = \frac{V_{m} I_{m}}{2} \cos \phi = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \cos \phi$
$P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
यहाँ,$\cos \phi$ को शक्ति गुणांक (power factor) कहा जाता है,जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।

(A) दिए गए परिपथ के लिए औसत शक्ति का समीकरण,
$P = VI \cos \phi$
जहाँ $V = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ और $I = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}$ वोल्टेज और धारा के $RMS$ मान हैं।
स्थितियाँ:
$(1)$ प्रतिरोधी परिपथ (केवल शुद्ध प्रतिरोध वाला परिपथ):
ऐसे परिपथ में धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं। अतः,कलांतर $\phi = 0^{\circ}$.
$\therefore$ औसत शक्ति $P = VI \cos 0^{\circ} = VI$.
यहाँ अधिकतम शक्ति का क्षय होता है।
$(2)$ शुद्ध प्रेरक (inductive) या धारिता (capacitive) परिपथ:
शुद्ध प्रेरक परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ पीछे होती है। शुद्ध धारिता परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ आगे होती है। दोनों स्थितियों में,$\phi = \frac{\pi}{2}$.
औसत शक्ति $P = VI \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
कोई शक्ति क्षय नहीं होता; इस धारा को वाटहीन धारा (wattless current) कहा जाता है।
$(3)$ $L-C-R$ श्रेणी परिपथ:
$L-C-R$ श्रेणी परिपथ में क्षयित शक्ति $P = VI \cos \phi$ है,जहाँ $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{X_{C} - X_{L}}{R}\right)$. शक्ति का क्षय केवल प्रतिरोधक में होता है।
$(4)$ $L-C-R$ परिपथ में अनुनाद (resonance) पर शक्ति क्षय:
अनुनाद पर,$X_{C} - X_{L} = 0$,इसलिए $\phi = 0^{\circ}$ और $\cos \phi = 1$.
अतः,$P = VI = I^{2}R$ (क्योंकि $Z = R$).
अनुनाद पर परिपथ में अधिकतम शक्ति का क्षय होता है।

(N/A) एक प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ परिपथ में, तात्क्षणिक शक्ति $p(t)$ समय के साथ बदलती रहती है। औसत शक्ति $(P_{avg})$, जिसे वास्तविक शक्ति भी कहा जाता है, प्रत्यावर्ती धारा के एक पूर्ण चक्र पर तात्क्षणिक शक्ति का औसत मान है。
गणितीय रूप से, इसे सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$, जहाँ $V_{rms}$ रूट-मीन-स्क्वायर वोल्टेज है, $I_{rms}$ रूट-मीन-स्क्वायर धारा है, और $\cos \phi$ परिपथ का शक्ति गुणांक (power factor) है。
यह परिपथ के प्रतिरोधक घटक द्वारा उपभोग की गई वास्तविक शक्ति को दर्शाता है, जिसे वाट $(W)$ में मापा जाता है।

(D) $L-C-R$ श्रेणी $AC$ परिपथ में औसत शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है।
यहाँ $V_{rms}$ वोल्टेज का $RMS$ मान है, $I_{rms}$ धारा का $RMS$ मान है, और $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है, जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर है।
$V_{rms}$ और $I_{rms}$ शिखर वोल्टेज $(V_0)$ और शिखर धारा $(I_0)$ पर निर्भर करते हैं ($V_{rms} = V_0 / \sqrt{2}$ और $I_{rms} = I_0 / \sqrt{2}$)।
अतः, परिपथ में व्ययित शक्ति शिखर वोल्टेज, शिखर धारा और कलांतर तीनों पर निर्भर करती है।
इसलिए, सही विकल्प $D$ है।