Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ રેખાના દિકકોસાઈન $(l, m, n)$ છે.
રેખા $L_1$ ના દિકગુણોત્તરો $(1, -2, -2)$ હોવાથી,તે લંબ હોવાની શરત મુજબ:
$l - 2m - 2n = 0$ $(i)$
રેખા $L_2$ ના દિકગુણોત્તરો $(0, 2, 1)$ હોવાથી,તે લંબ હોવાની શરત મુજબ:
$0l + 2m + n = 0 \Rightarrow n = -2m$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$l - 2m - 2(-2m) = 0$
$l - 2m + 4m = 0$
$l + 2m = 0 \Rightarrow l = -2m$
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઈન માટે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય.
$l = -2m$ અને $n = -2m$ મૂકતા:
$(-2m)^2 + m^2 + (-2m)^2 = 1$
$4m^2 + m^2 + 4m^2 = 1$
$9m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow |m| = \frac{1}{3}$
$l = -2m$ હોવાથી,$|l| = |-2m| = 2|m| = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
$n = -2m$ હોવાથી,$|n| = |-2m| = 2|m| = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
તેથી,$|l| + |m| + |n| = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

(C) સમતલ $AOB$ ના અભિલંબના દિશા ગુણોત્તરો કિરણો $OA$ અને $OB$ ને દર્શાવતા સદિશોના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે. ધારો કે $\vec{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ અને $\vec{b} = \langle -1, 0, 1 \rangle$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(0+2) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
આમ,અભિલંબના દિશા ગુણોત્તરો $\langle 2, -4, 2 \rangle$ છે,જેને $\langle 1, -2, 1 \rangle$ અથવા $\langle -1, 2, -1 \rangle$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
સદિશ $\langle -1, 2, -1 \rangle$ નું માન $\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ છે.
તેથી,દિશા કોસાઇન $\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{N_1}$ અને $\vec{N_2}$ એ સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો છે.
સમતલ $P_1$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા નિર્ધારિત હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{N_1} = \vec{a} \times \vec{b}$ થાય.
સમતલ $P_2$ એ $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ દ્વારા નિર્ધારિત હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{N_2} = \vec{c} \times \vec{d}$ થાય.
આપેલ છે કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{0}$,તેથી $\vec{N_1} \times \vec{N_2} = \vec{0}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે અભિલંબ સદિશો $\vec{N_1}$ અને $\vec{N_2}$ એકબીજાને સમાંતર છે.
જ્યારે અભિલંબ સદિશો સમાંતર હોય,ત્યારે સમતલો $P_1$ અને $P_2$ પણ સમાંતર હોય છે.
તેથી,સમતલો $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ થાય.

(B) સદિશો $\hat{i}$ અને $\hat{i}+\hat{j}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = \hat{i} \times (\hat{i}+\hat{j}) = \hat{k}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે.
સદિશો $\hat{i}-\hat{j}$ અને $\hat{i}+\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x + y - z = 0$ છે.
કારણ કે $\vec{a}$ આ બંને સમતલોની છેદરેખાને સમાંતર છે,તેથી $\vec{a}$ એ તેમના અભિલંબના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હોવો જોઈએ: $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j}$.
ધારો કે $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$. $\vec{b}$ અને $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{c}|}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2) = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{2}$ અને $|\vec{c}| = 3$.
$\cos \theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\vec{a}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{a} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}| = 1$.
બંને બાજુ માન લેતા: $|\vec{a}| = |\lambda| |\vec{b} \times \vec{c}|$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આમ,$1 = |\lambda| \cdot \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda| = 2$,તેથી $\lambda = \pm 2$.
તેથી,$\vec{a} = \pm 2(\vec{b} \times \vec{c})$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે અને $\vec{a}$ ને લંબ છે.
સદિશ $\vec{d}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે. કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે,તેથી $\vec{d}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને લંબ હોવો જોઈએ.
આમ,$\vec{d}$ એ $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 1) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(-1 - 1) = -2\hat{j} - 2\hat{k} = -2(\hat{j} + \hat{k})$.
એકમ સદિશ $\vec{d} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-2(\hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{8}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} + \hat{k})$.

(D) આપેલ છે કે $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{\alpha}| = |\hat{\beta}| = |\hat{\gamma}| = 1$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\hat{\alpha} \times (\hat{\beta} \times \hat{\gamma}) = (\hat{\alpha} \cdot \hat{\gamma}) \hat{\beta} - (\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) \hat{\gamma}$.
આપેલ સમીકરણ: $(\hat{\alpha} \cdot \hat{\gamma}) \hat{\beta} - (\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) \hat{\gamma} = \frac{1}{2} \hat{\beta} + \frac{1}{2} \hat{\gamma}$.
કારણ કે $\hat{\beta}$ અને $\hat{\gamma}$ સમાંતર નથી,આપણે બંને બાજુ $\hat{\beta}$ અને $\hat{\gamma}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરી શકીએ છીએ.
$\hat{\gamma}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે: $-(\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta} = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta} = |\hat{\alpha}| |\hat{\beta}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\hat{\alpha}$ અને $\hat{\beta}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) કારણ કે $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0$ અને $\vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma} = 0$,સદિશ $\vec{\alpha}$ એ $\vec{\beta}$ અને $\vec{\gamma}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\vec{\alpha}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{\alpha} = \lambda(\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{\alpha}| = 1, |\vec{\beta}| = 1, |\vec{\gamma}| = 1$ છે.
બંને બાજુ માન લેતા: $|\vec{\alpha}| = |\lambda| |\vec{\beta} \times \vec{\gamma}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{\beta} \times \vec{\gamma}| = |\vec{\beta}| |\vec{\gamma}| \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $1 = |\lambda| \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow |\lambda| = 2 \Rightarrow \lambda = \pm 2$.
તેથી,$\vec{\alpha} = \pm 2(\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$.

(B) ધારો કે $x = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$.
તેથી,$x \times \hat{i} = (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}) \times \hat{i} = -\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}$.
તે જ રીતે,$x \times \hat{j} = \alpha \hat{k} - \gamma \hat{i}$ અને $x \times \hat{k} = -\alpha \hat{j} + \beta \hat{i}$.
હવે,$(x \times \hat{i})^{2} = (x \times \hat{i}) \cdot (x \times \hat{i}) = (-\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}) \cdot (-\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}) = \beta^{2} + \gamma^{2}$.
તે જ રીતે,$(x \times \hat{j})^{2} = \alpha^{2} + \gamma^{2}$ અને $(x \times \hat{k})^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2}$.
આનો સરવાળો કરતા,$(x \times \hat{i})^{2} + (x \times \hat{j})^{2} + (x \times \hat{k})^{2} = (\beta^{2} + \gamma^{2}) + (\alpha^{2} + \gamma^{2}) + (\alpha^{2} + \beta^{2}) = 2(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2})$.
કારણ કે $|x|^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}$,તેથી આ પદનું મૂલ્ય $2|x|^{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{c}$ એ $(2\vec{a} + 3\vec{b})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{c} = \lambda(2\vec{a} + 3\vec{b})$.
$2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(2\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}) + 3(\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = 7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k}$ ગણતા.
તેથી,$\vec{c} = \lambda(7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k})$.
આપેલ છે કે $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = -97$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} - \vec{b} = \hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
ડોટ પ્રોડક્ટમાં કિંમત મૂકતા: $(\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \lambda(7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k}) = -97$.
$\lambda(7 + 52 + 38) = -97 \Rightarrow 97\lambda = -97 \Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,$\vec{c} = -7\hat{i} + 13\hat{j} - 19\hat{k}$.
હવે,$\vec{c} \times \hat{k} = (-7\hat{i} + 13\hat{j} - 19\hat{k}) \times \hat{k} = 13\hat{i} + 7\hat{j}$.
અંતે,$|\vec{c} \times \hat{k}|^2 = 13^2 + 7^2 = 169 + 49 = 218$.

(D) ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણી પાસે $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$ છે,તેથી $\vec{p} + \vec{q} = \vec{r}$.
શિરોબિંદુ $C$ પરના ખૂણા $(\pi - \theta)$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\pi - \theta) = \frac{|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - |\vec{r}|^2}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$
કારણ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી:
$-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 2^2 - |\vec{r}|^2}{2(2\sqrt{3})(2)} = \frac{12 + 4 - |\vec{r}|^2}{8\sqrt{3}}$
$-8 = 16 - |\vec{r}|^2 \implies |\vec{r}|^2 = 24$.
હવે,આપણે $|\vec{p} \times (\vec{q} - 3\vec{r})|^2 + 3|\vec{r}|^2$ પદાવલિની કિંમત શોધીએ:
$\vec{r} = \vec{p} + \vec{q}$ મૂકતા:
$|\vec{p} \times (\vec{q} - 3(\vec{p} + \vec{q}))|^2 + 3(24) = |\vec{p} \times (\vec{q} - 3\vec{p} - 3\vec{q})|^2 + 72$
$= |\vec{p} \times (-3\vec{p} - 2\vec{q})|^2 + 72 = |-2(\vec{p} \times \vec{q})|^2 + 72$
$= 4|\vec{p} \times \vec{q}|^2 + 72 = 4|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2 \sin^2 \theta + 72$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$= 4(12)(4)(\frac{2}{3}) + 72 = 16(8) + 72 = 128 + 72 = 200$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$.
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & \lambda & 2 \end{vmatrix} = (-2-\lambda) \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \lambda \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$,તેથી $|\overrightarrow{c}|^2 = 53$.
$(-2-\lambda)^2 + (-4)^2 + (2\lambda)^2 = 53$
$4 + 4\lambda + \lambda^2 + 16 + 4\lambda^2 = 53$
$5\lambda^2 + 4\lambda - 33 = 0$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(5)(-33)}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 660}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{676}}{10} = \frac{-4 \pm 26}{10}$.
$\lambda \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,આપણે $\lambda = -3$ લઈશું (કારણ કે $\frac{22}{10}$ પૂર્ણાંક નથી).
આમ,$\overrightarrow{c} = (-2 - (-3))\hat{i} - 4\hat{j} + 2(-3)\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k}$.
ધારો કે $\overrightarrow{d} = y\hat{j} + z\hat{k}$ એ $yz$-સમતલમાં સદિશ છે જેનું માન $|\overrightarrow{d}|=2$ છે,તેથી $y^2 + z^2 = 4$.
તેથી $\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} = (\hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k}) \cdot (y\hat{j} + z\hat{k}) = -4y - 6z$.
આપણે $(-4y - 6z)^2 = (4y + 6z)^2$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી છે.
કોશી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમતા મુજબ,$(4y + 6z)^2 \leq (4^2 + 6^2)(y^2 + z^2) = (16 + 36)(4) = 52 \times 4 = 208$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} - 2\vec{c}) = 0$.
તેથી,કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{b} - 2\vec{c} = \lambda \vec{a}$ થાય.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા: $|\vec{b} - 2\vec{c}|^2 = \lambda^2 |\vec{a}|^2$.
$|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 - 4(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \lambda^2 (1)^2$.
આપેલ છે કે $|\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 2$ અને $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(60^{\circ}) = 4 \times 2 \times \frac{1}{2} = 4$.
તેથી,$16 + 4(4) - 4(4) = \lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 = 16 \Rightarrow \lambda = \pm 4$.
હવે,$\vec{b} - 2\vec{c} = \pm 4\vec{a}$.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$(\vec{b} - 2\vec{c}) \cdot \vec{c} = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} - 2|\vec{c}|^2 = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$4 - 2(4) = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) \Rightarrow -4 = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$|\vec{a} \cdot \vec{c}| = |\frac{-4}{\pm 4}| = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}=-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{b}=8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}$.
$\vec{a}\times\vec{c}=\vec{b}$ હોવાથી:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = 8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$
$(2c_{3}-2c_{2})\hat{i} - (-c_{3}-2c_{1})\hat{j} + (-c_{2}-2c_{1})\hat{k} = 8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2c_{3}-2c_{2}=8 \Rightarrow c_{3}-c_{2}=4 \Rightarrow c_{3}=c_{2}+4$
$c_{3}+2c_{1}=7$
$-c_{2}-2c_{1}=-3 \Rightarrow c_{2}+2c_{1}=3$
આપેલ છે કે $\vec{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=4$,તેથી $c_{1}+c_{2}+c_{3}=4$.
$c_{3}=c_{2}+4$ મુકતા: $c_{1}+c_{2}+c_{2}+4=4 \Rightarrow c_{1}+2c_{2}=0 \Rightarrow c_{1}=-2c_{2}$.
$c_{2}+2c_{1}=3$ માં કિંમત મુકતા: $c_{2}+2(-2c_{2})=3 \Rightarrow -3c_{2}=3 \Rightarrow c_{2}=-1$.
તેથી $c_{1}=-2(-1)=2$ અને $c_{3}=-1+4=3$.
આમ $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$.
હવે $\vec{a}+\vec{c} = (-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}$.
$|\vec{a}+\vec{c}|^{2} = 1^{2}+1^{2}+5^{2} = 1+1+25 = 27$.

(A) $(\vec{a} + \vec{b})$ અને $(\vec{a} - \vec{b})$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $\vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} = 0 - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -2(\vec{a} \times \vec{b})$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ શોધો.
તેથી,બંનેને લંબ સદિશ $-2(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{24}} = \pm \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$ થશે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(D) ,$B$ અને $C$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (5-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-12) - \hat{j}(3-0) + \hat{k}(4-0) = -6\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધીએ:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{61} = \frac{\sqrt{61}}{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{u} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ અને $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{u} \times \vec{v} = (2\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{a}) - 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b})$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,તેથી આપણને મળે:
$\vec{u} \times \vec{v} = 0 - 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -5(\vec{a} \times \vec{b})$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 3 \\ 6 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-9) - \hat{j}(6-18) + \hat{k}(6-18) = 0\hat{i} + 12\hat{j} - 12\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$.
આમ,$A = \frac{1}{2} |-5(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 12\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $A^2 = (30\sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$ ને $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{c}$ એ સદિશ $\vec{v} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{v} = 2(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) + 3(10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (8+30)\hat{i} + (-2+6)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ ગણતા.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{c} = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 15$,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$k(4(38) + (-1)(4) + 3(3)) = 15 \implies k(152 - 4 + 9) = 15 \implies 157k = 15 \implies k = \frac{15}{157}$.
આપણે $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) = k(38(1) + 4(1) + 3(-3)) = k(38 + 4 - 9) = 33k$ શોધવાનું છે.
$k = \frac{15}{157}$ મૂકતા,આપણને $33 \times \frac{15}{157} = \frac{495}{157}$ મળે છે. પ્રશ્નના વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $-3$ છે.

(D) આપેલ છે કે $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$.
આને $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{c}$ એ $(2\vec{a} + 3\vec{b})$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{c} = k(2\vec{a} + 3\vec{b})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) + 3(10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (8+30)\hat{i} + (-2+6)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
આમ,$\vec{c} = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 15$,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) = 15$.
$k(4 \times 38 + (-1) \times 4 + 3 \times 3) = 15$.
$k(152 - 4 + 9) = 15 \Rightarrow 157k = 15 \Rightarrow k = 15/157$.
હવે,$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k})$ ની ગણતરી કરો.
$= k(38 \times 1 + 4 \times 1 + 3 \times (-3)) = k(38 + 4 - 9) = 33k$.
$k = 15/157$ મૂકતા,આપણને $33 \times (15/157) = 495/157 \approx 3.15$ મળે છે.