$3i + 2j - k$ અને $12i + 5j - 5k$ ને લંબ એકમ સદિશ કયો છે?

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની એક બાજુ અને એક વિકર્ણ અનુક્રમે $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમમાં કેટલું થાય?

જો $|a|=2, |b|=3$ અને $a$ તથા $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $|a \times b|^2$ શોધો.

ધારો કે સદિશો $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ અને $\overline{UP}$ એ ષષ્ટકોણની બાજુઓ દર્શાવે છે.
વિધાન-$1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \vec{0}$
વિધાન-$2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \vec{0}$ અને $\overline{PQ} \times \overline{ST} = \vec{0}$

ધારો કે $\overrightarrow{a}$ એ બે સમતલોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાને સમાંતર એક શૂન્યતર સદિશ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને અનુક્રમે $(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\hat{k})$ અને $(\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k})$ સદિશો ધરાવે છે. જો $\theta$ એ સદિશ $\vec{a}$ અને સદિશ $\vec{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=6$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\theta, |\vec{a} \times \vec{b}|)$ ની કિંમત શોધો.

$6$ એકમ માન ધરાવતો અને સદિશો $2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ ને લંબ હોય તેવો સદિશ કયો છે?