સદિશો $2i - j + k$ અને $3i + 4j - k$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ શોધો.

જો $u = 2i + 2j - k$ અને $v = 6i - 3j + 2k$ હોય,તો $u$ અને $v$ બંનેને લંબ હોય તેવો એકમ સદિશ શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3 \hat{i} - \beta \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,ત્રણ સદિશો છે. જો $\overrightarrow{a}$ નો $\overrightarrow{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{10}{3}$ હોય અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$ હોય,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

$i - 2j + 3k,$ $- 2i + 3j - k,$ અને $4i - 7j + 7k$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ $\sqrt{2}$ લંબાઈના બે સદિશો છે જેથી $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ થાય. જો $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 2(\vec{a} \times \vec{b})$ હોય,તો $|\vec{c}|$ ની કિંમત શોધો.

એક શૂન્યતર સદિશ $a$ એ સદિશો $i, i + j$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ અને સદિશો $i - j, i + k$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલના છેદરેખાને સમાંતર છે. $a$ અને સદિશ $i - 2j + 2k$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો છે?