$i + 2j - 2k$ અને $-i + 2j + 2k$ ને લંબ એકમ સદિશ કયો છે?

ધારો કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$,જ્યાં $\lambda \in \mathbb{Z}$,બે સદિશો છે. ધારો કે $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{d}$ એ $yz$-સમતલમાં $2$ માન ધરાવતો સદિશ છે. જો $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$ હોય,તો $(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})^2$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?

જો $(\bar{i}+\bar{j}+\bar{k})$,$(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})$ અને $(2\bar{i}-\bar{j}+\bar{k})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો હોય,તો $A$ માંથી પસાર થતા વેધનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})+24 \hat{j}-6 \hat{k}$ અને $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i}) \cdot \overrightarrow{c}=-3$ થાય. તો $|\overrightarrow{c}|^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

એક સદિશનું માન શોધો જે સદિશ $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ ને લંબ હોય અને સદિશો $\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય હોય.

સાબિત કરો કે $(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})$.