કોઈપણ સદિશો $a, b, c$ માટે,પદાવલિ $a \times (b + c) + b \times (c + a) + c \times (a + b) = $ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$,અને $\vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે અને $\alpha \beta=-6$ છે. ધારો કે જે ક્રમયુક્ત જોડી $(\alpha, \beta)$ માટે વિકર્ણો $\vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{b}+\vec{c}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{21}}{2}$ હોય,તે $(\alpha_1, \beta_1)$ અને $(\alpha_2, \beta_2)$ છે. તો $\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$ અને $\bar{c}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $|\bar{c}-\bar{a}|=4$,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=3$ અને $\bar{c}$ તથા $\bar{a} \times \bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\bar{a} \cdot \bar{c}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ હોય,તો $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=$

શિરોબિંદુઓ $A(2, 1, 1)$,$B(1, 2, 5)$,$C(-2, -3, 5)$ અને $D(1, -6, -7)$ ધરાવતા ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

જો $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{c}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{d}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ ચાર સદિશો હોય,તો $(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{b} \times \vec{d})$ ની કિંમત શોધો.