Scalar triple product and their applications Questions in Hindi

(B) माना चार बिंदु $A(1, 1, 1)$,$B(-2, 3, 2)$,$C(x, -5, 3)$,और $D(1, y, -1)$ हैं।
चूँकि बिंदु समतलीय हैं,सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ समतलीय होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (x-1)\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (y-1)\hat{j} - 2\hat{k}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 \\ x-1 & -6 & 2 \\ 0 & y-1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-3[12 - 2(y-1)] - (x-1)[-4 - (y-1)] = 0$
$-3[14 - 2y] - (x-1)[-y - 3] = 0$
$-42 + 6y + xy + 3x - y - 3 = 0$
$xy + 3x + 5y - 45 = 0$
दोनों पक्षों में $15$ जोड़ने पर:
$xy + 3x + 5y + 15 = 60$
$(x+5)(y+3) = 60$

(D) दिए गए बिंदु $A(1, -2, -1)$,$B(4, 0, -3)$,$C(1, 2, -1)$ और $D(2, -4, -5)$ हैं।
सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{b} = \vec{AB} = (4-1)\hat{i} + (0-(-2))\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{c} = \vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (2-(-2))\hat{j} + (-1-(-1))\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{d} = \vec{AD} = (2-1)\hat{i} + (-4-(-2))\hat{j} + (-5-(-1))\hat{k} = 1\hat{i} - 2\hat{j} - 4\hat{k}$
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \end{vmatrix} = 3(-16) - 2(0) - 2(-4) = -48 + 8 = -40$.
हम जानते हैं कि $[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}]^2 = (-40)^2 = 1600$.
साथ ही,$[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}] = 2[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] = 2(-40) = -80$.
अतः,अभीष्ट मान $\frac{1600}{-80} = -20$ है।

(B) माना अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ है। चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$ है।
दिया गया है $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$।
हमें $S = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c}+\vec{a}) \cdot \vec{r}$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{(\vec{c}+\vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$।
गुणधर्म $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ और $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{[\vec{b} \vec{c} \vec{a}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{[\vec{c} \vec{a} \vec{b}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$।
चूंकि $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$,इसलिए:
$S = 1 + 1 + 1 = 3$।

(A) दिए गए सदिश $a = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल $[a \ b \ c]$ को $(a \times b) \cdot c$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 4) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
इसका परिमाण $|a \times b| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
चूंकि $[a \ b \ c] = (a \times b) \cdot c = |a \times b| |c| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $(a \times b)$ और $c$ के बीच का कोण है।
अदिश त्रिक गुणनफल को अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta = 1$ होना चाहिए (अर्थात $\theta = 0^\circ$),जिसका अर्थ है कि $c$ को $(a \times b)$ की दिशा में होना चाहिए।
चूंकि $c$ एक इकाई सदिश है,$c = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{-5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

(D) तीन असमतलीय सदिशों $p, q, r$ के लिए,सदिशों की व्युत्क्रम प्रणाली $a, b, c$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$a = \frac{q \times r}{[p \ q \ r]}$,$b = \frac{r \times p}{[p \ q \ r]}$,$c = \frac{p \times q}{[p \ q \ r]}$
दिया गया है कि $b = p \times q$,इसलिए $c = \frac{b}{[p \ q \ r]}$ है।
$a, b, c$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = [a \ b \ c] = \frac{1}{[p \ q \ r]}$ है।
$a$ और $c$ सदिशों द्वारा बने आधार वाले समांतर षट्फलक की ऊँचाई $h$ का सूत्र है:
$h = \frac{[a \ b \ c]}{|a \times c|}$
चूँकि $a, b, c$ सदिश $p, q, r$ की व्युत्क्रम प्रणाली है,हम जानते हैं कि $a \times c = \frac{q}{[p \ q \ r]}$।
इन मानों को ऊँचाई के सूत्र में रखने पर:
$h = \frac{1/[p \ q \ r]}{|q / [p \ q \ r]|} = \frac{1}{|q|}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया है,$V = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $W = \hat{i} + 3\hat{k}$।
अदिश त्रिक गुणनफल $[U V W]$ को $U \cdot (V \times W)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,क्रॉस उत्पाद $V \times W$ की गणना करें:
$V \times W = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$।
इस सदिश का परिमाण $|V \times W| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ है।
चूंकि $U$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|U| = 1$।
अदिश त्रिक गुणनफल $U \cdot (V \times W) = |U| |V \times W| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$,$U$ और $(V \times W)$ के बीच का कोण है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जो $|U| |V \times W| = 1 \times \sqrt{59} = \sqrt{59}$ देता है।

(D) दिए गए सदिश $a=2u+3v+7w$,$b=u+v-2w$ और $c=-u-2v-3w$ हैं।
सबसे पहले,योग $a+b+c$ की गणना करें:
$a+b+c = (2+1-1)u + (3+1-2)v + (7-2-3)w = 2u+2v+2w = 2(u+v+w)$.
इसके बाद,अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c]$ की गणना करें:
$[a, b, c] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 2(-3 - 4) - 3(-3 - 2) + 7(-2 + 1)$
$= 2(-7) - 3(-5) + 7(-1)$
$= -14 + 15 - 7 = -6$.
इसका निरपेक्ष मान $|[a, b, c]| = |-6| = 6$ है।
व्यंजक $\left|\frac{[u, v, w]}{[a, b, c]}\right|(a+b+c) = \frac{1}{|[a, b, c]|} (a+b+c)$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{6} \times 2(u+v+w) = \frac{1}{3}(u+v+w)$.

(D) सह-अंतस्थ किनारों $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं:
$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 6 & 3 & -4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 6(4 - (-1)) - 3(0 - 5) - 4(0 - 10) = 6(5) - 3(-5) - 4(-10) = 30 + 15 + 40 = 85$.
$\vec{OB}$ और $\vec{OC}$ द्वारा निर्मित आधार का क्षेत्रफल $|\vec{OB} \times \vec{OC}|$ है।
$\vec{OB} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-1)) - \hat{j}(0 - 5) + \hat{k}(0 - 10) = 5 \hat{i} + 5 \hat{j} - 10 \hat{k}$.
आधार के क्षेत्रफल का परिमाण $|\vec{OB} \times \vec{OC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 25 + 100} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$ है।
शीर्ष $A$ से समांतर षट्फलक की ऊँचाई $h = \frac{|\text{आयतन}|}{\text{आधार का क्षेत्रफल}} = \frac{85}{5 \sqrt{6}} = \frac{17}{\sqrt{6}}$ है।

(B) माना दिए गए शीर्ष $P(4, 5, 1)$,$Q(0, -1, 1)$,$R(3, 9, 4)$,और $S(-2, 4, 4)$ हैं।
शीर्ष $P$ से निकलने वाले किनारों को दर्शाने वाले सदिश:
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = -4\hat{i} - 6\hat{j}$
$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = -\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$
$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OP} = -6\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS}]|$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product):
$[\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS}] = \begin{vmatrix} -4 & -6 & 0 \\ -1 & 4 & 3 \\ -6 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= -4(12 + 3) + 6(-3 + 18) = -4(15) + 6(15) = -60 + 90 = 30$.
अतः,चतुष्फलक का आयतन $\frac{1}{6} \times 30 = 5$ घन इकाई है।

(D) हमें चार सदिश $a, b, c$ और $d$ दिए गए हैं जहाँ $a \cdot b = 0$,$|a \times c| = |a||c|$,और $|a \times d| = |a||d|$ है।
शर्तों $|a \times c| = |a||c|$ और $|a \times d| = |a||d|$ से,हम जानते हैं कि $a, c$ और $a, d$ के बीच के कोणों के लिए $\sin \theta = 1$ होता है।
इसका अर्थ है कि $a \perp c$ और $a \perp d$ है।
चूंकि $c$ और $d$ दोनों $a$ के लंबवत हैं,इसलिए सदिश $(c \times d)$ को $a$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,हम $c \times d = \lambda a$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश स्थिरांक है।
अब,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[b c d] = b \cdot (c \times d)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$c \times d = \lambda a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[b c d] = b \cdot (\lambda a) = \lambda (b \cdot a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \cdot b = 0$,इसलिए $b \cdot a = 0$ होता है।
अतः,$[b c d] = \lambda \times 0 = 0$।

(A) हमें दिया गया है,$a=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ और $b=\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$।
चूंकि $c$,$a$ और $b$ के समतल के लंबवत है,इसलिए $c$,$a \times b$ के समांतर है।
सबसे पहले,$a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-9)) - \hat{j}(4 - (-3)) + \hat{k}(6 - 1) = 11 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k}$।
इसका परिमाण $|a \times b| = \sqrt{11^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{121 + 49 + 25} = \sqrt{195}$ है।
चूंकि $c$,$a \times b$ के समांतर है और $|c|=2$,इसलिए $c = \pm 2 \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{2}{\sqrt{195}} (11 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k})$।
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[a, b, c]| = |(a \times b) \cdot c|$ द्वारा दिया जाता है।
$|[a, b, c]| = |(a \times b) \cdot (\pm 2 \frac{a \times b}{|a \times b|})| = |\pm 2 \frac{|a \times b|^2}{|a \times b|}| = 2 |a \times b|$।
$|a \times b| = \sqrt{195}$ रखने पर,आयतन $2 \sqrt{195}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$,$b=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $c=5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम समांतर षट्फलक के किनारों की गणना करते हैं:
$a+b = 5 \hat{i}-7 \hat{j}+10 \hat{k}$
$b+c = 8 \hat{i}-7 \hat{j}+3 \hat{k}$
$c+a = 7 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}$
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[a+b, b+c, c+a]$ द्वारा दिया जाता है,जो इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान है:
$V = \begin{vmatrix} 5 & -7 & 10 \\ 8 & -7 & 3 \\ 7 & -6 & 3 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$V = 5(-21 + 18) + 7(24 - 21) + 10(-48 + 49)$
$V = 5(-3) + 7(3) + 10(1)$
$V = -15 + 21 + 10 = 16$
अतः,समांतर षट्फलक का आयतन $16$ घन इकाई है।

(C) माना इकाई सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{r}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ होगा।
$\left|\begin{matrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}\right| = 0 \Rightarrow x(1-9) - y(1-3) + z(3-1) = 0 \Rightarrow -8x + 2y + 2z = 0 \Rightarrow -4x + y + z = 0$ $(i)$.
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{c} = 0$ होगा।
$x + y + z = 0$ (ii).
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $(x + y + z) - (-4x + y + z) = 0 \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0$.
(ii) में $x=0$ रखने पर,हमें $y + z = 0 \Rightarrow y = -z$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{r}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$0^2 + y^2 + (-y)^2 = 1 \Rightarrow 2y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
यदि $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$,तो $z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. यदि $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,तो $z = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\vec{r} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$. विकल्प $(C)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$ है।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल को $[u v w] = u \cdot (v \times w)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $u$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|u| = 1$ है।
डॉट उत्पाद के गुण का उपयोग करते हुए,$|u \cdot (v \times w)| \leq |u| |v \times w| = |v \times w|$ है।
सबसे पहले,क्रॉस उत्पाद $v \times w$ की गणना करें:
$v \times w = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = i(3 - 0) - j(6 - (-1)) + k(0 - 1) = 3i - 7j - k$ है।
अब,प्राप्त सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|v \times w| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ है।
अतः,$[u v w]$ का अधिकतम मान $\sqrt{59}$ है।

(A) मान लीजिए $\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}$ है। समानांतर षट्फलक का आयतन $V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ है।
चूंकि $P$ आयताकार समानांतर षट्फलक में $O$ के विपरीत शीर्ष है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है।
अब,हम सदिशों $\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{BP}, \overrightarrow{CP}$ को $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$
$\overrightarrow{BP} = \vec{p} - \vec{b} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$
$\overrightarrow{CP} = \vec{p} - \vec{c} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$
हमें अदिश त्रिक गुणनफल $[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}] = [(\vec{b} + \vec{c}) (\vec{a} + \vec{c}) (\vec{a} + \vec{b})]$ की गणना करनी है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म $[\vec{x}+\vec{y}, \vec{y}+\vec{z}, \vec{z}+\vec{x}] = 2[\vec{x} \vec{y} \vec{z}]$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2V$.

(C) माना व्यंजक $E = (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}))$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$.
$= (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$,और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ का उपयोग करने पर:
$= \overrightarrow{0} - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{0} + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$.
अब,$E = (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}))$.
अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) की परिभाषा $[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}] = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w})$ का उपयोग करने पर:
$E = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) + 2\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 2\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - \overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) - \overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$.
ध्यान दें कि दोहराए गए सदिशों वाला कोई भी अदिश त्रिक गुणन $0$ होता है (जैसे,$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) = 0$).
$E = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 0 + 0 + 2[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 0 - 0$.
चूंकि $[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$,इसलिए $E = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 3[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$.

(A) माना किनारे $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) की गणना करने पर:
$|\vec{a} \vec{b} \vec{c}| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(\lambda + 1) - 2(\lambda - 1) - 1(-1 - 1) = \lambda + 1 - 2\lambda + 2 + 2 = 5 - \lambda$.
अतः,$\frac{2}{3} = \frac{1}{6} |5 - \lambda|$.
$4 = |5 - \lambda|$.
इसका अर्थ है कि $5 - \lambda = 4$ या $5 - \lambda = -4$.
यदि $5 - \lambda = 4$,तो $\lambda = 1$.
यदि $5 - \lambda = -4$,तो $\lambda = 9$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में केवल $1$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $\lambda = 1$ है।

(D) दिया गया है कि,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 3\hat{k}$ है।
अदिश त्रिगुणन $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ के रूप में परिभाषित है।
सबसे पहले,सदिश गुणन $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$.
अब,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \overrightarrow{a} \cdot (3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k})$.
चूंकि $\overrightarrow{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\overrightarrow{a}| = 1$.
अदिश गुणन $|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}| \cos \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\overrightarrow{a}$ और $(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ के बीच का कोण है।
$(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ का परिमाण $\sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ है।
अतः,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 1 \cdot \sqrt{59} \cdot \cos \theta$.
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जो $\sqrt{59}$ है।

(B) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$,और $\vec{c}$ द्वारा निरूपित किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
यहाँ,$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणन इन सदिशों द्वारा गठित आव्यूह का सारणिक है:
$|\vec{a} \vec{b} \vec{c}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$.
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 1((-1)(-1) - (1)(2)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(2) - (-1)(1))$
$= 1(1 - 2) - 1(-1 - 1) + 1(2 + 1)$
$= 1(-1) - 1(-2) + 1(3)$
$= -1 + 2 + 3 = 4$.
अतः,आयतन $V = \frac{1}{6} |4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ घन इकाइयाँ है।

(D) दिया गया है कि,$[a, b, c] = 3$ है।
$2a+b$,$2b+c$ और $2c+a$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[2a+b, 2b+c, 2c+a]$ द्वारा प्राप्त होता है।
$[2a+b, 2b+c, 2c+a] = 2a \cdot ((2b+c) \times (2c+a)) + b \cdot ((2b+c) \times (2c+a))$.
क्रॉस गुणनफल का विस्तार करने पर:
$(2b+c) \times (2c+a) = 4(b \times c) + 2(b \times a) + 2(c \times c) + (c \times a) = 4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a)$ (क्योंकि $c \times c = 0$)।
अब,$[2a+b, 2b+c, 2c+a] = 2a \cdot (4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a)) + b \cdot (4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a))$।
डॉट गुणनफल का वितरण करने पर:
$= 8[a, b, c] + 4[a, b, a] + 2[a, c, a] + 4[b, b, c] + 2[b, b, a] + [b, c, a]$।
चूंकि किसी भी अदिश त्रिक गुणनफल में दो समान सदिश होने पर उसका मान $0$ होता है:
$[a, b, a] = 0, [a, c, a] = 0, [b, b, c] = 0, [b, b, a] = 0$।
इस प्रकार,व्यंजक का सरलीकरण:
$8[a, b, c] + [b, c, a]$।
चूंकि $[b, c, a] = [a, b, c]$,इसलिए:
$8[a, b, c] + [a, b, c] = 9[a, b, c]$।
$[a, b, c] = 3$ दिया गया है,अतः आयतन $9 \times 3 = 27$ घन इकाइयाँ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \perp \vec{b}$ और $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ है।
दिया गया है कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2$।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ है,यह समीकरण $2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$ में बदल जाता है,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ है।
अब,सदिश त्रिक गुणन पर विचार करें: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ होने के कारण,हमें $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = 0$ है।
आगे,अदिश त्रिक गुणन $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ है।
$\vec{a} \perp \vec{b}$,$\vec{a} \perp \vec{c}$ और $\vec{b} \perp \vec{c}$ होने के कारण,सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ है।
इसलिए,$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|+|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| + 0 = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$।

(D) अदिश त्रिक गुणनफल $[abc]$ सदिशों $a$,$b$,और $c$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है।
$[abc] = \begin{vmatrix} p & p & p \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$[abc] = p(1(2) - (-2)(-1)) - p(1(2) - (-2)(2)) + p(1(-1) - 1(2))$
$[abc] = p(2 - 2) - p(2 + 4) + p(-1 - 2)$
$[abc] = p(0) - p(6) + p(-3) = -9p$
दिया गया है कि $-5 \leq [abc] \leq 15$,इसलिए $[abc] = -9p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-5 \leq -9p \leq 15$
$-9$ से विभाजित करने पर और असमानता के चिह्नों को बदलने पर:
$\frac{15}{-9} \leq p \leq \frac{-5}{-9}$
$\frac{-5}{3} \leq p \leq \frac{5}{9}$
अतः,$p \in \left[\frac{-5}{3}, \frac{5}{9}\right]$.

(A) माना $\vec{x} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) + (\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$ है।
सदिश सर्वसमिका $(\vec{p} \times \vec{q}) \times \vec{r} = (\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{q} - (\vec{q} \cdot \vec{r})\vec{p}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$1$. $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) = [\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} - [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$
$2$. $(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b}) = [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} - [\vec{c} \vec{d} \vec{b}]\vec{a}$
$3$. $(\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} - [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}$
इनका योग करने पर:
$\vec{x} = ([\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d}) - ([\vec{b} \vec{c} \vec{d}] + [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] + [\vec{d} \vec{b} \vec{c}])\vec{a}$
चूंकि अदिश त्रिक गुणन चक्रीय होता है,$[\vec{b} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] = [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]$ है।
अतः,$\vec{a}$ का गुणांक $-3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]$ है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म के अनुसार,$[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{x} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} - 3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} = -2[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{x}$,$\vec{a}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए यह $\vec{a}$ के समांतर है।

(C) चूंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[a b c] \neq 0$ है।
मान लीजिए $V = [a b c]$। सदिश $b \times c, c \times a, a \times b$ अंतरिक्ष के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं।
किसी भी सदिश $d$ को $d = x(b \times c) + y(c \times a) + z(a \times b)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$a$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $a \cdot d = x(a \cdot (b \times c)) = x[a b c] \Rightarrow x = \frac{a \cdot d}{[a b c]}$।
इसी प्रकार,$y = \frac{b \cdot d}{[a b c]}$ और $z = \frac{c \cdot d}{[a b c]}$।
इन मानों को $d$ के समीकरण में रखने पर:
$d = \frac{(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)}{[a b c]}$।
अतः,$(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b) = d [a b c]$।
दोनों पक्षों का परिमाण (magnitude) लेने पर:
$|(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)| = |d| |[a b c]|$।
चूंकि $d$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|d| = 1$।
अतः,व्यंजक का मान $|[a b c]|$ है।

(D) दिया गया है कि $p = \frac{b \times c}{[a b c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a b c]}$,और $r = \frac{a \times b}{[a b c]}$।
हम जानते हैं कि $[a b c] = a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$।
अब,$(a+b) \cdot p$ की गणना करें:
$(a+b) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p = a \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} + b \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} = \frac{[a b c]}{[a b c]} + 0 = 1$।
इसी प्रकार,$(b+c) \cdot q$ की गणना करें:
$(b+c) \cdot q = b \cdot q + c \cdot q = b \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} + c \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} = \frac{[b c a]}{[a b c]} + 0 = 1$।
इसी प्रकार,$(c+a) \cdot r$ की गणना करें:
$(c+a) \cdot r = c \cdot r + a \cdot r = c \cdot \frac{a \times b}{[a b c]} + a \cdot \frac{a \times b}{[a b c]} = \frac{[c a b]}{[a b c]} + 0 = 1$।
अतः,$(a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r = 1 + 1 + 1 = 3$।

(A) अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ को सदिशों $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$,$\vec{b} = 0\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$[\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k}, \hat{k}-\hat{i}] = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 1(1 \times 1 - (-1) \times 0) - (-1)(0 \times 1 - (-1) \times (-1)) + 0(0 \times 0 - 1 \times (-1))$
$= 1(1 - 0) + 1(0 - 1) + 0(0 + 1)$
$= 1(1) + 1(-1) + 0$
$= 1 - 1 = 0$।

(C) मान लीजिए कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}, \vec{p_4}$ हैं। बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $\vec{p_2}-\vec{p_1}$,$\vec{p_3}-\vec{p_1}$,और $\vec{p_4}-\vec{p_1}$ समतलीय हों।
ये सदिश हैं:
$\vec{v_1} = \vec{p_2}-\vec{p_1} = (1-\lambda)\vec{a} - (\lambda+3)\vec{b} + 4\vec{c}$
$\vec{v_2} = \vec{p_3}-\vec{p_1} = (3-\lambda)\vec{a} + 1\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c}$
$\vec{v_3} = \vec{p_4}-\vec{p_1} = (1-\lambda)\vec{a} - 9\vec{b} + 7\vec{c}$
इनके समतलीय होने के लिए,अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & -(\lambda+3) & 4 \\ 3-\lambda & 1 & 1-\lambda \\ 1-\lambda & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर,हम पाते हैं कि $\lambda = 2$ समीकरण को संतुष्ट करता है।

(C) माना बिंदु $P_1 = 2a+3b-c, P_2 = a-2b+3c, P_3 = 3a+\lambda b-2c$ और $P_4 = a-6b+6c$ हैं।
सदिश $\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}$ और $\vec{P_1P_4}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
$\vec{P_1P_2} = -a-5b+4c$
$\vec{P_1P_3} = a+(\lambda-3)b-c$
$\vec{P_1P_4} = -a-9b+7c$
समतलीयता के लिए शर्त $\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & \lambda-3 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $-1(7(\lambda-3) - 9) + 5(7-1) + 4(-9 + (\lambda-3)) = 0$.
$-1(7\lambda - 21 - 9) + 5(6) + 4(\lambda - 12) = 0$.
$-7\lambda + 30 + 30 + 4\lambda - 48 = 0$.
$-3\lambda + 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
सदिश $4\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $\sqrt{4^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9$ है।
दिक्कोज्याएँ $\frac{4}{9}, \frac{-8}{9}, \frac{1}{9}$ हैं।

(B) चूंकि $\vec{e}$,$\vec{u} = \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\vec{v} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & -5 \end{vmatrix} = 0$
$a(15 - 5) - b(-5 - 15) + c(1 + 9) = 0$
$10a + 20b + 10c = 0 \Rightarrow a + 2b + c = 0$ ...$(i)$
दिया गया है कि $\vec{e} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$,अतः:
$a + b + c = 0$ ...$(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $(a + 2b + c) - (a + b + c) = 0 \Rightarrow b = 0$.
$(ii)$ में $b = 0$ रखने पर,$c = -a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{e}$ एक इकाई सदिश है,$a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Rightarrow a^2 + 0^2 + (-a)^2 = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$ और $c^2 = \frac{1}{2}$.
अब,$2a^2 + 3b^2 + 4c^2 = 2(\frac{1}{2}) + 3(0) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 0 + 2 = 3$.

(A) दिया गया है कि,$\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ एक ही समतल में स्थित हैं,इसलिए सदिश $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ इस समतल के लंबवत है।
दिया गया है कि सदिश $\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ वाले समतल के समानांतर है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{c}$ को लंबवत सदिश $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ और $\overrightarrow{c}$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 0$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(3 + 4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
अब,$\overrightarrow{c}$ के साथ अदिश गुणनफल करें:
$(-7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}) = 0$.
$-7\lambda + 7(1) + 7(2\lambda - 1) = 0$.
$-7\lambda + 7 + 14\lambda - 7 = 0$.
$7\lambda = 0$.
अतः,$\lambda = 0$.

(D) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूँकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$।
इसका अर्थ है कि घटकों का सारणिक शून्य है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c} = 5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{d} = 4\hat{i}-\hat{j}-\lambda\hat{k}$ हैं।
बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय हैं यदि सदिशों $\vec{BA}, \vec{CA}, \vec{DA}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
$\vec{BA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{CA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = -2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{DA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (4\hat{i}-\hat{j}-\lambda\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - (1+\lambda)\hat{k}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -(1+\lambda) \end{vmatrix} = 0$
हल करने पर:
$-1(\lambda-2) + 1(2\lambda-1) + 3 = 0$
$-\lambda + 2 + 2\lambda - 1 + 3 = 0$
$\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -4$.

(A) माना कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = -2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{d} = \lambda\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चार बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,और $(\vec{d}-\vec{a})$ समतलीय हों,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[(\vec{b}-\vec{a}), (\vec{c}-\vec{a}), (\vec{d}-\vec{a})] = 0$.
सदिशों की गणना:
$\vec{b}-\vec{a} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = 2\hat{i} + (\lambda-1)\hat{j} + 0\hat{k}$
सारणिक द्वारा अदिश त्रिक गुणनफल:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & \lambda-1 & 0 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3(0 - (-2)(\lambda-1)) = 0$
$3(2(\lambda-1)) = 0$
$6(\lambda-1) = 0$
$\lambda-1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.

(C) अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम '$a$' के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d\Delta}{da} = 3a^2 - 1 = 0 \implies a^2 = \frac{1}{3} \implies a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2\Delta}{da^2} = 6a$
$a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2\Delta}{da^2} = -\frac{6}{\sqrt{3}} < 0$,जो स्थानीय अधिकतम मान को दर्शाता है।
अतः,'$a$' का वह मान जिसके लिए अदिश त्रिक गुणनफल अधिकतम है,वह $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(C) समांतर षट्फलक का आयतन जिसकी कोरें $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं, अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $9$ है, इसलिए:
$|[(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (\vec{b} \times \vec{c}) \quad (\vec{c} \times \vec{a})]| = 9$
हम जानते हैं कि $[(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (\vec{b} \times \vec{c}) \quad (\vec{c} \times \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$.
अतः, $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 9$.
अब, हमें $\vec{u}' = (\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$, $\vec{v}' = (\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$, और $\vec{w}' = (\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात करना है।
गुणधर्म $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
$\vec{u}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$, $\vec{v}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$, $\vec{w}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a}$.
आयतन $|[\vec{u}' \vec{v}' \vec{w}']| = |[([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}) \quad ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}) \quad ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a})]|$.
$= |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^3 [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]| = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^4|$.
चूंकि $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 9$, इसलिए $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^4 = (9)^2 = 81$.
अतः, आयतन $81 \text{ घन इकाई}$ है।

(D) अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) को $[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}] = \vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणन $\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$ की गणना करें:
$\vec{\beta} \times \vec{\gamma} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
अतः,$[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}] = \vec{\alpha} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
चूंकि $\vec{\alpha}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए अदिश गुणन $\vec{\alpha} \cdot \vec{v}$ का मान तब अधिकतम होता है जब $\vec{\alpha}$,$\vec{v}$ की दिशा में हो,और अधिकतम मान $|\vec{v}|$ के बराबर होता है।
यहाँ,$\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
इसलिए,अधिकतम मान $\sqrt{6}$ है।

(B) मान लीजिए कि तीन रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, -1, 1)$,$\vec{b} = (2, -3, 0)$ और $\vec{c} = (1, 0, 3)$ हैं।
चूँकि तीनों रेखाएँ मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं,वे समतलीय तभी होंगी यदि उनके दिक्-सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$ हो।
हम इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
$= 1((-3)(3) - (0)(0)) - (-1)((2)(3) - (0)(1)) + 1((2)(0) - (-3)(1))$
$= 1(-9 - 0) + 1(6 - 0) + 1(0 + 3)$
$= -9 + 6 + 3 = 0$
चूँकि सारणिक का मान $0$ है,तीनों सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं,जिसका अर्थ है कि तीनों रेखाएँ एक ही समतल में स्थित हैं।
अतः,रेखाएँ समतलीय हैं।

(A) हमें $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ दिया गया है।
हमें $\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $\vec{c} \cdot \vec{a} - 2(\vec{c} \cdot \vec{b})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{a} = 3$ है।
अब,पद $\vec{c} \cdot \vec{b}$ पर विचार करें। चूंकि $\vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म के अनुसार,यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो तीन सदिशों का अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है। अतः,$\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$ है।
इसलिए,$\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{a} - 2(\vec{c} \cdot \vec{b}) = 3 - 2(0) = 3$।