Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) दिया गया है,$|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|$.
चूंकि $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$ और $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,हमारे पास है:
$|\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$
$|\cos \theta| = |\sin \theta|$
$|\tan \theta| = 1$
इसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\theta = \frac{3\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} < 0$,जिसका अर्थ है $\cos \theta < 0$।
चूंकि $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$,इसलिए कोण $\theta = \frac{3\pi}{4}$ है।
ध्यान दें कि $\sec^{-1}(-\sqrt{2}) = \frac{3\pi}{4}$ क्योंकि $\sec(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2}$ होता है।

(A) दिए गए सदिश $\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$,और $\vec{w} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ हो।
सबसे पहले,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-3) + (3)(2) + (1)(0) = -6 + 6 + 0 = 0$ की गणना करें। चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{v}$ है।
इसके बाद,$\vec{u} \cdot \vec{w} = (2)(1) + (3)(-1) + (1)(4) = 2 - 3 + 4 = 3 \neq 0$ की गणना करें। अतः,$\vec{u}$,$\vec{w}$ के लंबवत नहीं है।
अंत में,$\vec{v} \cdot \vec{w} = (-3)(1) + (2)(-1) + (0)(4) = -3 - 2 + 0 = -5 \neq 0$ की गणना करें। अतः,$\vec{v}$,$\vec{w}$ के लंबवत नहीं है।
इसलिए,$\vec{u}$,$\vec{v}$ के लंबवत है लेकिन $\vec{w}$ के नहीं।

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(\vec{a} \times \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,डॉट प्रोडक्ट $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में रखने पर:
$\frac{(\vec{a} \times \vec{b})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta + |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}$
$= \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है,इसलिए अभिव्यक्ति का सरलीकरण इस प्रकार होगा:
$= \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1)}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2} = \frac{1}{2}$.

(C) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin 45^{\circ} = |\vec{u}||\vec{v}| \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ के लिए,$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos 45^{\circ} = |\vec{u}||\vec{v}| \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $|\vec{u} \times \vec{v}| = \vec{u} \cdot \vec{v}$.

(A) हमें $\vec{a} = 3 \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ दिया गया है।
चूँकि $\overrightarrow{b_1}$,$\vec{a}$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{b_1} = \lambda \vec{a} = \lambda(3 \hat{i} - \hat{j}) = 3\lambda \hat{i} - \lambda \hat{j}$.
हम जानते हैं कि $\vec{b} = \overrightarrow{b_1} + \overrightarrow{b_2}$,इसलिए $\overrightarrow{b_2} = \vec{b} - \overrightarrow{b_1} = (2 - 3\lambda) \hat{i} + (1 + \lambda) \hat{j} - 3 \hat{k}$.
चूँकि $\overrightarrow{b_2}$,$\vec{a}$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\overrightarrow{b_2} \cdot \vec{a} = 0$.
$(2 - 3\lambda)(3) + (1 + \lambda)(-1) + (-3)(0) = 0$.
$6 - 9\lambda - 1 - \lambda = 0$.
$5 - 10\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ को $\overrightarrow{b_2}$ के समीकरण में रखने पर:
$\overrightarrow{b_2} = (2 - 3(\frac{1}{2})) \hat{i} + (1 + \frac{1}{2}) \hat{j} - 3 \hat{k}$.
$\overrightarrow{b_2} = (2 - \frac{3}{2}) \hat{i} + (\frac{3}{2}) \hat{j} - 3 \hat{k} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j} - 3 \hat{k}$.

(A) दिया गया है कि $a, b, c, d$ सदिश हैं जहाँ $|d|=1$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$a+b+c=s d$ $(1)$
$b+c+d=a$ $(2)$
समीकरण $(2)$ से,हम $b+c = a-d$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + (a-d) = s d$
$2a - d = s d$
$2a = (s+1) d$
$a = \frac{s+1}{2} d$
दिया गया है कि $a \cdot d = 4$ है। $a$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{s+1}{2} d\right) \cdot d = 4$
चूँकि $|d|=1$,इसलिए $d \cdot d = |d|^2 = 1^2 = 1$ है।
$\frac{s+1}{2} (1) = 4$
$s+1 = 8$
$s = 7$.

(B) दिया गया है,$A = 2 \hat{i} + \log_2 x \hat{j} + s \hat{k}$ और $B = \log_2 x \hat{i} + s \hat{j} + \log_2 x \hat{k}$ है।
माना $A$ और $B$ के बीच का कोण $\theta$ है। तो,$\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| |B|}$ होगा।
$A \cdot B = (2)(\log_2 x) + (\log_2 x)(s) + (s)(\log_2 x) = 2 \log_2 x + 2s \log_2 x = 2 \log_2 x (1 + s)$ होगा।
यदि $\theta$ एक न्यूनकोण है,तो $\cos \theta > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $|A| > 0$ और $|B| > 0$ है,इसलिए $\cos \theta > 0$ का अर्थ है कि $A \cdot B > 0$ होगा।
अतः,$2 \log_2 x (1 + s) > 0$ होगा।
दिया गया है कि $\log_2 x > 0$,इसलिए हम असमिका के चिह्न को बदले बिना $2 \log_2 x$ से विभाजित कर सकते हैं।
इस प्रकार,$1 + s > 0$,जिसका अर्थ है कि $s > -1$ होगा।

(D) दिया गया है $A = \hat{i} + 2 \hat{j}$।
मान लीजिए $B = x \hat{i} + y \hat{j}$ है।
हमें समीकरण $(A + B) \cdot B = 15$ और $A \cdot B = 6$ दिए गए हैं।
प्रथम समीकरण का विस्तार करने पर: $A \cdot B + B \cdot B = 15$ प्राप्त होता है।
चूंकि $B \cdot B = |B|^2$,इसलिए $A \cdot B + |B|^2 = 15$ है।
$A \cdot B = 6$ का मान रखने पर:
$6 + |B|^2 = 15$।
$|B|^2 = 15 - 6 = 9$।
अतः,$|B| = \sqrt{9} = 3$।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ तीन सदिश हैं जहाँ $|a|=3, |b|=4, |c|=5$ और $a+b+c=0$ है।
हमारे पास $a+b+c=0$ है,जिसका अर्थ है $a+b=-c$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a+b)^2 = (-c)^2$ प्राप्त होता है।
अदिश गुणन (dot product) के नियम से,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ होता है।
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 4^2 + 2(a \cdot b) = 5^2$।
$9 + 16 + 2(a \cdot b) = 25$।
$25 + 2(a \cdot b) = 25$।
$2(a \cdot b) = 0$।
अतः,$a \cdot b = 0$।

(D) दिए गए सदिश $a = x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $b = x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
हमें शर्त $a \cdot b > 6$ दी गई है।
दो सदिशों $a = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$ और $b = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} + c_2 \hat{k}$ का अदिश गुणनफल $a \cdot b = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2$ के रूप में परिभाषित है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) > 6$
$x^2(x) + x(-4) + 3(2) > 6$
$x^3 - 4x + 6 > 6$
$x^3 - 4x > 0$
$x(x^2 - 4) > 0$
$x(x - 2)(x + 2) > 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करते हुए,क्रांतिक बिंदु $x = -2, 0, 2$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x > 2$ के लिए,$x(x-2)(x+2) > 0$ (धनात्मक)।
$0 < x < 2$ के लिए,$x(x-2)(x+2) < 0$ (ऋणात्मक)।
$-2 < x < 0$ के लिए,$x(x-2)(x+2) > 0$ (धनात्मक)।
$x < -2$ के लिए,$x(x-2)(x+2) < 0$ (ऋणात्मक)।
अतः,हल $x \in (-2, 0) \cup (2, \infty)$ है।

(B) दिया गया है कि $A(4,3,5)$,$B(0,6,0)$,$C(-8,1,4)$ और $D$ एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
माना $D$ बिंदु $(x, y, z)$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AC$ का मध्य-बिंदु $BD$ के मध्य-बिंदु के बराबर होता है।
$\left(\frac{4+(-8)}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z+0}{2}\right)$
$\left(-2, 2, \frac{9}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z}{2}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें $x = -4$,$y = -2$,$z = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$D$ बिंदु $(-4, -2, 9)$ है।
अब,सदिश $\vec{AC} = (-8-4)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (4-5)\hat{k} = -12\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{BD} = (-4-0)\hat{i} + (-2-6)\hat{j} + (9-0)\hat{k} = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 9\hat{k}$ है।
माना $\theta$,$\vec{AC}$ और $\vec{BD}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|} = \frac{|(-12)(-4) + (-2)(-8) + (-1)(9)|}{\sqrt{(-12)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 9^2}}$
$\cos \theta = \frac{|48 + 16 - 9|}{\sqrt{144 + 4 + 1} \sqrt{16 + 64 + 81}} = \frac{55}{\sqrt{149} \sqrt{161}}$
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{55}{\sqrt{149} \sqrt{161}}\right)$।

(D) दिया गया है,$|a| = 7$ और $|b| = 8$।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें $|a \cdot b| = |a||b| |\cos \theta|$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$|a \cdot b| = 7 \times 8 |\cos \theta| = 56 |\cos \theta|$।
$|\cos \theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,जो तब होता है जब $\theta = 0$ या $\theta = \pi$ हो।
अतः,$|a \cdot b|$ का अधिकतम मान $56 \times 1 = 56$ है।

(A) दिए गए सदिश $a=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ और $c=\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$a \cdot c = 0 \implies (1)(\lambda) + (-1)(1) + (2)(\mu) = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1$ ...$(i)$
$b \cdot c = 0 \implies (2)(\lambda) + (4)(1) + (1)(\mu) = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4$ ...(ii)
समीकरण (ii) से,$\mu = -4 - 2\lambda$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\lambda + 2(-4 - 2\lambda) = 1$
$\lambda - 8 - 4\lambda = 1$
$-3\lambda = 9 \implies \lambda = -3$.
अब,$\lambda = -3$ को $\mu = -4 - 2\lambda$ में रखने पर:
$\mu = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
अतः,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$ है।

(B) दिए गए सदिश $a = t^2 \hat{i} + e^t \hat{j} + \hat{k}$ और $b = 2 \hat{i} + t^2 \hat{j} + \log t \hat{k}$ हैं।
हम जानते हैं कि अदिश गुणनफल $f(t) = a \cdot b$ संगत घटकों के गुणनफल का योग होता है:
$f(t) = (t^2)(2) + (e^t)(t^2) + (1)(\log t) = 2t^2 + t^2 e^t + \log t$.
अब,$f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(t) = \frac{d}{dt}(2t^2) + \frac{d}{dt}(t^2 e^t) + \frac{d}{dt}(\log t)$
$f^{\prime}(t) = 4t + (2t e^t + t^2 e^t) + \frac{1}{t}$.
$f^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए,$t = 1$ रखने पर:
$f^{\prime}(1) = 4(1) + (2(1) e^1 + (1)^2 e^1) + \frac{1}{1}$
$f^{\prime}(1) = 4 + 2e + e + 1$
$f^{\prime}(1) = 5 + 3e$.

(C) दिया गया है कि $u$ और $v$ $\mathbb{R}^3$ में शून्येतर सदिश हैं।
हम जानते हैं कि सदिश गुणन का परिमाण $|u \times v| = |u||v| \sin \theta$ है और अदिश गुणन $u \cdot v = |u||v| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों $u$ और $v$ के बीच का कोण है।
इन मानों को $|u \times v|^2 + |u \cdot v|^2$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$|u \times v|^2 + |u \cdot v|^2 = (|u||v| \sin \theta)^2 + (|u||v| \cos \theta)^2$
$= |u|^2|v|^2 \sin^2 \theta + |u|^2|v|^2 \cos^2 \theta$
$= |u|^2|v|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$= |u|^2|v|^2(1) = |u|^2|v|^2$.

(B) दिया गया है कि $B = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ और $C = 5\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{BC} = C - B = (5-3)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
चूंकि $\max \{AB, BC, AC\} = BC$,इसलिए $BC$ समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ का कर्ण है,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ है।
हमें $\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ का मान ज्ञात करना है।
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ होने के कारण,व्यंजक $\vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ हो जाता है।
$\triangle ABC$ में प्रक्षेप सूत्र का उपयोग करने पर,$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos B = |\vec{BA}|^2$ और $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| |\vec{CB}| \cos C = |\vec{CA}|^2$ है।
इस प्रकार,व्यंजक $|\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2$ हो जाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$|\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$ है।
$|\vec{BC}|^2 = (2)^2 + (3)^2 + (-4)^2 = 4 + 9 + 16 = 29$ है।

(D) दिया गया है,$a+b+c=0$.
इसका तात्पर्य है $a+b=-c$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(a+b)^2 = (-c)^2$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
दिए गए परिमाणों $|a|=3, |b|=5, |c|=7$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 5^2 + 2|a||b| \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34$.
$30 \cos \theta = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$.

(C) दिया गया है,$r \times b = c \times b$.
इसका तात्पर्य है कि $(r - c) \times b = 0$.
इसका अर्थ है कि $(r - c), b$ के समानांतर है,इसलिए हम किसी अदिश $\lambda$ के लिए $(r - c) = \lambda b$ लिख सकते हैं।
अतः,$r = c + \lambda b$ ...$(i)$.
हमें यह भी दिया गया है कि $r \cdot a = 0$.
$(i)$ से $r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(c + \lambda b) \cdot a = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर $c \cdot a + \lambda (b \cdot a) = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = -\frac{c \cdot a}{b \cdot a}$ प्राप्त होता है ...(ii).
$\lambda$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $r = c - \left( \frac{c \cdot a}{b \cdot a} \right) b$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि,$|u|=3$,$|v|=5$,और $|w|=7$ है।
चूंकि $u+v+w=0$ है,हम $u+v=-w$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|u+v|^2 = |-w|^2$ प्राप्त होता है।
$|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(u \cdot v)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$|u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| \cos \theta = |w|^2$,जहाँ $\theta$ सदिश $u$ और $v$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$
$34 + 30 \cos \theta = 49$
$30 \cos \theta = 49 - 34$
$30 \cos \theta = 15$
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = 60^{\circ}$।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $a$ और $b$ हैं। रेखाखंड $AB$ के मध्य बिंदु $M$ का स्थिति सदिश $\frac{a+b}{2}$ है।
लंब समद्विभाजक $M$ से होकर गुजरता है और सदिश $\vec{AB} = b - a$ (या $a - b$) के लंबवत है।
मान लीजिए कि $P$ लंब समद्विभाजक पर कोई बिंदु है जिसका स्थिति सदिश $r$ है। तो सदिश $\vec{MP} = r - \frac{a+b}{2}$ को सदिश $\vec{AB} = a - b$ के लंबवत होना चाहिए।
चूंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\left(r - \frac{a+b}{2}\right) \cdot (a - b) = 0$
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2r - (a + b)) \cdot (a - b) = 0$
अतः,समीकरण $(2r - a - b) \cdot (a - b) = 0$ है।

(C) दिए गए सदिश $a = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ और $b = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,$2a + b$ की गणना करें:
$2a + b = 2(2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (4\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
इसके बाद,$a + 2b$ की गणना करें:
$a + 2b = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + 2(3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (6\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
मान लीजिए $u = 2a + b = 7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ और $v = a + 2b = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$u$ और $v$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$ द्वारा दिया जाता है।
$u \cdot v = (7)(8) + (1)(-1) + (-4)(1) = 56 - 1 - 4 = 51$.
$|u| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 1 + 16} = \sqrt{66}$.
$|v| = \sqrt{8^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1 + 1} = \sqrt{66}$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{51}{\sqrt{66} \sqrt{66}} = \frac{51}{66}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{51}{66}\right)$.

(A) मान लीजिए सदिश $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
अदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u||v|}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $u \cdot v = (-2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = -2 - 4 + 2 = -4$।
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें: $|u| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ और $|v| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{-4}{3 \times 3} = -\frac{4}{9}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{4}{9}\right)$।
नोट: दिए गए विकल्पों में $\cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ होने के कारण,विकल्प $A$ को सही माना गया है।

(B) दिया गया है: $p \times q = p \times r$ और $p \cdot q = p \cdot r$
$p \times q = p \times r$ से,हमें प्राप्त होता है:
$p \times q - p \times r = 0$
$p \times (q - r) = 0$
यह दर्शाता है कि $p$,$(q - r)$ के समांतर है या $(q - r) = 0$ है।
$p \cdot q = p \cdot r$ से,हमें प्राप्त होता है:
$p \cdot q - p \cdot r = 0$
$p \cdot (q - r) = 0$
यह दर्शाता है कि $p$,$(q - r)$ के लंबवत है या $(q - r) = 0$ है।
चूंकि $p$ एक ही गैर-शून्य सदिश $(q - r)$ के समांतर और लंबवत दोनों नहीं हो सकता है,इसलिए $(q - r) = 0$ होना चाहिए।
अतः,$q = r$ ($p \neq 0$ मानते हुए)।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$।
दिया गया समीकरण $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3} \vec{c}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\sqrt{3} \vec{c}|^2$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3|\vec{c}|^2$।
मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3(1)^2$।
$2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,जहां $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$।
$\cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{B} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{C} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
हमें $\angle B$ ज्ञात करना है,जो सदिशों $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण है।
$\vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = (1 - (-2))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-5 - 1)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (2 - (-2))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (-1 - 1)\hat{k} = 4\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
कोण $\angle B$ का कोसाइन $\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(4) + (0)(-1) + (-6)(-2) = 12 + 0 + 12 = 24$.
$|\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.
$\cos(\angle B) = \frac{24}{3\sqrt{5} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{5} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{105}}$.
अतः,$\angle B = \cos^{-1}\left(\frac{8}{\sqrt{105}}\right)$.

(B) दिया गया समीकरण $a+xb+yc=0$ है।
दोनों पक्षों का $b$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$a \times b + x(b \times b) + y(c \times b) = 0$
चूंकि $b \times b = 0$,इसलिए हमें $a \times b = y(b \times c)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $c$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$a \times c + x(b \times c) + y(c \times c) = 0$
चूंकि $c \times c = 0$,इसलिए हमें $c \times a = x(b \times c)$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को दिए गए व्यंजक $a \times b + b \times c + c \times a = 6(b \times c)$ में रखने पर:
$y(b \times c) + (b \times c) + x(b \times c) = 6(b \times c)$
$(x+y+1)(b \times c) = 6(b \times c)$
यदि $b \times c \neq 0$ है,तो $x+y+1=6$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x+y=5$ या $x+y-5=0$ मिलता है।

(C) दिया गया है,$r \cdot a = 0$ और $r \times b = c \times b$।
$r \times b = c \times b$ से,हमें $(r - c) \times b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $k$ के लिए $r - c = k b$।
अतः,$r = c + k b$।
दोनों पक्षों का $a$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$r \cdot a = (c + k b) \cdot a = c \cdot a + k (b \cdot a)$।
चूँकि $r \cdot a = 0$ है,इसलिए $0 = c \cdot a + k (b \cdot a)$।
इस प्रकार,$k = -\frac{c \cdot a}{b \cdot a}$।
$k$ का मान $r$ के व्यंजक में रखने पर:
$r = c - \left(\frac{c \cdot a}{b \cdot a}\right) b$।

(D) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
दिया गया है कि $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$.
चूंकि $D, AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$ है।
चूंकि $E, BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $E$ का स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ है।
$\triangle ODE$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d} \times \vec{e}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{d}$ और $\vec{e}$ के मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}) \times (\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2})| = \frac{1}{8} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{c}|$.
चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,इसलिए $\text{Area} = \frac{1}{8} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c}|$.
दिए गए समीकरण $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$ में,$\vec{b}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर $\vec{a} \times \vec{b} + 3(\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{b} \times \vec{c})$ प्राप्त होता है।
$\vec{c}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर $\vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{c} = 2(\vec{c} \times \vec{b})$ प्राप्त होता है।
इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{8} |3(\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{c} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{8} |3(\vec{b} \times \vec{c}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) - (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{8} |0| = 0$.

(D) दिया गया है,$|a|=1, |b|=2, |c|=3$ और $b \cdot c=0$ है।
चूंकि $a$ की दिशा में $b$ का प्रक्षेप,$a$ की दिशा में $c$ के प्रक्षेप के बराबर है,इसलिए:
$\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot c}{|a|} \implies a \cdot b = a \cdot c$।
अब,हमें $|2a+3b-3c|$ का मान ज्ञात करना है।
माना $X = 2a+3b-3c$ है। तब $|X|^2 = (2a+3b-3c) \cdot (2a+3b-3c)$।
$|X|^2 = 4|a|^2 + 9|b|^2 + 9|c|^2 + 12(a \cdot b) - 18(b \cdot c) - 12(a \cdot c)$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$|X|^2 = 4(1)^2 + 9(2)^2 + 9(3)^2 + 12(a \cdot b) - 18(0) - 12(a \cdot c)$।
चूंकि $a \cdot b = a \cdot c$ है,इसलिए $12(a \cdot b)$ और $-12(a \cdot c)$ पद कट जाएंगे।
$|X|^2 = 4 + 36 + 81 + 0 = 121$।
अतः,$|2a+3b-3c| = \sqrt{121} = 11$।

(B) दिया गया है कि $|a|=3, |b|=5, |c|=7$ है।
चूंकि $a, (b+c)$ पर लंब है,इसलिए $a \cdot (b+c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ ... $(i)$
चूंकि $b, (c+a)$ पर लंब है,इसलिए $b \cdot (c+a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ ... $(ii)$
चूंकि $c, (a+b)$ पर लंब है,इसलिए $c \cdot (a+b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ ... $(iii)$
समीकरणों $(i), (ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
अब,हम $|a+b+c|^2$ की गणना करते हैं:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
$|a+b+c|^2 = (3)^2 + (5)^2 + (7)^2 + 2(0) = 9 + 25 + 49 = 83$.
अंत में,हम अभीष्ट व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं:
$\sqrt{(a+b+c)^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9$.

(B) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
दिया गया है कि $|\vec{b}-\vec{a}|^2 + |\vec{d}-\vec{c}|^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 + |\vec{a}-\vec{d}|^2$.
डॉट प्रोडक्ट के गुण $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2\vec{x} \cdot \vec{y}$ का उपयोग करके वर्गों का विस्तार करने पर:
$|\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{d}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$.
दोनों पक्षों से समान पदों $|\vec{a}|^2, |\vec{b}|^2, |\vec{c}|^2, |\vec{d}|^2$ को हटाने पर:
$-2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = -2\vec{b} \cdot \vec{c} - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{a} = 0$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(\vec{a}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{d}) = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.

(A) $3D$ अंतरिक्ष में किसी भी सदिश $a$ को तीन परस्पर लंबवत सदिशों $b$,$c$,और $b \times c$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (यह मानते हुए कि $b$ और $c$ समानांतर नहीं हैं)।
आधार ${b, c, b \times c}$ के संदर्भ में सदिश $a$ का सामान्य विस्तार इस प्रकार है:
$a = \left\{\frac{a \cdot b}{|b|^2}\right\} b + \left\{\frac{a \cdot c}{|c|^2}\right\} c + \left\{\frac{a \cdot (b \times c)}{|b \times c|^2}\right\} (b \times c)$
दी गई अभिव्यक्ति के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यह अभिव्यक्ति सदिश $a$ के बराबर है।
इसलिए,अभिव्यक्ति का परिमाण सदिश $a$ के परिमाण के बराबर है।
$|a| = |\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

(D) माना $ABC$ एक त्रिभुज है जिसके शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। माना $AM, A$ से $BC$ पर डाला गया लंब है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |BC| \cdot |AM|$
स्थिति सदिशों के रूप में $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} |BC| \cdot |AM| = \frac{1}{2} |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
चूँकि भुजा $BC$ की लंबाई $|\gamma - \beta|$ है,इसलिए:
$|\gamma - \beta| \cdot |AM| = |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
अतः,लंब $AM$ की लंबाई:
$|AM| = \frac{|\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|}{|\gamma - \beta|}$

(A) दिए गए सदिश $\bar{a}=5\bar{m}-3\bar{n}$,$\bar{c}=-4\bar{m}-\bar{n}$,और $\bar{d}=-\bar{m}+\bar{n}$ हैं।
सबसे पहले,$\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\bar{a}+\bar{c}+\bar{d}}{3} = \frac{(5\bar{m}-3\bar{n}) + (-4\bar{m}-\bar{n}) + (-\bar{m}+\bar{n})}{3} = \frac{0\bar{m}-3\bar{n}}{3} = -\bar{n}$.
इसके बाद,$\bar{y}$ की गणना करें:
$\bar{y} = \frac{\bar{c}+\bar{d}}{5} = \frac{(-4\bar{m}-\bar{n}) + (-\bar{m}+\bar{n})}{5} = \frac{-5\bar{m}}{5} = -\bar{m}$.
चूंकि $\bar{m}$ और $\bar{n}$ एक आयत की आसन्न भुजाएँ हैं,वे परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\bar{m} \cdot \bar{n} = 0$। अतः,$\bar{x} = -\bar{n}$ और $\bar{y} = -\bar{m}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) स्थिति सदिश $\vec{A} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{C} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = |\vec{B} - \vec{A}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = |\vec{C} - \vec{A}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$,$BC$ को $AB:AC = 6:3 = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ का स्थिति सदिश $\vec{D} = \frac{2\vec{C} + 1\vec{B}}{3} = 2\hat{i} + \frac{13}{3}\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
अब,$AD = |\vec{D} - \vec{A}| = |-2\hat{i} - \frac{8}{3}\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2}{3}\sqrt{34}$।

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं। दिया गया है कि त्रिभुज $C$ पर समकोण है,इसलिए $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$,इसलिए $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$E = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$
$E = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}) + (-\overrightarrow{CB}) \cdot (-\overrightarrow{AB}) + 0$
$E = |\overrightarrow{AB}|^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$
चूंकि $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$,ये पद कट जाएंगे।
$E = |\overrightarrow{AB}|^2 = p^2$।

(C) माना अभीष्ट सदिश $\bar{r} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$ है।
दिया गया है कि $\bar{a}$,$\bar{b}$,और $\bar{c}$ इकाई सदिश हैं।
$\bar{a} = \frac{1}{3}(\bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k})$,$|\bar{a}| = 1$.
$\bar{b} = \frac{1}{5}(-4\bar{i}-3\bar{k})$,$|\bar{b}| = 1$.
$\bar{c} = \bar{j}$,$|\bar{c}| = 1$.
माना $\bar{r}$ और प्रत्येक सदिश $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ के बीच का कोण $\theta$ है। अतः $\bar{r} \cdot \bar{a} = \bar{r} \cdot \bar{b} = \bar{r} \cdot \bar{c} = |\bar{r}| \cos \theta = \sqrt{51} \cos \theta = k$.
$\frac{1}{3}(x-2y+2z) = k \implies x-2y+2z = 3k$.
$\frac{1}{5}(-4x-3z) = k \implies -4x-3z = 5k$.
$y = k$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\bar{r} = -5\bar{i}+\bar{j}+5\bar{k}$,$|\bar{r}| = \sqrt{25+1+25} = \sqrt{51}$.
$\bar{r} \cdot \bar{a} = \frac{1}{3}(-5+2+10) = 1$. $\bar{r} \cdot \bar{b} = \frac{1}{5}(20-15) = 1$. $\bar{r} \cdot \bar{c} = 1$. चूंकि सभी अदिश गुणनफल समान हैं,इसलिए सही सदिश $-5\bar{i}+\bar{j}+5\bar{k}$ है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
मान लीजिए कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$ होगा।
साथ ही,$|\bar{v}| = |\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin \theta = \sin \theta$ होगा।
अब,$\bar{u} = \bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{b} = \bar{a} - (\cos \theta) \bar{b}$ पर विचार करें।
तब $|\bar{u}|^2 = |\bar{a} - (\cos \theta) \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + \cos^2 \theta |\bar{b}|^2 - 2 \cos \theta (\bar{a} \cdot \bar{b})$ होगा।
$|\bar{u}|^2 = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ होगा।
अतः,$|\bar{u}| = \sin \theta$ होगा।
चूंकि $|\bar{v}| = \sin \theta$ और $|\bar{u}| = \sin \theta$ है,इसलिए $|\bar{v}| = |\bar{u}|$ होगा।

(B) दिया गया है कि $\bar{r} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{a}$,जिसे हम $\bar{r} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a} = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $(\bar{r} - \bar{b}) \times \bar{a} = 0$।
इसका मतलब है कि सदिश $(\bar{r} - \bar{b})$ को $\bar{a}$ के समानांतर होना चाहिए।
इसलिए,हम किसी अदिश $k$ के लिए $\bar{r} - \bar{b} = k\bar{a}$ या $\bar{r} = \bar{b} + k\bar{a}$ लिख सकते हैं।
हमें $\bar{r} \cdot \bar{c} = 0$ भी दिया गया है।
$\bar{r}$ के लिए इस समीकरण में मान रखने पर,हमें $(\bar{b} + k\bar{a}) \cdot \bar{c} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$\bar{b} \cdot \bar{c} + k(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 0$ मिलता है।
$k$ के लिए हल करने पर,$k = -\frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{c}}$ प्राप्त होता है।
$k$ के इस मान को $\bar{r}$ के समीकरण में वापस रखने पर,हमें $\bar{r} = \bar{b} - \left(\frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{c}}\right) \bar{a}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\lambda \bar{a} = \bar{b} - 2\bar{c}$।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|\lambda \bar{a}|^2 = |\bar{b} - 2\bar{c}|^2$।
$\lambda^2 |\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 + 4|\bar{c}|^2 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$।
चूंकि $|\bar{a}|=1, |\bar{c}|=1, |\bar{b}|=4$,इसलिए $\lambda^2 = 16 + 4 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 20 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$।
साथ ही,$|\bar{b} \times \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 |\bar{c}|^2 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$।
$15 = (4)^2(1)^2 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$।
$15 = 16 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$,जिसका अर्थ है $(\bar{b} \cdot \bar{c})^2 = 1$,अतः $\bar{b} \cdot \bar{c} = \pm 1$।
स्थिति $1$: $\bar{b} \cdot \bar{c} = 1$।
$\lambda^2 = 20 - 4(1) = 16 \implies \lambda = \pm 4$।
स्थिति $2$: $\bar{b} \cdot \bar{c} = -1$।
$\lambda^2 = 20 - 4(-1) = 24 \implies \lambda = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\pm 4$ है।

(C) दिया गया है $|\bar{u}|=1, |\bar{v}|=2, |\bar{w}|=3$।
चूंकि $\bar{v}$ का $\bar{u}$ पर प्रक्षेप,$\bar{w}$ के $\bar{u}$ पर प्रक्षेप के बराबर है,इसलिए $\frac{\bar{v} \cdot \bar{u}}{|\bar{u}|} = \frac{\bar{w} \cdot \bar{u}}{|\bar{u}|}$।
$|\bar{u}|=1$ होने के कारण,इसका अर्थ है $\bar{v} \cdot \bar{u} = \bar{w} \cdot \bar{u}$,या $(\bar{v}-\bar{w}) \cdot \bar{u} = 0$।
साथ ही,$\bar{v} \perp \bar{w}$ का अर्थ है $\bar{v} \cdot \bar{w} = 0$।
हमें $|\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}|^2 = (\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}) \cdot (\bar{u}-\bar{v}+\bar{w})$ की गणना करनी है।
$= |\bar{u}|^2 + |\bar{v}|^2 + |\bar{w}|^2 - 2(\bar{u} \cdot \bar{v}) + 2(\bar{u} \cdot \bar{w}) - 2(\bar{v} \cdot \bar{w})$।
चूंकि $\bar{u} \cdot \bar{v} = \bar{u} \cdot \bar{w}$ और $\bar{v} \cdot \bar{w} = 0$ है,इसलिए $-2(\bar{u} \cdot \bar{v}) + 2(\bar{u} \cdot \bar{w})$ पद कट जाएंगे।
$= |\bar{u}|^2 + |\bar{v}|^2 + |\bar{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$।
अतः,$|\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}| = \sqrt{14}$।

(A) दी गई शर्त $|\bar{a}-\bar{c}| = |\bar{b}-\bar{c}|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\bar{a}-\bar{c}|^2 = |\bar{b}-\bar{c}|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ का उपयोग करने पर,$(\bar{a}-\bar{c}) \cdot (\bar{a}-\bar{c}) = (\bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b}-\bar{c})$ मिलता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $|\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) + |\bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 - 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) + |\bar{c}|^2$.
सरल करने पर,$|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2 = 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 2(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $E = (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \left(\bar{c}-\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)$ पर विचार करें।
$E = (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \bar{c} - (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \left(\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)$.
$E = -(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} - \frac{1}{2}(\bar{b}-\bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{a})$.
सर्वसमिका $(\bar{b}-\bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{a}) = |\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2$ का उपयोग करने पर:
$E = -(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} - \frac{1}{2}(|\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2)$.
हमारे पिछले परिणाम से,$(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}(|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2)$.
इसका मान रखने पर: $E = -\frac{1}{2}(|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2) - \frac{1}{2}(|\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2) = -\frac{1}{2}|\bar{a}|^2 + \frac{1}{2}|\bar{b}|^2 - \frac{1}{2}|\bar{b}|^2 + \frac{1}{2}|\bar{a}|^2 = 0$.

(B) दिया गया है: $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 2$,$|\bar{c}| = 3$.
चूंकि $\bar{b} \perp \bar{c}$,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
$\bar{b}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \bar{b} \cdot \bar{a}$ है (क्योंकि $|\bar{a}| = 1$).
$\bar{c}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \bar{c} \cdot \bar{a}$ है।
दिया गया है कि $\bar{b} \cdot \bar{a} = \bar{c} \cdot \bar{a} = k$.
अब,$|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
मान रखने पर: $|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2k + 2k - 2(0) = 1 + 4 + 9 = 14$.
अतः,$|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{14}$.

(D) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $c=4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ हैं।
दी गई शर्त: $r \times b = c \times b$.
इसका अर्थ है $(r-c) \times b = 0$,जिसका अर्थ है कि $(r-c)$,$b$ के समांतर है।
अतः,$r-c = \lambda b$,या $r = c + \lambda b$ ... $(i)$.
यह भी दिया गया है कि $r \cdot a = 0$.
इस शर्त में $(i)$ से $r$ का मान रखने पर:
$(c + \lambda b) \cdot a = 0$
$(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k} + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})) \cdot (2 \hat{i}+\hat{k}) = 0$
$((4+\lambda) \hat{i} + (-3+\lambda) \hat{j} + (7+\lambda) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i}+\hat{k}) = 0$
$2(4+\lambda) + 1(7+\lambda) = 0$
$8 + 2\lambda + 7 + \lambda = 0$
$3\lambda + 15 = 0 \implies \lambda = -5$.
$(i)$ में $\lambda = -5$ रखने पर:
$r = (4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}) - 5(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$
$r = (4-5) \hat{i} + (-3-5) \hat{j} + (7-5) \hat{k}$
$r = -\hat{i} - 8 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल $0$ के बराबर हो।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i}-2x\hat{j}-3y\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+3x\hat{j}+2y\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल लेने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$.
$1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$.
$6x^2 + 6y^2 = 1$.
$x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$.
यह समीकरण मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $\frac{1}{\sqrt{6}}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है।

(A) दिया गया है,$\overrightarrow{a}=2 x^2 \hat{i}+4 x \hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+x \hat{k}$.
हमें दिया गया है कि $90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta < 0$.
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$.
चूंकि $|\overrightarrow{a}|$ और $|\overrightarrow{b}|$ परिमाण हैं,वे हमेशा धनात्मक होते हैं। इसलिए,$\cos \theta < 0$ का अर्थ है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2 x^2)(7) + (4 x)(-2) + (1)(x) = 14 x^2 - 8 x + x = 14 x^2 - 7 x$.
असमिका को शून्य से कम रखने पर:
$14 x^2 - 7 x < 0$
$7 x(2 x - 1) < 0$
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{1}{2}$ ज्ञात करते हैं।
अंतरालों की जाँच:
$x < 0$ के लिए,$7 x(2 x - 1) > 0$.
$0 < x < \frac{1}{2}$ के लिए,$7 x(2 x - 1) < 0$.
$x > \frac{1}{2}$ के लिए,$7 x(2 x - 1) > 0$.
अतः,वह अंतराल जिसके लिए व्यंजक ऋणात्मक है,$x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ है।

(A) माना सदिश $a = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया गया है कि $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
$a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j})$ से,हमें $a \cdot \hat{i} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a \cdot \hat{j} = 0$। अतः,$y = 0$।
$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ से,हमें $a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} + a \cdot \hat{k}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a \cdot \hat{k} = 0$। अतः,$z = 0$।
चूंकि $a \cdot \hat{i} = x$,और यदि हम $a = \hat{i}$ लेते हैं,तो $a \cdot \hat{i} = 1$,$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,और $a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ होता है।
अतः,$a = \hat{i}$ दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है।