Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(A) माना सदिश $a = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया गया है कि $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
$a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j})$ से,हमें $a \cdot \hat{i} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a \cdot \hat{j} = 0$। अतः,$y = 0$।
$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ से,हमें $a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} + a \cdot \hat{k}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a \cdot \hat{k} = 0$। अतः,$z = 0$।
चूंकि $a \cdot \hat{i} = x$,और यदि हम $a = \hat{i}$ लेते हैं,तो $a \cdot \hat{i} = 1$,$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,और $a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ होता है।
अतः,$a = \hat{i}$ दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है।

(B) सदिश $\vec{a}$ का एक अशून्य सदिश $\vec{b}$ पर लंब प्रक्षेप,$\vec{b}$ की दिशा में $\vec{a}$ का घटक होता है।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \hat{b}$
चूंकि इकाई सदिश $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ होता है,इसलिए हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \left( \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right)$
इस व्यंजक को सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $OA$ और $OB$ की लंबाई की गणना करें:
$OA = |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$OB = |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BOA$ का आंतरिक समद्विभाजक $OD$,भुजा $AB$ को आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है,जो $OA : OB = 3 : 6 = 1 : 2$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $D$ का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{d} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{b}}{1 + 2} = \frac{2(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = \frac{(4+2)\hat{i} + (4+4)\hat{j} + (2+4)\hat{k}}{3} = \frac{6\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}}{3} = 2\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
आंतरिक समद्विभाजक $OD$ की लंबाई $\vec{d}$ का परिमाण है:
$|OD| = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{136}}{3}$.

(A) मान लीजिए कि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{0}, \vec{a}, \vec{b}$ हैं।
$P$,$AB$ पर स्थित है ताकि $AP:PB = 1:2$,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{1}{3}\vec{a}$ है।
$Q$,$BC$ पर स्थित है ताकि $BQ:QC = 1:2$,इसलिए $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{2\vec{b} + \vec{a}}{3}$ है।
मास पॉइंट ज्यामिति का उपयोग करते हुए:
$C$ पर $1$ द्रव्यमान रखें। चूँकि $BQ:QC=1:2$,$B$ पर द्रव्यमान $2$ होगा। चूँकि $AP:PB=1:2$,$A$ पर द्रव्यमान $4$ होगा।
प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ का कुल द्रव्यमान $4+2+1=7$ होगा।
क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{Area(\triangle BCD)}{Area(\triangle ABC)} = \frac{Mass(A)}{Mass(A)+Mass(B)+Mass(C)} = \frac{4}{4+2+1} = \frac{4}{7}$ है।
दिया गया है कि $\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $7$ है,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 7 \times \frac{7}{4} = \frac{49}{4}$ होगा।
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
चूंकि $\vec{AB} = -\vec{CD}$ और $\vec{BC} = -\vec{DA}$,सम्मुख भुजाएं समानांतर और परिमाण में समान हैं।
आसन्न भुजाओं का अदिश गुणनफल $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -13 \neq 0$ है।
अतः,यह एक समांतर चतुर्भुज है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ पर $\vec{b}$ के प्रक्षेप की लंबाई $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{8}{\sqrt{14}}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$।
अतः,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = \frac{8}{\sqrt{14}} \times \sqrt{14} = 8$।
अगला,$\vec{a} \times \vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 25 + 16} = \sqrt{90}$।
सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ का उपयोग करते हुए:
$90 + 8^2 = (\sqrt{14})^2 |\vec{b}|^2$
$90 + 64 = 14 |\vec{b}|^2$
$154 = 14 |\vec{b}|^2$
$|\vec{b}|^2 = \frac{154}{14} = 11$
अतः,$|\vec{b}| = \sqrt{11}$।

(B) माना $\vec{a} = x^2 \hat{i} + 2 x \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ है।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण होता है यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x^2)(1) + (2x)(-2) + (1)(x) < 0$
$x^2 - 4x + x < 0$
$x^2 - 3x < 0$
$x(x - 3) < 0$
चिह्न योजना विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $x(x - 3)$ अंतराल $(0, 3)$ में $x$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,कोण अधिक कोण होगा जब $x \in (0, 3)$ हो।

(B) सदिश $v$ का सदिश $u$ पर घटक ज्ञात करने का सूत्र $\frac{v \cdot u}{|u|}$ है।
दिया गया है कि $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $v \cdot u = (1)(-2) + (-2)(2) + (2)(1) = -2 - 4 + 2 = -4$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$u$ का परिमाण $|u| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ ज्ञात करें।
अतः,$u$ पर $v$ का घटक $\frac{v \cdot u}{|u|} = \frac{-4}{3}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(D) बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 4\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c} = 5\hat{i}+\hat{j}$,और $\vec{d} = 7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (4-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (7-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
सदिश $\vec{AB}$ का $\vec{CD}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{CD}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(3) = 6 - 2 + 3 = 7$.
$\vec{CD}$ का परिमाण: $|\vec{CD}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
अतः,प्रक्षेप $\frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{7 \times 2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ है।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।

(B) हमारे पास है,$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a||b|}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{|b||c|}$ और $\cos \gamma = \frac{c \cdot a}{|c||a|}$.
दिया गया है कि $|a|=|b|=|c|=\lambda$ (जहाँ $\lambda > 0$),इसलिए:
$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{\lambda^2}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{\lambda^2}, \cos \gamma = \frac{c \cdot a}{\lambda^2}$.
अतः,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \quad \dots (i)$
हम जानते हैं कि $|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
चूंकि $|a+b+c|^2 \geq 0$,इसलिए:
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$\lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$3\lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq -3\lambda^2$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a \geq -\frac{3}{2}\lambda^2 \quad \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \geq \frac{-\frac{3}{2}\lambda^2}{\lambda^2} = -\frac{3}{2}$.
इस प्रकार,न्यूनतम मान $-\frac{3}{2}$ है।

(C) माना दो रेखाओं के दिक-अनुपात $\vec{a} = (2, -1, 2)$ और $\vec{b} = (K, 3, 5)$ हैं।
दिया गया है कि रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
दो रेखाओं के दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ के बीच के कोण के लिए सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर:
$\cos 45^{\circ} = \frac{|(2)(K) + (-1)(3) + (2)(5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{K^2 + 3^2 + 5^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2K - 3 + 10|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{K^2 + 9 + 25}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2K + 7|}{3 \sqrt{K^2 + 34}}$
$3 \sqrt{K^2 + 34} = \sqrt{2} |2K + 7|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(K^2 + 34) = 2(2K + 7)^2$
$9K^2 + 306 = 2(4K^2 + 28K + 49)$
$9K^2 + 306 = 8K^2 + 56K + 98$
$K^2 - 56K + 208 = 0$
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर:
$(K - 4)(K - 52) = 0$
अतः,$K = 4$ या $K = 52$ है।
दिए गए विकल्पों में $4$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $K = 4$ है।

(C) दिए गए बिंदु $A(3,4,5), B(4,6,3), C(-1,2,4)$ और $D(1,0,5)$ हैं।
रेखा $DC$ के दिक अनुपात $(x_C - x_D, y_C - y_D, z_C - z_D) = (-1-1, 2-0, 4-5) = (-2, 2, -1)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (4-3, 6-4, 3-5) = (1, 2, -2)$ हैं।
माना रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच का कोण $\theta$ है। $\cos \theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(-2)(1) + (2)(2) + (-1)(-2)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 4 + 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.

(D) माना सदिश $r$,$a$ और $b$ के समतल में स्थित है। अतः,$r$ को $r = a + tb$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$r = (i + 2j + k) + t(i - j + k) = (1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k$.
$r$ का $c$ पर प्रक्षेप $\frac{r \cdot c}{|c|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{((1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k) \cdot (i + j - k)}{\sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,$1 = (1 + t)(1) + (2 - t)(1) + (1 + t)(-1)$.
$1 = 1 + t + 2 - t - 1 - t$.
$1 = 2 - t$.
$t = 1$.
$t = 1$ का मान $r$ में रखने पर:
$r = (1 + 1)i + (2 - 1)j + (1 + 1)k = 2i + j + 2k$.

(B) सदिश $\overrightarrow{a}$ पर सदिश $\overrightarrow{b}$ के लंबवत प्रक्षेप का सूत्र $\frac{(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2}$ है।
यहाँ $\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = \lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (\lambda)(1) + (-3)(-1) + (1)(-1) = \lambda + 3 - 1 = \lambda + 2$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$|\overrightarrow{a}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप $\frac{(\lambda + 2)}{3} (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ होगा।
दिए गए प्रक्षेप $\frac{4}{3}(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{\lambda + 2}{3} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lambda + 2 = 4$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 2$।

(B) भुजा $AB$ के दिक-अनुपात $(6-1, 11-(-1), 2-2) = (5, 12, 0)$ हैं।
भुजा $AC$ के दिक-अनुपात $(1-1, 2-(-1), 6-2) = (0, 3, 4)$ हैं।
सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के बीच के कोण $A$ का कोसाइन निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\cos A = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$\cos A = \frac{(5)(0) + (12)(3) + (0)(4)}{\sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2} \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2}}$
$\cos A = \frac{0 + 36 + 0}{\sqrt{25 + 144 + 0} \sqrt{0 + 9 + 16}}$
$\cos A = \frac{36}{\sqrt{169} \sqrt{25}}$
$\cos A = \frac{36}{13 \times 5} = \frac{36}{65}$.

(C) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$,$\vec{b} = -\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$,$\vec{c} = \vec{j}+2\vec{k}$,और $\vec{d} = 2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$ हैं।
रेखा $AB$,$A$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{p} = \vec{b}-\vec{a} = -2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$ है।
रेखा $CD$,$C$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{q} = \vec{d}-\vec{c} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{c}-\vec{a} = -\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k}$ है।
$\vec{p} \times \vec{q} = 4\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}$ प्राप्त होता है।
$|\vec{p} \times \vec{q}| = 6$ होता है।
अंश का मान $|(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})| = |(-1)(4) + (0)(4) + (3)(2)| = 2$ होता है।
अतः,$d = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

(B) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं की लंबाई के वर्ग की गणना करें:
$AB^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |(-5)\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 25+1+16 = 42$
$BC^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 = |\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}|^2 = 1+16+25 = 42$
$AC^2 = |\vec{c}-\vec{a}|^2 = |(-4)\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}|^2 = 16+25+1 = 42$
चूंकि $AB^2 = BC^2 = AC^2 = 42$,त्रिभुज समबाहु है।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $H$ केंद्रक $G$ के साथ संपाती होता है।
केंद्रक $G = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{(3-2-1)\hat{i} + (-2-1+3)\hat{j} + (-1+3-2)\hat{k}}{3} = \vec{0}$.
अतः,$H = (0,0,0)$.
अब,$\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = (\vec{a}-\vec{h}) + (\vec{b}-\vec{h}) + (\vec{c}-\vec{h}) = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} - 3\vec{h}$.
चूंकि $\vec{h} = \vec{0}$ और $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$,इसलिए $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$।
इसका अर्थ है $(\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{r} - \vec{b}$,$\vec{a}$ के समांतर है।
अतः,पहली रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{b} + p\vec{a} = \hat{j} + p\hat{i}$ है।
इसी प्रकार,दूसरी रेखा $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$ के लिए,हमारे पास $(\vec{r} - \vec{a}) \times \vec{b} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\vec{r} - \vec{a}$,$\vec{b}$ के समांतर है।
अतः,दूसरी रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + q\vec{b} = \hat{i} + q\hat{j}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$\hat{j} + p\hat{i} = \hat{i} + q\hat{j}$।
$\hat{i}$ और $\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $p = 1$ और $q = 1$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में $p=1$ रखने पर,हमें $\vec{r} = \hat{j} + 1(\hat{i}) = \hat{i} + \hat{j}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है। हम $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ और $(a,a,a)$ शीर्षों वाले एक घन पर विचार करते हैं।
घन के दो विकर्णों को सदिशों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
मान लीजिए $\vec{d_1}$ बिंदु $(0,0,0)$ से $(a,a,a)$ तक का सदिश है,इसलिए $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
मान लीजिए $\vec{d_2}$ बिंदु $(a,0,0)$ से $(0,a,a)$ तक का सदिश है,इसलिए $\vec{d_2} = (0-a)\hat{i} + (a-0)\hat{j} + (a-0)\hat{k} = -a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ और $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ है।

(A) दिया गया है कि समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ $\vec{PQ} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{PS} = \hat{i} - 2\hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS}$ और $\vec{d_2} = \vec{QS} = \vec{PS} - \vec{PQ}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$\vec{PR}$ की गणना:
$\vec{PR} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{QS}$ की गणना:
$\vec{QS} = (\hat{i} - 2\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
मान लीजिए $\theta$ विकर्णों $\vec{PR}$ और $\vec{QS}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{\vec{PR} \cdot \vec{QS}}{|\vec{PR}| |\vec{QS}|}$.
$\vec{PR} \cdot \vec{QS} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = (4)(-2) + (-2)(2) + (0)(-4) = -8 - 4 + 0 = -12$.
$|\vec{PR}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$|\vec{QS}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{-12}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{6})} = \frac{-12}{4\sqrt{30}} = \frac{-3}{\sqrt{30}} = -\sqrt{\frac{9}{30}} = -\sqrt{\frac{3}{10}}$.
अतः,$\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{10}}$।

(B) माना बिंदु $A = 2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$,$B = 3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}$,$C = \vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}$,और $D = \vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = A + t(B-A)$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{r} = (2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}) + t((3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}) - (2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}))$
$\vec{r} = (2+t) \vec{a} + (3+t) \vec{b} + (-1-t) \vec{c} \quad (i)$
$C$ और $D$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = C + s(D-C)$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{r} = (\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}) + s((\vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}) - (\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}))$
$\vec{r} = \vec{a} + (-2-4s) \vec{b} + (3+3s) \vec{c} \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ में $\vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$2+t = 1 \implies t = -1$
$3+t = -2-4s$
$-1-t = 3+3s$
दूसरे समीकरण में $t = -1$ रखने पर:
$3-1 = -2-4s \implies 2 = -2-4s \implies 4s = -4 \implies s = -1$
तीसरे समीकरण के साथ संगतता की जाँच करने पर:
$-1 - (-1) = 3 + 3(-1) \implies 0 = 0$. प्रणाली सुसंगत है।
समीकरण $(i)$ में $t = -1$ रखने पर:
$\vec{r} = (2-1) \vec{a} + (3-1) \vec{b} + (-1-(-1)) \vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$.

(B) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{14}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = -7$.
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
मान रखने पर: $-7 = (\sqrt{14})(\sqrt{14}) \cos \theta = 14 \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अब,व्यंजक $\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} \cdot \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta}{|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|} = \frac{\sin \theta}{|\cos \theta|}$.
मान रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{|-\frac{1}{2}|} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

(A) आयताकार समानांतर षट्फलक के शीर्ष $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(0,b,0)$,$C(0,0,c)$,$F(a,b,0)$,$D(a,0,c)$,$E(0,b,c)$,और $G(a,b,c)$ हैं।
दी गई आकृति के आधार पर,$d_1$,$XY$-समतल के समानांतर समतल ($z=c$ पर) पर स्थित विकर्ण $CG$ है,जो $C(0,0,c)$ और $G(a,b,c)$ को जोड़ता है। अतः,सदिश $\vec{d}_1 = \vec{G} - \vec{C} = (a-0)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (c-c)\hat{k} = a\hat{i} + b\hat{j}$ है।
$d_2$,समतल $\pi_2$ ($y=b$ पर $ZX$-समतल के समानांतर) पर स्थित विकर्ण $GB$ है,जो $G(a,b,c)$ और $B(0,b,0)$ को जोड़ता है। अतः,सदिश $\vec{d}_2 = \vec{B} - \vec{G} = (0-a)\hat{i} + (b-b)\hat{j} + (0-c)\hat{k} = -a\hat{i} - c\hat{k}$ है।
हालाँकि,आकृति में दिखाए गए सदिशों की दिशा को ध्यान में रखते हुए,हम $\vec{d}_1 = a\hat{i} + b\hat{j}$ और $\vec{d}_2 = a\hat{i} + c\hat{k}$ लेते हैं।
$\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2}{|\vec{d}_1| |\vec{d}_2|}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (a\hat{i} + b\hat{j}) \cdot (a\hat{i} + c\hat{k}) = a^2$ है।
$|\vec{d}_1| = \sqrt{a^2 + b^2}$ और $|\vec{d}_2| = \sqrt{a^2 + c^2}$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$।

(D) दी गई रेखाएं $r = a_1 + \lambda b_1$ और $r = a_2 + \mu b_2$ हैं,जहाँ $a_1 = 3i + 5j + 7k$,$b_1 = i + 2j + k$,$a_2 = -i - j - k$,और $b_2 = 7i - 6j + k$ है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $b_1 \times b_2$ की गणना करते हैं:
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 1 \\ 7 & -6 & 1 \end{vmatrix} = i(2 + 6) - j(1 - 7) + k(-6 - 14) = 8i + 6j - 20k$.
इसका परिमाण $|b_1 \times b_2| = \sqrt{8^2 + 6^2 + (-20)^2} = \sqrt{64 + 36 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ है।
इसके बाद,$a_2 - a_1 = (-i - j - k) - (3i + 5j + 7k) = -4i - 6j - 8k$ ज्ञात करते हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल $(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (-4i - 6j - 8k) \cdot (8i + 6j - 20k) = (-4)(8) + (-6)(6) + (-8)(-20) = -32 - 36 + 160 = 92$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|} = \frac{92}{10\sqrt{5}} = \frac{46}{5\sqrt{5}}$ है।

(B) मान लीजिए शीर्ष $A(\vec{a})$,$B(\vec{0})$,और $C(\vec{c})$ हैं।
$P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{a}$।
$Q$,$BC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{q} = \frac{1}{3}\vec{c}$।
$AQ$ रेखा का समीकरण $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t(\frac{1}{3}\vec{c})$ है।
$CP$ रेखा का समीकरण $\vec{r} = (1-s)\vec{c} + s(\frac{2}{3}\vec{a})$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ के लिए गुणांकों की तुलना करने पर,$s = \frac{2}{7}$ और $t = \frac{6}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{d} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$।
$\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{d} \times \vec{c}| = \frac{1}{14} |\vec{a} \times \vec{c}|$ है।
चूंकि त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $k = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{c}|$ है,इसलिए $\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{7} k$ होगा।

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 12 \hat{i}-12 \hat{j}-18 \hat{k}$,$\vec{b} = -3 \hat{i}-6 \hat{j}-9 \hat{k}$,और $\vec{c} = 3 \hat{i}+3 \hat{j}-24 \hat{k}$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$a = |\vec{BC}| = |6\hat{i} + 9\hat{j} - 15\hat{k}| = \sqrt{342}$.
$b = |\vec{AC}| = |-9\hat{i} + 15\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{342}$.
$c = |\vec{AB}| = |-15\hat{i} + 6\hat{j} + 9\hat{k}| = \sqrt{342}$.
चूंकि $a=b=c$,त्रिभुज समबाहु है।
समबाहु त्रिभुज का अंतःकेंद्र उसका केंद्रक होता है,जो $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
अंतःकेंद्र $= \frac{12\hat{i} - 15\hat{j} - 51\hat{k}}{3} = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 17\hat{k}$.

(D) मान लीजिए $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं। मान लीजिए $\vec{a} = \vec{0}$। तो $\vec{b} = \vec{b}$ और $\vec{c} = \vec{c}$।
बिंदु $P, Q, R$ भुजाओं $BC, CA, AB$ को $3:4, 2:5, 9:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं:
$\vec{P} = \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{7}$,$\vec{Q} = \frac{5\vec{c} + 2\vec{a}}{7} = \frac{5\vec{c}}{7}$,$\vec{R} = \frac{9\vec{b} + 5\vec{a}}{14} = \frac{9\vec{b}}{14}$.
अब,$\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR} = (\vec{P} - \vec{a}) + (\vec{Q} - \vec{b}) + (\vec{R} - \vec{c})$
$= \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{7} + (\frac{5\vec{c}}{7} - \vec{b}) + (\frac{9\vec{b}}{14} - \vec{c})$
$= \frac{6\vec{c} + 8\vec{b} + 10\vec{c} - 14\vec{b} + 9\vec{b} - 14\vec{c}}{14} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{14}$.
बिंदु $D$ भुजा $BC$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{D} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{5}$.
चूंकि $\vec{A} = \vec{0}$,$\vec{AD} = \vec{D} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$.
अतः,$\frac{\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR}}{\vec{AD}} = \frac{(3\vec{b} + 2\vec{c})/14}{(3\vec{b} + 2\vec{c})/5} = \frac{5}{14}$.
इसलिए,$k = \frac{5}{14}$.
अंत में,$(14k + 1) : (14k - 1) = (14 \times \frac{5}{14} + 1) : (14 \times \frac{5}{14} - 1) = (5 + 1) : (5 - 1) = 6 : 4 = 3 : 2$.

(A) दिया गया है कि $|\bar{a}|=5$,$|\bar{b}|=12$,और $|\bar{a}-\bar{b}|=13$ है।
समीकरण $|\bar{a}-\bar{b}|=13$ का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$।
मान रखने पर: $25 + 144 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$।
$169 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$,जिसका अर्थ है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$।
अब,हमें $|2\bar{a}+\bar{b}|$ ज्ञात करना है।
$|2\bar{a}+\bar{b}|^2 = (2\bar{a}+\bar{b}) \cdot (2\bar{a}+\bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$।
मान रखने पर: $4(25) + 144 + 4(0) = 100 + 144 = 244$।
अतः,$|2\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{244} = \sqrt{4 \times 61} = 2\sqrt{61}$।

(B) माना बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 7\bar{i}-4\bar{j}+7\bar{k}$,$\vec{b} = \bar{i}-6\bar{j}+10\bar{k}$,$\vec{c} = -\bar{i}-3\bar{j}+4\bar{k}$,और $\vec{d} = 5\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$ हैं।
चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों के मध्य बिंदुओं की जाँच करते हैं।
$AC$ का मध्य बिंदु = $\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} = \frac{(7-1)\bar{i} + (-4-3)\bar{j} + (7+4)\bar{k}}{2} = \frac{6\bar{i}-7\bar{j}+11\bar{k}}{2} = 3\bar{i}-3.5\bar{j}+5.5\bar{k}$.
$BD$ का मध्य बिंदु = $\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2} = \frac{(1+5)\bar{i} + (-6-1)\bar{j} + (10+1)\bar{k}}{2} = \frac{6\bar{i}-7\bar{j}+11\bar{k}}{2} = 3\bar{i}-3.5\bar{j}+5.5\bar{k}$.
चूंकि दोनों मध्य बिंदु समान हैं,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु यही मध्य बिंदु है।
अतः,$p=3, q=-3.5, r=5.5$.
$p+q+r = 3-3.5+5.5 = 5$.

(B) माना $|\vec{AC}| = k$ है। तब $|\vec{AD}| = 3k$ और $|\vec{AB}| = 5k$ है।
चूंकि $\vec{AC}$,$\angle A = \frac{2\pi}{3}$ का समद्विभाजक है,$\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,और $\vec{AD}$ और $\vec{AC}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u}$ और $\hat{v}$ लें।
अतः,$\vec{AC} = \frac{k}{2\cos(\pi/6)} (\frac{\vec{AB}}{5k} + \frac{\vec{AD}}{3k}) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\vec{AB}}{5} + \frac{\vec{AD}}{3})$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$ है।
डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करके,$\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए तीन बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{P} = \lambda \vec{a}-2 \vec{b}+\vec{c}$,$\vec{Q} = 2 \vec{a}+\lambda \vec{b}-2 \vec{c}$,और $\vec{R} = 4 \vec{a}+7 \vec{b}-8 \vec{c}$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ समानांतर होने चाहिए,अर्थात किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{PQ} = k \vec{QR}$.
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (2-\lambda) \vec{a} + (\lambda+2) \vec{b} - 3 \vec{c}$.
$\vec{QR} = \vec{R} - \vec{Q} = 2 \vec{a} + (7-\lambda) \vec{b} - 6 \vec{c}$.
$\vec{PQ} = k \vec{QR}$ होने के कारण:
$(2-\lambda) \vec{a} + (\lambda+2) \vec{b} - 3 \vec{c} = k [2 \vec{a} + (7-\lambda) \vec{b} - 6 \vec{c}]$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। गुणांकों की तुलना करने पर:
$\vec{c}$ के लिए: $-3 = -6k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$\vec{a}$ के लिए: $2-\lambda = 2k = 2(\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\vec{b}$ के लिए: $\lambda+2 = k(7-\lambda) = \frac{1}{2}(7-\lambda) \Rightarrow 2\lambda+4 = 7-\lambda \Rightarrow 3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट होती हैं।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP} = \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}$ और $\overrightarrow{OQ} = 5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$ ज्ञात करते हैं।
$\overrightarrow{PQ} = (5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) - (\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}) = 4 \hat{i}-5 \hat{j}+11 \hat{k}$.
$z$-अक्ष का दिशा सदिश $\hat{k} = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k}$ है।
माना $\theta$,$\overrightarrow{PQ}$ और $z$-अक्ष के बीच का कोण है। कोण का कोसाइन $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \hat{k}}{|\overrightarrow{PQ}| |\hat{k}|}$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\overrightarrow{PQ} \cdot \hat{k} = (4)(0) + (-5)(0) + (11)(1) = 11$.
$\overrightarrow{PQ}$ के परिमाण की गणना करने पर: $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 11^2} = \sqrt{16 + 25 + 121} = \sqrt{162}$.
चूंकि $|\hat{k}| = 1$,इसलिए $\cos \theta = \frac{11}{\sqrt{162} \times 1} = \frac{11}{\sqrt{162}}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है।
हमें $|\vec{a}| = 8$ और $|\vec{b}| = 3$ दिया गया है।
हमें $|\vec{a} - 2\vec{b}|$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$ का उपयोग करते हुए:
$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$
$= |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= (8)^2 + 4(3)^2 - 4(0)$
$= 64 + 4(9) - 0$
$= 64 + 36 = 100$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{100} = 10$.

(B) माना $\vec{a} = \vec{BC} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \vec{CD} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,भुजाएँ $\vec{BC}$ और $\vec{CD}$ हैं। विकर्ण $\vec{AC} = \vec{BC} + \vec{CD} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{CD} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
माना $\vec{d_1} = \vec{AC} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{d_2} = \vec{BD} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (3)(1) + (3)(-1) + (-1)(3) = 3 - 3 - 3 = -3$.
$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{-3}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{11}} = \frac{-3}{\sqrt{209}}$.
चूँकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{209} = \frac{200}{209}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{209}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{209}}$ है।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{10\sqrt{2} / \sqrt{209}}{-3 / \sqrt{209}} = \frac{-10\sqrt{2}}{3}$।

(A) एक सदिश $\vec{v}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $\left(\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ की गणना करें।
$\vec{p}$ ($\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप) के लिए:
$\vec{p} = \left(\frac{(6)(1) + (2)(-2) + (-3)(2)}{9}\right) \vec{a} = \left(\frac{6 - 4 - 6}{9}\right) \vec{a} = \frac{-4}{9} \vec{a}$.
$\vec{q}$ ($\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप) के लिए:
$\vec{q} = \left(\frac{(3)(1) + (-4)(-2) + (-12)(2)}{9}\right) \vec{a} = \left(\frac{3 + 8 - 24}{9}\right) \vec{a} = \frac{-13}{9} \vec{a}$.
अब,हमें $13 \vec{p}$ ज्ञात करना है:
$13 \vec{p} = 13 \left(\frac{-4}{9} \vec{a}\right) = \frac{-52}{9} \vec{a}$.
$\vec{q} = \frac{-13}{9} \vec{a}$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $4 \vec{q} = 4 \left(\frac{-13}{9} \vec{a}\right) = \frac{-52}{9} \vec{a}$.
अतः,$13 \vec{p} = 4 \vec{q}$.

(B) माना $A, B, C, D, E, P$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{p}$ हैं।
$D$,$BC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{d} = \frac{2\vec{c} + \vec{b}}{3} \Rightarrow 3\vec{d} = 2\vec{c} + \vec{b} \quad (1)$.
$E$,$CA$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{e} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} \Rightarrow 3\vec{e} = 2\vec{a} + \vec{c} \quad (2)$.
$(1)$ से,$2\vec{c} = 3\vec{d} - \vec{b}$.
$(2)$ से,$\vec{c} = 3\vec{e} - 2\vec{a} \Rightarrow 2\vec{c} = 6\vec{e} - 4\vec{a}$.
$2\vec{c}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$3\vec{d} - \vec{b} = 6\vec{e} - 4\vec{a} \Rightarrow 4\vec{a} + 3\vec{d} = 6\vec{e} + \vec{b}$.
$7$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4\vec{a} + 3\vec{d}}{7} = \frac{6\vec{e} + \vec{b}}{7}$.
यह बिंदु $\vec{p}$,$AD$ को $3:4$ के अनुपात में और $BE$ को $1:6$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$P$,$AD$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) $\vec{a}$ के लंबवत $\vec{b}$ का घटक निकालने का सूत्र $\vec{b}_{\perp} = \vec{b} - \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-3)(-2) + (1)(2) = 2 + 6 + 2 = 10$.
इसके बाद,$\vec{a}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.
अब,$\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{9}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ होगा।
अंत में,लंबवत घटक $\vec{b}_{\perp} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) - \frac{10}{9}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{9}(18\hat{i} - 27\hat{j} + 9\hat{k} - 10\hat{i} + 20\hat{j} - 20\hat{k}) = \frac{1}{9}(8\hat{i} - 7\hat{j} - 11\hat{k})$।

(D) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
दिया गया व्यंजक $|\bar{a}-\bar{b}|^2+|\bar{a}-\bar{c}|^2=10$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2-2\bar{a}\cdot\bar{b}) + (|\bar{a}|^2+|\bar{c}|^2-2\bar{a}\cdot\bar{c}) = 10$
चूंकि $|\bar{a}|=|\bar{b}|=|\bar{c}|=1$,इसलिए:
$(1+1-2\bar{a}\cdot\bar{b}) + (1+1-2\bar{a}\cdot\bar{c}) = 10$
$4 - 2\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = 10$
$-2\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = 6$
$\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = -3$ ... $(i)$
कथन $(I)$ के लिए: $|\bar{a}+2 \bar{b}|^2+|2 \bar{a}+\bar{c}|^2$
$= (|\bar{a}|^2 + 4|\bar{b}|^2 + 4\bar{a}\cdot\bar{b}) + (4|\bar{a}|^2 + |\bar{c}|^2 + 4\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= (1 + 4 + 4\bar{a}\cdot\bar{b}) + (4 + 1 + 4\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 10 + 4(\bar{a}\cdot\bar{b} + \bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 10 + 4(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}))$
$= 10 + 4(-3) = 10 - 12 = -2$.
चूंकि $-2 \neq 2$,कथन $(I)$ असत्य है।
कथन $(II)$ के लिए: $|2 \bar{a}+3 \bar{b}|^2+|3 \bar{a}+2 \bar{c}|^2$
$= (4|\bar{a}|^2 + 9|\bar{b}|^2 + 12\bar{a}\cdot\bar{b}) + (9|\bar{a}|^2 + 4|\bar{c}|^2 + 12\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= (4 + 9 + 12\bar{a}\cdot\bar{b}) + (9 + 4 + 12\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 26 + 12(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}))$
$= 26 + 12(-3) = 26 - 36 = -10$.
चूंकि $-10 \neq 10$,कथन $(II)$ असत्य है।
अतः,दोनों कथन असत्य हैं।

(B) दिया गया है कि $A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}), D(\vec{d})$ चार एकवृत्तीय बिंदु हैं,इस प्रकार कि $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}+t\vec{d}=\vec{0}$ और $x+y+z+t=0$।
चूंकि $A, B, C, D$ एकवृत्तीय हैं और जीवाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,बिंदु के घात प्रमेय (power of a point theorem) के अनुसार,$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ होता है।
जीवाओं $AB$ और $CD$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करके,हम $P$ को स्थिति सदिशों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
जीवा $AB$ के लिए,$P$,$AB$ को $k_1 : k_2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{p} = \frac{k_2\vec{a} + k_1\vec{b}}{k_1+k_2}$।
जीवा $CD$ के लिए,$P$,$CD$ को $k_3 : k_4$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{p} = \frac{k_4\vec{c} + k_3\vec{d}}{k_3+k_4}$।
इन दोनों को बराबर करने और दिए गए रैखिक संयोजन $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}+t\vec{d}=\vec{0}$ के साथ तुलना करने पर,हम गुणांकों की पहचान कर सकते हैं।
वृत्त में प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं की ज्यामिति से,जीवाओं के खंडों का गुणनफल $|xy||\vec{a}-\vec{b}|^2 = |zt||\vec{c}-\vec{d}|^2$ संबंध को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $\triangle ABC$ की प्रकृति या बिंदुओं $A, B, C$ की संरेखता निर्धारित करने के लिए,हम स्थिति सदिशों के बीच दूरी के सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई की गणना करते हैं: $d = |\vec{P_2} - \vec{P_1}|$.
$A$. दिया गया है $a = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, c = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$|AB| = |(3-2)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (2-4)\hat{k}| = |\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|BC| = |(4-3)\hat{i} + (2-4)\hat{j} + (3-2)\hat{k}| = |\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$|CA| = |(2-4)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k}| = |-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
चूंकि $|AB| = |BC| = |CA| = \sqrt{6}$,$\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है। अतः,$A-I$.
$B$. दिया गया है $a = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}, c = -3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|AB| = |2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}| = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|BC| = |-6\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}| = \sqrt{36+36+144} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$.
$|CA| = |-4\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}| = \sqrt{16+16+64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.
चूंकि $|AB| + |CA| = 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 6\sqrt{6} = |BC|$,बिंदु संरेख हैं। अतः,$B-IV$.
$C$. दिया गया है $a = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}, c = -3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|AB| = |-\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$.
$|BC| = |-4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{16+1+1} = \sqrt{18}$.
$|CA| = |-5\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}| = \sqrt{25+9+25} = \sqrt{59}$.
$|AB|^2 + |BC|^2 = 41 + 18 = 59 = |CA|^2$. अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है। अतः,$C-III$.
$D$. दिया गया है $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, c = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$|AB| = |0\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{0+1+4} = \sqrt{5}$.
$|BC| = |\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
$|CA| = |\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}| = \sqrt{1+4+0} = \sqrt{5}$.
चूंकि $|AB| = |CA| = \sqrt{5}$,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अतः,$D-II$.

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$.
मान लीजिए $|a| = k$. तब $|b| = \frac{1}{2}k$ और $|c| = \frac{\sqrt{3}}{2}k$.
सबसे पहले,सदिश $a+b+c$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = k^2 + \left(\frac{1}{2}k\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k\right)^2 = k^2 + \frac{1}{4}k^2 + \frac{3}{4}k^2 = 2k^2$.
अतः,$|a+b+c| = \sqrt{2}k$.
अब,मान लीजिए $(a+b+c)$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ है।
डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{(a+b+c) \cdot b}{|a+b+c| |b|}$.
चूंकि $a \cdot b = 0$ और $c \cdot b = 0$,इसलिए $(a+b+c) \cdot b = a \cdot b + b \cdot b + c \cdot b = 0 + |b|^2 + 0 = |b|^2$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|b|^2}{|a+b+c| |b|} = \frac{|b|}{|a+b+c|} = \frac{\frac{1}{2}k}{\sqrt{2}k} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$.

(A) दिया गया है,$|b|=2|a|$ और $|c|=3|a|$.
सदिशों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2|a||b| \cos(\frac{\pi}{3}) + 2|b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) + 2|a||c| \cos(\frac{\pi}{3})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + (2|a|)^2 + (3|a|)^2 + 2|a|(2|a|)(\frac{1}{2}) + 2(2|a|)(3|a|)(\frac{1}{2}) + 2|a|(3|a|)(\frac{1}{2})$.
$25 = |a|^2 + 4|a|^2 + 9|a|^2 + 2|a|^2 + 6|a|^2 + 3|a|^2$.
$25 = 25|a|^2$.
$|a|^2 = 1 \Rightarrow |a| = 1$.
अतः,$|b| = 2(1) = 2$ और $|c| = 3(1) = 3$.
इसलिए,$|c| + |a| + |b| = 3 + 1 + 2 = 6$.

(D) दिया गया है,$a = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $b = \hat{i} + \hat{j}$।
चूंकि $a = a_1 + a_2$ और $a_1$,$b$ के समांतर है,हम $a_1 = \lambda b = \lambda(\hat{i} + \hat{j})$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
चूंकि $a_2$,$b$ के लंबवत है,इसलिए $a_2 \cdot b = 0$ होगा।
$a_2 = a - a_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a - a_1) \cdot b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a \cdot b = a_1 \cdot b$।
$a \cdot b = (3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 3$ की गणना करने पर।
$a_1 \cdot b = \lambda(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = \lambda(1^2 + 1^2) = 2\lambda$ की गणना करने पर।
दोनों को बराबर करने पर,$2\lambda = 3$,इसलिए $\lambda = \frac{3}{2}$।
अतः,$a_1 = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j})$।