Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(A) माना $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं।
चूँकि $C$,$AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,$C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{2+3} = \frac{2(\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) + 3(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})}{5} = \frac{8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}}{5}$ है।
अतः,$5\vec{c} = 8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}$।
चूँकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$M$ का स्थिति सदिश $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}}{2}$ है।
अतः,$2\vec{m} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$।
अंत में,$5\vec{c} - 2\vec{m} = (8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}) - (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$।

(B) माना शीर्षों $A$,$B$,और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{j}+2 \hat{k}$ हैं।
माना $D$,भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} = \frac{(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + (0\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})}{2} = \frac{\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}}{2}$ है।
माध्यिका $AD$ की दिशा में सदिश $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \left(\frac{1}{2}\hat{i}+\hat{j}+\frac{3}{2}\hat{k}\right) - (2\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}) = -\frac{3}{2}\hat{i} - 3\hat{j} + \frac{13}{2}\hat{k}$ है।
इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए,हम परिमाण $|\vec{AD}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-3)^2 + (\frac{13}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9 + \frac{169}{4}} = \frac{\sqrt{214}}{2}$ ज्ञात करते हैं।
इकाई सदिश $\frac{\vec{AD}}{|\vec{AD}|} = \frac{-3\hat{i} - 6\hat{j} + 13\hat{k}}{\sqrt{214}}$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{3\hat{i}+6\hat{j}-13\hat{k}}{\sqrt{214}}$ है।

(A) दिया गया है कि $D$,$BC$ को $2:3$ के अनुपात में,$E$,$AC$ को $2:1$ के अनुपात में और $P$,$DE$ को $3:5$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{d} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{2+3} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{5} \implies 5\vec{d} = 3\vec{b} + 2\vec{c} \quad (i)$
$\vec{e} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{c}}{2+1} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} \implies 3\vec{e} = 2\vec{a} + \vec{c} \quad (ii)$
अब,$P$,$DE$ को $3:5$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{p}$ है:
$\vec{p} = \frac{3\vec{e} + 5\vec{d}}{3+5} = \frac{3\vec{e} + 5\vec{d}}{8}$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से $5\vec{d}$ और $3\vec{e}$ के मान रखने पर:
$\vec{p} = \frac{(2\vec{a} + \vec{c}) + (3\vec{b} + 2\vec{c})}{8}$
$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c}}{8} = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c})$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) दिया गया सदिश समीकरण: $(\frac{7}{3}+\beta) \hat{i}-\hat{j}+(\alpha+\gamma) \hat{k}=\frac{5}{3}(\alpha \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+\beta(2 \hat{j}+\hat{k})+(\hat{i}+\gamma \hat{j}+3 \hat{k})$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$(\frac{7}{3}+\beta) \hat{i}-\hat{j}+(\alpha+\gamma) \hat{k}=(\frac{5}{3} \alpha+1) \hat{i}+(\frac{5}{3}+2 \beta+\gamma) \hat{j}+(-\frac{5}{3}+\beta+3) \hat{k}$.
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \frac{7}{3}+\beta = \frac{5}{3} \alpha+1 \Rightarrow 5 \alpha-3 \beta=4$.
$2) -1 = \frac{5}{3}+2 \beta+\gamma \Rightarrow 2 \beta+\gamma=-\frac{8}{3}$.
$3) \alpha+\gamma = -\frac{5}{3}+\beta+3 \Rightarrow \alpha-\beta+\gamma=\frac{4}{3}$.
$(2)$ से,$\gamma = -\frac{8}{3}-2 \beta$. इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha-\beta+(-\frac{8}{3}-2 \beta) = \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha-3 \beta = 4$.
यह समीकरण $(1)$ के समान है। हल करने पर हमें $\alpha=0, \beta=-\frac{4}{3}, \gamma=0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$5 \alpha-9 \beta+13 \gamma = 5(0)-9(-\frac{4}{3})+13(0) = 3(4) = 12$.

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ हैं।
चूंकि $D, BC$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,$D$ का स्थिति सदिश $\bar{d} = \frac{1\bar{b} + 3\bar{c}}{1+3} = \frac{\bar{b} + 3\bar{c}}{4}$ है।
चूंकि $E, AD$ को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,$E$ का स्थिति सदिश $\bar{e} = \frac{1\bar{a} + 4\bar{d}}{1+4} = \frac{\bar{a} + 4(\frac{\bar{b} + 3\bar{c}}{4})}{5} = \frac{\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c}}{5}$ है।
दिया गया है कि $E, BF$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\bar{e} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{2+3} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{5}$ है।
$\bar{e}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c}}{5} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{5}$.
$\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c} = 2\bar{b} + 3\bar{f}$.
$3\bar{f} = \bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$.
$\bar{f} = \frac{\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}}{3}$.

(D) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$।
दिए गए सदिश $-3 \hat{i} + 4 \hat{j} + \lambda \hat{k}$ और $\mu \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}$ हैं।
चूंकि वे संरेख हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{-3}{\mu} = \frac{4}{8} = \frac{\lambda}{6}$
चूंकि $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$,हम अन्य अनुपातों की तुलना करते हैं:
$1) \frac{-3}{\mu} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mu = -6$
$2) \frac{\lambda}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \lambda = 3$
अतः,$\lambda - \mu = 3 - (-6) = 3 + 6 = 9$।

(A) हमें सदिशों का योग ज्ञात करना है: $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AE} + \vec{BC} + \vec{DC} + \vec{ED} + \vec{AC}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{S} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{AE} + \vec{ED}) + (\vec{DC} + \vec{AC})$.
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ और $\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{AD} + (\vec{DC} + \vec{AC})$.
चूंकि $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$ ($\triangle ADC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार),
$\vec{S} = \vec{AC} + (\vec{AD} + \vec{DC}) + \vec{AC} = \vec{AC} + \vec{AC} + \vec{AC} = 3 \vec{AC}$.

(D) माना शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $P$,$DC$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{3\vec{d} + 1\vec{c}}{1+3} = \frac{3\vec{d} + \vec{c}}{4}$ है।
चूंकि $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है।
अब,$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \frac{3\vec{d} + \vec{c}}{4} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{c} - 3\vec{d} - \vec{c}}{4} = \frac{2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4}$ है।
दिया गया व्यंजक: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{BC} - 2\vec{DC} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) - 2(\vec{c} - \vec{d})$ है।
इसे सरल करने पर: $\vec{b} - \vec{a} + \vec{d} - \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d} = -2\vec{a} - \vec{c} + 3\vec{d} = -(2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d})$ प्राप्त होता है।
$\lambda \vec{PQ}$ के साथ तुलना करने पर:
$-(2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}) = \lambda \left( \frac{2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4} \right)$ है।
अतः,$\lambda = -4$ है।

(A) दिया गया है $OA = a, OB = b$. $A^{\prime}O = OA \implies OA^{\prime} = -a$. $B^{\prime}O = OB \implies OB^{\prime} = -b$.
बिंदु $P$ के लिए,$OP = -\frac{3}{4}a + \frac{7}{4}b = \frac{7b - 3a}{4}$. चूंकि गुणांक $x_1 = -\frac{3}{4}$ और $y_1 = \frac{7}{4}$ हैं,और $x_1 + y_1 = 1$ है,इसलिए $P$ रेखा $AB$ पर स्थित है। विशेष रूप से,$P, AB$ को $7:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है। सदिशों $a$ और $b$ द्वारा परिभाषित निर्देशांक प्रणाली में,$P$ उस क्षेत्र में स्थित है जहाँ $x < 0$ और $y > 0$ है,जो $\triangle A^{\prime}OB$ के आंतरिक भाग के अनुरूप है।
बिंदु $Q$ के लिए,$OQ = \frac{1}{3}a + \frac{5}{3}b = 2(\frac{1}{6}a + \frac{5}{6}b)$. चूंकि गुणांकों का योग $\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2 > 1$ है,इसलिए $Q, \triangle AOB$ के बाहर स्थित है।

(B) दिया गया है कि $a$ और $b$ स्थिति सदिशों वाले बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = ta + (1-t)b$ है,जहाँ $t$ एक अदिश प्राचल है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $r - b = t(a - b)$ प्राप्त होता है।
यह इंगित करता है कि सदिश $(r - b)$,सदिश $(a - b)$ के साथ संरेख है।
इस प्रकार,$r$ द्वारा निरूपित बिंदु का बिंदुपथ वह सीधी रेखा है जो $a$ और $b$ सदिशों द्वारा निरूपित बिंदुओं से होकर गुजरती है।
जब $0 \leq t \leq 1$ होता है,तो बिंदु $r$ उन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होता है जिनके स्थिति सदिश $a$ और $b$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $l(3a + 2b + c) + m(2a + 2b + 3c) + n(a + 2b + 5c) = 0$
सदिशों $a, b, c$ के आधार पर पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a(3l + 2m + n) + b(2l + 2m + 2n) + c(l + 3m + 5n) = 0$
चूंकि $a, b, c$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$3l + 2m + n = 0$ $(i)$
$2l + 2m + 2n = 0 \Rightarrow l + m + n = 0$ $(ii)$
$l + 3m + 5n = 0$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(3l + 2m + n) - (l + m + n) = 0 \Rightarrow 2l + m = 0 \Rightarrow m = -2l$
समीकरण $(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(l + 3m + 5n) - (l + m + n) = 0 \Rightarrow 2m + 4n = 0 \Rightarrow m = -2n$
$m$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$-2l = -2n \Rightarrow l = n$
$l = n$ को $m = -2n$ में रखने पर:
$m = -2n \Rightarrow m + 2n = 0$
अतः,शर्त $l = n$ और $m + 2n = 0$ है।

(D) माना $P, Q, R, S, A, B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{a}, \vec{b}$ हैं।
दिया गया है कि $A$,$SR$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,अतः $\vec{a} = \frac{3\vec{s} + 1\vec{r}}{1+3} = \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}$ है।
चूंकि $B$,$PR$ का मध्य-बिंदु है,अतः $\vec{b} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$ है।
दिया गया समीकरण $3\vec{SR} - \vec{QR} - 3\vec{PS} - \vec{PQ} = k\vec{AB}$ है।
सदिशों का मान रखने पर:
$3(\vec{r} - \vec{s}) - (\vec{r} - \vec{q}) - 3(\vec{s} - \vec{p}) - (\vec{q} - \vec{p}) = k(\vec{b} - \vec{a})$
$3\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r} + \vec{q} - 3\vec{s} + 3\vec{p} - \vec{q} + \vec{p} = k\left(\frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} - \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}\right)$
बाईं ओर के समान पदों को संयोजित करने पर:
$(3\vec{r} - \vec{r}) + (-3\vec{s} - 3\vec{s}) + (3\vec{p} + \vec{p}) + (\vec{q} - \vec{q}) = k\left(\frac{2\vec{p} + 2\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r}}{4}\right)$
$2\vec{r} - 6\vec{s} + 4\vec{p} = k\left(\frac{2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s}}{4}\right)$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k(2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s})$
$8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k\vec{r} - 3k\vec{s} + 2k\vec{p}$
दोनों पक्षों में $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $k = 8$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए बिंदु $A(1, 3, x)$,$B(3, 5, 8)$,और $C(y, -1, -6)$ हैं।
सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = (3-1)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (8-x)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + (8-x)\hat{k}$
$\vec{AC} = (y-1)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-6-x)\hat{k} = (y-1)\hat{i} - 4\hat{j} - (6+x)\hat{k}$
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,इसलिए किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{AB} = \lambda \vec{AC}$ होगा।
घटकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{y-1} = \frac{2}{-4} = \frac{8-x}{-(6+x)}$
$\frac{2}{y-1} = \frac{2}{-4}$ से,$y-1 = -4$,अतः $y = -3$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{-4} = \frac{8-x}{-(6+x)}$ से,$-\frac{1}{2} = \frac{8-x}{-6-x}$ प्राप्त होता है।
$6+x = 2(8-x) \Rightarrow 6+x = 16-2x \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$।
अतः,$(x, y) = \left(\frac{10}{3}, -3\right)$।

(B) माना $S$ मूल बिंदु है। माना $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $P$ पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$P, AC$ का मध्य-बिंदु है और $BD$ का भी मध्य-बिंदु है।
चूंकि $P, AC$ का मध्य-बिंदु है,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{p}$।
चूंकि $P, BD$ का मध्य-बिंदु है,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{p}$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{d}) = 2\vec{p} + 2\vec{p} = 4\vec{p}$।
चूंकि $S$ मूल बिंदु है,$\vec{a} = \vec{SA}, \vec{b} = \vec{SB}, \vec{c} = \vec{SC}, \vec{d} = \vec{SD}$ और $\vec{p} = \vec{SP}$ है।
अतः,$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SP}$।
दिए गए समीकरण $\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = \lambda \vec{SP}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{AD} = \vec{b}$ है। चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ और $\vec{CD} = \vec{AB} = \vec{a}$ होगा।
दिया गया है कि $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{b}$ है।
दिया गया है कि $N$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{DN} = \frac{1}{2} \vec{CD} = \frac{1}{2} \vec{a}$ है।
$\triangle ABM$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ है।
$\triangle ADN$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}$ है।
इन दोनों सदिशों को जोड़ने पर:
$\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) + (\vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a})$
$= (1 + \frac{1}{2}) \vec{a} + (1 + \frac{1}{2}) \vec{b}$
$= \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} = \frac{3}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ है।
चूंकि $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\vec{AM} + \vec{AN} = \frac{3}{2} \vec{AC}$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+3\vec{b}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है।
इसलिए,$\vec{a}+3\vec{b} = \lambda\vec{c}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
इसका अर्थ है $\vec{a}+3\vec{b}-\lambda\vec{c} = 0$ $(i)$
साथ ही,$3\vec{b}+2\vec{c}$,$\vec{a}$ के साथ संरेख है।
इसलिए,$3\vec{b}+2\vec{c} = \mu\vec{a}$ किसी अदिश $\mu$ के लिए।
इसका अर्थ है $3\vec{b}+2\vec{c}-\mu\vec{a} = 0$ $(ii)$
$(i)$ से,हमारे पास $3\vec{b} = \lambda\vec{c} - \vec{a}$ है।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\lambda\vec{c} - \vec{a}) + 2\vec{c} - \mu\vec{a} = 0$
$(\lambda+2)\vec{c} - (1+\mu)\vec{a} = 0$
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$\lambda+2 = 0 \implies \lambda = -2$ और $1+\mu = 0 \implies \mu = -1$.
$\lambda = -2$ को $(i)$ में रखने पर:
$\vec{a}+3\vec{b} = -2\vec{c}$
$\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c} = 0$

(C) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,$\vec{b} = 3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$,और $\vec{c} = 4\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ हैं।
भुजा सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
चूंकि $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = \sqrt{6}$,इसलिए तीनों भुजाओं की लंबाई समान है।
अतः,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(B) माना $D$,भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका सदिश $\vec{AD}$ है।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $A$ के सापेक्ष $D$ का स्थिति सदिश सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के औसत द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((-3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k})$
$\vec{AD} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$
माध्यिका $\vec{AD}$ की लंबाई सदिश $\vec{AD}$ का परिमाण है:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{1 + 1 + 16}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{18}$

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}_1=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{a}_2=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\overrightarrow{a}_3=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{a}_4=-\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
परिमाण $m_1, m_2, m_3, m_4$ की गणना करने पर:
$m_1 = |\overrightarrow{a}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
$m_2 = |\overrightarrow{a}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}$
$m_3 = |\overrightarrow{a}_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$
$m_4 = |\overrightarrow{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$.
अतः,$m_3 < m_1 < m_4 < m_2$.

(C) $I$: दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि वे शून्येतर और असंरेख हों। अतः,कथन $I$ सत्य है।
$II$: $3D$ अंतरिक्ष में कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं क्योंकि यदि वे असंरेख हैं तो एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,या यदि कोई दो सदिश संरेख हैं तो भी वे रैखिक रूप से आश्रित होते हैं। अतः,कथन $II$ सत्य है।
$\therefore$ $I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

(B) दिया गया है कि $a = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
चूँकि $a$ और $b$ संरेख हैं,इसलिए $b = \lambda a$ होगा,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
हमें दिया गया है कि $|b| = 21$.
सबसे पहले,$a$ का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
चूँकि $b = \lambda a$,इसलिए $|b| = |\lambda| |a|$ होगा।
$21 = |\lambda| \times 7 \implies |\lambda| = 3 \implies \lambda = \pm 3$.
अतः,$b = \pm 3(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k})$.

(A) मान लीजिए कि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $D, E, F$ क्रमशः $AB, AC, BC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए उनके स्थिति सदिश हैं:
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
अब,$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$।
और $\overrightarrow{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$।
इन दो सदिशों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$।
चूंकि $\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \vec{c} - \vec{d} = \overrightarrow{DC}$।

(C) दिए गए सदिश $a = \hat{i} + 4 \hat{j}$,$b = 2 \hat{i} - 2 \hat{j}$,और $c = 5 \hat{i} + 9 \hat{j}$ हैं।
हम $3 a + b$ का मान जाँचते हैं:
$3 a + b = 3(\hat{i} + 4 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= (3 \hat{i} + 12 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= (3 + 2) \hat{i} + (12 - 3) \hat{j}$
$= 5 \hat{i} + 9 \hat{j} = c$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सदिश $\overline{b}$ का $\overline{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\overline{a}$ का $\overline{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अनुपात $\frac{\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}}{\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{b}|}} = \frac{|\overline{b}|}{|\overline{a}|}$ होगा।
सबसे पहले,परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें:
$|\overline{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\overline{b}| = \sqrt{9^2 + 6^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 36 + 324} = \sqrt{441} = 21$.
अंत में,अनुपात $\frac{|\overline{b}|}{|\overline{a}|} = \frac{21}{3} = 7$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\vec{a} = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ है।
चूंकि $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ है,इसलिए आंतरिक कोण समद्विभाजक $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} = (2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 3 \hat{i} + 3 \hat{k}$ है।
समद्विभाजक की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{3 \hat{i} + 3 \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{3 \hat{i} + 3 \hat{k}}{3 \sqrt{2}} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
इस दिशा में $\sqrt{2}$ परिमाण वाला सदिश $\sqrt{2} \times \hat{u} = \sqrt{2} \times \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{k}$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c} = 5$.
इसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 5$.
हम जानते हैं कि $|\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 + |\vec{z}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x})$.
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2 = 15 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$|\vec{b} + \vec{c} - \vec{a}|^2 = 15 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\vec{c} + \vec{a} - \vec{b}|^2 = 15 + 2(\vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c})$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$50 = 45 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$5 = -2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{5}{2}$.

(C) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
मान लीजिए $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,जहाँ $x, y, z \in \mathbb{Z}$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,इसलिए $x + y + z = 1$.
साथ ही,$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{3}|\vec{b}|} = \frac{1}{3}$.
इसका अर्थ है $\sqrt{3}|\vec{b}| = 3$,इसलिए $|\vec{b}| = \sqrt{3}$.
अतः,$|\vec{b}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 3$.
हमें ऐसे पूर्णांक $(x, y, z)$ खोजने की आवश्यकता है कि $x + y + z = 1$ और $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ हो।
संभावित पूर्णांक हल $(1, 1, -1)$ के क्रमपरिवर्तन हैं।
ये क्रमपरिवर्तन $(1, 1, -1)$,$(1, -1, 1)$,और $(-1, 1, 1)$ हैं।
ये सदिश $\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,और $-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के अनुरूप हैं।
इसलिए,ऐसे $3$ संभावित सदिश हैं।

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 7\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$,और $\vec{d} = -7\hat{i}-17\hat{j}+16\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ को ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (7-3)\hat{i} + (2-(-5))\hat{j} + (-4-2)\hat{k} = 4\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (-7-1)\hat{i} + (-17-(-3))\hat{j} + (16-4)\hat{k} = -8\hat{i} - 14\hat{j} + 12\hat{k}$.
ध्यान दें कि $\overrightarrow{CD} = -2(4\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$.
चूंकि $\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{AB}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश विपरीत दिशा में हैं।
अतः,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ के बीच का कोण $\theta = \pi$ रेडियन है।

(D) दिया गया है,स्थिति सदिश $\vec{a} = 3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b} = 13 \hat{i}-4 \hat{j}+9 \hat{k}$ हैं।
दूरी $AB = |\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{(13-3)^2 + (-4-1)^2 + (9-(-1))^2} = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{100+25+100} = \sqrt{225} = 15$.
चूंकि $C$,$A$ और $B$ के बीच $A$ से $9$ की दूरी पर स्थित है,$C$,$AB$ को $AC:CB = 9:(15-9) = 9:6 = 3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + 3(13 \hat{i}-4 \hat{j}+9 \hat{k})}{5} = \frac{(6+39) \hat{i} + (2-12) \hat{j} + (-2+27) \hat{k}}{5} = \frac{45 \hat{i} - 10 \hat{j} + 25 \hat{k}}{5} = 9 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$ है।
$D$,रेखा $L$ पर $A$ के दूसरी ओर $6$ इकाइयों की दूरी पर स्थित है। इस प्रकार,$A$,$DC$ को $2:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$\vec{a} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c}}{3+2} \Rightarrow 5\vec{a} = 3\vec{d} + 2\vec{c} \Rightarrow 3\vec{d} = 5\vec{a} - 2\vec{c}$।
$3\vec{d} = 5(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - 2(9 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = (15-18) \hat{i} + (5+4) \hat{j} + (-5-10) \hat{k} = -3 \hat{i} + 9 \hat{j} - 15 \hat{k}$।
$\vec{d} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$।

(D) दिए गए स्थिति सदिश हैं:
$A = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$
$B = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$
$C = \frac{7}{4} \hat{i}+\frac{15}{4} \hat{j}+\frac{15}{4} \hat{k}$
$D = \frac{7}{3} \hat{i}+\frac{2}{3} \hat{j}+\frac{5+3a}{3} \hat{k}$
सदिश $\vec{AC} = C - A = (\frac{7}{4}-1) \hat{i} + (\frac{15}{4}-2) \hat{j} + (\frac{15}{4}-3) \hat{k} = \frac{3}{4} \hat{i} + \frac{7}{4} \hat{j} + \frac{3}{4} \hat{k}$.
सदिश $\vec{BD} = D - B = (\frac{7}{3}-2) \hat{i} + (\frac{2}{3}-(-1)) \hat{j} + (\frac{5+3a}{3}-2) \hat{k} = \frac{1}{3} \hat{i} + \frac{5}{3} \hat{j} + \frac{3a-1}{3} \hat{k}$.
दिया गया है $|AC| = |BD|$,इसलिए $|AC|^2 = |BD|^2$:
$(\frac{3}{4})^2 + (\frac{7}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 = (\frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2 + (\frac{3a-1}{3})^2$
$\frac{9+49+9}{16} = \frac{1+25+(3a-1)^2}{9}$
$\frac{67}{16} = \frac{26+(3a-1)^2}{9}$
$603 = 16(26 + (3a-1)^2)$
$603 = 416 + 16(3a-1)^2$
$16(3a-1)^2 = 603 - 416 = 187$.

(A) दिए गए स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{OP} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
$\vec{OQ} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{OR} = 2\hat{i} - 3\hat{k}$
$\vec{OS} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
अब,सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{RS}$ की गणना करें:
$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{RS} = \vec{OS} - \vec{OR} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
चूंकि $\vec{PQ} = \vec{RS}$,इसलिए सदिश समांतर हैं।
दो समांतर सदिशों के बीच का कोण $0$ होता है।

(A) मान लीजिए बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
दिया गया है $\vec{a} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$।
त्रिभुजाकार फलक $BCD$ का केंद्रक $\vec{G}_{BCD} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = \frac{2}{3}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$ है।
अतः,$\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 2(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$।
चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक $\vec{G} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ है।
मान रखने पर,$\vec{G} = \frac{(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) + 2(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})}{4} = \frac{3}{4}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) = \frac{3}{4}\vec{i}+\frac{3}{4}\vec{j}+\frac{3}{4}\vec{k}$।
$\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{3}{4}, \beta = \frac{3}{4}, \gamma = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
तब $2\alpha+\beta+\gamma = 2(\frac{3}{4}) + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{6}{4} = \frac{12}{4} = 3$।

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = P \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$,और $\vec{c} = 4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k}$ हैं।
चूंकि बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-P) \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = 2 \hat{i} + 10 \hat{j} - 14 \hat{k}$
$\vec{AB} = k \vec{BC}$ लेने पर,$(2-P) \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k} = k(2 \hat{i} + 10 \hat{j} - 14 \hat{k})$।
$\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$5 = 10k \Rightarrow k = 0.5$।
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2-P = 2(0.5) = 1 \Rightarrow P = 1$।
अतः,$\vec{AB} = \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-7)^2} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$।
$\vec{AB}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{1}{5 \sqrt{3}} (\hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k})$ है।
$|P| = 1$ होने के कारण,अभीष्ट सदिश $\frac{1}{5 \sqrt{3}} (\hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k})$ है।

(B) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 6\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\vec{c} = 14\hat{i} - 5\hat{j} + p\hat{k}$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (6-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (14-6)\hat{i} + (-5 - (-1))\hat{j} + (p-2)\hat{k} = 8\hat{i} - 4\hat{j} + (p-2)\hat{k}$
संरेखता के लिए,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{BC} = k\vec{AB}$ होना चाहिए।
$8\hat{i} - 4\hat{j} + (p-2)\hat{k} = k(4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$
घटकों की तुलना करने पर:
$4k = 8 \Rightarrow k = 2$
$-2k = -4 \Rightarrow k = 2$
$k = p-2$
$k=2$ रखने पर: $2 = p-2 \Rightarrow p = 4$.

(C) सबसे पहले,व्यक्तिगत सदिशों के परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\bar{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$|\bar{c}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
परिमाणों का योग: $|\bar{a}| + |\bar{b}| + |\bar{c}| = 3 + 7 + 13 = 23$.
इसके बाद,सदिशों का योग ज्ञात करें:
$\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = (1+6-4)\bar{i} + (-2+3+3)\bar{j} + (2-2+12)\bar{k} = 3\bar{i} + 4\bar{j} + 12\bar{k}$.
परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
अंत में,व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$\sqrt{(|\bar{a}| + |\bar{b}| + |\bar{c}|) + |\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|} = \sqrt{23 + 13} = \sqrt{36} = 6$.

(C) माना $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
दिया है $\vec{a} = \bar{i}-2\bar{j}+3\bar{k}$,$\vec{b} = -2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}$,और $\vec{c} = 3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}$।
फलक $BCD$ का केंद्रक $\vec{g}_{BCD} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = -\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}$ है।
अतः,$\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 3(-\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}) = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ का मान रखने पर:
$(-2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}) + (3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}) + \vec{d} = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$।
$(\bar{i}+3\bar{j}+2\bar{k}) + \vec{d} = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$।
$\vec{d} = -4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k}$।
चतुष्फलक का केंद्रक $G$ है,$\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$।
$\vec{g} = \frac{(\bar{i}-2\bar{j}+3\bar{k}) + (-2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}) + (3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}) + (-4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k})}{4} = \frac{-2\bar{i}+4\bar{j}-6\bar{k}}{4} = -0.5\bar{i}+\bar{j}-1.5\bar{k}$।
$GD = |\vec{d} - \vec{g}| = |(-4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k}) - (-0.5\bar{i}+\bar{j}-1.5\bar{k})| = |-3.5\bar{i}+2\bar{j}-9.5\bar{k}|$।
$GD = \sqrt{(-3.5)^2 + 2^2 + (-9.5)^2} = \sqrt{12.25 + 4 + 90.25} = \sqrt{106.5} = \sqrt{\frac{213}{2}} = \frac{\sqrt{213}}{\sqrt{2}}$।

(A) माना $\vec{a} = 2 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 4 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k}$ बिंदु $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं।
चूंकि $P$ और $Q$ रेखा $AB$ को त्रिभाजित करते हैं,स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$ और $\vec{q} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$ होंगे।
$PQ$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$ ज्ञात करने के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{r} = \frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5} = \frac{3(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) + 2(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})}{5} = \frac{8\vec{a} + 7\vec{b}}{15}$.
सदिशों का मान रखने पर: $\vec{r} = \frac{8(2 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) + 7(4 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k})}{15} = \frac{44\hat{i}-33\hat{j}-18\hat{k}}{15}$.

(D) माना कि $\vec{a} = \frac{-9}{2} \bar{i} - 6 \bar{j} + \frac{1}{2} \bar{k}$ स्थिति सदिश वाला बिंदु $A$,रेखाखंड $PQ$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$A$ का स्थिति सदिश:
$\vec{a} = \frac{\lambda \vec{q} + 1 \vec{p}}{\lambda + 1}$
दिए गए सदिशों $\vec{p} = -2 \bar{i} - 3 \bar{j} + \bar{k}$ और $\vec{q} = 3 \bar{i} + 3 \bar{j} + 2 \bar{k}$ का मान रखने पर:
$\frac{-9}{2} \bar{i} - 6 \bar{j} + \frac{1}{2} \bar{k} = \frac{\lambda(3 \bar{i} + 3 \bar{j} + 2 \bar{k}) + 1(-2 \bar{i} - 3 \bar{j} + \bar{k})}{\lambda + 1}$
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$\frac{-9}{2} = \frac{3 \lambda - 2}{\lambda + 1}$
$-9(\lambda + 1) = 2(3 \lambda - 2)$
$-9 \lambda - 9 = 6 \lambda - 4$
$-15 \lambda = 5$
$\lambda = -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3}$
चूंकि $\lambda$ ऋणात्मक है,इसलिए बिंदु $A$,रेखाखंड $PQ$ को $1 : 3$ के अनुपात में बाह्य रूप से (externally) विभाजित करता है।

(A) चूंकि बिंदु $A(1, x, 3)$,$B(3, 4, 7)$,और $C(y, -2, -5)$ संरेख हैं,इसलिए सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ समानांतर होने चाहिए.\\
$\overrightarrow{AB} = (3-1)\hat{i} + (4-x)\hat{j} + (7-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$\\
$\overrightarrow{BC} = (y-3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (-5-7)\hat{k} = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$\\
किसी अदिश $k$ के लिए $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$ होने के कारण:\\
$2 = k(y-3)$\\
$4-x = k(-6)$\\
$4 = k(-12)$\\
तीसरे समीकरण से,$k = \frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}$.\\
$k = -\frac{1}{3}$ को पहले समीकरण में रखने पर: $2 = -\frac{1}{3}(y-3) \Rightarrow -6 = y-3 \Rightarrow y = -3$.\\
$k = -\frac{1}{3}$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $4-x = -\frac{1}{3}(-6) \Rightarrow 4-x = 2 \Rightarrow x = 2$.\\
अतः,$x+y = 2 + (-3) = -1$.

(A) माना शीर्षों $A, B, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{0}, \vec{b}, \vec{d}$ हैं। तब $C$ का स्थिति सदिश $\vec{b}+\vec{d}$ है।
चूंकि $P$,$AD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\frac{\vec{d}}{2}$ है।
माना $Q$,$AC$ को $\lambda:1$ के अनुपात में और $BP$ को $\mu:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$AC$ पर $Q$ का स्थिति सदिश $\frac{\lambda(\vec{b}+\vec{d}) + 1(\vec{0})}{\lambda+1} = \frac{\lambda}{\lambda+1}\vec{b} + \frac{\lambda}{\lambda+1}\vec{d}$ है।
$BP$ पर $Q$ का स्थिति सदिश $\frac{\mu(\frac{\vec{d}}{2}) + 1(\vec{b})}{\mu+1} = \frac{1}{\mu+1}\vec{b} + \frac{\mu}{2(\mu+1)}\vec{d}$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{d}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{1}{\mu+1}$ और $\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{\mu}{2(\mu+1)}$.
इससे,$\frac{1}{\mu+1} = \frac{\mu}{2(\mu+1)} \Rightarrow \mu = 2$.
पहले समीकरण में $\mu=2$ रखने पर: $\frac{\lambda}{\lambda+1} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
$3\lambda = \lambda+1 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
अतः,$AQ:QC$ का अनुपात $\lambda:1 = \frac{1}{2}:1 = 1:2$ है।

(A) $x$-अक्ष के दिक-अनुपात $(1, 0, 0)$ हैं। $x$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = (1, 0, 0)$ है।
दी गई रेखा के दिक-अनुपात $(3, -1, 5)$ हैं। इसका परिमाण $\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ है।
इस रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{b} = (\frac{3}{\sqrt{35}}, -\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}})$ है।
दो इकाई सदिशों $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के कोण का समद्विभाजक सदिश $\hat{a} + \hat{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\hat{a} + \hat{b} = (1 + \frac{3}{\sqrt{35}}, 0 - \frac{1}{\sqrt{35}}, 0 + \frac{5}{\sqrt{35}}) = (\frac{\sqrt{35}+3}{\sqrt{35}}, -\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}})$.
$\sqrt{35}$ से गुणा करने पर,दिक-अनुपात $(\sqrt{35}+3, -1, 5)$ प्राप्त होते हैं।