Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(C) दिया गया है $\vec{a}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ और $x=2 y$ है।
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{(2y)^2+y^2+z^2} = \sqrt{5y^2+z^2}$।
दिया है $|\vec{a}| = 5 \sqrt{2}$,इसलिए $5y^2+z^2 = (5 \sqrt{2})^2 = 50$।
चूंकि $\vec{a}$,$z$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाता है,$z$-अक्ष पर घटक $z = |\vec{a}| \cos 135^{\circ}$ होगा।
$z = 5 \sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -5$।
$z = -5$ को समीकरण $5y^2+z^2 = 50$ में रखने पर:
$5y^2 + (-5)^2 = 50 \Rightarrow 5y^2 + 25 = 50 \Rightarrow 5y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 5 \Rightarrow y = \pm \sqrt{5}$।
चूंकि $x = 2y$,इसलिए $x = \pm 2 \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a} = \pm 2 \sqrt{5} \hat{i} \pm \sqrt{5} \hat{j} - 5 \hat{k}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही सदिश $2 \sqrt{5} \hat{i} + \sqrt{5} \hat{j} - 5 \hat{k}$ है।

(C) दिया गया है कि $a$,$b = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} + 6 \hat{k}$ के साथ संरेख है।
अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $a = \lambda b$ होगा।
हमें अदिश गुणनफल $a \cdot b = 27$ दिया गया है।
अदिश गुणनफल के समीकरण में $a = \lambda b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\lambda b) \cdot b = 27$
$\lambda (b \cdot b) = 27$
$\lambda |b|^2 = 27$
सबसे पहले,$|b|^2$ की गणना करें:
$|b|^2 = (3)^2 + (6)^2 + (6)^2 = 9 + 36 + 36 = 81$.
अब,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\lambda (81) = 27$
$\lambda = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $a = \lambda b$,इसलिए $|a| = |\lambda b| = |\lambda| |b|$ होगा।
$|b| = \sqrt{81} = 9$ की गणना करें।
अतः,$|a| = |\frac{1}{3}| \times 9 = 3$।

(C) माना स्थिति सदिश $\vec{A} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$\vec{C} = -\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,और $\vec{D} = 5 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$ हैं।
भुजा सदिशों की गणना:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{D} - \vec{C} = 6 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{DA} = \vec{A} - \vec{D} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
एक चतुर्भुज के समांतर चतुर्भुज होने के लिए,सम्मुख भुजाएं समान और समांतर होनी चाहिए,अर्थात $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ और $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
यहाँ,$\overrightarrow{AB} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$.
चूंकि $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{DC}$,इसलिए यह चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज नहीं है।

(A) $\angle AOB$ को समद्विभाजित करने वाला सदिश $\vec{OD}$,$\vec{OA}$ और $\vec{OB}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग की दिशा में होता है।
सबसे पहले,इकाई सदिश $\hat{a}$ और $\hat{b}$ ज्ञात करें:
$|\vec{OA}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
$\hat{a} = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|} = \frac{-4\hat{i} + 3\hat{k}}{5}$
$|\vec{OB}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{196 + 4 + 25} = \sqrt{225} = 15$
$\hat{b} = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} = \frac{14\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}}{15}$
समद्विभाजक की दिशा $\vec{v} = \hat{a} + \hat{b} = \frac{-12\hat{i} + 9\hat{k} + 14\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}}{15} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}}{15} = \frac{2}{15}(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ है।
अतः $\vec{OD} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ है।
दिया गया है कि $|\vec{OD}| = \sqrt{6}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6} \implies |\lambda| \sqrt{6} = \sqrt{6} \implies |\lambda| = 1$.
इस प्रकार,$\vec{OD} = \pm(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$।

(B) दिया गया है,$|a| = |b| = 2$,$a \cdot b = 2$ और $a + b + c = 0$।
हम जानते हैं कि $a + b + c = 0 \implies a + b = -c$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|a + b|^2 = |-c|^2$।
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2^2 + 2^2 + 2(2) = |c|^2$।
$4 + 4 + 4 = |c|^2$।
$|c|^2 = 12$।
$|c| = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$।

(B) चूँकि $u$ और $v$ $\mathbb{R}^2$ में गैर-संरेखीय सदिश हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और $\mathbb{R}^2$ के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं। अतः,$\mathbb{R}^2$ में किसी भी सदिश को $u$ और $v$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। कथन $(i)$ सत्य है।
परिभाषा के अनुसार,$v$ पर $u$ का लंबकोणीय प्रक्षेप $w = \left( \frac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$ द्वारा दिया जाता है। यह $v$ का एक अदिश गुणज है। चूँकि $w$,$v$ का गुणज है,इसे $w = 0u + \left( \frac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$ के रूप में लिखा जा सकता है। $w$ को $a \neq 0$ और $b \neq 0$ के साथ $au + bv$ के रूप में लिखने के लिए,$w$ का $u$ की दिशा में एक गैर-शून्य घटक होना आवश्यक है। हालाँकि,$w$,$u - w$ के लंबवत है और $w$,$v$ के समानांतर है। चूँकि $u$ और $v$ गैर-संरेखीय हैं,$w$ को $a \neq 0$ के साथ $au + bv$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अतः,कथन (ii) असत्य है।

(B) माना कि $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{b} \times \bar{c} = \bar{c} \times \bar{a} = \bar{v}$ है।
चूंकि $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{b} \times \bar{c}$,हमारे पास $\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{c} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\bar{a} \times \bar{b} + \bar{c} \times \bar{b} = 0$।
यह $(\bar{a} + \bar{c}) \times \bar{b} = 0$ में सरल हो जाता है।
इसी प्रकार,$\bar{b} \times \bar{c} = \bar{c} \times \bar{a}$ से,हमें $(\bar{b} + \bar{a}) \times \bar{c} = 0$ प्राप्त होता है।
और $\bar{c} \times \bar{a} = \bar{a} \times \bar{b}$ से,हमें $(\bar{c} + \bar{b}) \times \bar{a} = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{k}$ है,तो $\bar{a} \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = \bar{a} \times \bar{k}$।
$\bar{a} \times \bar{a} + \bar{a} \times \bar{b} + \bar{a} \times \bar{c} = \bar{a} \times \bar{k}$।
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{a} \times \bar{c} = -(\bar{c} \times \bar{a}) = -(\bar{a} \times \bar{b})$ है,हमें $\bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} = \bar{a} \times \bar{k}$ प्राप्त होता है,इसलिए $0 = \bar{a} \times \bar{k}$।
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ शून्येतर और असंरेख हैं,इसका अर्थ है $\bar{k} = \bar{0}$।
अतः,$\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0}$।

(A) माना बिंदु $P(p, 2^{p+2})$ और $Q(q, 2^{q+2})$ हैं।
दिया है $OP = p\hat{i} + 2^{p+2}\hat{j}$ और $OQ = q\hat{i} + 2^{q+2}\hat{j}$।
प्रश्न के अनुसार,$OP \cdot \hat{i} = -1$,जिसका अर्थ है $p = -1$।
अतः,$OP = -\hat{i} + 2^{-1+2}\hat{j} = -\hat{i} + 2\hat{j}$।
इसी प्रकार,$OQ \cdot \hat{i} = 2$,जिसका अर्थ है $q = 2$।
अतः,$OQ = 2\hat{i} + 2^{2+2}\hat{j} = 2\hat{i} + 16\hat{j}$।
अब,$OQ - 4OP = (2\hat{i} + 16\hat{j}) - 4(-\hat{i} + 2\hat{j}) = (2+4)\hat{i} + (16-8)\hat{j} = 6\hat{i} + 8\hat{j}$।
इसका परिमाण $|OQ - 4OP| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।

(D) माना कि बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{A} = 4\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{B} = 6\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$,और $\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$ हैं।
हम भुजाओं $AB$,$BC$,और $CA$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = |\vec{B} - \vec{A}| = |2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$BC = |\vec{C} - \vec{B}| = |-5\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}| = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$CA = |\vec{A} - \vec{C}| = |3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}| = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
चूँकि $AB = CA = 7$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं,जहाँ $A$ समकोण वाला शीर्ष है।
दिया गया है $\vec{A} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$।
कर्ण $BC$ का मध्य बिंदु $\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
त्रिभुज का केंद्रक $\vec{G}$,$\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
हम इसे $\vec{G} = \frac{\vec{A} + 2(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2})}{3} = \frac{\vec{A} + 2\vec{M}}{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{G} = \frac{(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) + 2(6\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})}{3}$
$\vec{G} = \frac{-3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k} + 12\hat{i} + 4\hat{j} + 10\hat{k}}{3}$
$\vec{G} = \frac{9\hat{i} + 9\hat{j} + 12\hat{k}}{3}$
$\vec{G} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को अपने मध्य बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करते हैं।
दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{A} = 2\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}$,$\vec{B} = 4\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}$,$\vec{D} = -\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}$.
विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु $M$ इस प्रकार है:
$M = \frac{\vec{B}+\vec{D}}{2} = \frac{(4-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (4-3)\hat{k}}{2} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
चूंकि $M$,$AC$ का भी मध्य बिंदु है,इसलिए $\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2} = M$.
$\vec{A}+\vec{C} = 2M = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{C} = (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}) = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$.
विकर्ण $AC$ के समत्रिभाजन बिंदु $T_1$ और $T_2$ इसे क्रमशः $1:2$ और $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
$T_1$ के लिए ($1:2$ अनुपात):
$\vec{T_1} = \frac{1(\vec{C}) + 2(\vec{A})}{1+2} = \frac{1(\hat{i}+\hat{k}) + 2(2\hat{i}+\hat{j})}{3} = \frac{5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$.
$T_2$ के लिए ($2:1$ अनुपात):
$\vec{T_2} = \frac{2(\vec{C}) + 1(\vec{A})}{2+1} = \frac{2(\hat{i}+\hat{k}) + 1(2\hat{i}+\hat{j})}{3} = \frac{4\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}}{3}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही स्थिति सदिश $\frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$ है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{p} = \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{q} = -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
$R$,$PQ$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है। बाह्य विभाजन का सूत्र $\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m-n}$ है।
$\vec{r} = \frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2-1} = \frac{-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} - \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{1} = -3\hat{i}+3\hat{k}$.
$S$,$PQ$ को $2:1$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है। अंतः विभाजन का सूत्र $\vec{s} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m+n}$ है।
$\vec{s} = \frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2+1} = \frac{-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} + \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}}{3} = \frac{-\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}}{3}$.
$RS$ का मध्यबिंदु $\frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$ है।
मध्यबिंदु $= \frac{(-3\hat{i}+3\hat{k}) + (-\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k})}{2} = \frac{-\frac{10}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}}{2} = -\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$.

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{OA} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{OB} = \frac{1}{3} \hat{j}+\frac{1}{3} \hat{k}$ हैं।
दिया गया है कि $B$,$AC$ को $m:n = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$B$ का स्थिति सदिश:
$\vec{OB} = \frac{m\vec{OC} + n\vec{OA}}{m+n}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{2\vec{OC} + 1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{2+1}$
$3(\frac{1}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k}) = 2\vec{OC} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\hat{j} + \hat{k} = 2\vec{OC} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$2\vec{OC} = \hat{j} + \hat{k} - \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$
$2\vec{OC} = -\hat{i}$
$\vec{OC} = -\frac{1}{2} \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$
अतः,$C$ का स्थिति सदिश $(-\frac{1}{2}, 0, 0)$ है।

(B) दिया गया है कि बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j}$ और $\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ का स्थिति सदिश जो रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,वह है:
$\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$
मान रखने पर:
$\vec{p} = \frac{2(-3\hat{i} + 5\hat{j}) + 1(\hat{i} - 2\hat{j})}{2+1}$
$\vec{p} = \frac{-6\hat{i} + 10\hat{j} + \hat{i} - 2\hat{j}}{3}$
$\vec{p} = \frac{-5\hat{i} + 8\hat{j}}{3}$

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
दिया गया है कि $L, M, N$ क्रमशः $BC, CA, AB$ को $1:2, 2:3, 3:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,स्थिति सदिश हैं:
$L = \frac{1\vec{c} + 2\vec{b}}{1+2} = \frac{\vec{c} + 2\vec{b}}{3}$
$M = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c}}{2+3} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c}}{5}$
$N = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a}}{3+5} = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a}}{8}$
बिंदु $K$,$AB$ को $5:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $K = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{5+3} = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{8}$.
अब,सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AL} = L - A = \frac{2\vec{b} + \vec{c} - 3\vec{a}}{3}$
$\vec{BM} = M - B = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c} - 5\vec{b}}{5}$
$\vec{CN} = N - C = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a} - 8\vec{c}}{8}$
$\vec{CK} = K - C = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a} - 8\vec{c}}{8}$
अतः,$\left| \frac{\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN}}{\vec{CK}} \right| = \frac{1}{15}$.

(A) मान लीजिए कि $-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $7 \hat{i}-\hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा को $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ द्वारा $\lambda: 1$ के अनुपात में विभाजित किया जाता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\vec{r} = \frac{\lambda \vec{b} + 1 \vec{a}}{\lambda+1}$
$\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} = \frac{\lambda(7 \hat{i}-\hat{k})+(-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})}{\lambda+1}$
$(\lambda+1)(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (7 \lambda-2) \hat{i}+3 \hat{j}+(5-\lambda) \hat{k}$
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\lambda+1 = 7 \lambda-2$
$3 = 6 \lambda$
$\lambda = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $\lambda: 1 = 1: 2$ है।

(B) रेखाखंड $PQ$ के दिशा अनुपात $(a, b, c) = (3, -2, 6)$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम दिशा सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं: $\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
दिशा कोसाइन $(l, m, n)$ प्राप्त करने के लिए दिशा अनुपात को परिमाण से विभाजित करते हैं: $l = \frac{3}{7}, m = \frac{-2}{7}, n = \frac{6}{7}$.
सदिश $\vec{PQ}$ की लंबाई $63$ है,इसलिए $\vec{PQ} = 63 \times (l, m, n) = 63 \times (\frac{3}{7}, \frac{-2}{7}, \frac{6}{7}) = (27, -18, 54)$.
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि रेखा $X$-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाती है। इसका अर्थ है कि दिशा कोसाइन $l$ ऋणात्मक होना चाहिए।
इसलिए,हम सदिश को $-1$ से गुणा करते हैं: $\vec{PQ} = (-27, 18, -54)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) बिंदु $P(5, -4, -3)$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = 5\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha = \frac{a}{|\vec{r}|}$,$\cos \beta = \frac{b}{|\vec{r}|}$ और $\cos \gamma = \frac{c}{|\vec{r}|}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $X, Y, Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{r}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{r}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
धनात्मक $X$-अक्ष के साथ कोण $\alpha$ इस प्रकार है:
$\cos \alpha = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(B) एक सदिश $\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ की दिक्-कोसाइन $\frac{x}{|\vec{a}|}, \frac{y}{|\vec{a}|}, \frac{z}{|\vec{a}|}$ द्वारा दी जाती हैं।
दिया गया है $\vec{a} = -2 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{-2}{\sqrt{30}}, \frac{1}{\sqrt{30}}, \frac{-5}{\sqrt{30}}$ हैं।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$r = 3p + 4q$ $(i)$
$2r = p - 3q$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है $p = 2r + 3q$.
$p$ का यह मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$r = 3(2r + 3q) + 4q$
$r = 6r + 9q + 4q$
$r - 6r = 13q$
$-5r = 13q$
$r = -\frac{13}{5}q$
चूंकि अदिश गुणक ऋणात्मक है,इसलिए $r$ और $q$ विपरीत दिशा में हैं।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर:
$|r| = |-\frac{13}{5}q| = \frac{13}{5}|q| = 2.6|q|$
चूंकि $2.6 > 2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है $|r| > 2|q|$.
अतः,$|r| > 2|q|$ और $r, q$ विपरीत दिशा में हैं।

(A) एक सदिश $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाणों की गणना:
$M_1 = |\vec{a}_1| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.45$
$M_2 = |\vec{a}_2| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40$
$M_3 = |\vec{a}_3| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.73$
$M_4 = |\vec{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \approx 3.32$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$,जिसका अर्थ है कि $M_3 < M_1 < M_4 < M_2$।

(D) दिया गया समीकरण: $2 \vec{a} + 3 \vec{b} + 5 \vec{c} - 10 \vec{d} = \vec{0}$.
पदों को इस प्रकार व्यवस्थित करने पर कि $\vec{a}, \vec{b}$ एक तरफ और $\vec{c}, \vec{d}$ दूसरी तरफ हों:
$2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 10 \vec{d} - 5 \vec{c}$.
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} = 2 \vec{d} - \vec{c}$.
बाएँ पक्ष को विभाजन सूत्र $\frac{m \vec{b} + n \vec{a}}{m+n}$ के रूप में लिखने पर:
$\frac{3 \vec{b} + 2 \vec{a}}{3+2} = \frac{2 \vec{d} - \vec{c}}{2-1}$.
यह एक बिंदु $P$ को दर्शाता है जो रेखाखंड $AB$ पर और रेखा $CD$ पर स्थित है।
बिंदु $P$,रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
अतः,$\vec{c}$ और $\vec{d}$ को मिलाने वाली रेखा,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करती है।

(C) मान लीजिए बिंदु $A = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$,$B = \vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}$,$C = 2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$,और $D = \vec{a}-2\vec{b}+4\vec{c}$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा $\vec{r} = A + \lambda_1(B-A) = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) + \lambda_1(-2\vec{b}+2\vec{c}) = \vec{a} + (1-2\lambda_1)\vec{b} + (1+2\lambda_1)\vec{c}$ द्वारा दी जाती है।
$C$ और $D$ से गुजरने वाली रेखा $\vec{r} = C + \lambda_2(D-C) = (2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + \lambda_2(-\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}) = (2-\lambda_2)\vec{a} + (-1-\lambda_2)\vec{b} + (1+3\lambda_2)\vec{c}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,हम $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करते हैं:
$1 = 2-\lambda_2 \implies \lambda_2 = 1$.
$1-2\lambda_1 = -1-\lambda_2 = -1-1 = -2 \implies 2\lambda_1 = 3 \implies \lambda_1 = \frac{3}{2}$.
$\vec{c}$ के गुणांक की जाँच करने पर: $1+2\lambda_1 = 1+2(\frac{3}{2}) = 4$ और $1+3\lambda_2 = 1+3(1) = 4$. ये समान हैं।
$\lambda_1 = \frac{3}{2}$ को पहली रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} = \vec{a} + (1-2(\frac{3}{2}))\vec{b} + (1+2(\frac{3}{2}))\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{c}$.

(B) दिया गया है कि $\frac{1}{2}|a-b|=\sin(\lambda \theta)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{4}|a-b|^2 = \sin^2(\lambda \theta)$.
चूंकि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a|=1$ और $|b|=1$.
$|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2|a||b|\cos \theta = 2 - 2\cos \theta$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{4}(2 - 2\cos \theta) = \sin^2(\lambda \theta)$.
$\frac{1}{2}(1 - \cos \theta) = \sin^2(\lambda \theta)$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2}(2\sin^2(\frac{\theta}{2})) = \sin^2(\lambda \theta)$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \sin^2(\lambda \theta)$.
तर्कों की तुलना करने पर,$\lambda \theta = \frac{\theta}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = \frac{1}{2}$.
अतः,$4\lambda^2 = 4(\frac{1}{2})^2 = 4(\frac{1}{4}) = 1$.

(A) एक समतल में किसी भी सदिश $w$ को उसी समतल के दो सदिशों $u$ और $v$ के रैखिक संयोजन $w = au + bv$ के रूप में निरूपित करने के लिए,सदिश $u$ और $v$ रैखिक रूप से स्वतंत्र होने चाहिए।
दो सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि वे एक-दूसरे के समानांतर न हों।
इसका अर्थ है कि किसी भी अदिश $k$ के लिए न तो $u = k \cdot v$ लिखा जा सकता है और न ही $v = k \cdot u$ लिखा जा सकता है।
इसलिए,शर्त यह है कि $u$ और $v$ में से कोई भी एक दूसरे का अदिश गुणज न हो।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B$,और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p} = \bar{a}+\bar{b}$,$\vec{q} = \bar{a}-\bar{b}$,और $\vec{r} = \bar{a}+k\bar{b}$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{q} - \vec{p} = (\bar{a}-\bar{b}) - (\bar{a}+\bar{b}) = -2\bar{b}$.
$\vec{BC} = \vec{r} - \vec{q} = (\bar{a}+k\bar{b}) - (\bar{a}-\bar{b}) = (k+1)\bar{b}$.
चूंकि $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ दोनों सदिश $\bar{b}$ के अदिश गुणज हैं,इसलिए वे $k$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए समांतर हैं।
विशेष रूप से,$k \neq -1$ के लिए $\vec{AB} = \left( \frac{-2}{k+1} \right) \vec{BC}$ होता है।
यदि $k = -1$ है,तो $\vec{BC} = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि बिंदु $C$ बिंदु $B$ पर संपाती हो जाता है,और बिंदुओं को अभी भी संरेख माना जाता है।
अतः,$k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए ये बिंदु संरेख हैं।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$,$B = 5 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $C = 3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$|AB| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$.
$|BC| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$.
$|AC| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$.
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,लंबकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
केंद्रक $G = \frac{A+B+C}{3} = \frac{10}{3}\hat{i} + \frac{10}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}$.
अतः,$x=y=z$।

(A) दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{OA} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{OB} = \vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}$.
सदिश $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -3\vec{b}+2\vec{c}$.
बिंदु $P$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है:
$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 1\vec{OB}}{4} = \frac{4\vec{a}+\vec{b}+6\vec{c}}{4}$.
बिंदु $Q$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है:
$\vec{OQ} = \frac{3\vec{OA} - 1\vec{OB}}{2} = \frac{2\vec{a}+5\vec{b}}{2}$.
सदिश $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{9\vec{b}-6\vec{c}}{4} = \frac{3}{4}(3\vec{b}-2\vec{c})$.
अतः,$|PQ| = \frac{3}{4}|AB|$,जिसका अर्थ है $4|PQ| = 3|AB|$.

(D) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$\vec{AB} = \vec{DC}$ और $\vec{AD} = \vec{BC}$ होता है।
$\triangle ABC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ है।
$\triangle ABD$ में,$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{AD} - \vec{AB})$
चूंकि $\vec{BC} = \vec{AD}$,इसलिए $\vec{BC}$ को $\vec{AD}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2 \vec{AD}$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न में $\vec{AC} - \vec{BD}$ पूछा गया होगा,जिसका मान $2 \vec{AB}$ होता है।

(B) मान लीजिए कि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $P, Q, R$ भुजाओं $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए उनके स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,और $\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}$ हैं।
अब,सदिश $PC$ और $BQ$ की गणना करते हैं:
$\vec{PC} = \vec{c} - \vec{p} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2}$
$\vec{BQ} = \vec{q} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2}$
अतः,$\vec{PC} - \vec{BQ} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} - \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
अब,विकल्पों की जांच करते हैं:
$PQ = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
$AR = \vec{r} - \vec{a} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
इस प्रकार,$PC - BQ = PQ = AR$।

(A) माना शीर्षों $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश (position vectors) क्रमशः $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ हैं।
चूँकि $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$।
अब,सदिशों के योग $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ को स्थिति सदिशों के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 3\vec{g} - 3\vec{g} = 0$.

(D) केंद्र $O$ वाले एक नियमित षट्कोण $ABCDEF$ में,हमारे पास निम्नलिखित सदिश संबंध हैं:
$\vec{AB} = \vec{ED}$ और $\vec{AF} = \vec{CD}$.
अब,योग $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF}$ पर विचार करें।
संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{S} = \vec{ED} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{CD}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\vec{S} = (\vec{AE} + \vec{ED}) + (\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{AD}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$ और $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.
अतः,$\vec{S} = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} = 3 \vec{AD}$.
चूंकि $O$ नियमित षट्कोण का केंद्र है,$\vec{AD} = 2 \vec{AO}$.
इस प्रकार,$\vec{S} = 3(2 \vec{AO}) = 6 \vec{AO}$.

(A) माना $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k}$ और $\vec{b} = 7\bar{i}-\bar{k}$ हैं।
माना $P$,$AB$ को $m:n$ अनुपात में विभाजित करता है। तब $\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$.
$-2\bar{i}+3\bar{j}+5\bar{k} = \frac{m(7\bar{i}-\bar{k}) + n(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})}{m+n}$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $x: -2(m+n) = 7m + n \implies 9m = -3n \implies m/n = -1/3$.
अतः,$P$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
हार्मोनिक संयुग्मी $Q$,$AB$ को उसी अनुपात $1:3$ में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$\vec{q} = \frac{1\vec{b} + 3\vec{a}}{1+3} = \frac{(7\bar{i}-\bar{k}) + 3(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})}{4} = \frac{10\bar{i}+6\bar{j}+8\bar{k}}{4} = 2.5\bar{i}+1.5\bar{j}+2\bar{k}$.
अदिश घटकों का योग $2.5 + 1.5 + 2 = 6$ है।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{e}$।
चूंकि $F$,$BD$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{f}$।
हमें योग $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{AD}$ का मान ज्ञात करना है।
स्थिति सदिशों के रूप में:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c}$
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$
इनका योग करने पर:
$\vec{S} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{a})$
$\vec{S} = 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$\vec{S} = 2(\vec{b} + \vec{d}) - 2(\vec{a} + \vec{c})$
मध्य बिंदु संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{S} = 2(2\vec{f}) - 2(2\vec{e})$
$\vec{S} = 4\vec{f} - 4\vec{e} = 4(\vec{f} - \vec{e}) = 4\vec{EF}$।

(C) दिया गया है कि $\bar{a} = 2 \bar{b}$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + 2y - 3) \bar{i} + (2x - y + 3) \bar{j} = 2[(3x - 2y) \bar{i} + (x - y + 1) \bar{j}]$
$\bar{i}$ और $\bar{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) x + 2y - 3 = 2(3x - 2y) \implies x + 2y - 3 = 6x - 4y \implies 5x - 6y = -3$
$2) 2x - y + 3 = 2(x - y + 1) \implies 2x - y + 3 = 2x - 2y + 2 \implies y = -1$
पहले समीकरण में $y = -1$ रखने पर:
$5x - 6(-1) = -3 \implies 5x + 6 = -3 \implies 5x = -9 \implies x = -9/5$
हमें $y - 5x$ का मान ज्ञात करना है:
$y - 5x = -1 - 5(-9/5) = -1 + 9 = 8$.

(B) दिए गए सदिश $\overline{BC} = \bar{i} - 2\bar{j} + 2\bar{k}$ और $\overline{CA} = 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \vec{0}$,इसलिए $\overline{AB} = -(\overline{BC} + \overline{CA})$.
$\overline{AB} = -(\bar{i} - 2\bar{j} + 2\bar{k} + 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}) = -(7\bar{i} + \bar{j} + 0\bar{k}) = -7\bar{i} - \bar{j}$.
अब,भुजाओं के परिमाण (magnitude) की गणना करें:
$|\overline{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\overline{CA}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overline{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
परिमाप = $|\overline{AB}| + |\overline{BC}| + |\overline{CA}| = 5\sqrt{2} + 3 + 7 = 10 + 5\sqrt{2} = 5(2 + \sqrt{2})$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{A} = \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = 2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$.
$D$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\vec{D} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} = \frac{(2+1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-2)\hat{k}}{2} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{k}$.
$E$,$CA$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\vec{E} = \frac{\vec{C}+\vec{A}}{2} = \frac{(1+1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2+1)\hat{k}}{2} = \hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$.
अब,$\overrightarrow{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (1 - \frac{3}{2})\hat{i} + (-\frac{3}{2} - 0)\hat{j} + (-\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}))\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{DE}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए,हम इसका परिमाण निकालते हैं: $|\overrightarrow{DE}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{10}{4} + 1} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
इकाई सदिश $\frac{\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{DE}|} = \frac{-\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}}{\frac{\sqrt{14}}{2}} = \frac{-\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{14}}$ है।

(C) माना बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं।
बिंदु $C$,$AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ का स्थिति सदिश:
$\vec{c} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{a}}{3+2} = \frac{3(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + 2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})}{5}$
$\vec{c} = \frac{(3+4)\hat{i} + (6-6)\hat{j} + (-9+2)\hat{k}}{5} = \frac{7}{5} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{7}{5} \hat{k}$
बिंदु $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = 3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ दिया गया है।
सदिश $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) - (\frac{7}{5} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{7}{5} \hat{k})$
$\overrightarrow{CD} = (3 - \frac{7}{5}) \hat{i} + (-1 - 0) \hat{j} + (2 + \frac{7}{5}) \hat{k} = \frac{8}{5} \hat{i} - \hat{j} + \frac{17}{5} \hat{k} = \frac{1}{5} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})$
$\overrightarrow{CD}$ का परिमाण $|\overrightarrow{CD}| = \frac{1}{5} \sqrt{8^2 + (-5)^2 + 17^2} = \frac{1}{5} \sqrt{64 + 25 + 289} = \frac{1}{5} \sqrt{378} = \frac{1}{5} \sqrt{9 \times 42} = \frac{3 \sqrt{42}}{5}$ है।
$\overrightarrow{CD}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} = \frac{\frac{1}{5} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})}{\frac{3 \sqrt{42}}{5}} = \frac{1}{3 \sqrt{42}} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})$ होगा।

(A) दिया गया है कि बिंदु $C$ का स्थिति सदिश $\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$ है।
मान लीजिए $D$,$OA$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}$ है। चूँकि $0 < \frac{1}{2} < 1$,इसलिए $D$,रेखाखंड $OA$ पर स्थित है।
मान लीजिए $E$,$OB$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{b}$ है। चूँकि $0 < \frac{1}{3} < 1$,इसलिए $E$,रेखाखंड $OB$ पर स्थित है।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,$\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{OE}$ समांतर चतुर्भुज $ODCE$ के विकर्ण को दर्शाता है।
चूँकि $D$,$OA$ पर स्थित है और $E$,$OB$ पर स्थित है,इसलिए पूरा समांतर चतुर्भुज $ODCE$,त्रिभुज $OAB$ के भीतर स्थित है।
अतः,बिंदु $C$,$\triangle OAB$ के अंदर स्थित है।

(B) दो सदिश $\vec{u} = x_1 \vec{a} + y_1 \vec{b}$ और $\vec{v} = x_2 \vec{a} + y_2 \vec{b}$ संरेख होते हैं यदि और केवल यदि उनके गुणांक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$,जहाँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख हैं।
दिए गए सदिश $(\lambda-1) \vec{a} + 2 \vec{b}$ और $3 \vec{a} + \lambda \vec{b}$ हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांकों के अनुपात की तुलना करने पर:
$\frac{\lambda-1}{3} = \frac{2}{\lambda}$
$\lambda(\lambda-1) = 6$
$\lambda^2 - \lambda - 6 = 0$
$(\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$
अतः,$\lambda$ के संभावित मान $\lambda = 3$ और $\lambda = -2$ हैं।
इसलिए,$\lambda$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $\{-2, 3\}$ है।

(D) बिंदु $P$ का स्थिति सदिश जो $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{r} = \frac{2(\overrightarrow{OB}) + 1(\overrightarrow{OA})}{2+1} = \frac{2(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) + 1(\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})}{3}$
$= \frac{2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k} + \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}}{3} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}}{3} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
अब,सदिश $\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{OC} - \vec{r} = (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{PC}$ का परिमाण $|\overrightarrow{PC}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$
$\overrightarrow{PC}$ की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार हैं:
$l = \frac{3}{7}, m = \frac{2}{7}, n = \frac{6}{7}$
अतः,$l + 3m + 2n = \frac{3}{7} + 3(\frac{2}{7}) + 2(\frac{6}{7}) = \frac{3 + 6 + 12}{7} = \frac{21}{7} = 3$

(C) दिए गए बिंदु $A(2, 1, -1)$,$B(\lambda, 5, 4)$,$C(-4, 3, 2)$,और $D(-1, -2, 3)$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} = (\lambda - 2) \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = -6 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = -3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$
दिया गया है $\overrightarrow{AB} = x \overrightarrow{AC} + y \overrightarrow{AD}$,घटकों की तुलना करने पर:
$(\lambda - 2) \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} = x(-6 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(-3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \lambda - 2 = -6x - 3y$
$2) 4 = 2x - 3y$
$3) 5 = 3x + 4y$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को हल करने पर:
$x = \frac{31}{17}$ और $y = -\frac{2}{17}$ प्राप्त होता है।
अब $x$ और $y$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\lambda - 2 = -6(\frac{31}{17}) - 3(-\frac{2}{17}) = \frac{-180}{17}$
$\lambda = -\frac{146}{17}$
अंत में,$17(\lambda + 9) = 17(-\frac{146}{17} + 9) = -146 + 153 = 7$.

(B) दिया गया सदिश समीकरण: $\hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}=\alpha(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+\beta(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\gamma(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$.
दोनों पक्षों पर $\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$1 = \alpha + \beta + 2\gamma$ $(1)$
$-2 = \alpha + 2\beta - \gamma$ $(2)$
$5 = \alpha + 3\beta + \gamma$ $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $3 = 2\alpha + 5\beta \implies 2\alpha + 5\beta = 3$ $(4)$
$(3)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $7 = \beta + 2\gamma \implies \beta + 2\gamma = 7$ $(5)$
$(1)$ से,$\alpha + \beta + 2\gamma = 1$. इसमें $(5)$ का मान रखने पर: $\alpha + 7 = 1 \implies \alpha = -6$.
$\alpha = -6$ को $(4)$ में रखने पर: $2(-6) + 5\beta = 3 \implies -12 + 5\beta = 3 \implies 5\beta = 15 \implies \beta = 3$.
$\beta = 3$ को $(5)$ में रखने पर: $3 + 2\gamma = 7 \implies 2\gamma = 4 \implies \gamma = 2$.
अब,$\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 = (-6)^2 - (3)^2 + (2)^2 = 36 - 9 + 4 = 31$.

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{AC} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
मान लीजिए कि $A$ का स्थिति सदिश $\vec{0}$ है। तब $B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{B} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{C} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
$\triangle ABC$ के केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{AG} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{\vec{0} + (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = \frac{4\hat{i} + 6\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ है।
अब,परिमाण का वर्ग $|\overrightarrow{AG}|^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{6}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{16 + 36 + 25}{9} = \frac{77}{9}$ की गणना करें।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{27}{7}(\overrightarrow{AG})^2 + 5 = \frac{27}{7} \times \frac{77}{9} + 5 = 3 \times 11 + 5 = 33 + 5 = 38$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना बिंदुओं $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{A} = \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$,$\vec{B} = -4 \bar{a}+5 \bar{b}-6 \bar{c}$,और $\vec{C} = x \bar{a}-9 \bar{b}+z \bar{c}$ हैं।
चूंकि बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ को $\vec{BC}$ का अदिश गुणज होना चाहिए।
सबसे पहले,$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-4\bar{a}+5\bar{b}-6\bar{c}) - (\bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}) = -5\bar{a} + 7\bar{b} - 9\bar{c}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (x\bar{a}-9\bar{b}+z\bar{c}) - (-4\bar{a}+5\bar{b}-6\bar{c}) = (x+4)\bar{a} - 14\bar{b} + (z+6)\bar{c}$ ज्ञात करें।
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{AB} = k \vec{BC}$ होगा।
$-5\bar{a} + 7\bar{b} - 9\bar{c} = k((x+4)\bar{a} - 14\bar{b} + (z+6)\bar{c})$।
$\bar{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $7 = -14k \Rightarrow k = -1/2$।
$\bar{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-5 = k(x+4) \Rightarrow -5 = -1/2(x+4) \Rightarrow 10 = x+4 \Rightarrow x = 6$।
$\bar{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-9 = k(z+6) \Rightarrow -9 = -1/2(z+6) \Rightarrow 18 = z+6 \Rightarrow z = 12$।
अंत में,$2x - z = 2(6) - 12 = 12 - 12 = 0$।