समतल $ax + by = 0$ को समतल $z = 0$ के साथ इसकी प्रतिच्छेदन रेखा के परितः $\alpha$ कोण से घुमाया जाता है। सिद्ध कीजिए कि नई स्थिति में समतल का समीकरण $ax + by \pm (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \tan \alpha) z = 0$ है।

(A) दिए गए समतल का समीकरण $ax + by = 0$ है ... $(i)$।
समतल $z = 0$ का समीकरण ... $(ii)$ है।
समतल $(i)$ और $(ii)$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले किसी भी समतल का समीकरण $ax + by + kz = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है ... $(iii)$।
समतल $(i)$ का अभिलंब $\vec{n_1} = (a, b, 0)$ है और समतल $(iii)$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (a, b, k)$ है।
इन दो समतलों के बीच का कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \alpha = \frac{|a^2 + b^2 + 0|}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 + k^2}} = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 + k^2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + k^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\cos^2 \alpha = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + k^2}$।
$a^2 + b^2 + k^2 = \frac{a^2 + b^2}{\cos^2 \alpha} = (a^2 + b^2) \sec^2 \alpha$।
$k^2 = (a^2 + b^2) \sec^2 \alpha - (a^2 + b^2) = (a^2 + b^2) (\sec^2 \alpha - 1) = (a^2 + b^2) \tan^2 \alpha$।
अतः,$k = \pm \sqrt{a^2 + b^2} \tan \alpha$।
$k$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर,हमें $ax + by \pm (\sqrt{a^2 + b^2} \tan \alpha) z = 0$ प्राप्त होता है।