समतलों 2x - 5y + z = 3 और x + y + 4z = 5 के प | vedclass

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Question

(C) समतलों $P_1: 2x - 5y + z - 3 = 0$ और $P_2: x + y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा

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$7$

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(C) समतलों $P_1: 2x - 5y + z - 3 = 0$ और $P_2: x + y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(2x - 5y + z - 3) + \lambda(x + y + 4z - 5) = 0$पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(2 + \lambda)x + (-5 + \lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (3 + 5\lambda) = 0 \dots (1)$चूंकि यह समतल $x + 3y + 6z - 1 = 0$ के समानांतर है,इसलिए इनके अभिलंब सदिश समानुपाती होने चाहिए:$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{-5 + \lambda}{3} = \frac{1 + 4\lambda}{6}$पहले दो भागों को लेने पर:$3(2 + \lambda) = -5 + \lambda$$6 + 3\lambda = -5 + \lambda$$2\lambda = -11 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{2}$समीकरण $(1)$ में $\lambda = -\frac{11}{2}$ रखने पर:$(2 - \frac{11}{2})x + (-5 - \frac{11}{2})y + (1 - 22)z - (3 - \frac{55}{2}) = 0$$-\frac{7}{2}x - \frac{21}{2}y - 21z + \frac{49}{2} = 0$$-2$ से गुणा करने पर:$7x + 21y + 42z - 49 = 0$$7(x + 3y + 6z) = 49$$x + 3y + 6z = 7$इसकी तुलना $x + 3y + 6z = k$ से करने पर,हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।

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यदि बिंदु $(1, \alpha, \beta)$ रेखाओं $\frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2}$ और $\frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}, z=1$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा पर स्थित है,तो $\alpha+\beta=$

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(0,1,2)$ और $(-1,0,3)$ से होकर गुजरता है और समतल $2x+3y+z=5$ के लंबवत है।

रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-2}$ और समतल $x-2y-\lambda z=3$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $r = (2i - 2j + 3k) + \lambda (i - j + 4k)$ और समतल $r \cdot (i + 5j + k) = 5$ के बीच की दूरी क्या है?

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