જો f: A rightarrow B અને g: B rightarrow C બે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે: $f: A \rightarrow B$ અને $g: B \rightarrow C$. વળી,$g \circ f: A \rightarrow C$ એક બાયજેક્શન છે. પ્રથમ,આપણે સાબિત કરીએ કે $f$ એક-એક વિધેય

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એક-એક વિધેય છે અને $g$ વ્યાપ્ત વિધેય છે

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે: $f: A \rightarrow B$ અને $g: B \rightarrow C$. વળી,$g \circ f: A \rightarrow C$ એક બાયજેક્શન છે. પ્રથમ,આપણે સાબિત કરીએ કે $f$ એક-એક વિધેય છે: ધારો કે $x_1, x_2 \in A$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$. તો $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,જેનો અર્થ થાય છે કે $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$. કારણ કે $g \circ f$ બાયજેક્શન છે,તે એક-એક છે,તેથી $x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક વિધેય છે. હવે,આપણે સાબિત કરીએ કે $g$ વ્યાપ્ત વિધેય છે: ધારો કે $z \in C$. કારણ કે $g \circ f: A \rightarrow C$ બાયજેક્શન છે,તે વ્યાપ્ત છે. તેથી,એવો $x \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $(g \circ f)(x) = z$. આનો અર્થ એ છે કે $g(f(x)) = z$. કારણ કે $f(x) \in B$,ધારો કે $y = f(x)$. તો કોઈ $y \in B$ માટે $g(y) = z$. આમ,$g$ વ્યાપ્ત વિધેય છે. તેથી,$f$ એક-એક વિધેય છે અને $g$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.

Similar Questions

ધારો કે $f: \{1,3,4\} \rightarrow \{1,2,5\}$ અને $g: \{1,2,5\} \rightarrow \{1,3\}$ એ $f = \{(1,2), (3,5), (4,1)\}$ અને $g = \{(1,3), (2,3), (5,1)\}$ દ્વારા આપેલ છે. $g \circ f$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module