Order and degree of differential equations Questions in Gujarati

(B) ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિકલ સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવીએ છીએ.
આપેલ છે: $x\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}+2 x^2\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{5}{3}}+7 \frac{d y}{d x}+y=0$.
ધારો કે $D = \frac{d^2 y}{d x^2}$. સમીકરણ $x D^{1/3} + 2x^2 D^{5/3} + 7 \frac{dy}{dx} + y = 0$ છે.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા માટે,આપણે સમીકરણને યોગ્ય ઘાત વડે ગુણીએ છીએ.
સમીકરણને $D^{1/3}$ વડે ગુણતા: $x D^{2/3} + 2x^2 D^2 + (7 \frac{dy}{dx} + y) D^{1/3} = 0$.
બાકીના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન (cube) લેતા,આપણને એક બહુપદી મળે છે જેમાં સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ની મહત્તમ ઘાત $5$ મળે છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $5$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[3]{\left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^2}$
બંને બાજુ $6$ ઘાત લેતા જેથી મૂળ દૂર થાય:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{6}{2}} = \left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^{\frac{2 \times 6}{3}}$
$\Rightarrow \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^4$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલન જેટલી હોય છે,જે $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. અહીં $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ પદ એ વિકલનનું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય હોવાથી,સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(D) પગલું $1$: વિધાન $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો. આપેલ વિકલ સમીકરણ $y'' + 2xy' + \log_e\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,તે તેના વિકલિતોમાં બહુપદી હોવું જરૂરી છે. $\log_e\left(\frac{dy}{dx}\right)$ પદને કારણે આ સમીકરણ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ના સંદર્ભમાં બહુપદી નથી. તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પગલું $2$: કારણ $(R)$ નું વિશ્લેષણ કરો. કારણમાં આપેલી વ્યાખ્યા જણાવે છે કે ઘાત એ સમીકરણને વિકલ સહગુણકોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવ્યા પછી મહત્તમ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત છે. આ વિકલ સમીકરણની ઘાતની પ્રમાણિત ગાણિતિક વ્યાખ્યા છે.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: કારણ કે $(A)$ ખોટું છે અને $(R)$ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે વિકલ સમીકરણનો ક્રમ (order) નક્કી કરવો પડે. સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા એ વિકલ સમીકરણના ક્રમ જેટલી હોય છે.
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે આપેલ સમીકરણને ફરીથી લખીએ:
$\left(\frac{d^4 y}{d x^4}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{3 / 2}=5 \frac{d^3 y}{d x^3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{d^4 y}{d x^4}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = 25 \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2$
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^4 y}{d x^4}$ છે,જેનો ક્રમ $4$ છે.
આમ,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $4$ હોવાથી,તેના વ્યાપક ઉકેલમાં $4$ સ્વૈર અચળાંકો હશે.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = a x^2 + b \log x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $y' = 2ax + \frac{b}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા: $x y' = 2ax^2 + b$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $x y'' + y' = 4ax$.
આમ,વિકલ સમીકરણ $x^2 y'' + x y' - 4y = 0$ મળે છે.
$f(x) y'' + g(x) y' = \frac{4y}{x}$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = x^2$ અને $g(x) = x$ મળે છે.
અહીં કક્ષા $l = 2$ અને ઘાત $m = 1$ છે.
તેથી,$f(m) + g(m) = f(1) + g(1) = 1^2 + 1 = 2$.
$l = 2$ હોવાથી,$f(m) + g(m) = l$ થાય.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)$.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2$.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $3$ છે.
સમીકરણને રેડિકલ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની ઘાત $3$ છે.
તેથી,ક્રમ $3$ છે અને ઘાત $3$ છે.

(C) $D_1: y=4 \frac{dy}{dx}+3x \frac{dx}{dy}$ માટે. $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા,આપણને $y \frac{dy}{dx}=4(\frac{dy}{dx})^2+3x$ મળે છે. સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ (degree) $2$ છે.
$D_2: \frac{d^2y}{dx^2}=(3+(\frac{dy}{dx})^2)^{\frac{4}{3}}$ માટે. બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $(\frac{d^2y}{dx^2})^3=(3+(\frac{dy}{dx})^2)^4$ મળે છે. સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે. સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
$D_3: [1+(\frac{dy}{dx})]^2=(\frac{dy}{dx})^2$ માટે. વિસ્તરણ કરતા,$1+(\frac{dy}{dx})^2+2\frac{dy}{dx}=(\frac{dy}{dx})^2$,જેનું સાદું રૂપ $1+2\frac{dy}{dx}=0$ થાય છે. સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $1$ છે,તેથી પરિમાણ $1$ છે.
કક્ષાનો સરવાળો $= 1+2+1 = 4$.
પરિમાણનો સરવાળો $= 2+3+1 = 6$.
જરૂરી ગુણોત્તર $= \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) $(h, k)$ પર કેન્દ્રિત તમામ સમકેન્દ્રી વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
અહીં $(h, k)$ એ નિશ્ચિત અચળાંકો છે,તેથી આ સમીકરણમાં માત્ર એક જ સ્વૈર અચળાંક (parameter) $r$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વક્રના સમૂહના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં માત્ર $1$ સ્વૈર અચળાંક $(r)$ હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{4}{3}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-y \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોવું જોઈએ.
આ સમીકરણમાં,પદ $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ માં વિકલિતનું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણને તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(C) આપેલ છે,$y^{2}=2 d(x+\sqrt{d})$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y y_{1} = 2d \Rightarrow d = y y_{1}$
$d = y y_{1}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^{2} = 2(y y_{1})(x + \sqrt{y y_{1}})$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$y^{2} - 2y y_{1} x = 2y y_{1} \sqrt{y y_{1}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y^{2} - 2y y_{1} x)^{2} = (2y y_{1})^{2} (y y_{1})$
$(y^{2} - 2y y_{1} x)^{2} = 4(y y_{1})^{3}$
અહીં સૌથી મોટું વિકલિત $y_{1}$ (કક્ષા $1$) છે,અને તેની મહત્તમ ઘાત $3$ છે. તેથી,વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ $3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y = x(\frac{dy}{dx})^2 + \frac{dy}{dx}$ છે.
કક્ષા અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણને એવા સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ જ્યાં વિકલિતો અપૂર્ણાંક કે કરણી મુક્ત હોય.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,જેની કક્ષા $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાતાંક છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે.
અહીં,વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,ઘાત $2$ છે અને કક્ષા $1$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{2!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{1}{3!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \dots$ છે.
આ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $e^{\frac{dy}{dx}}$ નું વિસ્તરણ છે.
તેથી,સમીકરણને $x = e^{\frac{dy}{dx}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(x) = \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
આમ,વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \ln(x)$ છે.
આ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,જેની કક્ષા $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} = \sqrt{1 - (\frac{dy}{dx})^2}$ છે.
ક્રમ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન શોધીએ છીએ.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,જે $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું દ્વિતીય વિકલન દર્શાવે છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં સામેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ વિકલનનો ક્રમ $2$ હોવાથી,આપેલ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(D) ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિકલ સમીકરણને તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવું જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $(1 + \frac{dy}{dx})^2 = (\frac{d^3y}{dx^3})^{1/3}$.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $3$ ઘાત લેતા: $((1 + \frac{dy}{dx})^2)^3 = ((\frac{d^3y}{dx^3})^{1/3})^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $(1 + \frac{dy}{dx})^6 = \frac{d^3y}{dx^3}$ મળે છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,જેની કક્ષા (order) $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાતાંક હોય છે જ્યારે સમીકરણને તેના વિકલિતોની બહુપદી તરીકે લખવામાં આવે.
અહીં,$\frac{d^3y}{dx^3}$ ની ઘાત $1$ છે. તેથી,તેની ઘાત (degree) $1$ છે.

(D) ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા બંને બાજુ $6$ (જે $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ની ઘાત લઈને કરણીઓ દૂર કરવી પડશે.
આપેલ સમીકરણ: $(1 + (y'')^2)^{1/2} = (x + (y')^3)^{1/3}$.
બંને બાજુ $6$ ની ઘાત લેતા:
$((1 + (y'')^2)^{1/2})^6 = ((x + (y')^3)^{1/3})^6$
$(1 + (y'')^2)^3 = (x + (y')^3)^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $1 + 3(y'')^2 + 3(y'')^4 + (y'')^6 = (x + (y')^3)^2$.
અહીં સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતનો ઘાતાંક $6$ છે. તેથી,ઘાત $6$ છે.

(D) $n$ ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં $n$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.
વિશિષ્ટ ઉકેલ આ સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં $0$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.