अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + 2y = sin x का व्या | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = \sin x$ ह

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$y = \frac{1}{5}(2 \sin x - \cos x) + Ce^{-2x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = \sin x$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$.व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q 	imes I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर,$y e^{2x} = \int \sin x \cdot e^{2x} dx + C$  ..........$(1)$.$I = \int e^{2x} \sin x dx$ को हल करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं:$I = \sin x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx$.$\int e^{2x} \cos x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\sin x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx ight] = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} I$.$I + \frac{1}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \sin x - \cos x) \Rightarrow \frac{5}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \sin x - \cos x) \Rightarrow I = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x)$.इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:$y e^{2x} = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C$.$e^{2x}$ से भाग देने पर,हमें $y = \frac{1}{5} (2 \sin x - \cos x) + Ce^{-2x}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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