अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + y cot x = 2x + x^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2x + x^2 \cot x$ है।सबसे पहले,समाकलन गुणक ($I

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$y = x^2 - \frac{\pi^2}{4 \sin x}$

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(A) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2x + x^2 \cot x$ है।सबसे पहले,समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करें:$I.F. = e^{\int \cot x dx} = e^{\log |\sin x|} = \sin x$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \sin x = \int (2x + x^2 \cot x) \sin x dx + C$$y \sin x = \int (2x \sin x + x^2 \cos x) dx + C$.यहाँ,$\frac{d}{dx}(x^2 \sin x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ है,अतः $y \sin x = x^2 \sin x + C$ $(1)$.$x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ रखने पर:$0 = (\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + C \implies 0 = \frac{\pi^2}{4} + C \implies C = -\frac{\pi^2}{4}$.$C$ का मान $(1)$ में रखने पर:$y \sin x = x^2 \sin x - \frac{\pi^2}{4}$.$\sin x$ से भाग देने पर:$y = x^2 - \frac{\pi^2}{4 \sin x}$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x$ $(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 0$ है।

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