अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + y cot x = 4x csc x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ औ

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$y \sin x = 2x^2 - \frac{\pi^2}{2}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 4x \csc x$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$। व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: $y \sin x = \int (4x \csc x \cdot \sin x) dx + C$। चूँकि $\csc x \cdot \sin x = 1$,इसलिए $y \sin x = \int 4x dx + C$। समाकलन करने पर,हमें $y \sin x = 2x^2 + C$ प्राप्त होता है। दिया गया है कि $x=\frac{\pi}{2}$ पर $y=0$,इसलिए: $0 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 + C$। $0 = 2(\frac{\pi^2}{4}) + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi^2}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{\pi^2}{2}$। अतः,विशिष्ट हल $y \sin x = 2x^2 - \frac{\pi^2}{2}$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x$ $(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x=\frac{\pi}{2}$ पर $y=0$ है।

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