જો intlimits_a^x {t,y(t)dt} = x^2 + y(x) હોય, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:$x\,y(x) = 2x + y'(x)$પદોને ગોઠવતા:$y'(x) - x\,y(

Vedclass · Accepted Answer

$y = 2 - (2 + a^2)e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:$x\,y(x) = 2x + y'(x)$પદોને ગોઠવતા:$y'(x) - x\,y(x) = -2x$આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -x$ અને $Q(x) = -2x$.સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$:$I.F. = e^{\int -x\,dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$સમીકરણને $I.F.$ વડે ગુણતા:$e^{-\frac{x^2}{2}} \frac{dy}{dx} - x\,e^{-\frac{x^2}{2}} y = -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}}$$\frac{d}{dx} \left( y\,e^{-\frac{x^2}{2}} \right) = -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}}$બંને બાજુ સંકલન કરતા:$y\,e^{-\frac{x^2}{2}} = \int -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$$y\,e^{-\frac{x^2}{2}} = 2\,e^{-\frac{x^2}{2}} + C$$y = 2 + C\,e^{\frac{x^2}{2}}$$x = a$ મુકતા,$y(a) = -a^2$ મળે છે.$-a^2 = 2 + C\,e^{\frac{a^2}{2}} \implies C = -(2 + a^2)e^{-\frac{a^2}{2}}$તેથી,$y = 2 - (2 + a^2)e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$.

જો $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ હોય,તો $x$ ના વિધેય તરીકે $y$ શું થાય?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$ નો ઉકેલ શોધો.

$\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x \sec x$,$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$,$y(0)=1$ નો ઉકેલ વક્ર હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module