ધારો કે f એ એક વિકલનીય વિધેય f : R rightarrow | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. તેથી $g'(x) = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$2e$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. તેથી $g'(x) = \frac{f(x)}{1+x^2}$. સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + g(x)$. $f(x) = (1+x^2)g'(x)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $g'(x) = 1 + g(x)$. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dg}{dx} - g = 1$. સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે. $e^{-x}$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(g(x)e^{-x}) = e^{-x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $g(x)e^{-x} = -e^{-x} + C$. તેથી,$g(x) = C e^x - 1$. $g(0) = \int_{0}^{0} \dots = 0$ હોવાથી,$0 = C - 1$,એટલે કે $C = 1$. આમ,$g(x) = e^x - 1$. તેથી $g'(x) = e^x$. $f(x) = (1+x^2)g'(x)$ હોવાથી,$f(x) = (1+x^2)e^x$. તેથી,$f(1) = (1+1^2)e^1 = 2e$.

Similar Questions

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તો:

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 0$ છે. જો $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=Y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$,$x \in \left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ નો ઉકેલ છે,જેથી $Y(0)=1$,તો

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે. $(x \neq 0)$

જો $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ હોય,તો $2y(2) - y(1) =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module