दर्शाइए कि वक्रों का वह कुल जिसके लिए किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ है,$x^{2}-y^{2}=c x$ द्वारा दिया जाता है।

(A) हम जानते हैं कि वक्र पर किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ होती है।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}$.
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^{2}}{2(y/x)}$. यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v} - v = \frac{1+v^{2}-2v^{2}}{2v} = \frac{1-v^{2}}{2v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^{2}} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^{2}} dv = \int \frac{dx}{x}$.
माना $1-v^{2} = t$,तब $-2v dv = dt$,अतः $\int -\frac{dt}{t} = \ln|x| + C$.
$-\ln|1-v^{2}| = \ln|x| + C$.
$\ln|1-v^{2}|^{-1} = \ln|x| + C \implies \frac{1}{1-v^{2}} = Cx$.
$v = y/x$ रखने पर: $\frac{1}{1-(y^{2}/x^{2})} = Cx \implies \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}} = Cx$.
$x^{2} = C x (x^{2}-y^{2}) \implies x = C(x^{2}-y^{2}) \implies x^{2}-y^{2} = \frac{1}{C} x = cx$.