निम्नलिखित में से कौन सा एक समघातीय अवकल समीकरण है?

दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\left(x^{2}+x y\right) d y=\left(x^{2}+y^{2}\right) d x$ एक समघातीय समीकरण है और इसका हल ज्ञात कीजिए।

एक वक्र बिंदु $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ से होकर गुजरता है। मान लीजिए कि प्रत्येक बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$ द्वारा दी गई है,जहाँ $x > 0$ है। तो वक्र का समीकरण क्या है?

जब $3$ पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो $3$ पासों पर दिखाई देने वाली संख्याओं का योग $15$ पाया जाता है। तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि किसी भी पासे पर संख्या $5$ दिखाई नहीं देती है?

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$,$y(1) = \frac{\pi}{2}$ का हल है और मान लीजिए $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}})$ है। तो $p$ के उन पूर्णांक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनके लिए समीकरण $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ एक $r \leq 6$ त्रिज्या वाला वृत्त निरूपित करता है।

अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है):