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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx + x dy = 0$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = -\left[x \sin ^{2}\lef

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$\cot \left(\frac{y}{x}\right)=\log |ex|$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx + x dy = 0$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = -\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx$.$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)}{x} = \frac{y}{x} - \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)$ ... $(1)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$(1)$ में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \sin ^{2} v$.$x \frac{dv}{dx} = -\sin ^{2} v$.चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{\sin ^{2} v} = -\frac{dx}{x}$.$\int \csc ^{2} v dv = -\int \frac{dx}{x}$.$-\cot v = -\log |x| - C$.$\cot v = \log |x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.दिया है $y = \frac{\pi}{4}$ जब $x = 1$: $\cot \left(\frac{\pi/4}{1}\right) = \log |1| + C$.$1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.अतः,$\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + 1 = \log |x| + \log e = \log |ex|$.विशिष्ट हल $\cot \left(\frac{y}{x}\right) = \log |ex|$ है।

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] d x+x d y=0$; $y=\frac{\pi}{4}$ जब $x=1$.

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