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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x+y) dy = -(x-y) dx$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x-y)}{x+y} =

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$\log (x^{2}+y^{2})+2 	an ^{-1}(\frac{y}{x})=\frac{\pi}{2}+\log 2$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x+y) dy = -(x-y) dx$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x-y)}{x+y} = \frac{y-x}{x+y}$  ..........$(1)$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$(1)$ में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx-x}{x+vx} = \frac{v-1}{1+v}$$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{1+v} - v = \frac{v-1-v-v^{2}}{1+v} = \frac{-(1+v^{2})}{1+v}$चरों को पृथक करने पर: $\frac{1+v}{1+v^{2}} dv = -\frac{dx}{x}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+v^{2}} dv + \int \frac{v}{1+v^{2}} dv = -\int \frac{dx}{x}$$	an^{-1} v + \frac{1}{2} \log(1+v^{2}) = -\log x + C$$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}) = -\log x + C$$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}) = -\log x + C$$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^{2}+y^{2}) - \log x = -\log x + C$$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^{2}+y^{2}) = C$$2$ से गुणा करने पर: $2 	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \log(x^{2}+y^{2}) = 2C = K$जब $x=1$ तब $y=1$: $2 	an^{-1}(1) + \log(1^{2}+1^{2}) = K$$2(\frac{\pi}{4}) + \log 2 = K \Rightarrow K = \frac{\pi}{2} + \log 2$अतः,विशिष्ट हल है: $\log(x^{2}+y^{2}) + 2 	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{\pi}{2} + \log 2$.

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$; जब $x=1$ तब $y=1$.

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$x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$ और $y(1) = 0$ की शर्त को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए ($C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

नीचे दिए गए अवकल समीकरण को हल करें:
$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$

अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x=\sqrt{3}$ होने पर $y=1$ है।

यदि $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$,$x > 0$ और $y(1) = \frac{\pi}{2}$ है,तो $\cos \left(\frac{y}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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