यदि f(x) एक व्युत्क्रमणीय और दो बार अवकलनीय फ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया है कि $f'(x) = \int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) dt$ और $f'(0) = 1$ है। लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{e}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $f'(x) = \int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) dt$ और $f'(0) = 1$ है। लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f''(x) = f^{-1}(f(x)) \cdot f'(x)$। चूंकि $f(x)$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $f^{-1}(f(x)) = x$ होता है। अतः,$f''(x) = x f'(x)$। पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{f''(x)}{f'(x)} = x$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\ln|f'(x)| = \frac{x^2}{2} + C$। $x = 0$ पर,$f'(0) = 1$,इसलिए $\ln|1| = 0 + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$। अतः,$\ln|f'(x)| = \frac{x^2}{2}$,जिससे $f'(x) = e^{x^2/2}$ प्राप्त होता है। $x = 1$ के लिए,$f'(1) = e^{1/2} = \sqrt{e}$।

Similar Questions

यदि $x^3 - 2x^2y^2 + 5x + y - 5 = 0$ है, तो $(1, 1)$ पर $y''_1 = $?

यदि $ x^{y}=e^{x-y} $ है,तो $ \frac{d y}{d x} $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $2^x + 2^y = 2^{x + y}$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान किसके बराबर है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module