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Question

(A) $PROPERTY \ 1$ के लिए,हम $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{\sqrt{|h|}}$ की जाँच करते हैं:$(2) \ f(x)=x^{2/3}, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow

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$(2, 4)$

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(A) $PROPERTY \ 1$ के लिए,हम $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{\sqrt{|h|}}$ की जाँच करते हैं:$(2) \ f(x)=x^{2/3}, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2/3}-0}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|^{2/3}}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} |h|^{1/6} = 0$. यह अस्तित्व में है और परिमित है। अतः,$(2)$ सही है।$(4) \ f(x)=|x|, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|-0}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} |h|^{1/2} = 0$. यह अस्तित्व में है और परिमित है। अतः,$(4)$ सही है।$PROPERTY \ 2$ के लिए,हम $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h^2}$ की जाँच करते हैं:$(1) \ f(x)=x|x|, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h|h|}{h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|}{h}$. $RHL = 1$ और $LHL = -1$ है। सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(1)$ गलत है।$(3) \ f(x)=\sin x, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{h} = 1 \cdot \infty = \infty$. सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(3)$ गलत है।इस प्रकार,केवल $(2)$ और $(4)$ सही हैं।

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