Approximate Value Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $f(x) = \log_{10} x = \frac{\log_e x}{\log_e 10} = (\log_{10} e)(\log_e x) = 0.4343(\log_e x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = \frac{0.4343}{x}$ મળે છે.
ધારો કે $x = 998 = 1000 - 2 = a + h$.
અહીં,$a = 1000$ અને $h = -2$.
$f(a) = f(1000) = \log_{10}(1000) = 3 \log_{10} 10 = 3$.
વળી,$f'(a) = f'(1000) = \frac{0.4343}{1000} = 0.0004343$.
આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + hf'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{10}(998) \approx 3 + (-2)(0.0004343) = 3 - 0.0008686 = 2.9991314$.

(A) ધારો કે $f(x) = \cot^{-1}(x)$. તેનું વિકલન $f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ છે.
આપણે રેખીય અંદાજનું સૂત્ર વાપરીએ: $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$.
અહીં,$a = 1$ અને $h = 0.001$ લો.
$f(a) = \cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ ની ગણતરી કરો.
$f'(a) = -\frac{1}{1+1^2} = -\frac{1}{2}$ ની ગણતરી કરો.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(1.001) \approx \frac{\pi}{4} + (0.001) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$.
$f(1.001) \approx \frac{\pi}{4} - 0.0005$.

(C) ધારો કે $f(x) = \log _{10} x = \frac{\log _{e} x}{\log _{e} 10}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{1}{x \log_{e} 10} = \frac{1}{x} \log_{10} e$.
ધારો કે $a = 100$ અને $h = -1$,જેથી $a + h = 99$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે આશરે કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + h f'(a)$ છે.
અહીં,$f(a) = \log_{10} 100 = 2$.
$f'(a) = \frac{1}{100} \log_{10} e = \frac{0.4343}{100} = 0.004343$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(99) \approx 2 + (-1)(0.004343) = 2 - 0.004343 = 1.995657$.
દશાંશના ચાર અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.9957$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3} + 5x^{2} - 7x + 10$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત મેળવો $f'(x) = 3x^{2} + 10x - 7$.
ધારો કે $a = 1$ અને $h = 0.1$,તેથી $x = a + h = 1.1$.
$f(a) = f(1) = (1)^{3} + 5(1)^{2} - 7(1) + 10 = 1 + 5 - 7 + 10 = 9$ ગણો.
$f'(a) = f'(1) = 3(1)^{2} + 10(1) - 7 = 3 + 10 - 7 = 6$ ગણો.
રેખીય આસન્ન કિંમતનું સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(1.1) \approx 9 + (0.1)(6) = 9 + 0.6 = 9.6$.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^{3} - 3x + 5$.
આપણે $x = 1.99$ આગળ આશરે મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = a + h$,જ્યાં $a = 2$ અને $h = -0.01$.
રેખીય અંદાજ માટેનું સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ છે.
પ્રથમ,$f(a) = f(2) = 2^{3} - 3(2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકલિત $f'(x) = 3x^{2} - 3$ મેળવો.
$f'(a) = f'(2) = 3(2)^{2} - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$ ગણો.
હવે,આ કિંમતોને અંદાજિત સૂત્રમાં મૂકો:
$f(1.99) \approx f(2) + (-0.01) \cdot f'(2) = 7 + (-0.01)(9) = 7 - 0.09 = 6.91$.
આમ,આશરે મૂલ્ય $6.91$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)=3x^{2}+5x+3$.
આપણે $x=3.02$ પર આશરે કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = a + h$,જ્યાં $a=3$ અને $h=0.02$.
રેખીય અંદાજ માટેનું સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f^{\prime}(a)$ છે.
પ્રથમ,$f(a) = f(3) = 3(3)^{2} + 5(3) + 3 = 27 + 15 + 3 = 45$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકલન $f^{\prime}(x) = 6x + 5$ મેળવો.
પછી,$f^{\prime}(a) = f^{\prime}(3) = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$f(3.02) \approx 45 + (0.02)(23) = 45 + 0.46 = 45.46$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$. આપણે $f(66)$ ની આશરે કિંમત શોધવી છે.
ધારો કે $x = 64$ અને $\Delta x = 2$,જેથી $x + \Delta x = 66$ થાય.
રેખીય અંદાજ માટેનું સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ છે.
અહીં,$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$,તેથી $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$.
$x = 64$ માટે,$f(64) = (64)^{\frac{1}{3}} = 4$.
અને $f'(64) = \frac{1}{3(64)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(4^2)} = \frac{1}{3(16)} = \frac{1}{48}$.
હવે,$f(66) \approx f(64) + f'(64) \Delta x$.
$f(66) \approx 4 + \left(\frac{1}{48}\right)(2) = 4 + \frac{1}{24}$.
કારણ કે $\frac{1}{24} \approx 0.04166...$,તેથી $f(66) \approx 4 + 0.04166... = 4.04166...$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $4.0417$ મળે છે,જે $4.0416$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 2x + 1$ છે.
આપણે $x = 2.99$ આગળ આશરે મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = 3$ અને $\Delta x = -0.01$,જેથી $x + \Delta x = 2.99$ થાય.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 2x - 2$ મળે.
રેખીય આસન્ન કિંમત માટેનું સૂત્ર: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x \cdot f'(x)$.
$x = 3$ માટે,$f(3) = 3^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$.
$x = 3$ માટે,$f'(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(2.99) \approx f(3) + (-0.01) \cdot f'(3)$.
$f(2.99) \approx 4 + (-0.01)(4)$.
$f(2.99) \approx 4 - 0.04 = 3.96$.

(A) રેખીય અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f(x+h) \approx f(x) + h f'(x)$.
અહીં,$x=1$ અને $h=0.1$ લો.
પ્રથમ,$f(1) = (1)^3 + 5(1)^2 - 7(1) + 9 = 1 + 5 - 7 + 9 = 8$ ગણો.
ત્યારબાદ,વિકલન $f'(x) = 3x^2 + 10x - 7$ શોધો.
$f'(1) = 3(1)^2 + 10(1) - 7 = 3 + 10 - 7 = 6$ ગણો.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$f(1.1) \approx f(1) + 0.1 \times f'(1)$
$f(1.1) \approx 8 + 0.1 \times 6$
$f(1.1) \approx 8 + 0.6 = 8.6$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{1/3}$. આપણે $f(28)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = 27$ અને $\Delta x = 1$,જેથી $x + \Delta x = 28$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x) = x^{1/3}$,તેથી $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$.
આશરે કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ છે.
અહીં,$f(27) = (27)^{1/3} = 3$.
$f'(27) = \frac{1}{3(27)^{2/3}} = \frac{1}{3(9)} = \frac{1}{27}$.
તેથી,$f(28) \approx 3 + \frac{1}{27} \times 1$.
$f(28) \approx 3 + 0.037037... \approx 3.037$.

(B) અમે રેખીય અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$.
ધારો કે $f(x) = \log_{10} x$.
તો $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} = \frac{\log_{10} e}{x}$.
આપેલ છે કે $a = 1000$ અને $h = 2$,તેથી:
$f(1002) \approx f(1000) + 2 f'(1000)$.
$f(1000) = \log_{10} 1000 = 3$.
$f'(1000) = \frac{\log_{10} e}{1000} = \frac{0.4343}{1000} = 0.0004343$.
તેથી,$\log_{10} 1002 \approx 3 + 2(0.0004343)$.
$\log_{10} 1002 \approx 3 + 0.0008686 = 3.0008686$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $3.0009$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin x$.
તેથી $f^{\prime}(x) = \cos x$.
અહીં,$a = 60^{\circ}$ અને $h = 10^{\prime \prime}$.
$1^{\circ} = 3600^{\prime \prime}$ હોવાથી,$h = \frac{10}{3600}^{\circ} = \frac{1}{360}^{\circ}$.
$h$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા: $h = \frac{1}{360} \times 0.0175^{c} \approx 0.0000486^{c}$.
હવે,$f(a) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1.732}{2} = 0.866$.
અને $f^{\prime}(a) = \cos(60^{\circ}) = 0.5$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(60^{\circ} 0^{\prime} 10^{\prime \prime}) \approx 0.866 + (0.0000486 \times 0.5)$.
$\approx 0.866 + 0.0000243 = 0.8660243$.

(C) $\sqrt{24.99}$ ની આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન (differentials) નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $f(x) = \sqrt{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $24.99 = 25 - 0.01$. અહીં,$x = 25$ અને $\Delta x = -0.01$ છે.
આશરે કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ છે.
પ્રથમ,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ શોધો.
$x = 25$ માટે,$f(25) = \sqrt{25} = 5$ અને $f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10} = 0.1$ થાય.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(24.99) \approx f(25) + f'(25) \times \Delta x$
$f(24.99) \approx 5 + (0.1) \times (-0.01)$
$f(24.99) \approx 5 - 0.001$
$f(24.99) \approx 4.999$.

(A) ધારો કે સમઘનની બાજુ $x$ મીટર છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dV = 3x^{2} dx$.
આપેલ છે કે બાજુમાં $3\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dx}{x} \times 100 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x} = 0.03$,અથવા $dx = 0.03x$.
$dV$ ના સૂત્રમાં $dx$ ની કિંમત મૂકતા:
$dV = 3x^{2} (0.03x) = 0.09x^{3} \text{ m}^{3}$.
આમ,ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $0.09x^{3} \text{ m}^{3}$ છે.

(A) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \text{side}^2$ છે.
આપેલ છે કે $\text{Area} = 575$.
તેથી,$\text{side} = \sqrt{575}$.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા: $\sqrt{575} \approx 23.9791576$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $23.9792$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \cot x$.
આપેલ છે કે $1^{\prime} = 0.0175$ રેડિયન,તેથી $2^{\prime} = 0.035$ રેડિયન.
વિકલન $f^{\prime}(x) = -\operatorname{cosec}^2 x$ છે.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(45^{\circ} + 2^{\prime}) \approx \cot(45^{\circ}) + (0.035) \times (-\operatorname{cosec}^2(45^{\circ}))$.
કારણ કે $\cot(45^{\circ}) = 1$ અને $\operatorname{cosec}(45^{\circ}) = \sqrt{2}$,તેથી $\operatorname{cosec}^2(45^{\circ}) = 2$.
$f(45^{\circ} + 2^{\prime}) \approx 1 - 0.035 \times 2 = 1 - 0.07 = 0.93$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1^{\circ} = \alpha$ રેડિયન,તેથી $1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$ રેડિયન.
વિકલન અંદાજ (differential approximation) નો ઉપયોગ કરતા,$\cos(x + \Delta x) \approx \cos(x) - \sin(x) \Delta x$.
અહીં,$x = 60^{\circ}$ અને $\Delta x = 1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$.
તેથી,$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \cos(60^{\circ}) - \sin(60^{\circ}) \times \frac{\alpha}{60}$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ અને $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,આપણને મળે છે:
$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\alpha}{60} = \frac{1}{2} - \frac{\alpha \sqrt{3}}{120}$.

(D) ધારો કે $y = f(x) = \cos(x)$. આપણે $\cos(31^{\circ})$ નું મૂલ્ય શોધવું છે.
ધારો કે $x = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ અને $\Delta x = 1^{\circ} = 0.0174 \text{ rad}$.
તેથી $f(x) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$.
વિકલન કરતા $f'(x) = -\sin(x)$ મળે.
$x = 30^{\circ}$ આગળ,$f'(30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -0.5$.
વિકલિતના આશરે મૂલ્યના સૂત્ર $\Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta y \approx (-0.5) \times 0.0174 = -0.0087$.
તેથી,$\cos(31^{\circ}) = f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta y$.
$\cos(31^{\circ}) \approx 0.8660 - 0.0087 = 0.8573$.

(B) લંબવૃત્તીય શંકુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S = \pi r^2 + \pi r l$ છે,જ્યાં $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
આપેલ છે કે $r = 7$,$h = 7$,તેથી $l = \sqrt{7^2 + 7^2} = 7\sqrt{2}$.
માપનમાં ભૂલ $\Delta r = \Delta h = 0.002 \times 7 = 0.014$ છે.
$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$.
વિકલન લેતા $dS = \frac{\partial S}{\partial r} dr + \frac{\partial S}{\partial h} dh$.
$\frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r + \pi \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} = 2\pi r + \pi l + \frac{\pi r^2}{l}$.
$\frac{\partial S}{\partial h} = \pi r \frac{h}{\sqrt{r^2 + h^2}} = \frac{\pi r h}{l}$.
$r=7, h=7, l=7\sqrt{2}$ અને $dr=dh=0.014$ મૂકતા:
$\frac{\partial S}{\partial r} = 14\pi + 7\sqrt{2}\pi + 3.5\sqrt{2}\pi = 14\pi + 10.5\sqrt{2}\pi$.
$\frac{\partial S}{\partial h} = 3.5\sqrt{2}\pi$.
$dS = (14\pi + 10.5\sqrt{2}\pi)(0.014) + (3.5\sqrt{2}\pi)(0.014) = 14\pi(1+\sqrt{2})(0.014) = 0.196\pi(1+\sqrt{2})$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$0.196 \times 3.14 \approx 0.616$.
આમ,ભૂલ $(0.616)(\sqrt{2}+1)$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$y = (1 + \alpha + \alpha^2 + \ldots) e^{nx}$.
ધારો કે $K = (1 + \alpha + \alpha^2 + \ldots)$,જે એક અચળાંક છે.
તેથી,$y = K e^{nx}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = K \cdot n e^{nx} = n \cdot (K e^{nx}) = ny$.
વિકલનના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$.
તેથી,$\Delta y = ny \Delta x$.
બંને બાજુ $y$ વડે ભાગતા,આપણને $y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ મળે છે:
$\frac{\Delta y}{y} = n \Delta x$.
આમ,$y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $n \times (x \text{ માં ત્રુટિ})$ છે.

(A) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ છે,તેથી $\frac{dr}{r} = 0.03$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dA = 2\pi r dr$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dA}{A} = \frac{2\pi r dr}{\pi r^2} = 2 \frac{dr}{r}$ છે.
$\frac{dr}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dA}{A} = 2 \times 0.03 = 0.06$ મળે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dA}{A} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6\%$ છે.

(B) અહીં અર્ધ-શીર્ષકોણ $\alpha = 45^{\circ}$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $r = 14 \text{ cm}$ આપેલ છે.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \frac{r}{\sin 45^{\circ}} = r\sqrt{2}$ થાય.
શંકુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A = \pi r(r + l)$ છે.
$l = r\sqrt{2}$ મૂકતા,$A = \pi r(r + r\sqrt{2}) = \pi r^2(1 + \sqrt{2})$ મળે.
$A$ માં આશરે ત્રુટિ શોધવા માટે,$A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dr} = 2\pi r(1 + \sqrt{2})$.
આશરે ત્રુટિ $dA = \frac{dA}{dr} \cdot dr$,જ્યાં $dr = \frac{\sqrt{2}-1}{11} \text{ cm}$ છે.
$dA = 2\pi r(1 + \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{11}\right)$.
$r = 14$ મૂકતા:
$dA = 2\pi(14)(1 + \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{11}\right)$.
$(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 1$ હોવાથી,
$dA = 2\pi(14) \cdot \frac{1}{11} = \frac{28\pi}{11}$.
જો $\pi \approx \frac{22}{7}$ લઈએ,તો $dA = 28 \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{11} = 4 \times 2 = 8 \text{ sq. cm}$.

(B) ધારો કે $y = f(x) = x^3 - 4x$.
અહીં આપણને $x = 2$ અને $x$ માં થતો ફેરફાર $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ આપેલ છે.
$y$ માં થતો આશરે ફેરફાર $\Delta y$ એ $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x) = 3x^2 - 4$.
હવે,$x = 2$ આગળ વિકલિતનું મૂલ્ય શોધતા: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$.
અંતે,આશરે ફેરફાર $\Delta y$ ની ગણતરી કરતા: $\Delta y \approx 8 \times (-0.01) = -0.08$.

(A) ધારો કે $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $\Delta r$ એ ત્રિજ્યા માપવામાં થતી ભૂલ છે。
આપેલ છે કે, $r = 9 \ cm$ અને $\Delta r = 0.03 \ cm$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં આશરે ભૂલ શોધવા માટે, આપણે $S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$.
વિકલન અંદાજનો ઉપયોગ કરતા, $\Delta S \approx \frac{dS}{dr} \times \Delta r$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta S = 8 \pi \times 9 \times 0.03$.
$\Delta S = 72 \pi \times 0.03 = 2.16 \pi \ cm^2$.
આમ, સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં થતી આશરે ભૂલ $2.16 \pi \ cm^2$ છે।

(A) આપેલ છે,$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
$l$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{T} \frac{dT}{dl} = \frac{1}{2l}$.
આમ,સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $1 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dl}{l} \times 100 = 1 \%$ છે.
તેથી,આવર્તકાળમાં ટકાવારી ફેરફાર $\frac{dT}{T} \times 100 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{dl}{l} \times 100 \right) = \frac{1}{2} \times 1 \% = 0.5 \%$ છે.
આમ,આવર્તકાળમાં આશરે ફેરફાર $0.5 \%$ છે.

(B) આપેલ છે કે $y = f(x) = 5x^2 + 6x + 6$,$x = 2$ અને $\Delta x = 0.001$.
પ્રથમ,વિકલન $dy$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = 10x + 6$
$dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x = (10x + 6) \Delta x$
$x = 2$ અને $\Delta x = 0.001$ મુકતા:
$dy = (10(2) + 6)(0.001) = (26)(0.001) = 0.026$.
હવે,વૃદ્ધિ $\Delta y$ શોધો:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$
$\Delta y = [5(x + \Delta x)^2 + 6(x + \Delta x) + 6] - [5x^2 + 6x + 6]$
$\Delta y = 5(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 6x + 6\Delta x + 6 - 5x^2 - 6x - 6$
$\Delta y = 10x\Delta x + 5(\Delta x)^2 + 6\Delta x$
$x = 2$ અને $\Delta x = 0.001$ મુકતા:
$\Delta y = 10(2)(0.001) + 5(0.001)^2 + 6(0.001)$
$\Delta y = 0.020 + 0.000005 + 0.006 = 0.026005$.
આમ,$\Delta y = 0.026005$ અને $dy = 0.026$.

(D) આપેલ છે કે, ત્રિજ્યા $(r) = 7 \text{ m}$ અને ત્રિજ્યામાં ભૂલ $(dr) = 0.02 \text{ m}$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે છે.
ઘનફળમાં આશરે ભૂલ $(dV)$ એ $dV = \frac{dV}{dr} \times dr$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $dV = 4 \pi (7)^2 \times 0.02$.
$dV = 4 \pi (49) \times 0.02$.
$dV = 196 \pi \times 0.02 = 3.92 \pi \text{ m}^3$.
આમ, ઘનફળની ગણતરીમાં આશરે ભૂલ $3.92 \pi \text{ m}^3$ છે. તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે શરૂઆતની વસ્તી $P_0$ છે. $3 \%$ ના વાર્ષિક વૃદ્ધિ દરે $5 \text{ yr}$ પછીની વસ્તી $P = P_0(1 + \frac{3}{100})^5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી વધારો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{P - P_0}{P_0} \times 100 = [ (1 + 0.03)^5 - 1 ] \times 100$
$= [ (1.03)^5 - 1 ] \times 100$
$(1.03)^5 \approx 1.15927$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\approx [1.15927 - 1] \times 100 = 15.927 \% \approx 15.9 \%$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ધારો કે વિધેય $f(x) = \sqrt{x}$ છે.
આપણે $x = 196$ અને $\Delta x = 3$ લઈએ છીએ કારણ કે $196$ એ $199$ ની સૌથી નજીકની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે.
વિકલનના સૂત્ર $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \Delta x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x = 196$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{196}} = \frac{1}{2 \times 14} = \frac{1}{28}$.
હવે,$\Delta y \approx \frac{1}{28} \times 3 = \frac{3}{28} \approx 0.10714$.
તેથી,$\sqrt{199} = \sqrt{196} + \Delta y \approx 14 + 0.1071 = 14.1071$.

(C) ધારો કે $y = f(x) = x^{1/3}$.
આપણે $x = 27$ પસંદ કરીએ છીએ જેથી $x + \Delta x = 26$ થાય.
તેથી $\Delta x = 26 - 27 = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $y + \Delta y \approx f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^{1/3}$.
વિકલન $\Delta y$ એ $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $y = x^{1/3}$,આપણી પાસે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$ છે.
$x = 27$ પર,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(27)^{2/3}} = \frac{1}{3(9)} = \frac{1}{27}$ થાય.
આમ,$\Delta y \approx \frac{1}{27} \times (-1) = -\frac{1}{27} \approx -0.037037$.
તેથી,$\sqrt[3]{26} = y + \Delta y = 27^{1/3} - 0.037037 = 3 - 0.037037 = 2.962963$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $2.963$ મળે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોના આધારે,$2.962$ સૌથી નજીકની કિંમત છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln L - \frac{1}{2} \ln g$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$.
અહીં,ઘડિયાળ દરરોજ $2$ મિનિટ ગુમાવે છે,તેથી $\Delta T = -2$ મિનિટ.
એક દિવસમાં કુલ સમય $24 \times 60 = 1440$ મિનિટ છે.
આમ,સમયમાં અપૂર્ણાંક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{-2}{1440} = -\frac{1}{720}$ છે.
$\frac{\Delta L}{L} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta L}{L} = 2 \times \left( -\frac{1}{720} \right) = -\frac{1}{360}$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta L}{L} \% = -\frac{1}{360} \times 100 = -\frac{10}{36} = -\frac{5}{18} \%$.
તેથી,લંબાઈમાં $-\frac{5}{18} \%$ જેટલો ફેરફાર કરવો જોઈએ.

(C) ધારો કે $y = f(x) = x^{1/4}$. આપણે $x = 16$ અને $\Delta x = 2$ લઈએ છીએ કારણ કે $16$ એ $18$ ની સૌથી નજીકની પૂર્ણ ચતુર્થ ઘાત છે.
વિકલનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta y \approx \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{1}{4x^{3/4}}$.
$x = 16$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(16^{3/4})} = \frac{1}{4(8)} = \frac{1}{32}$.
હવે,$\Delta y$ ની ગણતરી કરો: $\Delta y \approx \left(\frac{1}{32}\right) \times 2 = \frac{1}{16} = 0.0625$.
આમ,આશરે મૂલ્ય $y + \Delta y = f(16) + 0.0625 = 2 + 0.0625 = 2.0625$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,વ્યાસમાં ભૂલ $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2}$ હોવાથી,ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \pm \frac{0.04}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે.
ઘનફળમાં આશરે ભૂલ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \Delta r = 4 \pi r^2 \Delta r$ થાય.
ઘનફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{\Delta V}{V} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = \frac{3 \Delta r}{r} \times 100$.
અહીં $r = 10 \text{ cm}$ અને $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ હોવાથી,પ્રતિશત ભૂલ $\frac{3 \times (\pm 0.02)}{10} \times 100 = \frac{\pm 0.06}{10} \times 100 = \pm 0.6 \%$ થાય.

(C) આપેલ વર્તુળનો પરિઘ $S = 2 \pi r = 56 \text{ cm}$ છે.
આથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{56}{2 \pi} = \frac{28}{\pi} \text{ cm}$ થાય.
પરિઘમાં ત્રુટિ $\delta S = 2 \pi \delta r = 0.02 \text{ cm}$ આપેલ છે.
તેથી,$\delta r = \frac{0.02}{2 \pi} \text{ cm}$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta A}{A} = 2 \frac{\delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\delta A}{A} = 2 \times \frac{\frac{0.02}{2 \pi}}{\frac{28}{\pi}} = 2 \times \frac{0.02}{2 \pi} \times \frac{\pi}{28} = \frac{0.02}{28} = \frac{2}{2800} = \frac{1}{1400}$.
ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\delta A}{A} \times 100 = \frac{1}{1400} \times 100 = \frac{1}{14} \%$.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં થતી ટકાવારી ત્રુટિ $1/14 \%$ છે.

(A) $\triangle AOB$ માં,અર્ધ-શીર્ષકોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = \frac{r}{h} \implies 1 = \frac{r}{h} \implies r = h$.
ત્રાંસી ઊંચાઈના સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $l = \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2}$ મળે છે.
પાર્શ્વ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi r l$.
$r = h$ અને $l = h\sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $S = \pi (h)(h\sqrt{2}) = \sqrt{2} \pi h^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $h = 20.025 \ cm$,તેથી $h^2 = (20.025)^2 = 401.000625 \approx 401$.
આમ,$S \approx \sqrt{2} \pi (401) = 401 \sqrt{2} \pi \ cm^2$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $x$ છે.
આપેલ છે કે બાજુમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $6 \%$ છે,તેથી $\frac{dx}{x} \times 100 = 6 \%$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dx} = 2x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dA = 2x \, dx$.
બંને બાજુ $A = x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dA}{A} = \frac{2x \, dx}{x^2} = 2 \frac{dx}{x}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times \left( \frac{dx}{x} \times 100 \right)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,આપણને $\text{ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર} = 2 \times 6 \% = 12 \%$ મળે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં આશરે $12 \%$ નો વધારો થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) $\sqrt{6560}$ ની આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે રેખીય અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ: $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $81^2 = 6561$.
ધારો કે $x = 6561$ અને $\Delta x = -1$.
તેથી,$\sqrt{6560} = \sqrt{6561 - 1} \approx \sqrt{6561} - \frac{1}{2\sqrt{6561}}$.
$\sqrt{6560} \approx 81 - \frac{1}{2 \times 81} = 81 - \frac{1}{162}$.
$\frac{1}{162} \approx 0.0061728$.
તેથી,$\sqrt{6560} \approx 81 - 0.0061728 = 80.9938272$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $80.9938$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$80.9939$ એ સૌથી નજીકનો અંદાજ છે.

(B) આપણે $\sec 58^{\circ}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sec 58^{\circ} = \frac{1}{\cos 58^{\circ}}$ હોવાથી,આપણે પહેલા $\cos 58^{\circ}$ ની ગણતરી કરીએ.
$\cos(60^{\circ} - 2^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \cos 2^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 2^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે કે $1^{\circ} = 0.0175 \text{ રેડિયન}$,તેથી $2^{\circ} = 2 \times 0.0175 = 0.035 \text{ રેડિયન}$.
નાના ખૂણાના અંદાજ મુજબ,$\cos 2^{\circ} \approx 1 - \frac{(0.035)^2}{2} = 0.9993875$ અને $\sin 2^{\circ} \approx 0.035$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\cos 58^{\circ} \approx (0.5 \times 0.9993875) + (0.866 \times 0.035) = 0.53000375$.
તેથી $\sec 58^{\circ} = \frac{1}{0.53000375} \approx 1.8867$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $1.8788$ છે.

(D) ધારો કે $\theta = A = 67 \frac{1}{2}^{\circ} = \frac{3\pi}{8} \text{ રેડિયન}$.
માપનમાં ભૂલ $d\theta = 9 \text{ min} = \frac{\pi}{1200} \text{ રેડિયન}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $S = \frac{1}{2}bc \sin \theta$.
વિકલન કરતા,$\frac{dS}{d\theta} = \frac{1}{2}bc \cos \theta$.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dS}{S} = \cot \theta d\theta$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dS}{S} = \cot \left( \frac{3\pi}{8} \right) \times \frac{\pi}{1200} = (\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{1200}$.
પ્રતિશત ભૂલ = $(\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{1200} \times 100 = \frac{\pi}{12}(\sqrt{2}-1)$.

(D) શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $h = 9$ આપેલ હોવાથી,$V = \frac{1}{3} \pi r^2 (9) = 3 \pi r^2$ થાય.
ઘનફળમાં ચોક્કસ ફેરફાર: $\Delta V = V(2.12) - V(2) = 3 \pi (2.12)^2 - 3 \pi (2)^2 = 3 \pi (4.4944 - 4) = 3 \pi (0.4944) = 1.4832 \pi$.
ઘનફળમાં આશરે ફેરફાર: $dV = \frac{dV}{dr} \Delta r$.
$V = 3 \pi r^2$ હોવાથી,$\frac{dV}{dr} = 6 \pi r$ થાય.
$r = 2$ અને $\Delta r = 2.12 - 2 = 0.12$ માટે,$dV = 6 \pi (2) (0.12) = 12 \pi (0.12) = 1.44 \pi$.
આમ,ચોક્કસ ફેરફાર $1.4832 \pi$ અને આશરે ફેરફાર $1.44 \pi$ છે.

(D) આપેલ છે: માપનમાં ભૂલ $\Delta x = 0.03 \text{ cm}$. $1 \text{ foot} = 30.48 \text{ cm}$ હોવાથી,ફૂટમાં ભૂલ $\Delta x = \frac{0.03}{30.48} \text{ feet} \approx 0.001 \text{ feet}$.
નળાકારની ઊંચાઈ $h = 3.5 \text{ feet}$,ગોળાનો વ્યાસ $d = 3.5 \text{ feet}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1.75 \text{ feet}$.
બંનેની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,$r = 1.75 \text{ feet}$ લો.
નળાકારનું પૃષ્ઠફળ $S_1 = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 18.375\pi$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S_2 = 4\pi r^2 = 12.25\pi$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $S = S_1 + S_2 = 30.625\pi$.
આશરે ભૂલ $\Delta S = \frac{dS}{dr} \Delta r$.
$S = 6\pi r^2 + 2\pi rh$ હોવાથી,$\frac{dS}{dr} = 12\pi r + 2\pi h = 28\pi$.
$\Delta S = 28\pi \times 0.001 = 0.028\pi \approx 0.1925 \text{ sq feet}$ (ગણતરી મુજબ).

(C) ધારો કે વ્યાસ $D = 14 \ cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7 \ cm$ થાય. વ્યાસમાં ભૂલ $\Delta D = 0.02 \ cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = 0.01 \ cm$ થાય.
અર્ધ-શીર્ષકોણ $\alpha = 45^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,શંકુની ઊંચાઈ $h = \frac{r}{\tan(\alpha)} = \frac{r}{\tan(45^{\circ})} = r$ થાય.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dr} = \pi r^2$ મળે.
ઘનફળમાં આશરે ભૂલ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta V \approx \pi \times (7)^2 \times 0.01 = 49 \pi \times 0.01 = 0.49 \pi$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$\Delta V \approx 0.49 \times \frac{22}{7} = 0.07 \times 22 = 1.54 \ cm^3$ મળે.

(A) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ મળે છે.
બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ મળે છે.
ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{dr}{r} \times 100)$ છે.
આપેલી કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times 3\% = 6\%$ મળે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $6\%$ છે.

(A) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 7 \text{ cm}$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ભૂલ $dA = 0.08 \text{ cm}^2$ છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$ મળે.
તેથી,$dA = 8 \pi r \cdot dr$.
કિંમતો મૂકતા,$0.08 = 8 \pi (7) \cdot dr$.
$dr = \frac{0.08}{56 \pi} = \frac{0.01}{7 \pi} \text{ cm}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે.
ઘનફળમાં આશરે ભૂલ $dV = \frac{dV}{dr} \cdot dr$ છે.
$dV = (4 \pi r^2) \cdot \left( \frac{0.01}{7 \pi} \right)$.
$r = 7$ મૂકતા,$dV = 4 \pi (7^2) \cdot \frac{0.01}{7 \pi} = 4 \times 7 \times 0.01 = 0.28 \text{ cm}^3$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{1/3}$. આપણે $f(730)$ ની આશરે કિંમત શોધવી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $729 = 9^3$,તેથી $x = 729$ અને $\Delta x = 1$ લો.
વિકલિતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$.
$x = 729$ માટે,$f(729) = (729)^{1/3} = 9$.
$f'(729) = \frac{1}{3(729)^{2/3}} = \frac{1}{3(9^2)} = \frac{1}{3 \times 81} = \frac{1}{243}$.
તેથી,$f(730) \approx 9 + \frac{1}{243} \times 1$.
$f(730) \approx 9 + 0.004115... \approx 9.0041$.