Approximate Value Questions in Gujarati

(B) આપણે $(7.995)^{1/3}$ ને $(8 - 0.005)^{1/3}$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - x)^n \approx 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(8 - 0.005)^{1/3} = 8^{1/3} \left(1 - \frac{0.005}{8}\right)^{1/3} = 2 \left(1 - \frac{0.005}{8}\right)^{1/3}$.
વિસ્તરણ $(1 - x)^n \approx 1 - nx$ લાગુ પાડતા:
$2 \left(1 - \frac{1}{3} \times \frac{0.005}{8}\right) = 2 \left(1 - \frac{0.005}{24}\right)$.
$2 \left(1 - 0.00020833...\right) = 2(0.99979166...)$.
$= 1.9995833...$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.9996$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r$ એ $r_1 = 3 \, cm$ થી વધીને $r_2 = 3.2 \, cm$ થાય છે.
ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\Delta r = 3.2 - 3 = 0.2 \, cm$ છે.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A(r_2) - A(r_1) = \pi(r_2^2 - r_1^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta A = \pi((3.2)^2 - (3)^2)$ મળે છે.
$\Delta A = \pi(10.24 - 9) = 1.24\pi \, cm^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $y = x^3 + 5$ છે.
જ્યારે $x$ ની કિંમત $3$ થી બદલાઈને $2.99$ થાય ત્યારે $y$ માં થતો આશરે ફેરફાર $(dy)$ શોધવાનો છે.
અહીં,$x = 3$ અને $x$ માં થતો ફેરફાર $dx = 2.99 - 3 = -0.01$ છે.
$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ થાય.
તેથી,આશરે ફેરફાર $dy = (3x^2) \cdot dx$ દ્વારા મળે છે.
$x = 3$ અને $dx = -0.01$ ની કિંમતો મૂકતા:
$dy = 3(3)^2 \cdot (-0.01)$
$dy = 3(9) \cdot (-0.01)$
$dy = 27 \cdot (-0.01)$
$dy = -0.27$.
આમ,$y$ માં થતો આશરે ફેરફાર $-0.27$ છે.

(A) ધારો કે $y = x^{1/3}$,જ્યાં $x = 125$ અને $x + \Delta x = 127$.
તેથી $\Delta x = 2$.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{2/3}}$ છે.
$x = 125$ માટે,$y = (125)^{1/3} = 5$ અને $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(125)^{2/3}} = \frac{1}{3(25)} = \frac{1}{75}$.
આશરે કિંમત શોધવા માટે $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta y \approx \frac{1}{75} \times 2 = \frac{2}{75} = 0.02666... \approx 0.0267$.
તેથી,$(127)^{1/3} = y + \Delta y = 5 + 0.0267 = 5.0267$.

(A) ધારો કે $y = f(x) = \sqrt{x}$.
આપણે $x = 36$ અને $\Delta x = 0.6$ લઈએ જેથી $x + \Delta x = 36.6$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $dy \approx \Delta y$,જ્યાં $dy = f'(x) \Delta x$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x = 36$ આગળ,$f'(36) = \frac{1}{2\sqrt{36}} = \frac{1}{2 \times 6} = \frac{1}{12}$.
હવે,વિકલન $dy$ ની ગણતરી કરો:
$dy = f'(36) \Delta x = \frac{1}{12} \times 0.6 = \frac{0.6}{12} = 0.05$.
કારણ કે $f(x + \Delta x) \approx f(x) + dy$,તેથી:
$\sqrt{36.6} \approx \sqrt{36} + 0.05 = 6 + 0.05 = 6.05$.

(B) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{3}}$. ધારો કે $x = 27$ અને $\Delta x = -2$.
તેથી $\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} = (25)^{\frac{1}{3}} - (27)^{\frac{1}{3}} = (25)^{\frac{1}{3}} - 3$.
તેથી,$(25)^{\frac{1}{3}} = 3 + \Delta y$.
હવે,$dy$ એ $\Delta y$ ની આશરે કિંમત છે,જે $dy = \left( \frac{dy}{dx} \right) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $y = x^{\frac{1}{3}}$,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$.
$x = 27$ અને $\Delta x = -2$ મૂકતા:
$dy = \frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} \times (-2) = \frac{-2}{3(3^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{-2}{3(3^2)} = \frac{-2}{27} \approx -0.074$.
આમ,આશરે કિંમત $3 + (-0.074) = 2.926$ થાય છે.

(A) ધારો કે $x=3$ અને $\Delta x=0.02$ છે. તો,આશરે કિંમત $f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$x=3$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(3) = 3(3)^{2} + 5(3) + 3 = 3(9) + 15 + 3 = 27 + 15 + 3 = 45$.
ત્યારબાદ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{2} + 5x + 3) = 6x + 5$.
હવે,$x=3$ પર $f'(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f'(3) = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.
આશરે કિંમતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$f(3.02) \approx f(3) + f'(3) \Delta x$
$f(3.02) \approx 45 + (23)(0.02)$
$f(3.02) \approx 45 + 0.46 = 45.46$.
આમ,$f(3.02)$ ની આશરે કિંમત $45.46$ છે.

(A) $x$ બાજુવાળા સમઘનનું ઘનફળ $V = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $dV$ એ સૂત્ર $dV = \left(\frac{dV}{dx}\right) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$.
અહીં બાજુ $x$ માં $2 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી બાજુમાં થતો ફેરફાર $\Delta x = x$ ના $2 \% = 0.02x$.
હવે,આ કિંમતોને $dV$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$dV = (3x^{2}) \times (0.02x) = 0.06x^{3} \, m^{3}$.
આમ,ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $0.06x^{3} \, m^{3}$ છે.

(A) ધારો કે $r$ એ ગોલકની ત્રિજ્યા છે અને $\Delta r$ એ ત્રિજ્યા માપવામાં થતી ભૂલ છે।
આપેલ છે કે $r = 9 \text{ cm}$ અને $\Delta r = 0.03 \text{ cm}$.
ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે છે।
ઘનફળમાં થતી આશરે ભૂલ $dV = \left( \frac{dV}{dr} \right) \Delta r$ દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા,$dV = (4 \pi r^2) \Delta r = 4 \pi (9)^2 (0.03)$.
$dV = 4 \pi (81) (0.03) = 324 \pi (0.03) = 9.72 \pi \text{ cm}^3$.
આમ,ઘનફળની ગણતરીમાં થતી આશરે ભૂલ $9.72 \pi \text{ cm}^3$ છે।

(B) ધારો કે $y = \sqrt{x}$.
આપણે $x = 25$ અને $\Delta x = 0.3$ લઈએ,જેથી $x + \Delta x = 25.3$ થાય.
તેથી,$\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x} = \sqrt{25.3} - \sqrt{25} = \sqrt{25.3} - 5$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sqrt{25.3} = 5 + \Delta y$.
આશરે $dy \approx \Delta y$ લેતા,આપણી પાસે $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ છે.
કારણ કે $y = x^{1/2}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
કિંમતો મૂકતા,$dy = \frac{1}{2\sqrt{25}} \times 0.3 = \frac{1}{2 \times 5} \times 0.3 = \frac{0.3}{10} = 0.03$.
તેથી,$\sqrt{25.3} \approx 5 + 0.03 = 5.03$.

(B) વિધેય $y = \sqrt{x}$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $x = 49$ અને $\Delta x = 0.5$ છે.
તેથી,$\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x} = \sqrt{49.5} - \sqrt{49} = \sqrt{49.5} - 7$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sqrt{49.5} = 7 + \Delta y$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $dy$ એ $\Delta y$ ની આશરે કિંમત છે,જ્યાં $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ થાય.
કારણ કે $y = \sqrt{x}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$dy = \frac{1}{2\sqrt{49}} \times 0.5 = \frac{1}{2 \times 7} \times 0.5 = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \approx 0.0357$.
તેથી,$\sqrt{49.5}$ ની આશરે કિંમત $7 + 0.0357 = 7.0357 \approx 7.036$ થાય.

(A) ધારો કે $f(x) = \sqrt{x}$. આપણે $f(0.6)$ ની આશરે કિંમત શોધવી છે.
$x = 0.64$ અને $\Delta x = -0.04$ લો,જેથી $x + \Delta x = 0.6$ થાય.
સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x = 0.64$ માટે,$f(0.64) = \sqrt{0.64} = 0.8$.
$f'(0.64) = \frac{1}{2\sqrt{0.64}} = \frac{1}{2(0.8)} = \frac{1}{1.6} = 0.625$.
તેથી,$f(0.6) \approx 0.8 + (0.625)(-0.04)$.
$f(0.6) \approx 0.8 - 0.025 = 0.775$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $0.774$ છે.

(A) વિધેય $y = x^{\frac{1}{3}}$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $x = 0.008$ અને $\Delta x = 0.001$,જેથી $x + \Delta x = 0.009$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(0.008)^{\frac{1}{3}} = 0.2$.
વિકલનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta y \approx dy = \left( \frac{dy}{dx} \right) \Delta x$.
અહીં $y = x^{\frac{1}{3}}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$ થાય.
$x = 0.008$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(0.008)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(0.2)^2} = \frac{1}{3(0.04)} = \frac{1}{0.12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \approx 8.333$.
હવે,$dy = \left( \frac{25}{3} \right) \times 0.001 = \frac{0.025}{3} \approx 0.00833$.
આમ,આશરે કિંમત $y + dy = 0.2 + 0.00833 = 0.20833$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{10}}$.
આપણે $f(0.999)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 1$ અને $\Delta x = -0.001$,જેથી $x + \Delta x = 0.999$ થાય.
આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$f(x) = x^{\frac{1}{10}}$,તેથી $f(1) = 1^{\frac{1}{10}} = 1$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{1}{10} x^{\frac{1}{10} - 1} = \frac{1}{10} x^{-\frac{9}{10}} = \frac{1}{10 x^{\frac{9}{10}}}$.
$x = 1$ આગળ,$f'(1) = \frac{1}{10(1)^{\frac{9}{10}}} = \frac{1}{10} = 0.1$.
હવે,$f(0.999) \approx f(1) + f'(1) \Delta x$.
$f(0.999) \approx 1 + (0.1)(-0.001) = 1 - 0.0001 = 0.9999$.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{4}}$. આપણે $(15)^{\frac{1}{4}}$ નું આશરે મૂલ્ય શોધવા માંગીએ છીએ.
$x = 16$ અને $\Delta x = -1$ લો,કારણ કે $16$ એ $15$ ની સૌથી નજીકની ચતુર્થ ઘાત છે.
તેથી $y = (16)^{\frac{1}{4}} = 2$.
વિકલન $dy$ એ $dy = \frac{dy}{dx} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y = x^{\frac{1}{4}}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$.
$x = 16$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4 (16)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4 \times 8} = \frac{1}{32} = 0.03125$.
આમ,$dy = \frac{dy}{dx} \Delta x = 0.03125 \times (-1) = -0.03125$.
આશરે મૂલ્ય $y + dy = 2 + (-0.03125) = 1.96875$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $27^{\frac{1}{3}} = 3$.
ધારો કે $x = 27$ અને $\Delta x = -1$.
તેથી $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} = (26)^{\frac{1}{3}}$.
આશરે મૂલ્ય $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3(x^{\frac{1}{3}})^2}$.
$x = 27$ માટે,$f'(27) = \frac{1}{3(27^{\frac{1}{3}})^2} = \frac{1}{3(3)^2} = \frac{1}{27}$.
આમ,$(26)^{\frac{1}{3}} \approx 3 + (\frac{1}{27})(-1) = 3 - 0.037037... \approx 2.96296...$
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $2.9630$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $256^{\frac{1}{4}} = 4$.
ધારો કે $x = 256$ અને $\Delta x = -1$.
તેથી,$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} = (255)^{\frac{1}{4}}$.
આશરે કિંમત $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f'(x) = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$.
$x = 256$ માટે,$f'(256) = \frac{1}{4 (256)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4 (4^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4 \times 4^3} = \frac{1}{4 \times 64} = \frac{1}{256} = 0.00390625$.
આમ,$f(255) \approx f(256) + f'(256) \Delta x = 4 + (0.00390625)(-1) = 4 - 0.00390625 = 3.99609375$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $3.9961$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{4}}$.
$x = 81$ અને $\Delta x = 1$ લો.
તેથી $y = (81)^{\frac{1}{4}} = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta y \approx dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$.
$y = x^{\frac{1}{4}}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$dy = \frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}} \times 1 = \frac{1}{4(3^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4(3^3)} = \frac{1}{4 \times 27} = \frac{1}{108}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$dy \approx 0.00926$.
આમ,$(82)^{\frac{1}{4}} = y + \Delta y \approx 3 + 0.00926 = 3.00926$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આશરે કિંમત $3.009$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{2}}$.
આપણે $x = 400$ અને $\Delta x = 1$ લઈએ જેથી $x + \Delta x = 401$ થાય.
તેથી,$\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x} = \sqrt{401} - \sqrt{400} = \sqrt{401} - 20$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sqrt{401} = 20 + \Delta y$.
આશરે $dy \approx \Delta y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ છે.
કારણ કે $y = x^{\frac{1}{2}}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
કિંમતો મૂકતા,$dy = \frac{1}{2\sqrt{400}} \times 1 = \frac{1}{2 \times 20} = \frac{1}{40} = 0.025$.
તેથી,$\sqrt{401}$ નું આશરે મૂલ્ય $20 + 0.025 = 20.025$ છે.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{2}}$.
આપણે $x = 0.0036$ અને $\Delta x = 0.0001$ લઈએ જેથી $x + \Delta x = 0.0037$ થાય.
તેથી $\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = (0.0037)^{\frac{1}{2}} - (0.0036)^{\frac{1}{2}} = (0.0037)^{\frac{1}{2}} - 0.06$.
આમ,$(0.0037)^{\frac{1}{2}} = 0.06 + \Delta y$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $dy \approx \Delta y$,જ્યાં $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$.
$y = x^{\frac{1}{2}}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
તેથી,$dy = \frac{1}{2\sqrt{0.0036}} \times 0.0001 = \frac{1}{2 \times 0.06} \times 0.0001 = \frac{0.0001}{0.12} = \frac{1}{1200} \approx 0.000833$.
તેથી,$(0.0037)^{\frac{1}{2}} \approx 0.06 + 0.000833 = 0.060833$.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{3}}$.
$x = 27$ અને $\Delta x = -0.43$ લો,જેથી $x + \Delta x = 26.57$ થાય.
તેથી,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} = (26.57)^{\frac{1}{3}} - (27)^{\frac{1}{3}} = (26.57)^{\frac{1}{3}} - 3$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(26.57)^{\frac{1}{3}} = 3 + \Delta y$.
આપણે $dy \approx \Delta y$ અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$.
$y = x^{\frac{1}{3}}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3(x^{\frac{1}{3}})^2}$ મળે.
$x = 27$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(3)^2} = \frac{1}{27}$ થાય.
આમ,$dy = \left(\frac{1}{27}\right) (-0.43) = -\frac{0.43}{27} \approx -0.0159$.
તેથી,$(26.57)^{\frac{1}{3}} \approx 3 - 0.0159 = 2.9841$.
આમ,આશરે મૂલ્ય $2.984$ છે.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{4}}$. અહીં $x = 81$ અને $\Delta x = 0.5$ લો.
તેથી,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}} = (81.5)^{\frac{1}{4}} - (81)^{\frac{1}{4}} = (81.5)^{\frac{1}{4}} - 3$.
આનો અર્થ એ છે કે $(81.5)^{\frac{1}{4}} = 3 + \Delta y$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $dy \approx \Delta y$,જ્યાં $dy = \left( \frac{dy}{dx} \right) \Delta x$.
$y = x^{\frac{1}{4}}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}$.
કિંમતો મૂકતા,$dy = \frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}} \times 0.5 = \frac{0.5}{4 \times (3^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{0.5}{4 \times 3^3} = \frac{0.5}{4 \times 27} = \frac{0.5}{108} \approx 0.0046$.
તેથી,આશરે કિંમત $3 + 0.0046 = 3.0046$ થાય છે.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{3}{2}}$.
$x = 4$ અને $\Delta x = -0.032$ લો.
તેથી,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} = (3.968)^{\frac{3}{2}} - (4)^{\frac{3}{2}} = (3.968)^{\frac{3}{2}} - 8$.
આમ,$(3.968)^{\frac{3}{2}} = 8 + \Delta y$.
હવે,$dy$ એ $\Delta y$ ની આશરે કિંમત છે,જે $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
$y = x^{\frac{3}{2}}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$ થાય.
તેથી,$dy = \frac{3}{2} (4)^{\frac{1}{2}} (-0.032) = \frac{3}{2} (2) (-0.032) = 3 (-0.032) = -0.096$.
તેથી,આશરે કિંમત $8 + (-0.096) = 7.904$ છે.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{5}}$.
ધારો કે $x = 32$ અને $\Delta x = 0.15$.
તેથી,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{5}} = (32.15)^{\frac{1}{5}} - (32)^{\frac{1}{5}} = (32.15)^{\frac{1}{5}} - 2$.
તેથી,$(32.15)^{\frac{1}{5}} = 2 + \Delta y$.
હવે,$dy$ એ $\Delta y$ ની આશરે કિંમત છે,જે $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $y = x^{\frac{1}{5}}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5(x^{\frac{1}{5}})^4}$.
$x = 32$ અને $\Delta x = 0.15$ મૂકતા:
$dy = \frac{1}{5(32^{\frac{1}{5}})^4} \cdot (0.15) = \frac{1}{5(2)^4} \cdot (0.15) = \frac{0.15}{5 \cdot 16} = \frac{0.15}{80} = 0.001875$.
પાંચ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$dy \approx 0.001875$.
આમ,$(32.15)^{\frac{1}{5}} \approx 2 + 0.001875 = 2.001875$.

(A) ધારો કે $x=2$ અને $\Delta x=0.01$ છે. તો,આપણી પાસે છે:
$f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$
આપેલ છે કે $f(x) = 4x^{2} + 5x + 2$,તેથી વિકલિત મેળવતા:
$f'(x) = 8x + 5$
$x=2$ માટે,$f(2) = 4(2)^{2} + 5(2) + 2 = 16 + 10 + 2 = 28$.
$x=2$ માટે,$f'(2) = 8(2) + 5 = 16 + 5 = 21$.
હવે,આ કિંમતોને આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(2.01) \approx f(2) + f'(2) \Delta x$
$f(2.01) \approx 28 + (21)(0.01)$
$f(2.01) \approx 28 + 0.21$
$f(2.01) \approx 28.21$
આમ,$f(2.01)$ ની આશરે કિંમત $28.21$ છે.

(A) ધારો કે $x=5$ અને $\Delta x=0.001$. તો,આપણી પાસે છે:
$f(5.001) = f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
પ્રથમ,$x=5$ આગળ $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(5) = (5)^{3} - 7(5)^{2} + 15 = 125 - 175 + 15 = -35$.
આગળ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - 7x^{2} + 15) = 3x^{2} - 14x$.
$x=5$ આગળ $f'(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f'(5) = 3(5)^{2} - 14(5) = 3(25) - 70 = 75 - 70 = 5$.
હવે,આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$f(5.001) \approx f(5) + f'(5) \Delta x$
$f(5.001) \approx -35 + (5)(0.001)$
$f(5.001) \approx -35 + 0.005 = -34.995$.
આમ,$f(5.001)$ ની આશરે કિંમત $-34.995$ છે.

(C) $x$ બાજુવાળા સમઘનનું ઘનફળ $V = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $dV$ એ સૂત્ર $dV = \left(\frac{dV}{dx}\right) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$.
અહીં બાજુ $x$ માં $1 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી બાજુમાં થતો ફેરફાર $\Delta x = 1 \% \text{ of } x = 0.01x$ થાય.
હવે,આ કિંમતોને $dV$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$dV = (3x^{2}) \times (0.01x)$.
$dV = 0.03x^{3}$.
આમ,સમઘનના ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $0.03 \,x^{3} \, m^{3}$ છે.

(B) $x$ બાજુવાળા સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $S = 6x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $(\Delta S)$ શોધવા માટે,આપણે વિકલનનું સૂત્ર $\Delta S \approx \frac{dS}{dx} \cdot \Delta x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$S$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dx} = \frac{d}{dx}(6x^{2}) = 12x.$
બાજુમાં $1 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી બાજુમાં થતો ફેરફાર $\Delta x = -0.01x$ થાય.
હવે,આશરે ફેરફારની ગણતરી કરતા:
$\Delta S \approx (12x) \cdot (-0.01x) = -0.12x^{2}.$
આમ,સમઘનના પૃષ્ઠફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $0.12x^{2} \, m^{2}$ છે.

(A) ધારો કે $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $\Delta r$ એ ત્રિજ્યા માપવામાં થતી ભૂલ છે।
આપેલ છે કે, $r = 7 \text{ m}$ અને $\Delta r = 0.02 \text{ m}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે છે।
ઘનફળમાં થતી આશરે ભૂલ $\Delta V$ એ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \cdot \Delta r$ દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા, $\Delta V \approx (4 \pi r^2) \cdot \Delta r$.
$\Delta V \approx 4 \pi (7)^2 \cdot (0.02) = 4 \pi (49) (0.02) = 196 \pi (0.02) = 3.92 \pi \text{ m}^3$.
આમ, ઘનફળની ગણતરીમાં થતી આશરે ભૂલ $3.92 \pi \text{ m}^3$ છે।

(A) ધારો કે $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $\Delta r$ એ ત્રિજ્યા માપવામાં થતી ભૂલ છે. આપેલ છે કે $r = 9 \text{ m}$ અને $\Delta r = 0.03 \text{ m}$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$ મળે છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતી આશરે ભૂલ $dS = \left( \frac{dS}{dr} \right) \Delta r$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$dS = (8 \pi \times 9) \times 0.03$.
$dS = 72 \pi \times 0.03 = 2.16 \pi \text{ m}^2$.
આમ,પૃષ્ઠફળની ગણતરીમાં થતી આશરે ભૂલ $2.16 \pi \text{ m}^2$ છે.

(D) ધારો કે $x=3$ અને $\Delta x=0.02$. તો,આપણી પાસે છે:
$f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$
આપેલ છે $f(x) = 3x^{2} + 15x + 5$,તેનું વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{2} + 15x + 5) = 6x + 15$
હવે,$x=3$ અને $\Delta x=0.02$ ને આશરે કિંમતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(3.02) \approx f(3) + f'(3)(0.02)$
$f(3)$ ની ગણતરી:
$f(3) = 3(3)^{2} + 15(3) + 5 = 3(9) + 45 + 5 = 27 + 45 + 5 = 77$
$f'(3)$ ની ગણતરી:
$f'(3) = 6(3) + 15 = 18 + 15 = 33$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(3.02) \approx 77 + 33(0.02)$
$f(3.02) \approx 77 + 0.66$
$f(3.02) \approx 77.66$
આમ,$f(3.02)$ ની આશરે કિંમત $77.66$ છે.

(A) $x$ બાજુવાળા સમઘનનું ઘનફળ $(V) = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનફળમાં આશરે ફેરફાર $(dV)$ એ સૂત્ર $dV = \left(\frac{dV}{dx}\right) \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$.
આપેલ છે કે બાજુમાં $3 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી બાજુમાં ફેરફાર $\Delta x = 3 \% \text{ of } x = 0.03x$.
હવે,આ કિંમતોને $dV$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$dV = (3x^{2}) \times (0.03x)$
$dV = 0.09x^{3} \text{ m}^{3}$.
આમ,સમઘનના ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $0.09x^{3} \text{ m}^{3}$ છે.

(A) ધારો કે $y = x^{\frac{1}{4}}$. અહીં $x = \frac{16}{81}$ અને $\Delta x = \frac{1}{81}$ લો.
તેથી,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}} - \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}} - \frac{2}{3}$.
આમ,$\left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3} + \Delta y$.
વિકલન $dy \approx \Delta y$ નો ઉપયોગ કરતા,$dy = \frac{dy}{dx} \Delta x = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} \Delta x$.
$x = \frac{16}{81}$ અને $\Delta x = \frac{1}{81}$ મૂકતા:
$dy = \frac{1}{4 \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}} \times \frac{1}{81} = \frac{1}{4 \times \frac{8}{27}} \times \frac{1}{81} = \frac{27}{32} \times \frac{1}{81} = \frac{1}{32 \times 3} = \frac{1}{96} \approx 0.0104$.
તેથી,આશરે કિંમત $\frac{2}{3} + 0.0104 = 0.6667 + 0.0104 = 0.6771 \approx 0.677$ થાય.

(B) ધારો કે $y = f(x) = x^{-\frac{1}{5}}$.
$x = 32$ અને $\Delta x = 1$ લો,જેથી $x + \Delta x = 33$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x) = x^{-\frac{1}{5}} = (32)^{-\frac{1}{5}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$.
વિકલનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $f'(x) = -\frac{1}{5} x^{-\frac{6}{5}}$.
$x = 32$ માટે,$f'(32) = -\frac{1}{5} (32)^{-\frac{6}{5}} = -\frac{1}{5} (2^5)^{-\frac{6}{5}} = -\frac{1}{5} (2^{-6}) = -\frac{1}{5 \times 64} = -\frac{1}{320}$.
હવે,આશરે કિંમતની ગણતરી કરો: $f(33) \approx 0.5 + (-\frac{1}{320})(1)$.
$f(33) \approx 0.5 - 0.003125 = 0.496875$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.497$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $\triangle ABC$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ છે. ધારો કે $P$ એ કર્ણ $AC$ પરનું એક બિંદુ છે જેથી $P$ નું $AB$ થી અંતર $a$ અને $BC$ થી અંતર $b$ છે.
ધારો કે $\angle C = \theta$. તો $\angle A = 90^{\circ} - \theta$.
$P$ માંથી $BC$ પરના લંબ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$PC = \frac{b}{\sin \theta} = b \csc \theta$ મળે.
$P$ માંથી $AB$ પરના લંબ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$AP = \frac{a}{\cos \theta} = a \sec \theta$ મળે.
કર્ણની લંબાઈ $L = AC = AP + PC = a \sec \theta + b \csc \theta$.
ન્યૂનતમ લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં $L$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{dL}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta - b \csc \theta \cot \theta$.
$\frac{dL}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $a \sec \theta \tan \theta = b \csc \theta \cot \theta$ મળે.
$\frac{a \sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{b \cos \theta}{\sin^2 \theta} \Rightarrow \tan^3 \theta = \frac{b}{a} \Rightarrow \tan \theta = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{3}}$.
આ કિંમત માટે,$\sin \theta = \frac{b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}$ અને $\cos \theta = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}$.
આ કિંમતોને $L = a \sec \theta + b \csc \theta$ માં મૂકતા:
$L = a \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} + b \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$.
$L = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$.
આમ,કર્ણની ન્યૂનતમ લંબાઈ $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ છે.

(N/A) ધારો કે $s$ એ શંકુ આકારના પાણીના સ્તરનું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે. વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $s = \pi r l$ છે.
અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\alpha = \frac{\pi}{4}$ આપેલ હોવાથી,$r = l \sin(\alpha) = l \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{l}{\sqrt{2}}$ મળે.
સપાટીના ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $s = \pi (\frac{l}{\sqrt{2}}) l = \frac{\pi}{\sqrt{2}} l^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{ds}{dt} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \cdot 2l \cdot \frac{dl}{dt} = \sqrt{2} \pi l \frac{dl}{dt}$.
અહીં $\frac{ds}{dt} = -2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ આપેલ છે (કારણ કે ક્ષેત્રફળ ઘટી રહ્યું છે),તેથી $-2 = \sqrt{2} \pi l \frac{dl}{dt}$.
જ્યારે $l = 4 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે $-2 = \sqrt{2} \pi (4) \frac{dl}{dt}$.
$\frac{dl}{dt}$ માટે ઉકેલતા: $\frac{dl}{dt} = \frac{-2}{4 \sqrt{2} \pi} = -\frac{1}{2 \sqrt{2} \pi} = -\frac{\sqrt{2}}{4 \pi} \text{ cm/sec}$.
આમ,તિર્યક ઊંચાઈ ઘટવાનો દર $\frac{\sqrt{2}}{4 \pi} \text{ cm/sec}$ છે.

(A) આપણે રેખીય અંદાજ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x \cdot f'(x)$.
ધારો કે $f(x) = \sqrt{x}$. તો $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
આપણે $x = 0.09$ લઈએ છીએ કારણ કે $\sqrt{0.09} = 0.3$ એ પૂર્ણ વર્ગમૂળ છે.
તેથી $\Delta x = 0.082 - 0.09 = -0.008$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(0.082) \approx f(0.09) + (-0.008) \cdot f'(0.09)$
$f(0.082) \approx 0.3 + (-0.008) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot 0.3}\right)$
$f(0.082) \approx 0.3 - \frac{0.008}{0.6}$
$f(0.082) \approx 0.3 - 0.01333...$
$f(0.082) \approx 0.28666... \approx 0.2867$.

(A) આપેલ છે કે $y = x^{4} - 10$.
જ્યારે $x$ ની કિંમત $x = 2$ થી બદલાઈને $x = 1.99$ થાય ત્યારે $y$ માં થતો આશરે ફેરફાર $(\Delta y)$ શોધવાનો છે.
અહીં,$x = 2$ અને $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 4x^{3}$ મળે.
આશરે ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta y \approx 4(2)^{3} \times (-0.01)$.
$\Delta y \approx 4(8) \times (-0.01) = 32 \times (-0.01) = -0.32$.
આમ,$y$ માં થતો ફેરફાર $-0.32$ છે.

(A) ધારો કે $y = f(x) = x^{5}$.
આપણે $(1.999)^{5}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 2$ અને $\Delta x = -0.001$,જેથી $x + \Delta x = 1.999$ થાય.
તેથી,$f(x) = x^{5} = 2^{5} = 32$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 5x^{4}$ મળે.
આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્ર મુજબ,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$.
$f'(2) = 5(2)^{4} = 5 \times 16 = 80$.
તેથી,$f(1.999) \approx 32 + 80 \times (-0.001)$.
$f(1.999) \approx 32 - 0.080 = 31.920$.

(N/A) ધારો કે આંતરિક ત્રિજ્યા $= r = 3 \text{ cm}$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $= R = 3.0005 \text{ cm}$.
પોલા ગોળાકાર કવચનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $f(x) = x^3$. તો $R^3 = f(3.0005)$ અને $r^3 = f(3) = 3^3 = 27$.
વિકલન અંદાજ (differential approximation) નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta V \approx dV = \frac{dV}{dR} \Delta R$.
અહીં,$V = \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $\frac{dV}{dR} = 4 \pi R^2$.
$R = 3$ અને $\Delta R = 0.0005$ આપેલ છે,તેથી:
$dV = 4 \pi (3)^2 \times 0.0005$
$dV = 4 \pi \times 9 \times 0.0005$
$dV = 36 \pi \times 0.0005 = 0.018 \pi \text{ cm}^3$.
આમ,ધાતુનું આશરે ઘનફળ $0.018 \pi \text{ cm}^3$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \cos x$. આપણે $\cos(59^{\circ} 30^{\prime})$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
આપણે $59^{\circ} 30^{\prime}$ ને $60^{\circ} - 30^{\prime} = 60^{\circ} - 0.5^{\circ}$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $x = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન અને $\Delta x = -0.5^{\circ} = -0.5 \times 0.0175^{c} = -0.00875^{c}$.
વિકલનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$f(x) = \cos x$,તેથી $f'(x) = -\sin x$.
$f(60^{\circ} - 0.5^{\circ}) \approx \cos(60^{\circ}) - \sin(60^{\circ}) \times \Delta x$.
આપેલ છે કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$ અને $\sin(60^{\circ}) = 0.8660$.
$f(59.5^{\circ}) \approx 0.5 - (0.8660) \times (-0.00875)$.
$f(59.5^{\circ}) \approx 0.5 + 0.0075775 = 0.5075775$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.5076$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{1/3}$. આપણે $f(64.04)$ નું આશરે મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = 64$ અને $\Delta x = 0.04$.
તો $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$.
અહીં,$f(x) = x^{1/3}$,તેથી $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3(x^{1/3})^2}$.
$x = 64$ માટે,$f(64) = 64^{1/3} = 4$.
$f'(64) = \frac{1}{3(4)^2} = \frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48}$.
હવે,$f(64.04) \approx 4 + \frac{1}{48} \cdot 0.04$.
$f(64.04) \approx 4 + \frac{0.04}{48} = 4 + \frac{4}{4800} = 4 + \frac{1}{1200}$.
$f(64.04) \approx 4 + 0.000833...$
આમ,આશરે મૂલ્ય $4.00083$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
આપણે $f(2.002)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 2$ અને $\Delta x = 0.002$.
તો $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$.
પ્રથમ,વિકલન શોધો: $f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$x = 2$ માટે,$f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$.
અને $f'(2) = -\frac{2}{2^3} = -\frac{2}{8} = -0.25$.
હવે,આ કિંમતોને આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્રમાં મૂકો:
$f(2.002) \approx 0.25 + (-0.25) \cdot (0.002)$.
$f(2.002) \approx 0.25 - 0.0005 = 0.2495$.
આમ,આશરે કિંમત $0.2495$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$.
આપણે $a = 0.027$ લઈએ છીએ કારણ કે $\sqrt[3]{0.027} = 0.3$,અને $h = -0.001$ જેથી $a + h = 0.026$ થાય.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + hf'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(a) = (0.027)^{\frac{1}{3}} = 0.3$.
$f'(a) = \frac{1}{3(0.027)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(0.09)} = \frac{1}{0.27}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f(0.026) \approx 0.3 + (-0.001) \times \frac{1}{0.27}$.
$f(0.026) \approx 0.3 - \frac{0.001}{0.27} \approx 0.3 - 0.0037 = 0.2963$.

(D) ધારો કે $f(x) = \cos x$. તો $f^{\prime}(x) = -\sin x$.
આપણે $\cos(30^{\circ} 30^{\prime})$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
અહીં,$30^{\circ} 30^{\prime} = 30^{\circ} + 30^{\prime} = 30^{\circ} + (0.5)^{\circ}$.
$0.5^{\circ}$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા: $0.5 \times 0.0175 = 0.00875 \text{ rad}$.
ધારો કે $a = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ અને $h = 0.00875 \text{ rad}$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(a+h) \approx \cos(30^{\circ}) + (0.00875)(-\sin(30^{\circ}))$.
આપેલ છે કે $\cos 30^{\circ} = 0.8660$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$.
$f(a+h) \approx 0.8660 - 0.00875 \times 0.5$.
$f(a+h) \approx 0.8660 - 0.004375 = 0.861625$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.8616$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \tan^{-1} x$.
તેથી $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
આપણે રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 1$ અને $h = -0.001$ લો,જેથી $a+h = 0.999$ થાય.
$f(a) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$f'(a) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} = 0.5$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\tan^{-1}(0.999) \approx \frac{\pi}{4} + (-0.001)(0.5)$.
$\tan^{-1}(0.999) \approx \frac{3.1415}{4} - 0.0005$.
$\tan^{-1}(0.999) \approx 0.785375 - 0.0005$.
$\tan^{-1}(0.999) \approx 0.784875$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $0.7849$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{3/2}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2}$.
આપણે $3.978$ ને $a + h$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $a = 4$ અને $h = -0.022$ છે.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(4) = 4^{3/2} = 8$.
$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot (4)^{1/2} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
તેથી,$f(3.978) \approx 8 + (-0.022) \cdot 3$.
$f(3.978) \approx 8 - 0.066$.
$f(3.978) \approx 7.934$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^3-2x^2+3x+2$.
આપણે $x = 2.01$ પર આશરે કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $a = 2$ અને $h = 0.01$,તેથી $x = a+h = 2.01$.
વિકલન $f'(x) = 3x^2-4x+3$ છે.
$a = 2$ પર $f(a)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(2) = (2)^3-2(2)^2+3(2)+2 = 8-8+6+2 = 8$.
$a = 2$ પર $f'(a)$ ની ગણતરી કરતા:
$f'(2) = 3(2)^2-4(2)+3 = 12-8+3 = 7$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(2.01) \approx 8 + (0.01)(7) = 8 + 0.07 = 8.07$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 4$ અને $h = -0.022$ છે:
$f(4 - 0.022) \approx f(4) + (-0.022) \cdot f'(4)$.
$f(4) = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.
$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
તેથી,$f(3.978) \approx 8 + (-0.022) \cdot 3$.
$f(3.978) \approx 8 - 0.066 = 7.934$.

(D) ધારો કે $f(x) = 3^x$.
તેથી,વિકલન $f'(x) = 3^x \log 3$ થાય.
આપણે $f(2.001)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં,$a = 2$ અને $h = 0.001$ છે.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(2.001) \approx f(2) + (0.001) f'(2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$f(2.001) \approx 3^2 + (0.001)(3^2 \log 3)$.
આપેલ છે કે $\log 3 = 1.0986$:
$f(2.001) \approx 9 + (0.001)(9 \times 1.0986)$.
$f(2.001) \approx 9 + (0.001)(9.8874)$.
$f(2.001) \approx 9 + 0.0098874$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $9.00989$ મળે છે.