Approximate Value Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $f(x) = \sec x$. તેથી $f^{\prime}(x) = \sec x \tan x$.
અહીં $a = 60^{\circ}$ અને $h = -1^{\circ} = -0.0174$ રેડિયન લો.
$a = 60^{\circ}$ માટે,$f(a) = \sec 60^{\circ} = 2$.
વળી,$f^{\prime}(a) = \sec 60^{\circ} \tan 60^{\circ} = 2 \times \sqrt{3} = 2 \times 1.732 = 3.464$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f^{\prime}(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(59^{\circ}) \approx f(60^{\circ}) + (-0.0174) \times f^{\prime}(60^{\circ})$.
$f(59^{\circ}) \approx 2 + (-0.0174) \times (3.464)$.
$f(59^{\circ}) \approx 2 - 0.0602736$.
$f(59^{\circ}) \approx 1.9397264$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $1.9397$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $y = f(x) = 2x^2 - 3x + 4$,$x = 5$,અને $\delta x = 0.02$.
પ્રથમ,વાસ્તવિક ભૂલ $\delta y = f(x + \delta x) - f(x)$ ની ગણતરી કરો:
$\delta y = f(5.02) - f(5) = [2(5.02)^2 - 3(5.02) + 4] - [2(5)^2 - 3(5) + 4]$
$= [2(25.2004) - 15.06 + 4] - [50 - 15 + 4]$
$= [50.4008 - 15.06 + 4] - 39 = 39.3408 - 39 = 0.3408$.
ત્યારબાદ,વિકલન $dy = f'(x) \cdot dx$ ની ગણતરી કરો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 3x + 4) = 4x - 3$.
$x = 5$ આગળ,$f'(5) = 4(5) - 3 = 17$.
$dy = 17 \times 0.02 = 0.34$.
અંતે,તફાવત $\delta y - dy = 0.3408 - 0.34 = 0.0008$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $I \propto \tan \theta$,તેથી $I = k \tan \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે.
સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dI}{I} = \frac{k \sec^2 \theta \, d\theta}{k \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta$ દ્વારા મળે છે.
$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dI}{I} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ મળે.
અહીં $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન અને $\theta$ માં ટકાવારી ભૂલ $\frac{d\theta}{\theta} \times 100 = 1\%$ છે,તેથી $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ રેડિયન.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{2}{\sin(2 \times 45^{\circ})} \times d\theta \times 100 = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} \times 100 = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \%$.
આમ,પ્રવાહમાં ટકાવારી ભૂલ $\frac{\pi}{2} \%$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $45^2 = 2025$ થાય છે.
$2023 < 2025$ હોવાથી,$\sqrt{2023} < \sqrt{2025}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{2023} < 45$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $x = 2025$ અને $\Delta x = -2$.
તેથી,$\sqrt{2023} = \sqrt{2025 - 2} \approx \sqrt{2025} + \frac{-2}{2\sqrt{2025}}$.
$\sqrt{2023} \approx 45 - \frac{2}{2(45)} = 45 - \frac{2}{90} = 45 - \frac{1}{45}$.
$\sqrt{2023} \approx 45 - 0.0222 = 44.9778$.
આમ,નજીકની અંદાજિત કિંમત $44.9778$ છે.

(C) આપેલ વ્યાસ $d = 42 \text{ cm}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 21 \text{ cm}$.
વ્યાસમાં ભૂલ $\Delta d = \frac{1}{77} \text{ cm}$ છે,તેથી ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\Delta r = \frac{\Delta d}{2} = \frac{1}{154} \text{ cm}$ થશે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ઘનફળમાં અંદાજિત ભૂલ $\Delta V$ એ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = 4 \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = 4 \times \frac{22}{7} \times (21)^2 \times \frac{1}{154}$.
$\Delta V = 4 \times \frac{22}{7} \times 441 \times \frac{1}{154}$.
$\Delta V = 4 \times 22 \times 63 \times \frac{1}{154} = \frac{5544}{154} = 36$.
આમ,ઘનફળમાં થતી ભૂલ $36 \text{ cm}^3$ છે.

(D) ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન લેતા,આપણને વિકલિત $\Delta S \approx dS = 8 \pi r \Delta r$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\Delta S = 0.02 \text{ cm}^2$ અને $r = 10 \text{ cm}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$0.02 = 8 \pi (10) \Delta r$.
$\Delta r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\Delta r = \frac{0.02}{80 \pi} = \frac{0.001}{4 \pi} \text{ cm}$ મળે છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ઘનફળમાં થતી આશરે ભૂલ $\Delta V \approx dV = 4 \pi r^2 \Delta r$ છે.
$r = 10$ અને $\Delta r = \frac{0.001}{4 \pi}$ મૂકતા:
$\Delta V = 4 \pi (10)^2 \times \frac{0.001}{4 \pi} = 100 \times 0.001 = 0.1 \text{ cm}^3$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$. આપણે $f(28)$ ની આશરે કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 27$ અને $\Delta x = 1$,જેથી $x + \Delta x = 28$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$,તેથી $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$.
$x = 27$ માટે,$f(27) = (27)^{\frac{1}{3}} = 3$.
$f'(27) = \frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(3^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(3^2)} = \frac{1}{3 \times 9} = \frac{1}{27}$.
હવે,$f(28) \approx f(27) + f'(27) \Delta x$.
$f(28) \approx 3 + \left(\frac{1}{27}\right)(1) = 3 + 0.037037...$
$3$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $3.037$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^{4/3} + x^2$. આપણે $f(8.01)$ ની આશરે કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 8$ અને $\Delta x = 0.01$.
તો $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
પ્રથમ,$f(8) = 8^{4/3} + 8^2 = (2^3)^{4/3} + 64 = 2^4 + 64 = 16 + 64 = 80$ ગણો.
આગળ,વિકલન $f'(x) = \frac{4}{3} x^{1/3} + 2x$ શોધો.
$f'(8) = \frac{4}{3} (8)^{1/3} + 2(8) = \frac{4}{3}(2) + 16 = \frac{8}{3} + 16 = 2.6667 + 16 = 18.6667$ ની કિંમત મેળવો.
હવે,ફેરફાર $\Delta f \approx f'(8) \Delta x = 18.6667 \times 0.01 = 0.186667$ ગણો.
આમ,$f(8.01) \approx f(8) + 0.186667 = 80 + 0.186667 = 80.186667$.
$3$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $80.187$ મળે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$80.180$ એ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે: શંકુની ઊંચાઈ $h = 6.125 \text{ cm}$ અને અર્ધ-શીર્ષકોણ $\theta = 30^{\circ}$.
શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $R$ અને ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\tan \theta = \frac{R}{h}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 30^{\circ} = \frac{R}{6.125} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{6.125} \Rightarrow R = \frac{6.125}{\sqrt{3}} \text{ cm}$.
લંબવૃત્તીય શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ છે.
$R$ અને $h$ ની કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{6.125}{\sqrt{3}} \right)^2 (6.125) = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{6.125^2}{3} \right) (6.125) = \frac{\pi}{9} (6.125)^3$.
$(6.125)^3$ ની ગણતરી કરતા: $6.125 \times 6.125 \times 6.125 \approx 229.996$.
આમ,$V \approx \frac{229.996}{9} \pi \approx 25.555 \pi \text{ cm}^3$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,આશરે મૂલ્ય $(25.5) \pi \text{ cm}^3$ થાય.

(A) ધારો કે $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ છે.
ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં અંદાજિત ફેરફાર $\Delta A$ એ $\Delta A \approx \frac{dA}{dx} \cdot \Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{\Delta A}{A} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x)}{(\frac{\sqrt{3}}{4} x^2)} \times 100 = \frac{2 \Delta x}{x} \times 100$.
આપેલ છે કે $x = 5$ અને $\Delta x = 0.05$,તેથી પ્રતિશત ભૂલ $\frac{2 \times 0.05}{5} \times 100 = \frac{0.1}{5} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2\%$ છે.
આમ,પ્રતિશત ભૂલ $2$ છે.

(A) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા છે,$h$ ઊંચાઈ છે અને $l$ એ $45^{\circ}$ ના અર્ધ-શીર્ષકોણ ધરાવતા શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ છે.
તો $r = h \tan(45^{\circ}) = h$ અને $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{h^2 + h^2} = h\sqrt{2}$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi r l = \pi (h) (h\sqrt{2}) = \sqrt{2} \pi h^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $h = 20$ અને $h + \Delta h = 20.025$,તેથી $\Delta h = 0.025$.
$S$ નું $h$ ની સાપેક્ષ વિકલન $\frac{dS}{dh} = 2\sqrt{2} \pi h$ છે.
$h = 20$ આગળ,$\frac{dS}{dh} = 2\sqrt{2} \pi (20) = 40\sqrt{2} \pi$.
ક્ષેત્રફળમાં આશરે ફેરફાર $\Delta S \approx \frac{dS}{dh} \Delta h = (40\sqrt{2} \pi) (0.025) = \sqrt{2} \pi$.
$h = 20$ આગળ પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $S = \sqrt{2} \pi (20)^2 = 400\sqrt{2} \pi$ છે.
તેથી,આશરે ક્ષેત્રફળ $S + \Delta S = 400\sqrt{2} \pi + \sqrt{2} \pi = 401\sqrt{2} \pi$ થાય.

(D) ધારો કે $f(x) = 3 \sqrt[3]{x} + \sin(x^{\circ})$. આપણે $f(126)$ ની અંદાજિત કિંમત શોધવાની છે જ્યાં $x = 126$ એ $125$ ની નજીક છે.
વિકલનનો ઉપયોગ કરતા,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
$A = 3 \sqrt[3]{126}$ માટે,$g(x) = 3 x^{1/3}$ લો. તો $g'(x) = x^{-2/3}$.
$x = 125$ પર,$g(125) = 3 \sqrt[3]{125} = 15$.
$A = 3(126)^{1/3} = 3(125+1)^{1/3} = 15(1 + 1/375) = 15.04$.
$B = \sin 61^{\circ} = \sin(60^{\circ} + 1^{\circ}) = \sin 60^{\circ} \cos 1^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 1^{\circ}$.
$1^{\circ} = 0.0174$ રેડિયન આપેલ છે,તેથી $\sin 1^{\circ} \approx 0.0174$ અને $\cos 1^{\circ} \approx 1$.
$B \approx (\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (\frac{1}{2})(0.0174) = 0.8660 + 0.0087 = 0.8747$.
સરવાળો $= 15.04 + 0.8747 = 15.9147$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $5.888$ છે.

(A) ધારો કે $y = \tan ^{-1} x$.
તેથી $y + \Delta y = \tan ^{-1}(x + \Delta x)$.
અહીં $x = 1$ અને $\Delta x = -0.001$ લેતા.
વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$ મળે.
વિકલિતના અંદાજ મુજબ $dy = \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{-0.001}{1 + 1^2} = \frac{-0.001}{2} = -0.0005$.
તેથી $\tan ^{-1}(0.999) = \tan ^{-1}(1) + dy = \frac{\pi}{4} - 0.0005$.
$\frac{\pi}{4} \approx 0.7854$ હોવાથી,$\tan ^{-1}(0.999) \approx 0.7854 - 0.0005 = 0.7849$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $0.7852$ છે.

(A) આપેલ છે કે,બાજુ $l$ માં ભૂલ $dl = 0.01$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ નું $l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dl} = \frac{\sqrt{3}}{2} l$ મળે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં અંદાજિત ફેરફાર $dA = \frac{\sqrt{3}}{2} l \cdot dl$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dA}{A} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dA}{A} \times 100 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} l \cdot dl}{\frac{\sqrt{3}}{4} l^2} \times 100$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{dA}{A} \times 100 = \frac{2 \cdot dl}{l} \times 100$ મળે છે.
$dl = 0.01$ આપેલ હોવાથી,પ્રતિશત ભૂલ $\frac{2 \times 0.01}{l} \times 100 = \frac{2}{l}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે વિદ્યુત પ્રવાહ $I \propto \tan \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે છે.
$I = k \tan \theta$ વડે ભાગતા,$\frac{dI}{I} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ મળે.
અહીં $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન છે,અને $\theta$ વાંચવામાં $1 \%$ ની ભૂલ છે,તેથી $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ રેડિયન.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{dI}{I} = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{400} = \frac{\pi}{200}$.
ટકાવારી ભૂલ શોધવા માટે: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{\pi}{200} \times 100 = \frac{\pi}{2} \%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) આપેલ છે કે,ઊંચાઈની સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta h}{h} = 0.02$ છે.
ત્રિજ્યાની સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta r}{r} = 0.02$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln V = \ln \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right)$.
$\ln V = \ln \left( \frac{\pi}{3} \right) + 2 \ln r + \ln h$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{\delta V}{V} = 2 \left( \frac{\delta r}{r} \right) + \left( \frac{\delta h}{h} \right)$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા,$\frac{\delta V}{V} = 2(0.02) + 0.02 = 0.04 + 0.02 = 0.06$.
ઘનફળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\delta V}{V} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$ છે.
તેથી,ઘનફળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $6$ છે.

(A) ધારો કે વિધેય $f(x) = x^3 + 2x^{3/2} + 5$ છે.
આપણે $x = 1.01$ પર આશરે કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 1$ અને $\Delta x = 0.01$.
$y$ નું વિકલન $dy = f'(x) \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^{3/2} + 5) = 3x^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = 3x^2 + 3x^{1/2}$.
$x = 1$ પર,$f'(1) = 3(1)^2 + 3(1)^{1/2} = 3 + 3 = 6$.
$x = 1$ પર વિધેયની કિંમત $f(1) = 1^3 + 2(1)^{3/2} + 5 = 1 + 2 + 5 = 8$ છે.
આશરે કિંમત શોધવાના સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(1.01) \approx f(1) + f'(1) \Delta x = 8 + 6(0.01) = 8 + 0.06 = 8.06$.

(C) ની ગણતરી:
ધારો કે $S$ એ $a$ બાજુવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે. તેથી $S = a^2$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta S}{S} = \frac{2a \Delta a}{a^2} = 2 \frac{\Delta a}{a}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta a}{a} = 0.4$,તેથી $A = 2 \times 0.4 = 0.8$.
$B$ ની ગણતરી:
ધારો કે $V$ એ $r$ ત્રિજ્યાવાળા ગોળાનું ઘનફળ છે. તેથી $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta r}{r} = 0.3$,તેથી $B = 3 \times 0.3 = 0.9$.
$C$ ની ગણતરી:
ધારો કે $S'$ એ $r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈવાળા બંધ નળાકારનું પૃષ્ઠફળ છે. $r = h$ હોવાથી,$S' = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi h^2 + 2 \pi h^2 = 4 \pi h^2$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta S'}{S'} = \frac{8 \pi h \Delta h}{4 \pi h^2} = 2 \frac{\Delta h}{h}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta h}{h} = 0.2$,તેથી $C = 2 \times 0.2 = 0.4$.
$D$ ની ગણતરી:
આપેલ છે $y = x^2 + x - 3$,તેથી $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
અંદાજિત ત્રુટિ $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x = (2x + 1) \Delta x$ છે.
$x = 2$ અને $\Delta x = 0.1$ માટે,$\Delta y = (2(2) + 1) \times 0.1 = 5 \times 0.1 = 0.5$.
તેથી $D = 0.5$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $C = 0.4, D = 0.5, A = 0.8, B = 0.9$.
ચડતો ક્રમ $C < D < A < B$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $\Delta A$ એ $\Delta A \approx \frac{dA}{dx} \cdot \Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{\Delta A}{A} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિશત ભૂલ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} x \Delta x}{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2} \times 100 = \frac{2 \Delta x}{x} \times 100$.
આપેલ છે કે $x = 10$ અને $\Delta x = 0.05$:
$\text{પ્રતિશત ભૂલ} = \frac{2 \times 0.05}{10} \times 100 = \frac{0.1}{10} \times 100 = 1 \%$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતી પ્રતિશત ભૂલ $1 \%$ છે.

(D) આપેલ છે,વ્યાસમાં ભૂલ $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$.
કારણ કે $D = 2r$,તેથી ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dV = 4 \pi r^2 dr$ મળે.
ઘનફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dV}{V} = \frac{4 \pi r^2 dr}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{dr}{r}$ થાય.
ઘનફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $= \frac{dV}{V} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$.
કિંમતો $r = 10 \text{ cm}$ અને $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ મૂકતા:
પ્રતિશત ભૂલ $= 3 \times \frac{\pm 0.02}{10} \times 100 = 3 \times (\pm 0.002) \times 100 = \pm 0.6\%$.

(C) ધારો કે $y = f(x) = x^{3000}$ છે.
આપણે વિકલિતના આશરે મૂલ્યના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$x = 1$ અને $\Delta x = 0.0002$ લો.
તેથી $f(x) = 1^{3000} = 1$ થાય.
વિકલિત $f'(x) = 3000 x^{2999}$ છે.
$x = 1$ આગળ,$f'(1) = 3000(1)^{2999} = 3000$ થાય.
હવે,ફેરફાર $\Delta y \approx f'(x) \Delta x = 3000 \times 0.0002 = 0.6$ ગણો.
તેથી,$f(1.0002) \approx f(1) + \Delta y = 1 + 0.6 = 1.6$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$.
પ્રથમ ચરણમાં,$\sin x$ એ વધતું વિધેય છે.
કારણ કે $31^{\circ} > 30^{\circ}$,તેથી $\sin 31^{\circ} > \sin 30^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\sin 31^{\circ} > 0.5$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^{2} - 3x + 2$ છે.
આપણે $x = 2$ થી $x = 1.99$ માં ફેરફાર થાય ત્યારે $y$ નું વિકલન $dy$ શોધવાનું છે.
અહીં,$x = 2$ અને $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ છે.
વિધેયનું વિકલિત $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{2} - 3x + 2) = 4x - 3$ થાય.
$x = 2$ આગળ,$f'(2) = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$ મળે.
વિકલન $dy$ નું સૂત્ર $dy = f'(x) \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$dy = f'(2) \times (-0.01) = 5 \times (-0.01) = -0.05$.
આમ,$y$ નું વિકલન $-0.05$ છે.

(B) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V$ છે.
તેથી,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $\Delta V$ એ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\Delta V \approx (4 \pi r^2) \times \Delta r$.
ઘનફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta V}{V} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} \times 100 \approx \frac{4 \pi r^2 \times \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$ મળે છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં $0.1 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.1$.
તેથી,ઘનફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $3 \times 0.1 \% = 0.3 \%$ છે.

(B) આપેલ છે,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $2 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dl}{l} = 0.02$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$.
તેથી,આવર્તકાળમાં ટકાવારી ફેરફાર $\frac{dT}{T} \times 100 = 0.01 \times 100 = 1 \%$ છે.
આમ,આવર્તકાળમાં આશરે ફેરફાર $1 \%$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $y = 2x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ છે.
આશરે ફેરફાર $\Delta y$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2x^2 + 3x - 5) = 6x^2 - 4x + 3$.
હવે,$x = 2$ આગળ વિકલિતનું મૂલ્ય શોધતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 6(2)^2 - 4(2) + 3 = 6(4) - 8 + 3 = 24 - 8 + 3 = 19$.
આપેલ છે કે $\Delta x = 0.1$,તેથી $\Delta y$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta y \approx 19 \times 0.1 = 1.9$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{1/5}$. આપણે $f(33)$ નું મૂલ્ય શોધવું છે.
ધારો કે $x = 32$ અને $\Delta x = 1$,જેથી $x + \Delta x = 33$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x) = x^{1/5} \implies f'(x) = \frac{1}{5} x^{-4/5} = \frac{1}{5 x^{4/5}}$.
$x = 32$ માટે,$f(32) = (32)^{1/5} = 2$.
$f'(32) = \frac{1}{5(32)^{4/5}} = \frac{1}{5(2^4)} = \frac{1}{5 \times 16} = \frac{1}{80} = 0.0125$.
વિકલનના આશરે મૂલ્યના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
$f(33) \approx f(32) + f'(32) \times 1$.
$f(33) \approx 2 + 0.0125 = 2.0125$.