Fundamental integration Questions in Hindi

(D) हम जानते हैं कि $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ होता है।
दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (3x)^2}}$ है।
$u = 3x$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$du = 3dx$ प्राप्त होता है,इसलिए $dx = \frac{du}{3}$।
$I = \int \frac{du/3}{\sqrt{4^2 - u^2}} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{4^2 - u^2}}$।
$I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{u}{4}) + C = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{3x}{4}) + C$।
इसे $A \sin^{-1}(Bx) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{3}$ और $B = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4 + 9}{12} = \frac{13}{12}$।

(A) हमें समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{9-16 x^2}} d x$ दिया गया है।
हर को $\sqrt{3^2-(4 x)^2}$ के रूप में लिखें।
मानक सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-u^2}} d u = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 4x$ और $du = 4 dx$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{1}{\sqrt{3^2-(4 x)^2}} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{3^2-(4 x)^2}} d(4x) = \frac{1}{4} \sin^{-1}(\frac{4x}{3}) + c$।
इसकी तुलना $\alpha \sin^{-1}(\beta x) + c$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4/3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$ की गणना करें।

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x = \log [\log \sin x] + c$.
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{d x} \left( \int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x \right) = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x] + c)$.
बाईं ओर कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर:
$\frac{f(x)}{\log (\sin x)} = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x])$.
दाईं ओर श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{d x} (\log [\log \sin x]) = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \frac{d}{d x} (\log \sin x)$.
चूंकि $\frac{d}{d x} (\log \sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(x)}{\log \sin x} = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \cot x$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $f(x) = \cot x$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{8+2x-x^2}}$.
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$8+2x-x^2 = -(x^2-2x-8) = -(x^2-2x+1-9) = -( (x-1)^2 - 9 ) = 9 - (x-1)^2$.
अब,इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{9-(x-1)^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2-(x-1)^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{3}\right)+c$.

(B) माना $I = \int \frac{1}{7-6 x-x^2} dx$.
सबसे पहले,हर में पूर्ण वर्ग बनाएँ: $7-6x-x^2 = 7 - (x^2+6x) = 7 - (x^2+6x+9-9) = 16 - (x+3)^2$.
अतः,$I = \int \frac{1}{16-(x+3)^2} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=4$ और $x$ के स्थान पर $(x+3)$ है:
$I = \frac{1}{2(4)} \log \left| \frac{4+(x+3)}{4-(x+3)} \right| + c$.
$I = \frac{1}{8} \log \left| \frac{7+x}{1-x} \right| + c$.

(A) हमारे पास $I = \int \tan^4 x dx = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) dx$ है।
$I = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int \tan^2 x dx$.
$I = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int (\sec^2 x - 1) dx$.
$I = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + k$.
इसे $a \tan^3 x + b \tan x + c x + k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{3}$,$b = -1$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b + c = \frac{1}{3} - (-1) + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$.

(A) दिया गया है $f\left(\frac{x-4}{x-2}\right)=2x+1$.
माना $y = \frac{x-4}{x-2}$.
तब $y = \frac{x-2-2}{x-2} = 1 - \frac{2}{x-2}$.
अतः,$\frac{2}{x-2} = 1-y$,जिसका अर्थ है $x-2 = \frac{2}{1-y} = \frac{-2}{y-1}$.
इस प्रकार,$x = 2 - \frac{2}{y-1} = \frac{2y-2-2}{y-1} = \frac{2y-4}{y-1}$.
अब,$f(y) = 2x+1 = 2\left(\frac{2y-4}{y-1}\right) + 1 = \frac{4y-8+y-1}{y-1} = \frac{5y-9}{y-1} = \frac{5(y-1)-4}{y-1} = 5 - \frac{4}{y-1}$.
इसलिए,$f(x) = 5 - \frac{4}{x-1}$.
अब,$\int f(x) dx = \int \left(5 - \frac{4}{x-1}\right) dx = 5x - 4 \log |x-1| + c$.

(D) समाकलन $I = \int \frac{d x}{7+6 x-x^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर में द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$7+6 x-x^2 = -(x^2-6 x-7) = -(x^2-6 x+9-16) = 16-(x-3)^2$.
अतः,समाकलन $I = \int \frac{d x}{4^2-(x-3)^2}$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \frac{d x}{a^2-x^2} = \frac{1}{2 a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=4$ है और $x$ के स्थान पर $(x-3)$ है:
$I = \frac{1}{2(4)} \log \left| \frac{4+(x-3)}{4-(x-3)} \right| + c$.
लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{1}{8} \log \left| \frac{x+1}{7-x} \right| + c$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x+1}$.
हम $F(x) = (fof)(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{x}{x+1}\right) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1} + 1} = \frac{x}{x + (x+1)} = \frac{x}{2x+1}$ प्राप्त करते हैं।
अब,हम समाकलन $\int F(x) \, dx = \int \frac{x}{2x+1} \, dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
समाकलन करने के लिए,हम अंश में हेरफेर करते हैं: $\frac{x}{2x+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{2x+1-1}{2x+1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2x+1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2x+1)}$.
पद दर पद समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2x+1)} \right) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log |2x+1| + c = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \log |2x+1| + c$.

(C) माना $I = \int \operatorname{cosec}(x-a) \cdot \operatorname{cosec} x \, dx$.
हम इसे $I = \int \frac{1}{\sin (x-a) \sin x} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\sin a$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin a}{\sin (x-a) \sin x} \, dx$.
$a$ को $x - (x-a)$ के रूप में लिखने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin (x - (x-a))}{\sin (x-a) \sin x} \, dx$.
सूत्र $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos (x-a) - \cos x \sin (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \int \left( \frac{\sin x \cos (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} - \frac{\cos x \sin (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \right) \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \int (\cot (x-a) - \cot x) \, dx$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin (x-a)| - \log |\sin x|] + c$.
गुणधर्म $\log m - \log n = \log(\frac{m}{n})$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \log \left| \frac{\sin (x-a)}{\sin x} \right| + c$.
चूंकि $\frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$,इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$I = \frac{1}{\sin a} \log |\sin (x-a) \cdot \operatorname{cosec} x| + c$.

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} \right) dx$ है।
सर्वसमिकाओं $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ और $1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \tan^{-1} \sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}} dx$
$I = \int \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right) dx$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \tan^{-1} \left( \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} \right) dx$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right) dx$
$I = \int \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \frac{\pi}{4} x - \frac{x^2}{4} + C$.

(A) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$
$I = 2 \int \frac{1}{\sin x \cos x} dx$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$I = 2 \int \frac{2}{2 \sin x \cos x} dx = 4 \int \frac{1}{\sin 2x} dx$
$I = 4 \int \operatorname{cosec} 2x dx$
सूत्र $\int \operatorname{cosec} u du = \log |\tan(u/2)| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = 4 \times \frac{1}{2} \log |\tan x| + c = 2 \log |\tan x| + c$
गुणधर्म $n \log a = \log a^n$ का उपयोग करने पर:
$I = \log |\tan^2 x| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{\sin x}{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)} d x$.
$x = (x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{\sin \left((x-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)} d x$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{\sin (x-\frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{4} + \cos (x-\frac{\pi}{4}) \sin \frac{\pi}{4}}{\sin (x-\frac{\pi}{4})} d x$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हमें प्राप्त होता है $I = \int \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cot (x-\frac{\pi}{4}) \right) d x$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int 1 d x + \frac{1}{\sqrt{2}} \int \cot (x-\frac{\pi}{4}) d x$.
$\cot u$ का समाकलन $\log |\sin u|$ होता है,अतः $I = \frac{1}{\sqrt{2}} [x + \log |\sin (x-\frac{\pi}{4})|] + c$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{32-2x^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{16-x^2}$ है।
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=4$:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2(4)} \log \left| \frac{4+x}{4-x} \right| \right] + c$
$I = \frac{1}{16} [ \log |4+x| - \log |4-x| ] + c$
$I = -\frac{1}{16} \log |4-x| + \frac{1}{16} \log |4+x| + c$।
इसे $A \log(4-x) + B \log(4+x) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -\frac{1}{16}$ और $B = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx$ को हल करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करेंगे।
$4x - x^2 = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -( (x-2)^2 - 4 ) = 4 - (x-2)^2$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2$ और $u = x-2$ है:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $x^5 + 1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$.
अतः,समाकलन $\int \frac{(x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)}{x+1} \, dx = \int (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) \, dx$ हो जाता है।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + c$ प्राप्त होता है।
इसे योग संकेतन में $\sum_{n=1}^5 (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\cos 3x}{\sin x} dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$ का उपयोग करते हुए,
$\cos 3x = (1 - 2 \sin^2 x) \cos x - (2 \sin x \cos x) \sin x = \cos x - 2 \sin^2 x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos x - 4 \sin^2 x \cos x$.
अतः,$\frac{\cos 3x}{\sin x} = \frac{\cos x - 4 \sin^2 x \cos x}{\sin x} = \cot x - 4 \sin x \cos x = \cot x - 2 \sin 2x$.
अब,समाकलन करने पर: $\int (\cot x - 2 \sin 2x) dx = \int \cot x dx - 2 \int \sin 2x dx$.
$= \log |\sin x| - 2 (-\frac{\cos 2x}{2}) + C = \log |\sin x| + \cos 2x + C$.
इसकी तुलना $p \cos 2x + q \log |\sin x| + C$ से करने पर,हमें $p = 1$ और $q = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$p + q = 1 + 1 = 2$.

(A) हम जानते हैं कि $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x = \int \tan^2 \frac{x}{2} d x$.
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\int (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \int \sec^2 \frac{x}{2} d x - \int 1 d x$.
$= 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$.

(A) दिया गया है कि $\frac{d}{d x}(f(x))=4 x^3-3 x^{-4}$.
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$f(x) = \int (4 x^3-3 x^{-4}) d x$.
$f(x) = 4 \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^{-3}}{-3} + C$.
$f(x) = x^4 + x^{-3} + C = x^4 + \frac{1}{x^3} + C$.
दिया गया है कि $f(2) = 0$,अतः $x=2$ रखने पर:
$f(2) = 2^4 + \frac{1}{2^3} + C = 0$.
$16 + \frac{1}{8} + C = 0$.
$C = - (16 + \frac{1}{8}) = - \frac{128+1}{8} = - \frac{129}{8}$.
अतः,$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$.

(B) समाकल $I = \int \frac{d x}{x^2+2 x+5}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
$x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 2^2$.
अब,समाकल $I = \int \frac{d x}{(x+1)^2 + 2^2}$ हो जाता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2$ और चर $(x+1)$ है:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $B$ है।

(A) समाकलन $I = \int \frac{1}{e^x+1} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{e^x(1 + e^{-x})} dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$.
मान लीजिए $u = 1 + e^{-x}$. तब $du = -e^{-x} dx$,जिसका अर्थ है $e^{-x} dx = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{-du}{u} = -\log |u| + C = -\log |1 + e^{-x}| + C$.
हम इसे इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$I = -\log \left| \frac{e^x + 1}{e^x} \right| + C = -(\log |e^x + 1| - \log |e^x|) + C = -\log |e^x + 1| + x + C$.
वैकल्पिक रूप से,$I = \int \frac{1}{e^x+1} dx = \int \frac{e^x+1-e^x}{e^x+1} dx = \int (1 - \frac{e^x}{e^x+1}) dx = x - \log |e^x+1| + C$.
चूंकि $x = \log(e^x)$,इसलिए $I = \log(e^x) - \log |e^x+1| + C = \log \left| \frac{e^x}{e^x+1} \right| + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sec ^2 x} \, dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ और $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \, dx = \int \cot^2 x \, dx$.
सर्वसमिका $\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int 1 \, dx = -\cot x - x + C$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx$ को हल करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -( (x-1)^2 - 1 ) = 1 - (x-1)^2$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x-1$ और $a = 1$ है:
$I = \sin^{-1}(\frac{x-1}{1}) + C = \sin^{-1}(x-1) + C$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $f^{\prime}(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करते हुए,हम अवकलज को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f^{\prime}(x) = \sin(3x)$।
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f^{\prime}(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$f(x) = \int \sin(3x) \, dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + c$।
प्रारंभिक शर्त $f(0) = \frac{1}{3}$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ रखने पर:
$f(0) = -\frac{\cos(0)}{3} + c = \frac{1}{3}$।
चूँकि $\cos(0) = 1$,इसलिए:
$-\frac{1}{3} + c = \frac{1}{3}$।
$c$ के लिए हल करने पर:
$c = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।

(C) खुदाई की दर दी गई है $\frac{dA}{dt} = \frac{2}{\sqrt{t}}$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$A = \int \frac{2}{\sqrt{t}} dt = 2 \int t^{-1/2} dt = 2 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{t} + C$.
जब $t = 0$,तो खोदा गया क्षेत्रफल $A = 0$,इसलिए $C = 0$.
अतः,$A = 4\sqrt{t}$.
$40$ वर्ग मीटर क्षेत्रफल खोदने के लिए समय $t$ ज्ञात करने हेतु,$A = 40$ रखें:
$40 = 4\sqrt{t} \Rightarrow \sqrt{t} = 10$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t = 10^2 = 100$ मिनट।

(A) दिया गया समाकलन $ I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\theta}{\cos x - \cos \theta} dx $ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करते हुए,अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\cos 2x - \cos 2\theta = (2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \theta - 1) = 2\cos^2 x - 2\cos^2 \theta = 2(\cos^2 x - \cos^2 \theta)$.
अब,इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2(\cos^2 x - \cos^2 \theta)}{\cos x - \cos \theta} dx$.
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{2(\cos x - \cos \theta)(\cos x + \cos \theta)}{\cos x - \cos \theta} dx$.
समान पद $(\cos x - \cos \theta)$ को काटने पर:
$I = 2 \int (\cos x + \cos \theta) dx$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर (जहाँ $\cos \theta$ एक अचर है):
$I = 2(\sin x + x \cos \theta) + C$.

(C) समाकलन $ I = \int \frac{1}{1+e^{x}} d x $ का मूल्यांकन करने के लिए:
अंश और हर को $ e^{-x} $ से गुणा करने पर:
$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^{x})} d x $
$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} d x $
माना $ u = e^{-x} + 1 $. तब $ du = -e^{-x} d x $,जिसका अर्थ है $ e^{-x} d x = -du $.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$ I = \int \frac{-du}{u} $
$ I = -\ln |u| + C $
$ I = -\ln |e^{-x} + 1| + C $
लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$ I = -\ln \left| \frac{1}{e^{x}} + 1 \right| + C $
$ I = -\ln \left| \frac{1+e^{x}}{e^{x}} \right| + C $
गुणधर्म $ -\ln(a/b) = \ln(b/a) $ का उपयोग करने पर:
$ I = \ln \left| \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \right| + C $
अतः,सही विकल्प $ C $ है।

(B) दिया गया है कि $\int f(x) dx = g(x)$ है।
इसका अर्थ है कि $f(x) = g'(x)$ है।
हमें समाकलन $\int f(x) g(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x) = g'(x)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int g'(x) g(x) dx$ प्राप्त होता है।
माना $g(x) = u$,तो $g'(x) dx = du$ होगा।
अतः समाकलन $\int u du = \frac{u^2}{2} + C$ हो जाता है।
$u = g(x)$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2} g^2(x) + C$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ है।
सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करते हुए,अंश और हर को $2 \cos \frac{x}{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin(3x) + \sin(2x)}{\sin x} dx$.
सूत्रों $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x + 2 \sin x \cos x}{\sin x} dx = \int (3 - 4 \sin^2 x + 2 \cos x) dx$.
$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (3 - 2(1 - \cos 2x) + 2 \cos x) dx = \int (3 - 2 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx$.
$I = \int (1 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx = x + \sin 2x + 2 \sin x + C$.

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{(2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = \int \frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = 2 \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = 2 \int (\cos x + \cos \alpha) dx$
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = 2(\sin x + x \cos \alpha) + c$

(A) माना $I = \int \frac{\sec x}{\sec x+\tan x} dx$.
अंश और हर को $(\sec x - \tan x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\sec x(\sec x - \tan x)}{\sec^2 x - \tan^2 x} dx$.
चूँकि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,इसलिए समाकलन सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$I = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \tan x - \sec x + C$.

(D) हम जानते हैं कि $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$.
$\theta = 4x$ के लिए इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $1 + \cos 8x = 2 \cos^2 4x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 4x} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 4x dx$
मानक समाकलन $\int \sec^2(ax) dx = \frac{\tan(ax)}{a} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan 4x}{4} + c$
$I = \frac{\tan 4x}{8} + c$

(C) माना $I = \int \sqrt{5-2x+x^2} dx$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है $5-2x+x^2 = (x-1)^2 + 4 = (x-1)^2 + 2^2$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \log |x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x$ को $(x-1)$ से और $a=2$ से प्रतिस्थापित किया गया है:
$I = \frac{x-1}{2} \sqrt{(x-1)^2 + 2^2} + \frac{2^2}{2} \log |(x-1) + \sqrt{(x-1)^2 + 2^2}| + C$.
$I = \frac{x-1}{2} \sqrt{5-2x+x^2} + 2 \log |(x-1) + \sqrt{5-2x+x^2}| + C$.

(B) दिया गया समाकलन: $ I = \int \frac{e^{6 \log x}-e^{5 \log x}}{e^{4 \log x}-e^{3 \log x}} dx $
लघुगणक के गुणधर्म $ e^{k \log x} = x^k $ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$ I = \int \frac{x^6 - x^5}{x^4 - x^3} dx $
अंश और हर में से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$ I = \int \frac{x^5(x - 1)}{x^3(x - 1)} dx $
$ x \neq 1 $ मानते हुए,हम $ (x - 1) $ पद को काट सकते हैं:
$ I = \int \frac{x^5}{x^3} dx = \int x^2 dx $
$ x^2 $ का $ x $ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$ I = \frac{x^3}{3} + c $

(C) माना $I = \int \operatorname{cosec}(x-a) \operatorname{cosec} x \, dx$ है।
$\sin a$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int \frac{\sin a}{\sin a \sin(x-a) \sin x} \, dx$।
चूंकि $\sin a = \sin(x - (x-a))$,इसलिए:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin(x - (x-a))}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$।
सूत्र $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos(x-a) - \cos x \sin(x-a)}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$।
$I = \frac{1}{\sin a} \int \left( \frac{\cos(x-a)}{\sin(x-a)} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) \, dx$।
$I = \frac{1}{\sin a} \int (\cot(x-a) - \cot x) \, dx$।
समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin(x-a)| - \log |\sin x|] + c$।
$I = \frac{1}{\sin a} \log \left| \frac{\sin(x-a)}{\sin x} \right| + c$।
इसे $\frac{1}{\sin a} \log |\sin(x-a) \operatorname{cosec} x| + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} d x$.
हम अंश को $x^{2}-1+2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{x^{2}-1+2}{x^{2}-1} d x$.
$I = \int \left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-1} + \frac{2}{x^{2}-1} \right) d x$.
$I = \int 1 d x + 2 \int \frac{1}{x^{2}-1} d x$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} d x = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$:
$I = x + 2 \cdot \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + c$.
$I = x + \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + c$.

(B) दिया गया समाकलन $ I = \int \frac{\sin ^{2} x}{1+\cos x} d x $ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $ \sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int \frac{1 - \cos ^{2} x}{1 + \cos x} d x $.
चूंकि $ 1 - \cos ^{2} x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) $,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$ I = \int \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 + \cos x} d x $.
उभयनिष्ठ पद $ (1 + \cos x) $ को काटने पर:
$ I = \int (1 - \cos x) d x $.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$ I = x - \sin x + C $.

(B) दिया गया है,$f^{\prime}(x)=a \sin x+b \cos x$ और $f^{\prime}(0)=4$.
अवकलज में $x=0$ रखने पर: $f^{\prime}(0)=a \sin(0)+b \cos(0) = b = 4$.
अब,$f(x)$ ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (a \sin x + 4 \cos x) dx = -a \cos x + 4 \sin x + C$.
$f(0)=3$ का उपयोग करने पर: $f(0) = -a \cos(0) + 4 \sin(0) + C = -a + C = 3 \Rightarrow C = a+3$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=5$ का उपयोग करने पर: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 0 + 4(1) + C = 4+C = 5 \Rightarrow C = 1$.
$C=1$ को $C=a+3$ में रखने पर: $1 = a+3 \Rightarrow a = -2$.
अतः,$f(x) = -(-2) \cos x + 4 \sin x + 1 = 2 \cos x + 4 \sin x + 1$.

(C) हमें समाकलन $\int \frac{1}{1 + \sin x} dx$ दिया गया है।
अंश और हर को $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर:
$\int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx = \tan x - \sec x + c$.
वैकल्पिक रूप से,अर्ध-कोण सर्वसमिका $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर:
$\int \frac{1}{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) dx$.
इसका समाकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{-\frac{1}{2}} + c = -\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + c = \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + c$ प्राप्त होता है।
इसे $\tan(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$f'(0) = \frac{1}{2}$.

(C) हम जानते हैं कि $1 - \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.
अतः,$\int \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx = \int |\cos x - \sin x| \, dx$.
दिया गया है कि $x \notin [2n\pi - \frac{\pi}{4}, 2n\pi + \frac{3\pi}{4}]$,इस अंतराल में व्यंजक $\cos x - \sin x$ ऋणात्मक है।
इसलिए,$|\cos x - \sin x| = -(\cos x - \sin x) = \sin x - \cos x$.
इसका समाकलन करने पर,हमें $\int (\sin x - \cos x) \, dx = -\cos x - \sin x + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन: $\int \frac{1}{1-\cos x} dx = \int \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} dx$
$= \frac{1}{2} \left(-2 \cot \frac{x}{2}\right) + c = -\cot \frac{x}{2} + c$
हम जानते हैं कि $-\cot \theta = \tan \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)$ होता है।
अतः,$-\cot \frac{x}{2} = \tan \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}\right)$,जिसकी तुलना $\tan \left(\frac{x}{\alpha} + \beta\right)$ से करने पर।
इस प्रकार,$\alpha = 2$ और $\beta = -\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{\pi \alpha}{4} - \beta = \frac{\pi(2)}{4} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$।

(B) माना $I = \int \frac{x^5}{x^2+1} \, dx$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{x^5}{x^2+1} = \frac{x^3(x^2+1) - x^3}{x^2+1} = x^3 - \frac{x^3}{x^2+1}$।
आगे,$\frac{x^3}{x^2+1} = \frac{x(x^2+1) - x}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}$।
अतः,$\frac{x^5}{x^2+1} = x^3 - x + \frac{x}{x^2+1}$।
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int (x^3 - x + \frac{x}{x^2+1}) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx$।
प्रतिस्थापन $u = x^2+1$ और $du = 2x \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \log(x^2+1) + c$।

(B) हम जानते हैं कि चरघातांकी फलन के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $e^u = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{u^r}{r!}$ होता है।
$u = 3x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(3x)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!} = e^{3x}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $\int \left(\sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!}\right) dx$ का मान ज्ञात करना है।
श्रेणी को $e^{3x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,समाकलन $\int e^{3x} dx$ हो जाता है।
समाकलन के सूत्र $\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$ का उपयोग करने पर,हमें $\int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + c$ प्राप्त होता है।

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin 7x}{\sin 2x \sin 5x} dx$ है।
सर्वसमिका $\sin 7x = \sin(5x + 2x)$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{\sin(5x + 2x)}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
सूत्र $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 2x + \cos 5x \sin 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx + \int \frac{\cos 5x \sin 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
$I = \int \cot 2x dx + \int \cot 5x dx$.
मानक समाकलन $\int \cot(ax) dx = \frac{1}{a} \log |\sin(ax)| + c$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{2} \log |\sin 2x| + \frac{1}{5} \log |\sin 5x| + c$.

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{dx}{x^2+(\sqrt{2})^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$.
चूँकि $f(\sqrt{2}) = 0$ है,$x = \sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + C$
$0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(1) + C$
$0 = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{4}) + C$
$C = -\frac{\pi}{4\sqrt{2}}$.
अब,$f(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{0}{\sqrt{2}}) - \frac{\pi}{4\sqrt{2}}$
$f(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0) - \frac{\pi}{4\sqrt{2}} = -\frac{\pi}{4\sqrt{2}}$.

(B) हमें समाकलन $I = \int 3^{-\log _9 x^2} d x$ दिया गया है।
लघुगणक के गुणधर्म $n \log_b a = \log_b a^n$ का उपयोग करते हुए,$-\log _9 x^2 = \log _9 (x^2)^{-1} = \log _9 (\frac{1}{x^2})$ प्राप्त होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,$I = \int 3^{\log _9 (\frac{1}{x^2})} d x$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $a^{\log _b c} = c^{\log _b a}$ का उपयोग करके,$3^{\log _9 (\frac{1}{x^2})}$ को $(\frac{1}{x^2})^{\log _9 3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\log _9 3 = \log _{3^2} 3 = \frac{1}{2} \log _3 3 = \frac{1}{2}$,इसलिए पद $(\frac{1}{x^2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{x}$ बन जाता है।
अतः,$I = \int \frac{1}{x} d x = \log |x| + C$।

(A) माना $I = \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx$.
अंश को हर के अवकलज के रूप में व्यक्त करने पर:
$3x+2 = \frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}}{4x^2+4x+5} dx = \frac{3}{8} \int \frac{8x+4}{4x^2+4x+5} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(2x+1)^2 + 2^2} dx$.
प्रथम भाग के लिए,$u = 4x^2+4x+5$ लेने पर,$du = (8x+4)dx$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(2x+1)^2 + 2^2} dx$.
सूत्र $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{2}) + C$.
$I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{8} \tan^{-1}(x+\frac{1}{2}) + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = \frac{3}{8}$ और $B = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x)=1+2^x \log 2$।
चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रति-अवकलज है,इसलिए $g(x) = \int f(x) dx$।
$g(x) = \int (1+2^x \log 2) dx = x + \frac{2^x \log 2}{\log 2} + c = x + 2^x + c$।
अतः,$y = x + 2^x + c$ ... $(i)$।
वक्र $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{1}{2} = -1 + 2^{-1} + c$।
$\frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2} + c \implies c = 1$।
$c=1$ का मान $(i)$ में रखने पर,हमें $y = x + 2^x + 1$ प्राप्त होता है।
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x=0$ रखें:
$y = 0 + 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$।
अतः,वक्र $Y$-अक्ष को $(0,2)$ बिंदु पर मिलता है।

(B) माना $I = \int \frac{1 + \tan x \tan(x + a)}{\tan x \tan(x + a)} dx$ है।
हम जानते हैं कि $\tan a = \tan((x + a) - x) = \frac{\tan(x + a) - \tan x}{1 + \tan x \tan(x + a)}$ होता है।
अतः,$1 + \tan x \tan(x + a) = \frac{\tan(x + a) - \tan x}{\tan a}$।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\tan(x + a) - \tan x}{\tan a \tan x \tan(x + a)} dx$।
$I = \frac{1}{\tan a} \int \left( \frac{\tan(x + a)}{\tan x \tan(x + a)} - \frac{\tan x}{\tan x \tan(x + a)} \right) dx$।
$I = \cot a \int \left( \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{\tan(x + a)} \right) dx$।
$I = \cot a \int (\cot x - \cot(x + a)) dx$।
समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$I = \cot a (\log |\sin x| - \log |\sin(x + a)|) + C$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $I = \int \sqrt{1+2 \cot x(\cot x+\operatorname{cosec} x)} \, dx$.
चूंकि $1 = \operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x$,इसलिए:
$I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x + 2 \cot^2 x + 2 \cot x \operatorname{cosec} x} \, dx$
$I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x + \cot^2 x + 2 \cot x \operatorname{cosec} x} \, dx$
$I = \int \sqrt{(\operatorname{cosec} x + \cot x)^2} \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec} x + \cot x) \, dx$
मानक समाकलनों $\int \operatorname{cosec} x \, dx = \log |\operatorname{cosec} x - \cot x|$ और $\int \cot x \, dx = \log |\sin x|$ का उपयोग करने पर:
$I = \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| + \log |\sin x| + C$
$I = \log \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot \sin x \right| + C$
$I = \log |1 - \cos x| + C$
सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \log |2 \sin^2 \frac{x}{2}| + C$
$I = \log 2 + 2 \log |\sin \frac{x}{2}| + C$
चूंकि $\log 2$ एक स्थिरांक है,इसे $C$ में समाहित किया जा सकता है:
$I = 2 \log |\sin \frac{x}{2}| + C$