Fundamental integration Questions in Hindi

(A) माना $2-x=t$ है।
तब,$-dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = -dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{\sqrt{(2-x)^{2}+1}} dx = -\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर:
$= -\log |t + \sqrt{t^{2}+1}| + C$।
अब $t = 2-x$ को वापस रखने पर:
$= -\log |2-x + \sqrt{(2-x)^{2}+1}| + C$।
चूंकि $-\log|u| = \log|1/u|$,इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$= \log \left| \frac{1}{(2-x) + \sqrt{x^{2}-4x+5}} \right| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $5x = t$ है।
तब,$5 dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{1}{5} dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{\sqrt{9-25 x^{2}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{3^{2}-(5x)^{2}}} dx$
$= \frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{3^{2}-t^{2}}} dt$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{5} \sin^{-1}(\frac{t}{3}) + C$
$t = 5x$ वापस रखने पर:
$= \frac{1}{5} \sin^{-1}(\frac{5x}{3}) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम हर में दिए गए द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखते हैं।
$x^{2}+2x+2 = (x^{2}+2x+1)+1 = (x+1)^{2}+1^{2}$.
अब,समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+1^{2}}} dx$.
माना $t = x+1$,तब $dt = dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}} dt = \log |t + \sqrt{t^{2}+a^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=1$:
$\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1^{2}}} dt = \log |t + \sqrt{t^{2}+1}| + C$.
$t = x+1$ का मान वापस रखने पर:
$= \log |(x+1) + \sqrt{(x+1)^{2}+1}| + C$
$= \log |(x+1) + \sqrt{x^{2}+2x+2}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) $\int \frac{1}{\sqrt{7-6x-x^{2}}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम पहले द्विघात व्यंजक $7-6x-x^{2}$ को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखेंगे।
$7-6x-x^{2} = 7 - (x^{2} + 6x)$
$= 7 - (x^{2} + 6x + 9 - 9)$
$= 7 - ((x+3)^{2} - 9)$
$= 7 + 9 - (x+3)^{2}$
$= 16 - (x+3)^{2}$
$= (4)^{2} - (x+3)^{2}$
अब,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{1}{\sqrt{(4)^{2} - (x+3)^{2}}} dx$
माना $u = x+3$,तब $du = dx$ होगा।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \sin^{-1}(\frac{x+3}{4}) + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(C) समाकल $\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
$x^{2}+2 x+2 = (x^{2}+2 x+1) + 1 = (x+1)^{2} + 1^{2}$.
अब,समाकल $\int \frac{d x}{(x+1)^{2} + 1^{2}}$ हो जाता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{d u}{u^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x+1$ और $a = 1$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{d x}{(x+1)^{2} + 1^{2}} = \tan^{-1}(x+1) + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{9x-4x^{2}}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएंगे।
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{-4(x^{2}-\frac{9}{4}x)}}$
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{-4(x^{2}-\frac{9}{4}x + \frac{81}{64} - \frac{81}{64})}}$
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{-4[(x-\frac{9}{8})^{2} - (\frac{9}{8})^{2}]}}$
$I = \int \frac{dx}{2\sqrt{(\frac{9}{8})^{2} - (x-\frac{9}{8})^{2}}}$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dy}{\sqrt{a^{2}-y^{2}}} = \sin^{-1}(\frac{y}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{9}{8}$ और $y = x - \frac{9}{8}$ है:
$I = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x-\frac{9}{8}}{\frac{9}{8}}\right) + C$
$I = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{8x-9}{9}\right) + C$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(N/A) माना $I = \int \sqrt{4-x^{2}} \, dx = \int \sqrt{(2)^{2}-(x)^{2}} \, dx$.
हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C$.
यहाँ,$a = 2$ है।
सूत्र में $a = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) + C$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + 2 \sin^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \sqrt{1-4x^2} dx = \int \sqrt{(1)^2 - (2x)^2} dx$.
$2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{1}{2} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \sqrt{1^2 - t^2} dt$.
मानक सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t}{2} \sqrt{1 - t^2} + \frac{1^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{t}{1} \right) \right] + C$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{t}{4} \sqrt{1 - t^2} + \frac{1}{4} \sin^{-1} (t) + C$.
$t = 2x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2x}{4} \sqrt{1 - (2x)^2} + \frac{1}{4} \sin^{-1} (2x) + C$.
$I = \frac{x}{2} \sqrt{1 - 4x^2} + \frac{1}{4} \sin^{-1} (2x) + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

माना $I = \int \sqrt{1-4x-x^{2}} dx$.
इसका समाकलन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$1-4x-x^{2} = 1 - (x^{2} + 4x) = 1 - (x^{2} + 4x + 4 - 4) = 1 - ((x+2)^{2} - 4) = 5 - (x+2)^{2}$.
अतः,$I = \int \sqrt{(\sqrt{5})^{2} - (x+2)^{2}} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^{2} - t^{2}} dt = \frac{t}{2} \sqrt{a^{2} - t^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{t}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x+2$ और $a = \sqrt{5}$:
$I = \frac{x+2}{2} \sqrt{5 - (x+2)^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$.
वर्गमूल के अंदर के पद को मूल रूप में वापस लाने पर:
$I = \frac{x+2}{2} \sqrt{1-4x-x^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \sqrt{1+\frac{x^{2}}{9}} \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \sqrt{\frac{9+x^{2}}{9}} \, dx = \frac{1}{3} \int \sqrt{9+x^{2}} \, dx = \frac{1}{3} \int \sqrt{3^{2}+x^{2}} \, dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 3$:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+3^{2}} + \frac{3^{2}}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}+3^{2}}| \right] + C$.
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+9} + \frac{9}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}+9}| \right] + C$.
$I = \frac{x}{6} \sqrt{x^{2}+9} + \frac{3}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}+9}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(D) हम $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \, dx$ के मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$
$\int \sqrt{1+x^{2}} \, dx$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
सूत्र में $a = 1$ रखने पर:
$\int \sqrt{1+x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{1+x^{2}} + \frac{1^{2}}{2} \log |x+\sqrt{1+x^{2}}| + C$
$= \frac{x}{2} \sqrt{1+x^{2}} + \frac{1}{2} \log |x+\sqrt{1+x^{2}}| + C$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

$\int \frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम पहले हर का परिमेयकरण (rationalization) करेंगे:
$\frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} = \frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} \times \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}}{\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}}$
$= \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}}{(x+a)-(x+b)} = \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}}{a-b}$
अब,व्यंजक का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}} dx = \frac{1}{a-b} \int (\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}) dx$
$= \frac{1}{a-b} \left[ \int (x+a)^{\frac{1}{2}} dx - \int (x+b)^{\frac{1}{2}} dx \right]$
$= \frac{1}{a-b} \left[ \frac{(x+a)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{(x+b)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right] + C$
$= \frac{2}{3(a-b)} \left[ (x+a)^{\frac{3}{2}} - (x+b)^{\frac{3}{2}} \right] + C$

दिया गया समाकलन $I = \int \frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}} dx$ है।
$a \log b = \log b^a$ और $e^{\log x} = x$ के गुणधर्म का उपयोग करके,हम समाकल्य को सरल करते हैं:
$\frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}} = \frac{e^{\log x^5} - e^{\log x^4}}{e^{\log x^3} - e^{\log x^2}} = \frac{x^5 - x^4}{x^3 - x^2}$
अंश और हर में पदों को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{x^4(x - 1)}{x^2(x - 1)}$
$x \neq 1$ और $x \neq 0$ के लिए,हम $(x - 1)$ और $x^2$ को काट सकते हैं:
$= x^2$
अब,सरल किए गए फलन का समाकलन करने पर:
$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(D) माना $I = \int \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} \, dx$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{8} x - \cos ^{8} x = (\sin ^{4} x - \cos ^{4} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x) = (\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x)$.
चूंकि $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,इसलिए $\sin ^{8} x - \cos ^{8} x = (\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(\sin ^{4} x + \cos ^{4} x)$.
साथ ही,$\sin ^{4} x + \cos ^{4} x = (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)^{2} - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x = 1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x$.
इन मानों को समाकल्य में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x)}{1 - 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} = \sin ^{2} x - \cos ^{2} x = -(\cos ^{2} x - \sin ^{2} x) = -\cos 2x$.
अतः,$I = \int -\cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + C$.

(N/A) माना $I=\int \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-\cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}} d x$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}=\frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} \sqrt{x}=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{x}$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I=\int \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-(\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{x})}{\frac{\pi}{2}} d x = \frac{2}{\pi} \int (2 \sin ^{-1} \sqrt{x}-\frac{\pi}{2}) d x = \frac{4}{\pi} \int \sin ^{-1} \sqrt{x} d x - x$.
माना $I_1 = \int \sin ^{-1} \sqrt{x} d x$. $\sqrt{x}=t$ रखने पर,$x=t^2$ और $dx=2t dt$.
$I_1 = \int \sin ^{-1} t \cdot 2t dt = 2 [\frac{t^2}{2} \sin ^{-1} t - \int \frac{t^2}{2\sqrt{1-t^2}} dt] = t^2 \sin ^{-1} t - \int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} dt$.
$\int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} dt = \int \frac{-(1-t^2)+1}{\sqrt{1-t^2}} dt = -\int \sqrt{1-t^2} dt + \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = -[\frac{t}{2}\sqrt{1-t^2} + \frac{1}{2}\sin ^{-1} t] + \sin ^{-1} t = -\frac{t}{2}\sqrt{1-t^2} + \frac{1}{2}\sin ^{-1} t$.
अतः,$I_1 = t^2 \sin ^{-1} t + \frac{t}{2}\sqrt{1-t^2} - \frac{1}{2}\sin ^{-1} t = (t^2 - \frac{1}{2}) \sin ^{-1} t + \frac{t}{2}\sqrt{1-t^2}$.
$t=\sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{4}{\pi} [(x - \frac{1}{2}) \sin ^{-1} \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2}\sqrt{1-x}] - x + C = \frac{2(2x-1)}{\pi} \sin ^{-1} \sqrt{x} + \frac{2}{\pi} \sqrt{x-x^2} - x + C$.

(A) माना $I = \int \tan ^{-1}(\sec x+\tan x) d x$.
हम जानते हैं कि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ और $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए $\sec x + \tan x = \frac{1+\sin x}{\cos x}$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
अतः,$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}$.
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$I = \int \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) d x = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x)=x-\frac{5}{x^5}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int \left(x - 5x^{-5}\right) dx$
$f(x) = \frac{x^2}{2} - 5 \left( \frac{x^{-4}}{-4} \right) + c$
$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{4x^4} + c$
दिया गया है $f(1) = 4$,$x=1$ रखने पर:
$4 = \frac{1^2}{2} + \frac{5}{4(1)^4} + c$
$4 = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} + c$
$4 = \frac{2+5}{4} + c$
$4 = \frac{7}{4} + c$
$c = 4 - \frac{7}{4} = \frac{16-7}{4} = \frac{9}{4}$
अतः,$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{4x^4} + \frac{9}{4}$।

(A) दिया गया वेग $v = 6t - \frac{t^2}{6}$ है।
हम जानते हैं कि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $ds = v \, dt$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int ds = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt$.
$s = 6 \frac{t^2}{2} - \frac{1}{6} \frac{t^3}{3} + C = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
दिया गया है कि $t = 0$ पर $s = 0$,इन मानों को रखने पर $0 = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{18} + C$,इसलिए $C = 0$ है।
अतः,विस्थापन का समीकरण $s = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ है।
$3 \text{ s}$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $t = 3$ पर $s$ की गणना करते हैं:
$s(3) = 3(3)^2 - \frac{(3)^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2} \text{ इकाइयाँ}$.

(C) दिया गया है,$v = \frac{ds}{dt} = 6t - \frac{t^2}{6}$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$s = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
दिया गया है कि $t = 0$ पर $s = 0$ है,इसलिए स्थिरांक $C$ ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{18} + C \implies C = 0$.
अतः,विस्थापन फलन $s(t) = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ है।
$3 \ s$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $s(3)$ की गणना करते हैं:
$s(3) = 3(3)^2 - \frac{(3)^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2}$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{e^{2030 \log x}-e^{2029 \log x}}{e^{2028 \log x}-e^{2027 \log x}} \,d x$ है।
गुणधर्म $e^{n \log x} = e^{\log x^n} = x^n$ का उपयोग करते हुए,हम समाकल्य को पुनः लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{x^{2030} - x^{2029}}{x^{2028} - x^{2027}} \,d x$.
अंश और हर से उच्चतम उभयनिष्ठ घात को बाहर निकालने पर:
$I = \int \frac{x^{2029}(x - 1)}{x^{2027}(x - 1)} \,d x$.
यह मानते हुए कि $x \neq 1$,हम $(x - 1)$ पद को काट सकते हैं:
$I = \int \frac{x^{2029}}{x^{2027}} \,d x = \int x^{2029 - 2027} \,d x = \int x^2 \,d x$.
$x^2$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{x^3}{3} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{(2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= \int \frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= 2 \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= 2 \int (\cos x + \cos \alpha) dx$
$= 2 (\sin x + x \cos \alpha) + c$
$= 2 \sin x + 2x \cos \alpha + c$.

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ है।
चूँकि $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$
$I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx$
$I = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) dx$
मानक समाकलन $\int \sec^2 x dx = \tan x$ और $\int \csc^2 x dx = -\cot x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \tan x - \cot x + c$.

(B) माना $I = \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2} dx$.
अंश को हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $x^2+1 = (x^2+2x+1) - 2x = (x+1)^2 - 2x$.
अतः,$I = \int \frac{(x+1)^2 - 2x}{(x+1)^2} dx = \int 1 dx - \int \frac{2x}{(x+1)^2} dx$.
दूसरे समाकलन के लिए,$2x = 2(x+1) - 2$ लिखें।
$I = x - \int \frac{2(x+1)-2}{(x+1)^2} dx = x - 2 \int \frac{1}{x+1} dx + 2 \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$.
इन पदों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = x - 2 \log |x+1| + 2 \left( -\frac{1}{x+1} \right) + c$.
$I = x - 2 \log |x+1| - \frac{2}{x+1} + c$.

(A) माना $I = \int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) d x$
सर्वसमिकाओं $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ और $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}}\right) d x$
$I = \int \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}\right) d x$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}}\right) d x$
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) d x$
$I = \int \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) d x$
$I = \frac{\pi}{4} x - \frac{x^2}{4} + c$

(B) हम जानते हैं कि $x^4+x^2+1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} \,d x$
$I = \int (x^2+x+1) \,d x$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + c$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=4 x^3-3 x^{-4}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (4x^3 - 3x^{-4}) dx$
$f(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + c$
$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} + c$
दिया गया है कि $f(2) = 0$,$x = 2$ रखने पर:
$0 = (2)^4 + \frac{1}{2^3} + c$
$0 = 16 + \frac{1}{8} + c$
$0 = \frac{128+1}{8} + c$
$c = -\frac{129}{8}$
अतः,$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$।

(C) $\text{सबसे पहले, समाकल्य } \frac{x^3-7x+6}{x^2+3x} \text{ पर बहुपद विभाजन करें।}
x^3-7x+6 \text{ को } x^2+3x \text{ से विभाजित करने पर भागफल } (x-3) \text{ और शेषफल } (2x+6) \text{ प्राप्त होता है।}
\text{अतः, } \frac{x^3-7x+6}{x^2+3x} = x-3 + \frac{2x+6}{x^2+3x}.
\text{शेषफल पद को सरल करने पर: } \frac{2x+6}{x^2+3x} = \frac{2(x+3)}{x(x+3)} = \frac{2}{x} \text{ (जहाँ } x \neq -3).
\text{अब, व्यंजक का समाकलन करने पर: } \int (x-3+\frac{2}{x}) dx.
= \int x dx - \int 3 dx + \int \frac{2}{x} dx.
= \frac{x^2}{2} - 3x + 2 \log |x| + c.$

(C) हमारे पास $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ है।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम $\frac{5x}{2} = 2x + \frac{x}{2}$ लिखते हैं।
$I = \int \frac{\sin(2x + \frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin 2x \cos \frac{x}{2} + \cos 2x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$.
$I = \int (\sin 2x \cot \frac{x}{2} + \cos 2x) dx$.
वैकल्पिक रूप से,योग-से-गुणन सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin(2x + \frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin 2x \cos \frac{x}{2} + \cos 2x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \cos 2x + \sin 2x \cot \frac{x}{2}$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cot \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2x \cot \frac{x}{2} = 2 \sin x \cos x \cdot \frac{1+\cos x}{\sin x} = 2 \cos x(1+\cos x) = 2 \cos x + 2 \cos^2 x$.
चूंकि $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$,इसलिए:
$\cos 2x + 2 \cos x + 1 + \cos 2x = 1 + 2 \cos x + 2 \cos 2x$.
समाकलन करने पर: $\int (1 + 2 \cos x + 2 \cos 2x) dx = x + 2 \sin x + \sin 2x + C$.

(A) हम जानते हैं कि दो $n$-घातों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\ldots+a^{n-1}) = x^n - a^n$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int(x^n - a^n)dx$.
$x$ के सापेक्ष पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$\int x^n dx - \int a^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} - a^n x + C$.

(C) माना $I = \int [1+2 \tan^2 x + 2 \tan x \sec x]^{1/2} dx$.
चूँकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int [\sec^2 x + \tan^2 x + 2 \sec x \tan x]^{1/2} dx$.
यह एक पूर्ण वर्ग है:
$I = \int [(\sec x + \tan x)^2]^{1/2} dx = \int (\sec x + \tan x) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int \sec x dx + \int \tan x dx$.
$I = \log |\sec x + \tan x| + \log |\sec x| + c$.
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$I = \log |\sec x(\sec x + \tan x)| + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{1}{\cos x+\sqrt{3} \sin x} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हर को $2$ से गुणा और भाग करते हैं:
$I = \int \frac{1}{2(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x)} dx$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \sin(x + \frac{\pi}{6})$:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin(x + \frac{\pi}{6})} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \csc(x + \frac{\pi}{6}) dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \csc \theta d\theta = \log |\tan(\frac{\theta}{2})| + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{2} \log |\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})| + C$

(A) समाकल $I = \int \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
$5+4x-x^2 = -(x^2-4x-5) = -((x-2)^2 - 4 - 5) = -( (x-2)^2 - 9 ) = 9 - (x-2)^2$.
इस मान को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2 - (x-2)^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$.

(A) दिया गया है $f^{\prime}(x)=k(\cos x+\sin x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int k(\cos x + \sin x) dx = k(\sin x - \cos x) + C$।
प्रतिबंध $f(0) = 9$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = k(\sin 0 - \cos 0) + C = k(0 - 1) + C = -k + C = 9$ ...$(1)$।
प्रतिबंध $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 15$ का उपयोग करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = k\left(\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2}\right) + C = k(1 - 0) + C = k + C = 15$ ...$(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(-k + C) + (k + C) = 9 + 15 \Rightarrow 2C = 24 \Rightarrow C = 12$।
$C = 12$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$k + 12 = 15 \Rightarrow k = 3$।
अतः,$f(x) = 3(\sin x - \cos x) + 12$।

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{\cos 2x + \sin^2 x}$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम इसे हर में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int \frac{dx}{1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x}$
$I = \int \frac{dx}{1 - \sin^2 x}$
सर्वसमिका $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{dx}{\cos^2 x}$
$I = \int \sec^2 x \, dx$
$\sec^2 x$ का समाकलन $\tan x + c$ होता है।
अतः,$I = \tan x + c$।

(D) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{\cos 2x - \cos^2 x}$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करते हुए,हर में मान रखने पर:
$I = \int \frac{dx}{(2\cos^2 x - 1) - \cos^2 x} = \int \frac{dx}{\cos^2 x - 1}$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 x - 1 = - (1 - \cos^2 x) = -\sin^2 x$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dx}{-\sin^2 x} = -\int \csc^2 x \, dx$.
चूंकि $\cot x$ का अवकलन $-\csc^2 x$ होता है,इसलिए $-\csc^2 x$ का समाकलन $\cot x + c$ होगा।
अतः,$I = \cot x + c$.

(A) समाकल $\int \frac{d x}{x^{2}+4 x+13}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^{2}+4 x+13 = (x^{2}+4 x+4) + 9 = (x+2)^{2} + 3^{2}$.
अब,समाकल $\int \frac{d x}{(x+2)^{2} + 3^{2}}$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=3$ और चर $(x+2)$ है:
$\int \frac{d x}{(x+2)^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x+2}{3}\right) + c$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(D) $I = \int \frac{1}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx + \int \frac{1}{\sin x} \, dx$
$I = \int \tan x \sec x \, dx + \int \operatorname{cosec} x \, dx$
$I = \sec x + \ln |\operatorname{cosec} x - \cot x| + c$

(C) हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x = \frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$.
दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{16 x^{2}+9} d x$ है।
हर से $16$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{1}{16} \int \frac{1}{x^{2}+\frac{9}{16}} d x = \frac{1}{16} \int \frac{1}{x^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} d x$.
$a = \frac{3}{4}$ के साथ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{16} \times \frac{1}{3/4} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{3/4}\right)+c$.
$I = \frac{1}{16} \times \frac{4}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{3}\right)+c$.
$I = \frac{1}{12} \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{3}\right)+c$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = x$ और $g(x) = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $f(g(x))$ ज्ञात करते हैं:
$f(g(x)) = f(\sin x) = \sin x$।
अब,हम समाकलन का मान निकालते हैं:
$\int f(g(x)) \, dx = \int \sin x \, dx$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \sin x \, dx = -\cos x + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int f(g(x)) \, dx = -\cos x + c$।

(D) माना $I = \int \cos \left(\frac{x}{16}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{8}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right) \cdot \sin \left(\frac{x}{16}\right) dx$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\sin \left(\frac{x}{16}\right) \cos \left(\frac{x}{16}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{8}\right)$ है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx$.
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\sin \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right)$.
अतः,$I = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx = \frac{1}{4} \int \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx$.
अंतिम बार सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right)$.
इस प्रकार,$I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{8} \int \sin \left(\frac{x}{2}\right) dx$.
$\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ का समाकलन करने पर,हमें $-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{8} \cdot (-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)) + c = -\frac{1}{4} \cos \left(\frac{x}{2}\right) + c$.

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin 7 x}{\cos 9 x \cos 2 x} \,d x$ है।
चूँकि $7x = 9x - 2x$, हम $\sin 7x = \sin(9x - 2x)$ लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin 9x \cos 2x - \cos 9x \sin 2x}{\cos 9x \cos 2x} \,d x$.
भिन्न को अलग करने पर:
$I = \int \left( \frac{\sin 9x \cos 2x}{\cos 9x \cos 2x} - \frac{\cos 9x \sin 2x}{\cos 9x \cos 2x} \right) \,d x$.
$I = \int (\tan 9x - \tan 2x) \,d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int \tan 9x \,d x - \int \tan 2x \,d x$.
सूत्र $\int \tan(ax) \,d x = \frac{1}{a} \ln |\sec(ax)| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{9} \ln |\sec 9x| - \frac{1}{2} \ln |\sec 2x| + c$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\cos x(1+\cos x)}$.
हम समाकल्य को $\frac{1}{\cos x(1+\cos x)} = \frac{1+\cos x - \cos x}{\cos x(1+\cos x)} = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{1+\cos x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$I = \int \sec x \, dx - \int \frac{dx}{1+\cos x}$.
हम जानते हैं कि $\int \sec x \, dx = \log |\sec x + \tan x| + c_1$.
दूसरे भाग के लिए,सर्वसमिका $1+\cos x = 2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ का उपयोग करें।
अतः,$\int \frac{dx}{1+\cos x} = \int \frac{dx}{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2} \int \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) dx$.
इसका समाकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan(x/2)}{1/2} = \tan \left(\frac{x}{2}\right) + c_2$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को संयोजित करने पर,$I = \log |\sec x + \tan x| - \tan \left(\frac{x}{2}\right) + c$।

(B) माना $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$
सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$
$\sec^2 \frac{x}{2}$ का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} + c$
$I = \tan \frac{x}{2} + c$

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\cos 8 x+1}{\cot 2 x-\tan 2 x} \,d x$ है।
सर्वसमिका $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर, $\cos 8x + 1 = 2 \cos^2 4x$ प्राप्त होता है।
हर $\frac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos^2 2x - \sin^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 4x}{\frac{1}{2} \sin 4x} = \frac{2 \cos 4x}{\sin 4x}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 \cos^2 4x}{\frac{2 \cos 4x}{\sin 4x}} \,d x = \int \cos 4x \sin 4x \,d x$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int 2 \sin 4x \cos 4x \,d x = \frac{1}{2} \int \sin 8x \,d x$.
$\sin 8x$ का समाकलन $\frac{-\cos 8x}{8}$ होता है।
अतः, $I = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos 8x}{8} \right) + c = \frac{-\cos 8x}{16} + c$.
$A \cos 8x + c$ से तुलना करने पर, $A = \frac{-1}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) समाकलन $I = \int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $(1+x)$ से गुणा करते हैं:
$I = \int \sqrt{\frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)}} \, dx = \int \sqrt{\frac{(1+x)^2}{1-x^2}} \, dx$
$I = \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
पहले भाग के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x$ होता है।
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = 1-x^2$,तो $du = -2x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = -\frac{1}{2} du$:
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = -\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = -\sqrt{1-x^2}$.
इन दोनों को जोड़ने पर,हमें $I = \sin^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{5(x^6+1)}{x^2+1} \, dx$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=x^2$ और $b=1$,हम लिख सकते हैं कि $x^6+1 = (x^2)^3+1^3 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{5(x^2+1)(x^4-x^2+1)}{x^2+1} \, dx$
$I = 5 \int (x^4-x^2+1) \, dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = 5 \left( \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x \right) + C$
$I = x^5 - \frac{5x^3}{3} + 5x + C$.

(A) माना $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} dx$.
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके,हम अंश का गुणनखंड कर सकते हैं:
$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,यह $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x)}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
$I = \int (\sin^2 x - \cos^2 x) dx$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$ प्राप्त होता है।
$I = \int -\cos 2x dx = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin 4x}{\sin x} \, dx$ है।
सर्वसमिका $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x = 4 \sin x \cos x \cos 2x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{4 \sin x \cos x \cos 2x}{\sin x} \, dx = 4 \int \cos x \cos 2x \, dx$.
सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $2 \cos 2x \cos x = \cos(2x+x) + \cos(2x-x) = \cos 3x + \cos x$.
अतः,$I = 2 \int (\cos 3x + \cos x) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2 \left( \frac{\sin 3x}{3} + \sin x \right) + C = \frac{2}{3} \sin 3x + 2 \sin x + C$.

(B) माना $I = \int \frac{2 x^3-1}{x^4+x} \,d x$.
हर को $x(x^3+1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int \frac{2 x^3-1}{x(x^3+1)} \,d x$.
आंशिक भिन्नों या अवलोकन का उपयोग करके,हम $\frac{2x^3-1}{x(x^3+1)} = \frac{-1}{x} + \frac{3x^2}{x^3+1}$ लिख सकते हैं।
दोनों पदों का समाकलन करने पर:
$I = \int \left( \frac{3x^2}{x^3+1} - \frac{1}{x} \right) \,d x$.
$I = \log|x^3+1| - \log|x| + C$.
$I = \log \left| \frac{x^3+1}{x} \right| + C$.

(A) माना $I = \int x^{x}(1+\log x) dx$.
प्रतिस्थापन $u = x^{x}$ का उपयोग करें।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log u = x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
अतः,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^{x}(1 + \log x)$.
इसलिए,$du = x^{x}(1 + \log x) dx$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int du = u + c$.
$u$ को $x^{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = x^{x} + c$ प्राप्त होता है।
दिए गए व्यंजक $k x^{x} + c$ के साथ तुलना करने पर,$k = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log_{e} e = 1$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।