Fundamental integration Questions in Hindi

(A) हमें समाकलन $I = \int \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 + \cos \alpha}} d \alpha$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2})$ का उपयोग करते हुए,हम इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int \frac{2 \sin (\frac{\alpha}{2}) \cos (\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2})}} d \alpha$
यह मानते हुए कि $\cos (\frac{\alpha}{2}) > 0$,हर $\sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2})$ हो जाता है:
$I = \int \frac{2 \sin (\frac{\alpha}{2}) \cos (\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2})} d \alpha$
$I = \sqrt{2} \int \sin (\frac{\alpha}{2}) d \alpha$
$\alpha$ के सापेक्ष $\sin (\frac{\alpha}{2})$ का समाकलन करने पर:
$I = \sqrt{2} \times (-2 \cos (\frac{\alpha}{2})) + c$
$I = -2 \sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2}) + c$.

(B) हमें समाकलन ज्ञात करना है: $\int \left( \frac{x}{a} + \frac{b}{x} + x^a + b^x + ab \right) dx$
समाकलन के रैखिकता गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$= \int \frac{x}{a} dx + \int \frac{b}{x} dx + \int x^a dx + \int b^x dx + \int ab dx$
$= \frac{1}{a} \int x dx + b \int \frac{1}{x} dx + \int x^a dx + \int b^x dx + ab \int 1 dx$
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$= \frac{1}{a} \cdot \frac{x^2}{2} + b \log |x| + \frac{x^{a+1}}{a+1} + \frac{b^x}{\log b} + abx + C$
$= \frac{x^2}{2a} + b \log |x| + \frac{x^{a+1}}{a+1} + \frac{b^x}{\log b} + abx + C$

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x)=\tan ^2 x+\cot ^2 x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x)=\int(\tan ^2 x+\cot ^2 x) dx$.
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ और $\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=\int(\sec^2 x - 1 + \operatorname{cosec}^2 x - 1) dx$.
$f(x)=\int(\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x - 2) dx$.
$f(x)=\tan x - \cot x - 2x + C$.
दिया गया है $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 0$.
$1 - 1 - \frac{\pi}{2} + C = 0$.
$C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$f(x)=\tan x - \cot x - 2x + \frac{\pi}{2}$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} dx$ है।
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^3-x^2+x-1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1)$.
इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{(x^2+1)(x-1)}{x-1} dx$.
उभयनिष्ठ पद $(x-1)$ को काटने पर: $I = \int (x^2+1) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = \frac{x^3}{3} + x + C$.

(B) सबसे पहले,$f(x)$ को सरल करें:\\ $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}\right) = \tan^{-1}(\cot(x/2)) = \tan^{-1}(\tan(\pi/2 - x/2)) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$.\\ इसके बाद,$g(x)$ को सरल करें:\\ $g(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)}\right) = \tan^{-1}(\cot(x/2)) = \tan^{-1}(\tan(\pi/2 - x/2)) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$.\\ अब,योग ज्ञात करें:\\ $f(x) + g(x) = (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) + (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = \pi - x$.\\ अंत में,योग का समाकलन करें:\\ $\int (\pi - x) \, dx = \pi x - \frac{x^2}{2} + C$.\\ अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{\sin^3(x) + \cos^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} \, dx$
अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर:
$I = \int \left( \frac{\sin^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} + \frac{\cos^3(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)} \right) \, dx$
$I = \int \left( \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \right) \, dx$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$I = \int (\tan(x) \sec(x) + \cot(x) \operatorname{cosec}(x)) \, dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$\int \sec(x) \tan(x) \, dx = \sec(x)$
$\int \operatorname{cosec}(x) \cot(x) \, dx = -\operatorname{cosec}(x)$
अतः,$I = \sec(x) - \operatorname{cosec}(x) + C$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(A) हमें समाकलन $I = \int(1-\cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (2 \sin^2 \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$
$\sec^2 \frac{x}{2}$ का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} + c = \tan \frac{x}{2} + c$.
इसे $f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \tan \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम अंश को $(1+x) + \sqrt{x(1+x)}$ के रूप में लिखते हैं।
इसे $\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{1+x}} d x$.
अंश और हर से $(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$ पद कट जाएगा।
$I = \int \sqrt{1+x} d x$.
समाकलन के घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 1+x$ और $du = dx$:
$I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + C$.

(B) माना $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x(1+x)}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
यहाँ $1+x = (\sqrt{1+x})^2$ और $x = (\sqrt{x})^2$ है।
अतः,अंश को $(\sqrt{1+x})^2 + (\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{1+x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस व्यंजक को इस प्रकार लिखें:
$I = \int \frac{(\sqrt{1+x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
अंश से $\sqrt{1+x}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
समान पद $(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})$ को काटने पर:
$I = \int \sqrt{1+x} dx$.
घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + c$.

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{9 \cos^2 x - 24 \sin x \cos x + 16 \sin^2 x} dx$ है।
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{9 - 24 \tan x + 16 \tan^2 x} dx$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$.
समाकलन $I = \int \frac{du}{(3 - 4u)^2} = \int (3 - 4u)^{-2} du$ हो जाता है।
समाकलन के लिए घात नियम का उपयोग करने पर:
$I = \frac{(3 - 4u)^{-1}}{(-1) \times (-4)} + c = \frac{1}{4(3 - 4u)} + c$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{4(3 - 4 \tan x)} + c = \frac{1}{4(3 - 4 \frac{\sin x}{\cos x})} + c = \frac{\cos x}{4(3 \cos x - 4 \sin x)} + c$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम जानते हैं कि घातांकीय फलन के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $e^u = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{u^r}{r!}$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी में $u = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(2x)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 2^r}{r!} = e^{2x}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें समाकलन $\int e^{2x} dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन सूत्र $\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2$ है,हमें $\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + c$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) समाकलन $I = \int \frac{x^4-16 x^2+2 x+8}{x^3-4 x^2+2} d x$ को हल करने के लिए,हम बहुपद विभाजन का उपयोग करते हैं।
$x^4-16 x^2+2 x+8$ को $x^3-4 x^2+2$ से विभाजित करने पर:
$x^4-16 x^2+2 x+8 = (x+4)(x^3-4 x^2+2) + (0x^2 + 0x + 0)$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल $0$ है,व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$I = \int (x+4) d x$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{x^2}{2} + 4x + C = \frac{x^2+8x}{2} + C$।

(B) समाकलन $\int \frac{x^4+1}{x^2+1} dx$ को हल करने के लिए,हम बहुपद विभाजन या बीजगणितीय हेरफेर करते हैं।
हम $x^4+1$ को $(x^4-1) + 2 = (x^2-1)(x^2+1) + 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\frac{x^4+1}{x^2+1} = \frac{(x^2-1)(x^2+1) + 2}{x^2+1} = x^2 - 1 + \frac{2}{x^2+1}$।
अब,प्रत्येक पद का $x$ के सापेक्ष समाकलन करें:
$\int (x^2 - 1 + \frac{2}{x^2+1}) dx = \int x^2 dx - \int 1 dx + 2 \int \frac{1}{x^2+1} dx$।
$= \frac{x^3}{3} - x + 2 \tan^{-1} x + E$।
इसकी तुलना $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \tan^{-1} x + E$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \frac{1}{3}$,$B = 0$,$C = -1$,$D = 2$।
इसलिए,$A+B+C+D = \frac{1}{3} + 0 - 1 + 2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$।

(B) माना $I = \int \sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x$.
$\sin \left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right) - \left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ से गुणा और भाग करने पर।
अतः,$I = \int \frac{\sin \left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right) - \left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) - \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x$.
$I = \int \left( \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} - \frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)} \right) d x$.
$I = \int \tan \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x - \int \tan \left(x-\frac{\pi}{3}\right) d x$.
$I = \log \left| \sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right| - \log \left| \sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \right| + c$.
$I = \log \left| \frac{\sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right)} \right| + c$.
नोट: $\sec \theta = 1/\cos \theta$ का उपयोग करने पर,यह $\log \left| \frac{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right| + c$ हो जाता है,जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) समाकल $I = \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2+x+1 = (x^2+x+\frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = (x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
इस मान को समाकल में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \, dx$.
मानक समाकल सूत्र $\int \frac{1}{u^2+a^2} \, du = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x+\frac{1}{2}$ और $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$I = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + c$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + c$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $I = \int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ है।
हम $\sin^3 x$ को $\sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \sin x \, dx$।
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \, dx$,या $\sin x \, dx = -du$।
समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1 - u^2) u^2 (-du) = \int (u^4 - u^2) \, du$।
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + c$।
$u = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + c$।
चूंकि दिए गए विकल्प $\sin x$ और $\cos x$ के रूप में हैं,विकल्प $A$ का अवकलन करने पर हमें मूल फलन प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(C) माना $I = \int \frac{x}{x \tan x + 1} \, dx = \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} \, dx$.
माना $u = x \sin x + \cos x$.
तब $du = (\sin x + x \cos x - \sin x) \, dx = x \cos x \, dx$.
अतः,$I = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + k = \log |x \sin x + \cos x| + k$.
इसकी तुलना $\log f(x) + k$ से करने पर,हमें $f(x) = |x \sin x + \cos x|$ प्राप्त होता है।
अब,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = |\frac{\pi}{4} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)|$ का मान ज्ञात करें।
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = |\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}| = |\frac{\pi + 4}{4 \sqrt{2}}| = \frac{\pi + 4}{4 \sqrt{2}}$.

(A) माना $I = \int (\tan^7 x + \tan x) dx$.
हम $\tan x$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$I = \int \tan x (\tan^6 x + 1) dx$.
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\tan^6 x = (\sec^2 x - 1)^3$.
वैकल्पिक रूप से,व्यंजक को इस प्रकार सरल करें:
$I = \int (\tan^5 x(\tan^2 x + 1) - \tan^3 x(\tan^2 x + 1) + \tan x(\tan^2 x + 1)) dx$.
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$:
$I = \int (\tan^5 x \sec^2 x - \tan^3 x \sec^2 x + \tan x \sec^2 x) dx$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$.
$I = \int (u^5 - u^3 + u) du = \frac{u^6}{6} - \frac{u^4}{4} + \frac{u^2}{2} + C$.
$\frac{u^2}{12}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{u^2}{12} (2u^4 - 3u^2 + 6) + C$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\tan^2 x}{12} (2 \tan^4 x - 3 \tan^2 x + 6) + C$.

(D) हमें समाकलन $I = \int \frac{2 x^2 \cos \left(x^2\right)-\sin \left(x^2\right)}{x^2} d x$ दिया गया है।
हम भिन्न को अलग करके समाकल्य को फिर से लिख सकते हैं:
$I = \int \left( 2 \cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) dx$.
वैकल्पिक रूप से,भागफल नियम का उपयोग करके $\frac{\sin(x^2)}{x}$ का अवकलन देखें:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x^2)) - \sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$= \frac{x \cdot (\cos(x^2) \cdot 2x) - \sin(x^2) \cdot 1}{x^2}$
$= \frac{2x^2 \cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2}$.
अतः,$\int \frac{2 x^2 \cos \left(x^2\right)-\sin \left(x^2\right)}{x^2} d x = \frac{\sin \left(x^2\right)}{x} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{\cos x + x \sin x}{x(x + \cos x)} dx$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\cos x + x \sin x = (x + \cos x) - x(1 - \sin x)$.
अतः,$I = \int \frac{(x + \cos x) - x(1 - \sin x)}{x(x + \cos x)} dx$.
समाकलन को अलग करने पर: $I = \int \frac{x + \cos x}{x(x + \cos x)} dx - \int \frac{x(1 - \sin x)}{x(x + \cos x)} dx$.
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1 - \sin x}{x + \cos x} dx$.
माना $u = x + \cos x$,तो $du = (1 - \sin x) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \ln |x| - \int \frac{1}{u} du$.
$I = \ln |x| - \ln |u| + C$.
$I = \ln |x| - \ln |x + \cos x| + C$.
$I = \ln \left| \frac{x}{x + \cos x} \right| + C$.

(B) $I = \int \frac{2}{1+x+x^2} dx = \int \frac{2}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$
माना $x + \frac{1}{2} = v$,तब $dx = dv$.
सूत्र $\int \frac{1}{v^2 + a^2} dv = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{v}{a}) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$I = 2 \times \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}(\frac{v}{\frac{\sqrt{3}}{2}}) + c$
$I = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2v}{\sqrt{3}}) + c$
$v = x + \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2(x + \frac{1}{2})}{\sqrt{3}}) + c = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + c$

(B) माना $I = \int \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x} - \cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sin ^{-1} \sqrt{x} + \cos ^{-1} \sqrt{x})} dx$.
चूंकि $\sin ^{-1} \sqrt{x} + \cos ^{-1} \sqrt{x} = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} \sqrt{x} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x} - (\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\frac{\pi}{2})} dx = \frac{2}{\pi} \int \frac{2 \sin ^{-1} \sqrt{x} - \frac{\pi}{2}}{\sqrt{x}} dx$.
माना $\sqrt{x} = t$,तो $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$,अतः $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.
$I = \frac{2}{\pi} \int (2 \sin ^{-1} t - \frac{\pi}{2}) (2 dt) = \frac{8}{\pi} \int \sin ^{-1} t dt - 2 \int dt$.
$\int \sin ^{-1} t dt = t \sin ^{-1} t + \sqrt{1-t^2} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{8}{\pi} (t \sin ^{-1} t + \sqrt{1-t^2}) - 2t + C$.
$t = \sqrt{x}$ रखने पर:
$I = \frac{8}{\pi} (\sqrt{x} \sin ^{-1} \sqrt{x} + \sqrt{1-x}) - 2\sqrt{x} + C$.

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{\sin ^2 \alpha-\sin ^2 x}{\cos x-\cos \alpha} d x$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करके,हम अंश को फिर से लिख सकते हैं:
$\sin^2 \alpha - \sin^2 x = (1 - \cos^2 \alpha) - (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x - \cos^2 \alpha$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\cos^2 x - \cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} d x$.
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} d x$.
सामान्य पद $(\cos x - \cos \alpha)$ को हटाने पर:
$I = \int (\cos x + \cos \alpha) d x$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \sin x + x \cos \alpha + C$.
इसकी तुलना $f(x) + Ax + B$ से करने पर,हमें $f(x) = \sin x$ और $A = \cos \alpha$ प्राप्त होता है।

(A) हमें दिया गया है,$\int \frac{1}{x^2}(2 x+1)^3 d x$
अंश का विस्तार $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ सूत्र का उपयोग करके करने पर:
$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + (1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$
अब,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{8x^3 + 12x^2 + 6x + 1}{x^2} d x$
$= \int (8x + 12 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^2}) d x$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= 8 \int x d x + 12 \int d x + 6 \int \frac{1}{x} d x + \int x^{-2} d x$
$= 8(\frac{x^2}{2}) + 12x + 6 \log |x| + (\frac{x^{-1}}{-1}) + C$
$= 4x^2 + 12x + 6 \log |x| - \frac{1}{x} + C$

(D) दिया गया है कि $\int \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x = f(x) + C$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,समाकलन का अवकलज समाकल्य होता है:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \int \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}}$.
अब,हमें $f^{\prime}(a)$ ज्ञात करना है।
$f^{\prime}(x)$ के व्यंजक में $x = a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(a) = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{a}{a+a}} = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{a}{2a}}$.
वर्गमूल के अंदर के भिन्न को सरल करने पर:
$f^{\prime}(a) = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{1}{2}} = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$f^{\prime}(a) = \frac{\pi}{4}$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx$ है।
अंश का विस्तार करने पर,$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{x^2 + 1 - 2x}{(x^2 + 1)^2} dx$।
समाकलन को अलग करने पर,$I = \int \frac{x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} dx - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$।
यह सरल होकर $I = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx - \int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x)$।
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2 + 1$,तो $du = 2x dx$।
अतः,$\int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x^2 + 1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I = \tan^{-1}(x) - (-\frac{1}{x^2 + 1}) + k = \tan^{-1}(x) + \frac{1}{x^2 + 1} + k$।
दिए गए रूप $\tan^{-1}(x) + g(x) + k$ के साथ तुलना करने पर,$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1 + x + \sqrt{x(1 + x)}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} dx$ है।
अंश को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$1 + x + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + x} = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + x}$.
$\sqrt{1 + x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} dx$.
समान पद $(\sqrt{x} + \sqrt{1 + x})$ को काटने पर:
$I = \int \sqrt{1 + x} dx = \int (1 + x)^{1/2} dx$.
घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{(1 + x)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3} (1 + x)^{3/2} + c$.

(A) माना $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ और $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$.
हम जानते हैं कि $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$,इसलिए $\sin^2 x = 4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) \, dx$.
$\sec^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ का समाकलन $2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \left(\frac{x}{2}\right) + C = \tan \left(\frac{x}{2}\right) + C$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\sin x \cos x}$.
अंश और हर को $\sec^2 x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{\tan x}$.
$\tan x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^2 x dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c$.
$t = \tan x$ वापस रखने पर,हमें $I = \log |\tan x| + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx$ को हल करने के लिए,हम अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करते हैं:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$
हम हर को $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ के रूप में लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + (\sqrt{2})^2} dx$
माना $t = x - \frac{1}{x}$. तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + c$
$t = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right) + c$
अतः,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right)$.

(D) माना $I = \int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot x-\tan x} d x$.
सर्वसमिका $1+\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $1+\cos(4x) = 2\cos^2(2x)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2\cos^2(2x)}{2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}} dx = \int \cos(2x) \sin(2x) dx$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करने पर,$\sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{1}{2}\sin(4x) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos(4x)}{4} \right) + C = -\frac{1}{8}\cos(4x) + C$.
इसकी तुलना $A\cos(4x)+B$ से करने पर,हमें $A = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{7-6x-x^2}}$.
सबसे पहले,द्विघात व्यंजक $7-6x-x^2$ को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें:
$7-6x-x^2 = 7 - (x^2 + 6x) = 7 - (x^2 + 6x + 9 - 9) = 7 - ((x+3)^2 - 9) = 16 - (x+3)^2 = 4^2 - (x+3)^2$.
अब,इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करें:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (x+3)^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 4$ और $x$ के स्थान पर $(x+3)$ है:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + C$.

(C) माना $I = \int (\sec^4 x + \tan^4 x) \, dx$ है।
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan^4 x = (\sec^2 x - 1)^2 = \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (\sec^4 x + \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^2 x \cdot \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2(1 + \tan^2 x) \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^2 x + 2 \tan^2 x \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \tan^2 x \sec^2 x + 1) \, dx$
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$ होगा।
$I = \int (2u^2 + 1) \, du = \frac{2}{3} u^3 + u + c$
$I = \frac{2}{3} \tan^3 x + \tan x + c$।

(D) दिया गया है $g\left(\frac{t+1}{2 t+1}\right)=t+1$.
माना $x = \frac{t+1}{2 t+1}$.
तब $x(2t+1) = t+1 \Rightarrow 2tx + x = t+1 \Rightarrow t(2x-1) = 1-x$.
अतः,$t = \frac{1-x}{2x-1}$.
$g(x) = t+1$ में $t$ का मान रखने पर:
$g(x) = \frac{1-x}{2x-1} + 1 = \frac{1-x+2x-1}{2x-1} = \frac{x}{2x-1}$.
अब,$\int g(x) dx = \int \frac{x}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x}{2x-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1+1}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \left(1 + \frac{1}{2x-1}\right) dx$.
$= \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2} \log _e|2x-1|\right) + C$.
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \log _e|2x-1| + C$.

(B) माना $I = \int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{(e^x+1)-2}{e^x+1} dx$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $I = \int (1 - \frac{2}{e^x+1}) dx = \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{e^x+1} dx$.
$\int \frac{1}{e^x+1} dx$ का समाकलन करने के लिए,अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करें:
$I = x - 2 \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx$.
माना $t = 1+e^{-x}$,तब $dt = -e^{-x} dx$,जिसका अर्थ है कि $e^{-x} dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x - 2 \int \frac{-dt}{t} = x + 2 \int \frac{1}{t} dt$.
$I = x + 2 \log_e|t| + c = x + 2 \log_e(1+e^{-x}) + c$.
चूंकि $1+e^{-x} = \frac{e^x+1}{e^x}$,इसलिए:
$I = x + 2 \log_e(\frac{e^x+1}{e^x}) + c = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2 \log_e(e^x) + c$.
$I = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2x + c = 2 \log_e(e^x+1) - x + c$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x^2+2x+2}$.
हर को पूर्ण वर्ग बनाकर पुनः लिखने पर:
$x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u^2+1} = \tan^{-1}(u) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = x+1$ और $du = dx$ है:
$I = \tan^{-1}(x+1) + c$.
इसकी तुलना $I = f(x) + c$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $f(x) = \tan^{-1}(x+1)$.

(C) माना $I = \int(3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}) dt$ है।
हम अवकलन का उपयोग करते हैं:
माना $f(t) = t^3$ है।
अब,$\frac{d}{dt} (t^3 \sin \frac{1}{t}) = 3t^2 \sin \frac{1}{t} + t^3 \cos(\frac{1}{t}) \cdot (-\frac{1}{t^2}) = 3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}$ है।
अतः,$\int(3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}) dt = t^3 \sin \frac{1}{t} + c$ है।
इसकी तुलना $f(t) \sin(\frac{1}{t}) + c$ से करने पर,हमें $f(t) = t^3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(2) = 2^3 = 8$ है।

(C) माना $I = \int [(\ln x)^2 + 2 \ln x] dx$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx} [x(\ln x)^2] = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = (\ln x)^2 + 2 \ln x$.
अतः,समाकलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$\int [(\ln x)^2 + 2 \ln x] dx = x(\ln x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समाकलन $I = \int [ \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(\csc(x)) ] dx$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cot(x)$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int [ \cos(x) \cdot (-\csc(x) \cot(x)) ] dx$
$I = - \int [ \cos(x) \cdot \frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ] dx$
$I = - \int [ \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} ] dx$
$I = - \int \cot^2(x) dx$
सर्वसमिका $\cot^2(x) = \csc^2(x) - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = - \int (\csc^2(x) - 1) dx$
$I = - \int \csc^2(x) dx + \int 1 dx$
चूंकि $\int \csc^2(x) dx = -\cot(x)$,इसलिए:
$I = -(-\cot(x)) + x + c$
$I = \cot(x) + x + c$
इसकी तुलना $f(x) + g(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \cot(x)$ और $g(x) = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) \cdot g(x) = x \cot(x)$।

(A) हमें समाकलन $I = \int x \tan^2 x dx$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int x(\sec^2 x - 1) dx = \int x \sec^2 x dx - \int x dx$.
$\int x \sec^2 x dx$ पर खंडशः समाकलन (Integration by Parts) लागू करने पर ($u = x$ और $dv = \sec^2 x dx$ लेने पर):
$I = [x \tan x - \int 1 \cdot \tan x dx] - \frac{x^2}{2} + C$.
चूंकि $\int \tan x dx = \log_e(\sec x)$ होता है:
$I = x \tan x - \log_e(\sec x) - \frac{x^2}{2} + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int x^{2020} \left(\frac{\pi}{2}\right) dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int x^{2020} dx$
समाकलन के घात नियम का उपयोग करते हुए,$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{x^{2021}}{2021} + C$
चूंकि $\frac{\pi}{2} = \tan^{-1} x + \cot^{-1} x$,हम लिख सकते हैं:
$I = \frac{x^{2021}}{2021} (\tan^{-1} x + \cot^{-1} x) + C$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) माना $I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$ है।
सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x + \int \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x$
$I = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} d x + \int \tan \frac{x}{2} d x$ प्राप्त होता है।
प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$\int x \sec^2 \frac{x}{2} d x = x \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} - \int 1 \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} d x = 2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} d x$।
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} (2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} d x) + \int \tan \frac{x}{2} d x$
$I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} d x + \int \tan \frac{x}{2} d x$
$I = x \tan \frac{x}{2} + C$।

(B) हमें समाकलन $\int \frac{x^8+4}{x^4-2 x^2+2} d x$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम अंश में $4x^4$ जोड़कर और घटाकर इसे फिर से लिखते हैं:
$\int \frac{x^8+4x^4+4-4x^4}{x^4-2 x^2+2} d x = \int \frac{(x^4+2)^2 - (2x^2)^2}{x^4-2 x^2+2} d x$.
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{(x^4+2-2x^2)(x^4+2+2x^2)}{x^4-2 x^2+2} d x = \int (x^4+2x^2+2) d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + 2x + k$.
इसकी तुलना $Ax^5+Bx^3+Cx+k$ से करने पर,हमें $A = \frac{1}{5}$,$B = \frac{2}{3}$,और $C = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$5A+3B+C$ की गणना करें:
$5(\frac{1}{5}) + 3(\frac{2}{3}) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$.

(A) हमारे पास है,$I = \int \frac{x^4+x^2+1}{x^2-x+1} dx$.
चूंकि $x^4+x^2+1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$,
अतः हम समाकल्य को सरल कर सकते हैं:
$I = \int \frac{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} dx = \int (x^2+x+1) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + c$.

(C) माना $I = \int \frac{(x+1)^2}{x(x^2+1)} dx$ है।
अंश का विस्तार करने पर,हमें $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x^2+1)} dx$।
हम अंश को $(x^2+1) + 2x$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस प्रकार,$I = \int \frac{(x^2+1) + 2x}{x(x^2+1)} dx$।
समाकलन को अलग करने पर,हमें $I = \int \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} dx + \int \frac{2x}{x(x^2+1)} dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{1}{x} dx + 2 \int \frac{1}{x^2+1} dx$।
समाकलन करने पर,हमें $I = \log |x| + 2 \tan^{-1}(x) + C$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \left( \frac{2x^3 - 3x + 5}{2x^2} \right) dx$ है।
अंश के प्रत्येक पद को $2x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \left( \frac{2x^3}{2x^2} - \frac{3x}{2x^2} + \frac{5}{2x^2} \right) dx = \int \left( x - \frac{3}{2x} + \frac{5}{2x^2} \right) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} \ln|x| - \frac{5}{2} \left( -\frac{1}{x} \right) + C = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} \ln|x| + \frac{5}{2x} + C$.
हालाँकि,$\ln(x)$ पद केवल $x > 0$ के लिए ही परिभाषित है। इसलिए,यह समाकलन $x > 0$ के लिए मान्य है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है,$\int \frac{x^2}{2 x^2+6 \sqrt{2} x+9} d x$.
ध्यान दें कि $2 x^2+6 \sqrt{2} x+9 = (\sqrt{2} x+3)^2$ है।
हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^2 = \frac{1}{2} (2 x^2 + 6 \sqrt{2} x + 9) - 3 \sqrt{2} x - \frac{9}{2}$.
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \left( \frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} \right) d x = \frac{x}{2} - \int \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} d x$.
मान लीजिए $u = \sqrt{2} x + 3$,तो $du = \sqrt{2} dx$,इसलिए $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$ और $x = \frac{u-3}{\sqrt{2}}$.
समाकलन का भाग $\int \frac{3 \sqrt{2} (\frac{u-3}{\sqrt{2}}) + \frac{9}{2}}{u^2} \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - 9 + \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \left( \frac{3}{u} - \frac{9}{2u^2} \right) du$ है।
$= \frac{1}{\sqrt{2}} [3 \log |u| + \frac{9}{2u}] + c = \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} + c$.
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{2} - \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} \right) + c$.
विकल्पों में दिए गए रूप से मिलाने के लिए,हम $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\sqrt{2} x - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$.
कोष्ठक के अंदर $3$ जोड़ने और घटाने पर:
$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [(\sqrt{2} x + 3) - 3 - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$.
चूँकि अचर पद $c$ में समाहित हो जाएगा,इसलिए यह विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।