Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0)(0) + (i)(-i) & (0)(i) + (i)(0) \\ (-i)(0) + (0)(-i) & (-i)(i) + (0)(0) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
अब,$A^{40} = (A^2)^{20} = I^{20} = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-2)(3) + (1)(1) & (1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) \\ (2)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (2)(1) + (1)(2) + (3)(1) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 2 - 6 + 1 & 1 - 4 + 1 \\ 4 + 3 + 3 & 2 + 2 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 10 & 7 \end{bmatrix}$
अब,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर परिवर्त आव्यूह $(AB)^T$ ज्ञात करें:
$(AB)^T = \begin{bmatrix} -3 & 10 \\ -2 & 7 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिए गए आव्यूह $A_{1 \times 3} = [1, 2, 3]$,$B_{3 \times 1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$,और $C_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ हैं।
दो आव्यूहों $X$ और $Y$ के गुणनफल को परिभाषित होने के लिए,$X$ में स्तंभों की संख्या $Y$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
$1$. $AC$ के लिए: $A$ का क्रम $1 \times 3$ है और $C$ का $2 \times 2$ है। चूँकि $3 \neq 2$,इसलिए $AC$ परिभाषित नहीं है।
$2$. $BA$ के लिए: $B$ का क्रम $3 \times 1$ है और $A$ का $1 \times 3$ है। चूँकि $1 = 1$,इसलिए $BA$ परिभाषित है। $BA = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} [1, 2, 3] = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \\ 4 & 8 & 12 \end{bmatrix}_{3 \times 3}$।
$3$. $(AB)C$ के लिए: $AB$ परिभाषित है ($1 \times 3$ और $3 \times 1$ का परिणाम $1 \times 1$ होता है)। मान लीजिए $P = AB = [20]_{1 \times 1}$। अब,$PC$ के लिए $P$ में $2$ स्तंभ होने चाहिए,लेकिन इसमें $1$ है। अतः,$(AB)C$ परिभाषित नहीं है।
$4$. $(AC)B$ के लिए: चूँकि $AC$ परिभाषित नहीं है,इसलिए $(AC)B$ परिभाषित नहीं है।
अतः,$BA$ परिभाषित गुणनफल है।

(D) दो शून्येतर आव्यूहों का गुणनफल एक शून्य आव्यूह हो सकता है। उदाहरण के लिए,$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ पर विचार करें।
गुणनफल की गणना करने पर: $AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
यहाँ,$A \neq O$ और $B \neq O$ है,फिर भी $AB = O$ है।
अतः,दिए गए कथनों में से कोई भी कथन ($A=O$ और $B=O$,$A=O$ या $B=O$,$A$ शून्य आव्यूह है) अनिवार्य रूप से सत्य नहीं है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $n \times n$ के वर्ग आव्यूह हैं।
हम जानते हैं कि किसी आव्यूह व्यंजक का वर्ग उस व्यंजक का स्वयं के साथ गुणनफल होता है।
इसलिए,${(A - B)^2} = (A - B)(A - B)$।
आव्यूह गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(A - B)(A - B) = A(A - B) - B(A - B)$
$= A^2 - AB - BA + B^2$।
चूंकि आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता है,$AB \neq BA$,इसलिए हम $-AB - BA$ को $-2AB$ के रूप में सरल नहीं कर सकते।
अतः,सही व्यंजक $A^2 - AB - BA + B^2$ है।

(A) एक तत्समक आव्यूह $I$ एक ऐसा वर्ग आव्यूह है जिसमें मुख्य विकर्ण के सभी अवयव $1$ होते हैं और अन्य सभी अवयव $0$ होते हैं।
एक अदिश आव्यूह एक ऐसा विकर्ण आव्यूह है जिसमें सभी विकर्ण अवयव किसी स्थिरांक $k$ के बराबर होते हैं।
चूंकि एक तत्समक आव्यूह एक ऐसा विकर्ण आव्यूह है जिसमें सभी विकर्ण अवयव $1$ (एक स्थिरांक) हैं,इसलिए यह अदिश आव्यूह की परिभाषा को संतुष्ट करता है।
अतः,प्रत्येक तत्समक आव्यूह एक अदिश आव्यूह होता है।

(B) सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(0) + (0)(1) & (1)(0) + (0)(12) \\ (2)(0) + (0)(1) & (2)(0) + (0)(12) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
इसके बाद,गुणनफल $BA$ की गणना करें:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0)(1) + (0)(2) & (0)(0) + (0)(0) \\ (1)(1) + (12)(2) & (1)(0) + (12)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 25 & 0 \end{bmatrix} \neq O$.
अतः,$AB = O$ और $BA \neq O$ है।

(C) एक वर्ग आव्यूह $A = [a_{ij}]$ को ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह कहा जाता है यदि मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी अवयव शून्य हों,अर्थात $i > j$ के लिए $a_{ij} = 0$।
दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 2 & 5 & -7 \\ 0 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$ में,मुख्य विकर्ण के नीचे के अवयव $a_{21} = 0$,$a_{31} = 0$,और $a_{32} = 0$ हैं।
चूंकि मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए यह आव्यूह एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 & i+i \\ 0 & i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$A^4 = A^2 \times A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 2i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
$A^4 = \begin{bmatrix} (-1)(-1) + (2i)(0) & (-1)(2i) + (2i)(-1) \\ (0)(-1) + (-1)(0) & (0)(2i) + (-1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2i - 2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -4i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) $3 \times 1$ कोटि के स्तंभ आव्यूह का $1 \times 3$ कोटि के पंक्ति आव्यूह से गुणा करने के लिए,हम आव्यूह गुणन करते हैं जहाँ परिणामी $3 \times 3$ आव्यूह का प्रत्येक अवयव पहले आव्यूह के पंक्ति अवयव और दूसरे आव्यूह के स्तंभ अवयव का गुणनफल होता है।
$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(2) & 1(1) & 1(-1) \\ -1(2) & -1(1) & -1(-1) \\ 2(2) & 2(1) & 2(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & -2 \end{bmatrix}$.

(C) दो आव्यूहों $A$ और $B$ के घटाव के लिए,शर्त यह है कि वे समान कोटि के होने चाहिए।
दिया गया है कि आव्यूह $A$ की कोटि $p \times q$ है और आव्यूह $B$ की कोटि $r \times s$ है।
अतः,$A - B$ को परिभाषित करने के लिए,पंक्तियों की संख्या समान होनी चाहिए $(p = r)$ और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए $(q = s)$।
इस प्रकार,सही शर्त $p = r$ और $q = s$ है।

(C) यदि $AB = O$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $A = O$ या $B = O$ होना आवश्यक है।
उदाहरण के लिए,आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ पर विचार करें।
गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(0) + (0)(1) & (1)(0) + (0)(0) \\ (0)(0) + (0)(1) & (0)(0) + (0)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
यहाँ,$A \ne O$ और $B \ne O$ है,फिर भी उनका गुणनफल $AB = O$ प्राप्त होता है।
अतः,यह आवश्यक नहीं है कि $A = O$ या $B = O$ हो।

(B) आव्यूह के तत्वों के लिए सूत्र दिया गया है: ${a_{ij}} = \frac{1}{2}(3i - 2j)$.
$2 \times 2$ आव्यूह $A = {[{a_{ij}}]_{2 \times 2}}$ के लिए,हम तत्वों की गणना इस प्रकार करते हैं:
$i=1, j=1$ के लिए: ${a_{11}} = \frac{1}{2}(3(1) - 2(1)) = \frac{1}{2}(3 - 2) = \frac{1}{2}$.
$i=1, j=2$ के लिए: ${a_{12}} = \frac{1}{2}(3(1) - 2(2)) = \frac{1}{2}(3 - 4) = -\frac{1}{2}$.
$i=2, j=1$ के लिए: ${a_{21}} = \frac{1}{2}(3(2) - 2(1)) = \frac{1}{2}(6 - 2) = \frac{4}{2} = 2$.
$i=2, j=2$ के लिए: ${a_{22}} = \frac{1}{2}(3(2) - 2(2)) = \frac{1}{2}(6 - 4) = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1/2}&{-1/2}\\2&1\end{array}} \right]$.

(C) दिया गया समीकरण: $2X - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$
दोनों पक्षों में $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$ जोड़ने पर:
$2X = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$
आव्यूह का योग करने पर:
$2X = \begin{bmatrix} 3+1 & 2+2 \\ 0+7 & -2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$
अब,$X$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अवयव को $2$ से विभाजित करने पर:
$X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 7/2 & 1 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
${A^2} = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+2(0) & 1(2)+2(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(2)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
${A^3} = {A^2} \times A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+4(0) & 1(2)+4(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(2)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इस पैटर्न का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,आव्यूह ${A^n} = \begin{bmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के रूप में प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है,$kA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
$A$ का मान रखने पर,$k \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
आव्यूह के अंदर $k$ से गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 0 & 2k \\ 3k & -4k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1) -4k = 24 \implies k = -6$.
$2) 2k = 3a \implies 2(-6) = 3a \implies -12 = 3a \implies a = -4$.
$3) 3k = 2b \implies 3(-6) = 2b \implies -18 = 2b \implies b = -9$.
अतः,$k = -6, a = -4, b = -9$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
इसके बाद,$A^3 = A^2 \times A$ की गणना करें:
$A^3 = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 9 & 3 \\ 15 & 19 & 6 \\ 9 & 12 & 4 \end{bmatrix}$
अब,$A^3 - 3A^2$ की गणना करें:
$A^3 - 3A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 9 & 3 \\ 15 & 19 & 6 \\ 9 & 12 & 4 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 9 & 3 \\ 15 & 19 & 6 \\ 9 & 12 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 9 & 3 \\ 15 & 18 & 6 \\ 9 & 12 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
अतः,$A^3 - 3A^2 = I$,जिसका अर्थ है $A^3 - 3A^2 - I = O$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (-5)(-4) & (3)(-5) + (-5)(2) \\ (-4)(3) + (2)(-4) & (-4)(-5) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 + 20 & -15 - 10 \\ -12 - 8 & 20 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$5A$ की गणना करें:
$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & -25 \\ -20 & 10 \end{bmatrix}$.
अब,$A^2 - 5A$ ज्ञात करें:
$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & -25 \\ -20 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29-15 & -25-(-25) \\ -20-(-20) & 24-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 14 \end{bmatrix}$.
इसे $14 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 14I$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है,आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0)(0) + (-1)(1) & (0)(-1) + (-1)(0) \\ (1)(0) + (0)(1) & (1)(-1) + (0)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
अब,हम $A^{16}$ की गणना करते हैं:
$A^{16} = (A^2)^8 = (-I)^8 = (-1)^8 \cdot I^8 = 1 \cdot I = I$.
अतः,$A^{16} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = 2^1 A$.
$A^3$ की गणना करें:
$A^3 = A^2 \cdot A = (2A) \cdot A = 2 A^2 = 2(2A) = 4A = 2^2 A$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,हम $A^n$ के लिए सामान्य सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
$A^n = 2^{n-1} A$.
अतः,$n = 100$ के लिए:
$A^{100} = 2^{100-1} A = 2^{99} A$.
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) किन्हीं भी तीन आव्यूहों $A$,$B$,और $C$ के लिए,आव्यूह गुणन साहचर्य (associative) होता है,जिसका अर्थ है $(AB)C = A(BC)$।
आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि अधिकांश मामलों में $AB \neq BA$ होता है।
अतः,सही कथन यह है कि आव्यूह गुणन साहचर्य होता है।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} x + y & 2x + z \\ x - y & 2z + w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$.
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) x + y = 4$
$2) x - y = 0$
$3) 2x + z = 7$
$4) 2z + w = 10$
समीकरण $(2)$ से,हमें $x = y$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x + x = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x = 4$,इसलिए $x = 2$। चूँकि $x = y$,इसलिए $y = 2$।
अब,$x = 2$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर: $2(2) + z = 7 \implies 4 + z = 7 \implies z = 3$।
अंत में,$z = 3$ को समीकरण $(4)$ में रखने पर: $2(3) + w = 10 \implies 6 + w = 10 \implies w = 4$।
अतः,$x=2, y=2, z=3, w=4$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^2 = A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2) + (-1)(-1) & (2)(-1) + (-1)(2) \\ (-1)(2) + (2)(-1) & (-1)(-1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$.
अब,हम विकल्पों की जाँच करते हैं। आइए विकल्प $A$ $(4A - 3I)$ की जाँच करें:
$4A - 3I = 4 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -4 \\ -4 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$.
चूँकि $A^2 = 4A - 3I$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} i & 0 & -i \\ 0 & -i & i \\ -i & i & 0 \end{bmatrix}$ और $Q = \begin{bmatrix} -i & i \\ 0 & 0 \\ i & -i \end{bmatrix}$.
$PQ$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह गुणन करेंगे:
$PQ = \begin{bmatrix} i & 0 & -i \\ 0 & -i & i \\ -i & i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -i & i \\ 0 & 0 \\ i & -i \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} i(-i) + 0(0) + (-i)(i) & i(i) + 0(0) + (-i)(-i) \\ 0(-i) + (-i)(0) + i(i) & 0(i) + (-i)(0) + i(-i) \\ (-i)(-i) + i(0) + 0(i) & (-i)(i) + i(0) + 0(-i) \end{bmatrix}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$PQ = \begin{bmatrix} -i^2 - i^2 & i^2 + i^2 \\ i^2 & -i^2 \\ i^2 & -i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -(-1) - (-1) & -1 + (-1) \\ -1 & -(-1) \\ -1 & -(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) कोटि $n$ का एक इकाई आव्यूह (identity matrix) $I$ एक वर्ग आव्यूह है जिसमें मुख्य विकर्ण पर $1$ और अन्य स्थानों पर $0$ होते हैं।
किसी भी इकाई आव्यूह $I_n$ के लिए,सारणिक का मान $|I_n| = 1^n = 1$ होता है।
चूंकि $I$ कोटि $10$ का एक इकाई आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|I| = 1^{10} = 1$ होगा।

(C) आव्यूहों के लिए,$AB = O$ गुणधर्म का अर्थ यह नहीं है कि $A = O$ या $B = O$ हो।
उदाहरण के लिए,$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ लें।
तब $AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,$A \neq O$ और $B \neq O$ है।
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया कथन सत्य नहीं है।

(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & 5 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ हैं।
$AB$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह गुणन करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} (1)(1)+(2)(2)+(-1)(0) & (1)(0)+(2)(1)+(-1)(1) & (1)(0)+(2)(0)+(-1)(3) \\ (3)(1)+(0)(2)+(2)(0) & (3)(0)+(0)(1)+(2)(1) & (3)(0)+(0)(0)+(2)(3) \\ (4)(1)+(5)(2)+(0)(0) & (4)(0)+(5)(1)+(0)(1) & (4)(0)+(5)(0)+(0)(3) \end{bmatrix}$
प्रत्येक अवयव की गणना करने पर:
पंक्ति $1$: $(1+4+0) = 5$,$(0+2-1) = 1$,$(0+0-3) = -3$
पंक्ति $2$: $(3+0+0) = 3$,$(0+0+2) = 2$,$(0+0+6) = 6$
पंक्ति $3$: $(4+10+0) = 14$,$(0+5+0) = 5$,$(0+0+0) = 0$
अतः,$AB = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 3 & 2 & 6 \\ 14 & 5 & 0 \end{bmatrix}$।

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम $A^2$ की गणना इस प्रकार करते हैं:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 + 0 & 0 + 0 \\ \alpha + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
हमें दिया गया है कि $A^2 = B$,इसलिए:
$\begin{bmatrix} \alpha^2 & 0 \\ \alpha + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1$) $\alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1$
$2$) $\alpha + 1 = 5 \implies \alpha = 4$
चूंकि $\alpha$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे,इसलिए $\alpha$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $A^2 = B$ हो।

(A) सबसे पहले,आव्यूह और स्तंभ सदिश का गुणनफल ज्ञात करें:
$\begin{bmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 9 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (7 \times 3) + (1 \times 4) + (2 \times 5) \\ (9 \times 3) + (2 \times 4) + (1 \times 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 + 4 + 10 \\ 27 + 8 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 35 \\ 40 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$2 \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \end{bmatrix}$.
अंत में,दोनों परिणामी आव्यूहों को जोड़ें:
$\begin{bmatrix} 35 \\ 40 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 35 + 8 \\ 40 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 43 \\ 44 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
हम विकल्पों की जाँच करते हैं:
$(i)$ $A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।
$(ii)$ $(-1)I = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \neq A$.
$(iii)$ सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 0(0 - 0) - 0(0 - 0) - 1(0 - 1) = 1$.
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$(iv)$ $A$ स्पष्ट रूप से एक शून्य आव्यूह नहीं है क्योंकि इसमें गैर-शून्य तत्व मौजूद हैं।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} -5 & 7 & 1 \\ 1 & -5 & 7 \\ 7 & 1 & -5 \end{bmatrix}$.
गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 & 7 & 1 \\ 1 & -5 & 7 \\ 7 & 1 & -5 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
प्रथम पंक्ति: $(1)(-5) + (2)(1) + (3)(7) = -5 + 2 + 21 = 18$; $(1)(7) + (2)(-5) + (3)(1) = 7 - 10 + 3 = 0$; $(1)(1) + (2)(7) + (3)(-5) = 1 + 14 - 15 = 0$.
द्वितीय पंक्ति: $(3)(-5) + (1)(1) + (2)(7) = -15 + 1 + 14 = 0$; $(3)(7) + (1)(-5) + (2)(1) = 21 - 5 + 2 = 18$; $(3)(1) + (1)(7) + (2)(-5) = 3 + 7 - 10 = 0$.
तृतीय पंक्ति: $(2)(-5) + (3)(1) + (1)(7) = -10 + 3 + 7 = 0$; $(2)(7) + (3)(-5) + (1)(1) = 14 - 15 + 1 = 0$; $(2)(1) + (3)(7) + (1)(-5) = 2 + 21 - 5 = 18$.
अतः,$AB = \begin{bmatrix} 18 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{bmatrix} = 18 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 18I_3$.

(A) दिया गया समीकरण: $2X + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$
दोनों पक्षों से आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ को घटाने पर:
$2X = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 3-1 & 8-2 \\ 7-3 & 2-4 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$
पूरे आव्यूह को $2$ से विभाजित करने पर:
$X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $A + B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
$(2)$ $A - 2B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
$B$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करें:
$2A + 2B = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$
अब,इसे समीकरण $(2)$ में जोड़ें:
$(2A + 2B) + (A - 2B) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
$3A = \begin{bmatrix} 2-1 & 0+1 \\ 2+0 & 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$3$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{bmatrix}$

(B) माना कि $E = \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \end{bmatrix}$ समुच्चय $M$ में तत्समक अवयव है,ताकि किसी भी आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix} \in M$ के लिए,$A \cdot E = A$ हो।
आव्यूह गुणन करने पर:
$\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xa+xa & xa+xa \\ xa+xa & xa+xa \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2ax & 2ax \\ 2ax & 2ax \end{bmatrix}$.
इसे $A$ के बराबर रखने पर:
$\begin{bmatrix} 2ax & 2ax \\ 2ax & 2ax \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$.
इससे $2ax = x$ प्राप्त होता है। चूँकि $x \neq 0$,$x$ से विभाजित करने पर $2a = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2}$.
अतः,तत्समक अवयव $\begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(B) दो आव्यूहों $A$ और $B$ के गुणनफल के परिवर्त आव्यूह का गुणधर्म परिवर्त के व्युत्क्रमण नियम द्वारा दिया जाता है: $(AB)' = B'A'$।
विकल्प $A$ गलत है क्योंकि इसमें क्रम को उल्टा नहीं किया गया है।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि हर में आव्यूह $A$ नहीं बल्कि सारणिक $|A|$ होना चाहिए।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि गुणनफल के व्युत्क्रम के लिए व्युत्क्रमण नियम $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ होता है।
अतः,सही संबंध $(AB)' = B'A'$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक इनवोल्यूटरी आव्यूह है,इसलिए परिभाषा के अनुसार $A^2 = I$ होता है।
हमें व्यंजक $(I - A)(I + A)$ का मान ज्ञात करना है।
गुणनफल का विस्तार करने पर:
$(I - A)(I + A) = I(I) + I(A) - A(I) - A(A)$
$= I^2 + IA - AI - A^2$
$= I + A - A - A^2$
$= I - A^2$
चूंकि $A^2 = I$,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I - A^2 = I - I = O$,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।

(C) दिया गया है $R(t) = \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$.
अतः $R(s) = \begin{bmatrix} \cos s & \sin s \\ -\sin s & \cos s \end{bmatrix}$.
गुणनफल $R(s) \cdot R(t)$ की गणना करने पर:
$R(s) \cdot R(t) = \begin{bmatrix} \cos s & \sin s \\ -\sin s & \cos s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos s \cos t - \sin s \sin t & \cos s \sin t + \sin s \cos t \\ -\sin s \cos t - \cos s \sin t & -\sin s \sin t + \cos s \cos t \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \begin{bmatrix} \cos(s+t) & \sin(s+t) \\ -\sin(s+t) & \cos(s+t) \end{bmatrix}$
$= R(s+t)$.

(B) एक आव्यूह $A$ सममित होता है यदि $A = A^T$ हो,जिसका अर्थ है कि $i$-वीं पंक्ति और $j$-वें स्तंभ का अवयव,$j$-वीं पंक्ति और $i$-वें स्तंभ के अवयव के बराबर होता है,अर्थात $a_{ij} = a_{ji}$।
दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 4 & x + 2 \\ 2x - 3 & x + 1 \end{bmatrix}$ के लिए,हमारे पास $a_{12} = x + 2$ और $a_{21} = 2x - 3$ है।
चूंकि आव्यूह सममित है,हम $a_{12} = a_{21}$ रखते हैं:
$x + 2 = 2x - 3$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर,हमें $2 = x - 3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 4}&1\\4&0&{ - 5}\\{ - 1}&5&0\end{array}} \right]$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या आव्यूह विषम-सममित है,हम इसका परिवर्त आव्यूह $A^T$ ज्ञात करते हैं।
$A^T = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&4&{ - 1}\\{ - 4}&0&5\\1&{ - 5}&0\end{array}} \right]$ है।
हम देखते हैं कि $A^T = -A$ है।
चूंकि $A^T = -A$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(D) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ एक वर्ग आव्यूह है जहाँ $a_{ij} = i^2 - j^2$ है।
किसी भी अवयव $a_{ji}$ के लिए,हमारे पास $a_{ji} = j^2 - i^2$ है।
हम इसे $a_{ji} = -(i^2 - j^2) = -a_{ij}$ के रूप में लिख सकते हैं।
एक आव्यूह $A$ को विषम सममित आव्यूह कहा जाता है यदि सभी $i, j$ के लिए $a_{ji} = -a_{ij}$ हो।
चूंकि सभी $i, j$ के लिए $a_{ji} = -a_{ij}$ सत्य है,इसलिए आव्यूह $A$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) शर्त $AI = A$ किसी भी आव्यूह $A$ के लिए सत्य है जहाँ गुणन परिभाषित है,क्योंकि $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
हालाँकि,शर्त $AA^T = I$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह की परिभाषा है।
एक लांबिक आव्यूह को एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए।
इसलिए,दी गई शर्तें यह दर्शाती हैं कि $A$ एक लांबिक आव्यूह है,जिसके लिए $A$ का वर्ग आव्यूह होना आवश्यक है।

(B) सबसे पहले,हम गुणनफल $AB$ की गणना करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-2)(3) + (1)(1) & (1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) \\ (2)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (2)(1) + (1)(2) + (3)(1) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 2 - 6 + 1 & 1 - 4 + 1 \\ 4 + 3 + 3 & 2 + 2 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 10 & 7 \end{bmatrix}$
अब,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर हम परिवर्त आव्यूह $(AB)^T$ प्राप्त करते हैं:
$(AB)^T = \begin{bmatrix} -3 & 10 \\ -2 & 7 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
चूंकि $|A| = 1 \neq 0$,इसलिए मैट्रिक्स $A$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है।
आगे,जांचें कि क्या $A$ ऑर्थोगोनल है:
$A A^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूंकि $A A^T = I$,$A$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ भी ऑर्थोगोनल होता है,इसलिए $A'$ भी ऑर्थोगोनल है।
अतः,कथन '$A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है' गलत है।

(A) व्युत्क्रम के उत्क्रमण नियम (reversal law of inverses) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(B^{-1}A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1}(B^{-1})^{-1} = AB$।
अब,हम गुणनफल $AB$ की गणना करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 \times 0) + (2 \times 1) & (2 \times -1) + (2 \times 0) \\ (-3 \times 0) + (2 \times 1) & (-3 \times -1) + (2 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 2 & -2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$।

(B) एक वर्ग आव्यूह $A = [a_{ij}]$ को अदिश आव्यूह कहा जाता है यदि इसके सभी गैर-विकर्ण अवयव शून्य हों ($i \neq j$ के लिए $a_{ij} = 0$) और इसके सभी विकर्ण अवयव एक अचर $k$ के बराबर हों ($i = j$ के लिए $a_{ij} = k$)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) निलपोटेंसी का इंडेक्स ज्ञात करने के लिए,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (1-1-4) & (-3+9+12) & (-4-12+16) \\ (-1+3+4) & (3-9-12) & (4+12-16) \\ (1+3-4) & (-3-9+12) & (-4-12+16) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$
चूंकि $A^2 = O$ और $A \neq O$,इसलिए आव्यूह $A$ का निलपोटेंट इंडेक्स $2$ है।

(B) आव्यूहों के गुणनफल का परिवर्त आव्यूह उनके परिवर्त आव्यूहों के व्युत्क्रम क्रम में गुणनफल के बराबर होता है।
किन्हीं दो आव्यूहों $X$ और $Y$ के लिए,गुणधर्म $(XY)' = Y' X'$ होता है।
इस गुणधर्म को तीन आव्यूहों $A, B,$ और $C$ के गुणनफल पर लागू करने पर:
$(ABC)' = ((AB)C)' = C'(AB)'$
$(AB)' = B' A'$ गुणधर्म का पुनः उपयोग करने पर:
$(ABC)' = C'(B' A') = C' B' A'$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$.
हमें $A^2 = A \times A$ ज्ञात करना है।
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & ab + ba \\ ba + ab & b^2 + a^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$.
इसकी तुलना $A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $\alpha = a^2 + b^2$ और $\beta = 2ab$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$।
$A^2$ ज्ञात करने के लिए,हम $A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
मैट्रिक्स गुणन करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} (\cos \alpha)(\cos \alpha) + (\sin \alpha)(-\sin \alpha) & (\cos \alpha)(\sin \alpha) + (\sin \alpha)(\cos \alpha) \\ (-\sin \alpha)(\cos \alpha) + (\cos \alpha)(-\sin \alpha) & (-\sin \alpha)(\sin \alpha) + (\cos \alpha)(\cos \alpha) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha & 2\sin \alpha \cos \alpha \\ -2\sin \alpha \cos \alpha & \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ और $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ का उपयोग करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ -\sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{bmatrix}$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 11 & 7 \\ -11 & 4 & -11 \\ 7 & 11 & 12 \end{bmatrix}$.
अब,$9I = 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अंत में,$A^2$ और $9I$ को जोड़ें:
$A^2 + 9I = \begin{bmatrix} 6 & 11 & 7 \\ -11 & 4 & -11 \\ 7 & 11 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 11 & 7 \\ -11 & 13 & -11 \\ 7 & 11 & 21 \end{bmatrix}$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,यह $2A$,$4A$ या $6A$ से मेल नहीं खाता है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।