Rate law , Rate constant , Order of Reaction and Molecularity Questions in Gujarati

(A) પ્રક્રિયા માટે વેગ નિયમ આ મુજબ દર્શાવી શકાય: $\text{Rate} = k[A]^x[B]^y$.
$1$. જ્યારે $A$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે વેગ બમણો થાય છે: $2 \times \text{Rate} = k[2A]^x[B]^y$,જે સૂચવે છે કે $2^x = 2$,તેથી $x = 1$.
$2$. જ્યારે $B$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી: $\text{Rate} = k[A]^x[2B]^y$,જે સૂચવે છે કે $2^y = 1$,તેથી $y = 0$.
$3$. પ્રક્રિયાનો કુલ ક્રમ $x + y = 1 + 0 = 1$ થશે.

(B) આપેલ દરનો નિયમ $\text{Rate} = K[A]^2[B]$ છે.
જ્યારે કોઈ પ્રક્રિયક મોટા પ્રમાણમાં લેવામાં આવે,ત્યારે તેની સાંદ્રતા પ્રક્રિયા દરમિયાન લગભગ અચળ રહે છે.
અહીં $[A]$ મોટા પ્રમાણમાં હોવાથી,$[A] \approx \text{અચળ}$.
તેથી,દરનો નિયમ $\text{Rate} = K' [B]$ બને છે,જ્યાં $K' = K[A]^2$.
આ સ્યુડો-પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે.
આમ,$[B]$ ના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $1$ છે.

(D) દરનો નિયમ $Rate = k [A] [B]$ છે.
સાંદ્રતા $[C] = n/V$ હોવાથી,જો કદ $V$ ઘટાડીને $V/4$ કરવામાં આવે,તો દરેક પ્રક્રિયકની સાંદ્રતા પ્રારંભિક સાંદ્રતા કરતા $4$ ગણી થાય છે.
નવો દર $Rate' = k [4A] [4B] = 16 \times k [A] [B]$.
તેથી,પ્રક્રિયાનો દર પ્રારંભિક દર કરતા $16$ ગણો થશે.

(C) પ્રક્રિયા માટે દરનો નિયમ $r = k[A]^2[B]^3$ છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ બંનેની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવો દર $r'$ નીચે મુજબ મળે:
$r' = k[2A]^2[2B]^3$
$r' = k \times 4[A]^2 \times 8[B]^3$
$r' = 32 \times k[A]^2[B]^3$
$r' = 32r$
તેથી,દર $32$ ગણો વધશે.

(C) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ અને પ્રારંભિક સાંદ્રતા $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $t_{1/2} \propto a^{1-n}$.
આપેલ છે:
$a_1 = 50 \, \text{mm}$ માટે, $t_{1/2,1} = 4 \, \text{કલાક}$.
$a_2 = 100 \, \text{mm}$ માટે, $t_{1/2,2} = 2 \, \text{કલાક}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{t_{1/2,1}}{t_{1/2,2}} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^{1-n}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{2} = \left( \frac{50}{100} \right)^{1-n}$.
$2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{1-n} = (2^{-1})^{1-n} = 2^{n-1}$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા: $1 = n - 1$, તેથી $n = 2$.

(B) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે (જ્યાં $n \neq 1$),સંકલિત વેગ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$k = \frac{1}{(n-1)t} \left( \frac{1}{[R]^{n-1}} - \frac{1}{[R]_0^{n-1}} \right)$
અર્ધ-આયુષ્ય સમયે,$t = t_{1/2}$ અને $[R] = \frac{[R]_0}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{1}{(n-1)t_{1/2}} \left( \frac{1}{([R]_0/2)^{n-1}} - \frac{1}{[R]_0^{n-1}} \right)$
$k = \frac{1}{(n-1)t_{1/2}} \left( \frac{2^{n-1} - 1}{[R]_0^{n-1}} \right)$
$t_{1/2}$ માટે ગોઠવતા:
$t_{1/2} = \frac{2^{n-1} - 1}{k(n-1)} \times \frac{1}{[R]_0^{n-1}}$
તેથી,$t_{1/2} \propto \frac{1}{[R]_0^{n-1}}$ અથવા $t_{1/2} \propto [R]_0^{1-n}$.

(B) સામાન્ય દર સમીકરણ આ મુજબ છે: $\text{Rate} = K[A]^x[B]^y$.
જ્યારે $A$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે દર $4$ ગણો વધે છે $(2^2 = 4)$,જે સૂચવે છે કે $A$ ની સાપેક્ષમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $x = 2$ છે.
જ્યારે $B$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,જે સૂચવે છે કે $B$ ની સાપેક્ષમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $y = 0$ છે.
આ કિંમતો દર સમીકરણમાં મૂકતા: $\text{Rate} = K[A]^2[B]^0 = K[A]^2$.

(D) સમાન પ્રારંભિક સાંદ્રતા ધરાવતી દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ અચળાંક $k = \frac{1}{t} \cdot \frac{x}{a(a-x)}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સાંદ્રતા $a = 1$ છે.
$60\%$ પૂર્ણતા માટે,$x = 0.6$ અને $t = 3000 \ s$.
$k = \frac{1}{3000} \cdot \frac{0.6}{1(1-0.6)} = \frac{1}{3000} \cdot \frac{0.6}{0.4} = \frac{1}{3000} \cdot 1.5 = \frac{1}{2000} \ s^{-1}$.
$20\%$ પૂર્ણતા માટે,$x = 0.2$ અને $a = 1$.
$t = \frac{1}{k} \cdot \frac{x}{a(a-x)} = 2000 \cdot \frac{0.2}{1(1-0.2)} = 2000 \cdot \frac{0.2}{0.8} = 2000 \cdot 0.25 = 500 \ s$.

(C) પ્રક્રિયા $2A + B \rightarrow A_2B$ માટે વેગ નિયમ $Rate = k[A]^x[B]^y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પ્રક્રિયા પ્રાથમિક હોય,તો વેગ નિયમ $Rate = k[A]^2[B]^1$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $R_1 = k[A]^2[B]$ છે.
જ્યારે $A$ ની સાંદ્રતા બમણી $(2[A])$ અને $B$ ની સાંદ્રતા અડધી $([B]/2)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વેગ $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$R_2 = k(2[A])^2([B]/2) = k(4[A]^2)([B]/2) = 2k[A]^2[B]$.
$R_2$ અને $R_1$ ની સરખામણી કરતા,$R_2 = 2R_1$ મળે છે.
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ $2$ ગણો વધશે.

(D) પ્રક્રિયાનો વેગ સૌથી ધીમા તબક્કા દ્વારા નક્કી થાય છે,જે તબક્કો-$II$ છે: $\text{વેગ} = K_2[X][B]$.
ઝડપી સંતુલન તબક્કા (તબક્કો-$I$) પરથી: $K_{eq} = \frac{[X]}{[A]^2}$,તેથી $[X] = K_{eq}[A]^2$.
$[X]$ ની કિંમતને ધીમા તબક્કાના વેગ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\text{વેગ} = K_2(K_{eq}[A]^2)[B] = K[A]^2[B]$,જ્યાં $K = K_2 \times K_{eq}$.

(B) પ્રક્રિયાની આણ્વિકતા એટલે પ્રાથમિક પ્રક્રિયામાં ભાગ લેતી પ્રક્રિયક જાતિઓની સંખ્યા (પરમાણુઓ,આયનો અથવા અણુઓ),જે રાસાયણિક પ્રક્રિયા કરવા માટે એકસાથે અથડાવવી જોઈએ.
બે જુદા જુદા પ્રક્રિયકો ધરાવતી પ્રક્રિયા માટે,નીપજો બનાવવા માટે ઓછામાં ઓછા બે અણુઓ અથડાવવા જોઈએ.
તેથી,આવી પ્રક્રિયા ઓછામાં ઓછી દ્વિ આણ્વીય (આણ્વિકતા $\ge 2$) હોવી જોઈએ.
તે એક આણ્વીય પ્રક્રિયા હોઈ શકે નહીં કારણ કે એક આણ્વીય પ્રક્રિયામાં એક જ પ્રક્રિયક અણુનું વિઘટન અથવા પુનઃરચના થાય છે.

(C) પ્રારંભિક દર $R_1 = k[A]^n[B]^m$ છે.
જ્યારે $A$ ની સાંદ્રતા બમણી $([A]' = 2[A])$ અને $B$ ની સાંદ્રતા અડધી $([B]' = \frac{1}{2}[B])$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો દર $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$R_2 = k(2[A])^n(\frac{1}{2}[B])^m$
$R_2 = k \times 2^n \times [A]^n \times (\frac{1}{2})^m \times [B]^m$
$R_2 = 2^n \times 2^{-m} \times k[A]^n[B]^m$
$R_2 = 2^{(n-m)} \times R_1$
તેથી,નવા દર અને પ્રારંભિક દરનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = 2^{(n-m)}$ થાય.

(D) વેગનિર્ણાયક તબક્કો બીજી પ્રક્રિયા છે: $NOBr_{2(g)} + NO_{(g)} \rightarrow 2 NOBr_{(g)}$.
આ તબક્કા માટે વેગનું સમીકરણ: $Rate = k[NOBr_2][NO]$.
$NOBr_2$ એ મધ્યવર્તી નીપજ હોવાથી,પ્રથમ તબક્કાના સંતુલન અચળાંક $(K_c)$ નો ઉપયોગ કરીને તેની સાંદ્રતા દર્શાવી શકાય: $NO_{(g)} + Br_{2(g)} \rightleftharpoons NOBr_{2(g)}$.
$K_c = \frac{[NOBr_2]}{[NO][Br_2]} \implies [NOBr_2] = K_c[NO][Br_2]$.
આ કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $Rate = k \times K_c[NO][Br_2] \times [NO] = k'[NO]^2[Br_2]$.
આમ,$NO_{(g)}$ ના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $2$ છે.

(C) પ્રક્રિયાનો દર ધીમા તબક્કા દ્વારા નક્કી થાય છે:
$Rate = k[NOBr_2][NO]$
$NOBr_2$ એ મધ્યવર્તી છે,તેથી પ્રથમ તબક્કાના સંતુલન અચળાંક $K_{eq}$ નો ઉપયોગ કરીને તેની સાંદ્રતા દર્શાવીએ:
$K_{eq} = \frac{[NOBr_2]}{[NO][Br_2]}$
$[NOBr_2] = K_{eq}[NO][Br_2]$
આ કિંમતને દરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Rate = k \cdot K_{eq}[NO][Br_2] \cdot [NO]$
$Rate = k' [NO]^2 [Br_2]^1$
$NO_{(g)}$ ના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $[NO]$ નો ઘાતાંક છે,જે $2$ છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,પ્રક્રિયાનો દર $Rate = k[A]^1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ જેમ પ્રક્રિયકની સાંદ્રતા $[A]$ સમય સાથે ઘટે છે,તેમ પ્રક્રિયાનો દર પણ ઘટે છે. તેથી,પ્રક્રિયાનો દર અચળ રહે છે તે વિધાન ખોટું છે. પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = 0.693/k$ છે,જે પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે. $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ અચળાંક $k$ નો એકમ $(mol \text{ } L^{-1})^{1-n} \text{ } s^{-1}$ છે. $n=2$ માટે,એકમ $mol^{-1} \text{ } L \text{ } s^{-1}$ થાય છે.

(A) અહીં,વેગનું સમીકરણ $Rate = K [A]^{3/2} [B]^{-1/2}$ છે.
પ્રક્રિયાનો ક્રમ એ વેગના સમીકરણમાં રહેલા સાંદ્રતાના પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે.
પ્રક્રિયાનો ક્રમ $= \frac{3}{2} + (-\frac{1}{2}) = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

(C) આણ્વિકતા એટલે પ્રાથમિક પ્રક્રિયામાં ભાગ લેતી પ્રક્રિયક જાતિઓની (પરમાણુઓ,આયનો અથવા અણુઓ) સંખ્યા,જે રાસાયણિક પ્રક્રિયા કરવા માટે એકસાથે અથડાવવી જોઈએ. તે કણોની સંખ્યા દર્શાવતી હોવાથી,તે હંમેશા પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોય છે અને તે ક્યારેય શૂન્ય કે અપૂર્ણાંક હોઈ શકે નહીં.

(C) શરૂઆતનો વેગ: $V_1 = K[A]^n[B]^m$ $(I)$
નવો વેગ $V_2$ નવી સાંદ્રતા મૂકીને ગણવામાં આવે છે: $V_2 = K(2[A])^n([B]/2)^m$ $(II)$
સમીકરણ $(II)$ અને $(I)$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{K(2[A])^n([B]/2)^m}{K[A]^n[B]^m} = \frac{2^n[A]^n \times [B]^m \times 2^{-m}}{[A]^n[B]^m} = 2^n \times 2^{-m} = 2^{n-m}$

(C) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,પ્રક્રિયાનો ચોક્કસ અંશ પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી સમય નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $t \propto \frac{1}{[A]_0^{n-1}}$,જ્યાં $[A]_0$ એ પ્રક્રિયકની પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે.
આપેલ છે કે સમય પ્રારંભિક સાંદ્રતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $t \propto \frac{1}{[A]_0^1}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$n - 1 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.
તેથી,આ પ્રક્રિયા દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા છે.

(D) પ્રક્રિયાનો ક્રમ એ વેગના નિયમમાં રહેલા સાંદ્રતાના પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે.
આપેલ વેગનો નિયમ: $r = K[A]^{1/2}[B]^{1/3}[C]^{1/4}$.
પ્રક્રિયાનો ક્રમ = $1/2 + 1/3 + 1/4$.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,છેદ $(2, 3, 4)$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $12$ છે.
ક્રમ = $(6/12) + (4/12) + (3/12) = 13/12$.

(B) પ્રક્રિયાનો વેગ ધીમા તબક્કા $(RDS)$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
વેગ $= k[A_2][B]$.
$A_2$ એ મધ્યવર્તી હોવાથી,આપણે ઝડપી તબક્કાના સંતુલન અચળાંક $K_{eq}$ નો ઉપયોગ કરીને તેની સાંદ્રતા દર્શાવીએ છીએ:
$K_{eq} = \frac{[A_2]}{[A]^2} \implies [A_2] = K_{eq}[A]^2$.
આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
વેગ $= k \cdot K_{eq}[A]^2[B] = k'[A]^2[B]^1$.
પ્રક્રિયાનો ક્રમ એ વેગ નિયમમાં સાંદ્રતા પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે:
ક્રમ $= 2 + 1 = 3$.

(B) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધઆયુષ્ય $(t_{1/2})$ અને પ્રારંભિક સાંદ્રતા $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $t_{1/2} \propto \frac{1}{a^{n-1}}$ છે.
આપેલ છે કે જ્યારે પ્રારંભિક સાંદ્રતા $a_2 = 2a_1$ થાય,ત્યારે અર્ધઆયુષ્ય $(t_{1/2})_2 = \frac{(t_{1/2})_1}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_2} = \left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n-1}$.
$\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_1 / 2} = \left( \frac{2a_1}{a_1} \right)^{n-1}$.
$2 = (2)^{n-1}$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા: $n - 1 = 1$,તેથી $n = 2$.
આમ,પ્રક્રિયાનો ક્રમ $2$ છે.

(B) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ-અચળાંક $(k)$ ના એકમનું સામાન્ય સૂત્ર: $(mol \cdot L^{-1})^{1-n} \cdot s^{-1}$ છે.
દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$n = 2$.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા: $(mol \cdot L^{-1})^{1-2} \cdot s^{-1} = (mol \cdot L^{-1})^{-1} \cdot s^{-1} = mol^{-1} \cdot L \cdot s^{-1}$.

(D) પ્રક્રિયા માટે વેગ નિયમ $r = k[A]^x[B]^y[C]^z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $r \propto [A]^1[B]^2$ મુજબ,સાંદ્રતાના ઘાતાંકો $A$ માટે $1$ અને $B$ માટે $2$ છે.
પ્રક્રિયાનો ક્રમ એ વેગ નિયમમાં રહેલા સાંદ્રતા પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે.
ક્રમ $= 1 + 2 = 3$.

(C) $A + B \rightarrow AB$ પ્રાથમિક પ્રક્રિયા માટે દરનો નિયમ $r = k[A][B]$ છે.
જો $A$ અને $B$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,તો નવો દર $r'$ નીચે મુજબ થશે:
$r' = k[2A][2B] = 4k[A][B] = 4r$.
તેથી,પ્રક્રિયાનો દર મૂળ દર કરતા $4$ ગણો થશે.

(A) પ્રક્રિયા માટેનો વેગ નિયમ $r = k[A][B]^2$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સાંદ્રતા $[A] = x$ અને $[B] = y$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $r_1 = k(x)(y)^2 = kxy^2$.
નવી સાંદ્રતા $[A]' = 4x$ અને $[B]' = y/2$ છે.
નવો વેગ $r_2 = k(4x)(y/2)^2 = k(4x)(y^2/4) = kxy^2$.
$r_2 = r_1$ હોવાથી,વેગ અચળ રહેશે.

(B) પ્રક્રિયાનો વેગ નક્કી કરતું પગલું એ પ્રક્રિયા ક્રિયાવિધિનું ધીમું પગલું છે.
આ ક્રિયાવિધિમાં,ધીમું પગલું છે: $P + Q \to R + S$.
પ્રક્રિયાનો વેગ ધીમા પગલા દ્વારા નક્કી થાય છે,તેથી વેગ નિયમ ધીમા પગલામાં સામેલ પ્રક્રિયકોની સાંદ્રતા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વેગ નિયમનું સમીકરણ $r = k[P][Q]$ છે.

(C) પ્રક્રિયાનો વેગ ધીમા તબક્કા $(ii)$ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$r = k[X][Y_2]$ $---$ $(1)$
ઝડપી સંતુલન તબક્કા $(i)$ પરથી:
$K_{eq} = \frac{[X]^2}{[X_2]}$
$[X]^2 = K_{eq}[X_2]$
$[X] = K_{eq}^{1/2}[X_2]^{1/2}$ $---$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$r = k \cdot K_{eq}^{1/2}[X_2]^{1/2}[Y_2]^1$
$r = k'[X_2]^{1/2}[Y_2]^1$
પ્રક્રિયાનો કુલ ક્રમ એ વેગ નિયમમાં સાંદ્રતા પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે:
ક્રમ $= 0.5 + 1 = 1.5$

(D) પ્રક્રિયાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા $([A]_0)$ સાથે $T_{1/2} \propto [A]_0^{1-n}$ સંબંધ ધરાવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રક્રિયાનો ક્રમ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા $(n=1)$ માટે,$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$.
આ સમીકરણમાં પ્રારંભિક સાંદ્રતાનો કોઈ પદ ન હોવાથી,પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાનું અર્ધ-આયુષ્ય પ્રક્રિયકની પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો પ્રારંભિક સાંદ્રતા બમણી કરવાથી અર્ધ-આયુષ્ય પર અસર થતી નથી,તો પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની હોવી જોઈએ.

(C) પ્રક્રિયા માટેનો વેગ નિયમ આ મુજબ છે: $\text{Rate} = k[A]^2[B]^3$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $r_1 = k[A]^2[B]^3$ છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ બંનેની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી સાંદ્રતા $[A'] = 2[A]$ અને $[B'] = 2[B]$ થાય છે.
નવો વેગ $r_2$ આ મુજબ છે: $r_2 = k[2A]^2[2B]^3$.
$r_2 = k \cdot 4[A]^2 \cdot 8[B]^3$.
$r_2 = 32 \cdot k[A]^2[B]^3$.
$r_2 = 32 \cdot r_1$.
તેથી,વેગ $32$ ના ગુણાંકમાં વધશે.

(D) અને $B$ ના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ અનુક્રમે $x$ અને $y$ ધારો.
તેથી,વેગ નિયમ આ મુજબ આપી શકાય:
$R = k[A]^{x}[B]^{y} \dots (i)$
જ્યારે માત્ર $B$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે વેગ બમણો થાય છે:
$2R = k[A]^{x}[2B]^{y} \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$2 = 2^{y} \Rightarrow y = 1$
જ્યારે $A$ અને $B$ બંનેની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે વેગ $8$ ગણો વધે છે:
$8R = k[2A]^{x}[2B]^{y} \dots (iii)$
$(iii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$8 = 2^{x} \times 2^{y}$
$y = 1$ મૂકતા:
$8 = 2^{x} \times 2^{1}$ $\Rightarrow 4 = 2^{x}$ $\Rightarrow x = 2$
આમ,વેગ નિયમ $R = k[A]^{2}[B]$ છે.

(D) પ્રક્રિયાના ક્રમની વ્યાખ્યા વેગ નિયમ સમીકરણમાં સાંદ્રતાના પદોના ઘાતાંકોના સરવાળા તરીકે કરવામાં આવે છે.
તે એક પ્રાયોગિક રાશિ છે અને તે સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણના તત્વયોગમિતિય ગુણાંક સાથે સંબંધિત હોવી જરૂરી નથી.
પ્રક્રિયાનો ક્રમ શૂન્ય,પૂર્ણ સંખ્યા અથવા અપૂર્ણાંક પણ હોઈ શકે છે.
તેથી,પ્રક્રિયાનો ક્રમ હંમેશા પૂર્ણ સંખ્યા હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) પ્રક્રિયાનો વેગ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$-\frac{1}{2} \frac{d[N_2O_5]}{dt} = \frac{1}{4} \frac{d[NO_2]}{dt} = \frac{d[O_2]}{dt}$
આપેલ વેગના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2} k[N_2O_5] = \frac{1}{4} k'[N_2O_5] = k''[N_2O_5]$
$[N_2O_5]$ વડે ભાગતા:
$\frac{k}{2} = \frac{k'}{4} = k''$
$\frac{k}{2} = \frac{k'}{4}$ પરથી,$k' = 2k$ મળે છે.
$\frac{k}{2} = k''$ પરથી,$k'' = \frac{k}{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A$ ની સાપેક્ષે પ્રક્રિયાનો ક્રમ $x$ છે અને $B$ ની સાપેક્ષે $y$ છે.
દર નિયમ: $\text{Rate} = k[A]^x[B]^y$
આપેલ ડેટાનો ઉપયોગ કરતા:
$I. \ 6.0 \times 10^{-3} = k(0.1)^x(0.1)^y$
$II. \ 7.2 \times 10^{-2} = k(0.3)^x(0.2)^y$
$III. \ 2.88 \times 10^{-1} = k(0.3)^x(0.4)^y$
$IV. \ 2.40 \times 10^{-2} = k(0.4)^x(0.1)^y$
સમીકરણ $(I)$ ને સમીકરણ $(IV)$ વડે ભાગતા:
$\frac{6.0 \times 10^{-3}}{2.40 \times 10^{-2}} = \left(\frac{0.1}{0.4}\right)^x \left(\frac{0.1}{0.1}\right)^y$
$0.25 = (0.25)^x \implies x = 1$
સમીકરણ $(II)$ ને સમીકરણ $(III)$ વડે ભાગતા:
$\frac{7.2 \times 10^{-2}}{2.88 \times 10^{-1}} = \left(\frac{0.3}{0.3}\right)^x \left(\frac{0.2}{0.4}\right)^y$
$0.25 = (0.5)^y \implies (0.5)^2 = (0.5)^y \implies y = 2$
તેથી,દર નિયમ: $\text{Rate} = k[A]^1[B]^2 = k[A][B]^2$.

(A) પ્રક્રિયા $A + B \longrightarrow$ નીપજો માટે.
ધારો કે વેગ નિયમ: $\text{Rate} = k[A]^x[B]^y$ છે.
અવલોકન $(i)$ પરથી,$[A]$ બમણી કરતા વેગ બમણો થાય છે: $2 \times \text{Rate} = k[2A]^x[B]^y \implies 2 = 2^x \implies x = 1$.
અવલોકન $(ii)$ પરથી,$[A]$ અને $[B]$ બંને બમણી કરતા વેગ $8$ ગણો થાય છે: $8 \times \text{Rate} = k[2A]^1[2B]^y$.
આને મૂળ વેગ નિયમ વડે ભાગતા: $8 = 2^1 \times 2^y \implies 8 = 2 \times 2^y \implies 4 = 2^y \implies y = 2$.
આમ,વેગ નિયમ: $\text{Rate} = k[A][B]^2$ છે.

(C) ધારો કે દરનો નિયમ $\text{Rate} = k [CH_3COCH_3]^x [Br_2]^y [H^+]^z$ છે.
પ્રયોગ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા: $[CH_3COCH_3]$ અને $[H^+]$ અચળ છે,જ્યારે $[Br_2]$ બમણું થાય છે. દર $5.7 \times 10^{-5} M s^{-1}$ રહે છે. તેથી,$y = 0$.
પ્રયોગ $(2)$ અને $(3)$ ની સરખામણી કરતા: $[CH_3COCH_3]$ અચળ છે,$[Br_2]$ અચળ છે,અને $[H^+]$ બમણું થાય છે. દર $5.7 \times 10^{-5}$ થી વધીને $1.14 \times 10^{-4}$ ($2$ ના ગુણાંકમાં) થાય છે. તેથી,$z = 1$.
પ્રયોગ $(1)$ અને $(4)$ ની સરખામણી કરતા: $[Br_2]$ અચળ છે. $[CH_3COCH_3]$ $4/3$ ગણું વધે છે અને $[H^+]$ $4$ ગણું વધે છે. દર $5.7 \times 10^{-5}$ થી વધીને $3.04 \times 10^{-4}$ ($\approx 5.33$ ના ગુણાંકમાં) થાય છે. કારણ કે $5.33 = (4/3) \times 4$,તેથી $x = 1$.
તેથી,દરનો નિયમ $\text{Rate} = k [CH_3COCH_3][H^+]$ છે.

(D) પ્રક્રિયા માટેનો વેગ નિયમ $Rate = k[H_2]^1[ICl]^1$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
ક્રિયાવિધિ $A$ માટે,જે એક તબક્કાની પ્રાથમિક પ્રક્રિયા છે,વેગ નિયમ $Rate = k[H_2][ICl]^2$ થશે. આ આપેલા વેગ નિયમ સાથે મેળ ખાતો નથી.
ક્રિયાવિધિ $B$ માટે,વેગ નિર્ણાયક તબક્કો ધીમો તબક્કો છે: $H_{2(g)} + ICl_{(g)} \rightarrow HCl_{(g)} + HI_{(g)}$.
આ પ્રાથમિક તબક્કા માટેનો વેગ નિયમ $Rate = k[H_2][ICl]$ છે.
આ આપેલા વેગ નિયમ સાથે મેળ ખાય છે,જે $H_2$ અને $ICl$ બંનેના સંદર્ભમાં પ્રથમ ક્રમની છે. તેથી,માત્ર ક્રિયાવિધિ $B$ આપેલી માહિતી સાથે સુસંગત છે.

(A) પ્રક્રિયા $CO$ ના સંદર્ભમાં $2nd$ ક્રમની હોવાથી,દરનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$r = k[CO]^2$
ધારો કે $CO$ ની પ્રારંભિક સાંદ્રતા $a$ છે,એટલે કે $[CO] = a$.
$r_1 = k(a)^2 = ka^2$
જ્યારે સાંદ્રતા બમણી થાય છે,એટલે કે $[CO] = 2a$.
તેથી,$r_2 = k(2a)^2 = 4ka^2$.
આમ,$r_2 = 4r_1$.
તેથી,પ્રક્રિયાનો દર $4$ ગણો વધશે.

(B) પગલું $(i)$: $NO_{(g)} + Br_{2(g)} \rightleftharpoons NOBr_{2(g)}$ (ઝડપી સંતુલન)
પગલું $(ii)$: $NOBr_{2(g)} + NO_{(g)} \longrightarrow 2NOBr_{(g)}$ (ધીમું,વેગ નિર્ણાયક પગલું)
વેગ નિયમ ધીમા પગલા પરથી નક્કી થાય છે: $\text{Rate} = k[NOBr_2][NO]$.
$NOBr_2$ એ મધ્યવર્તી હોવાથી,આપણે તેની સાંદ્રતાને પગલા $(i)$ ના સંતુલન અચળાંક $K_C$ નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવીએ છીએ: $K_C = \frac{[NOBr_2]}{[NO][Br_2]}$.
તેથી,$[NOBr_2] = K_C[NO][Br_2]$.
આને વેગ નિયમમાં મૂકતા: $\text{Rate} = k \cdot K_C[NO][Br_2][NO] = k'[NO]^2[Br_2]$.
આમ,$NO_{(g)}$ ના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $2$ છે.

(B) પ્રક્રિયા માટે,વેગ નિયમ $Rate = k[A]^x[B]^y$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$1$. જ્યારે $B$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે અર્ધ-આયુષ્ય બદલાતું નથી. આ સૂચવે છે કે પ્રક્રિયા $B$ ના સંદર્ભમાં પ્રથમ ક્રમની છે $(y=1)$,કારણ કે પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાનું અર્ધ-આયુષ્ય પ્રક્રિયકની પ્રારંભિક સાંદ્રતા પર આધારિત નથી.
$2$. જ્યારે $A$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે દર બે ગણો વધે છે. આ સૂચવે છે કે પ્રક્રિયા $A$ ના સંદર્ભમાં પ્રથમ ક્રમની છે $(x=1)$.
$3$. પ્રક્રિયાનો કુલ ક્રમ $n = x + y = 1 + 1 = 2$ છે.
$4$. $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ અચળાંકનો એકમ $(mol \ L^{-1})^{1-n} \ s^{-1}$ છે. $n=2$ માટે,એકમ $(mol \ L^{-1})^{1-2} \ s^{-1} = (mol \ L^{-1})^{-1} \ s^{-1} = L \ mol^{-1} \ s^{-1}$ થાય છે.

(D) વેગ નિર્ણાયક તબક્કો $(RDS)$ એ પ્રક્રિયા ક્રિયાવિધિનો ધીમો તબક્કો છે.
ક્રિયાવિધિ $A$ માટે:
ધીમો તબક્કો $Cl_2 + H_2S \rightarrow H^{+} + Cl^{-} + Cl^{+} + HS^{-}$ છે.
આ તબક્કા પરથી મળતો વેગ નિયમ $\text{rate} = k[Cl_2][H_2S]$ છે,જે આપેલ વેગ સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે.
ક્રિયાવિધિ $B$ માટે:
ધીમો તબક્કો $Cl_2 + HS^{-} \rightarrow 2Cl^{-} + H^{+} + S$ છે.
વેગ નિયમ $\text{rate} = k[Cl_2][HS^{-}]$ છે.
ઝડપી સંતુલન $H_2S \rightleftharpoons H^{+} + HS^{-}$ પરથી,સંતુલન અચળાંક $K = \frac{[H^{+}][HS^{-}]}{[H_2S]}$ છે,તેથી $[HS^{-}] = \frac{K[H_2S]}{[H^{+}]}$.
આને વેગ નિયમમાં મૂકતા $\text{rate} = k' \frac{[Cl_2][H_2S]}{[H^{+}]}$ મળે છે,જે આપેલ વેગ સમીકરણ સાથે મેળ ખાતું નથી.
તેથી,માત્ર ક્રિયાવિધિ $A$ સુસંગત છે.

(D) ધારો કે પ્રક્રિયાનો વેગ $\frac{d[C]}{dt} = k[A]^{x}[B]^{y}$ છે.
આપેલ ડેટા પરથી:
$1.2 \times 10^{-3} = k[0.1]^{x}[0.1]^{y} \quad (i)$
$1.2 \times 10^{-3} = k[0.1]^{x}[0.2]^{y} \quad (ii)$
$2.4 \times 10^{-3} = k[0.2]^{x}[0.1]^{y} \quad (iii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.2 \times 10^{-3}}{1.2 \times 10^{-3}} = \frac{k[0.1]^{x}[0.1]^{y}}{k[0.1]^{x}[0.2]^{y}}$
$1 = (0.5)^{y} \Rightarrow y = 0.$
સમીકરણ $(i)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.2 \times 10^{-3}}{2.4 \times 10^{-3}} = \frac{k[0.1]^{x}[0.1]^{y}}{k[0.2]^{x}[0.1]^{y}}$
$0.5 = (0.5)^{x} \Rightarrow x = 1.$
આમ,વેગ નિયમ $\frac{d[C]}{dt} = k[A]^{1}[B]^{0} = k[A]$ છે.

(C) ઉચ્ચ ક્રમની $(> 3)$ પ્રતિક્રિયાઓ દુર્લભ છે કારણ કે તમામ પ્રતિક્રિયા આપતી પ્રજાતિઓની એકસાથે અથડામણની સંભાવના ખૂબ જ ઓછી હોય છે.
પ્રતિક્રિયા થવા માટે,અણુઓ પૂરતી ઊર્જા અને યોગ્ય દિશા સાથે અથડાવા જોઈએ.
જેમ જેમ એક જ તબક્કામાં સામેલ અણુઓની સંખ્યા વધે છે,તેમ તેમ તેઓ એક જ સમયે અને સ્થળે અથડાવાની શક્યતા નોંધપાત્ર રીતે ઘટી જાય છે.

(A) પ્રક્રિયાનો દર એ પ્રક્રિયકના અદ્રશ્ય થવાના દરને તેના તત્વયોગમિતિય સહગુણક વડે ભાગવાથી વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રક્રિયા $(a)$ માટે: $2N_2O_5 \rightarrow 4NO_{2(g)} + O_{2(g)}$
દર $= -\frac{1}{2} \frac{d[N_2O_5]}{dt} = k_{rate}[N_2O_5]$
આપેલ છે કે $-\frac{d[N_2O_5]}{dt} = k[N_2O_5]$,તેથી દર $= \frac{k}{2} [N_2O_5]$.
પ્રક્રિયા $(b)$ માટે: $N_2O_5 \rightarrow 2NO_{2(g)} + 1/2 O_{2(g)}$
દર $= -\frac{d[N_2O_5]}{dt} = k'_{rate}[N_2O_5]$
આપેલ છે કે $-\frac{d[N_2O_5]}{dt} = k'[N_2O_5]$,તેથી દર $= k' [N_2O_5]$.
તત્વયોગમિતિ કેવી રીતે લખવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના પ્રક્રિયાનો દર સમાન હોવાથી,આપણે દરોને સરખાવીએ છીએ:
$\frac{k}{2} [N_2O_5] = k' [N_2O_5]$
$k = 2k'$

(C) પ્રક્રિયાનો વેગ ધીમા તબક્કા દ્વારા નક્કી થાય છે,જે તબક્કો $(II)$ છે:
$Rate = k[NOBr_2][NO]$
$NOBr_2$ એ મધ્યવર્તી હોવાથી,આપણે તેની સાંદ્રતા દર્શાવવા માટે તબક્કા $(I)$ ના સંતુલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$K_{eq} = \frac{[NOBr_2]}{[NO][Br_2]}$
$[NOBr_2] = K_{eq}[NO][Br_2]$
આને વેગ સમીકરણમાં મૂકતા:
$Rate = k \cdot K_{eq}[NO][Br_2] \cdot [NO]$
$Rate = k'[NO]^2[Br_2]$
પ્રક્રિયાનો એકંદરે ક્રમ એ વેગ નિયમમાં સાંદ્રતા પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે:
$Order = 2 + 1 = 3$

(B) વેગનું સમીકરણ $r = k[A][B]^{0.5}$ છે.
સાંદ્રતા $C = n/V$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $n$ મોલની સંખ્યા છે અને $V$ કદ છે.
જો કદ $V$ ને ઘટાડીને $V/4$ કરવામાં આવે,તો નવી સાંદ્રતા $C' = n/(V/4) = 4(n/V) = 4C$ થશે.
નવી સાંદ્રતા $[A]' = 4[A]$ અને $[B]' = 4[B]$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r' = k(4[A])(4[B])^{0.5} = k \times 4[A] \times 2[B]^{0.5} = 8 \times k[A][B]^{0.5}$.
$r' = 8r$.
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ $8$ ગણો વધશે.

(C) ધારો કે વેગ નિયમ $r = k[A]^x[B]^y$ છે.
પ્રયોગ $1$ અને $2$ પરથી,$[B]$ અચળ છે. વેગની સરખામણી કરતા:
$\frac{8.4 \times 10^{-6}}{4.2 \times 10^{-6}} = (\frac{2.0}{1.0})^x \implies 2 = 2^x \implies x = 1$.
પ્રયોગ $1$ અને $3$ પરથી,$[A]$ અચળ છે. વેગની સરખામણી કરતા:
$\frac{5.6 \times 10^{-6}}{4.2 \times 10^{-6}} = (\frac{0.20}{0.15})^y \implies \frac{4}{3} = (\frac{4}{3})^y \implies y = 1$.
આમ,વેગ નિયમ $r = k[A][B]$ છે.

(B) $2^{nd}$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $\frac{1}{[R]} = kt + \frac{1}{[R]_0}$ છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઢાળ $k = \tan(\theta) = \tan(\tan^{-1}(0.5)) = 0.5 \ L \ mol^{-1} \ min^{-1}$ અને આંતરછેદ $\frac{1}{[R]_0} = 2 \ L \ mol^{-1}$ મળે છે.
આમ,$[R]_0 = \frac{1}{2} = 0.5 \ M$. આથી વિકલ્પ $B$ ખોટો છે અને વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{1}{k[R]_0} = \frac{1}{0.5 \times 0.5} = \frac{1}{0.25} = 4 \ min$ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$75\%$ પૂર્ણતા માટે,$[R] = [R]_0 - 0.75[R]_0 = 0.25[R]_0 = 0.125 \ M$.
વેગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{0.125} = 0.5 \times t + 2 \implies 8 = 0.5t + 2 \implies 0.5t = 6 \implies t = 12 \ min$.
$12 \ min = \frac{12}{60} \ hours = 0.2 \ hours$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(C) પ્રક્રિયાનો વેગ $Rate = -\frac{d[X_{2}]}{dt} = -\frac{d[Y_{2}]}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d[XY]}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધારો કે વેગ નિયમ $Rate = k[X_{2}]^{a}[Y_{2}]^{b}$ છે.
ડેટા પરથી:
$1$) $5 \times 10^{-6} = k(0.1)^{a}(0.1)^{b}$
$2$) $10^{-5} = k(0.2)^{a}(0.1)^{b}$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા: $2 = 2^{a} \implies a = 1$.
$3$) $4 \times 10^{-5} = k(0.2)^{a}(0.2)^{b}$
$(3)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $4 = 2^{b} \implies b = 2$.
આમ,$Rate = k[X_{2}][Y_{2}]^{2}$.
$XY$ ના દેખાવાનો દર $\frac{d[XY]}{dt} = 2 \times Rate = 2k[X_{2}][Y_{2}]^{2}$ છે.
પ્રથમ ડેટા પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરતા: $5 \times 10^{-6} = 2k(0.1)(0.1)^{2} = 2k(10^{-3})$.
$k = \frac{5 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-3}} = 2.5 \times 10^{-3} \ M^{-2} \ sec^{-1}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\ln k_t = \ln k_0 + \left( \frac{\ln (2.5)}{10} \right) \times t$ છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,આપણને $k_t = k_0 \times (2.5)^{t/10}$ મળે છે.
તાપમાન ગુણાંક એ $10 \, ^{\circ}C$ ના તફાવત ધરાવતા તાપમાનો પરના વેગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $\frac{k_{t+10}}{k_t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{k_{t+10}}{k_t} = \frac{k_0 \times (2.5)^{(t+10)/10}}{k_0 \times (2.5)^{t/10}} = (2.5)^{(t+10-t)/10} = (2.5)^{10/10} = 2.5$.
આમ,તાપમાન ગુણાંક $2.5$ છે.