Rate law , Rate constant , Order of Reaction and Molecularity Questions in Gujarati

(C) પ્રક્રિયા $3X \to 4Y$ માટે વેગ નિયમ $-\frac{1}{3} \frac{d[X]}{dt} = k[X]^n$ છે.
$n$-ક્રમની પ્રક્રિયા માટે જ્યાં $n \neq 1$,સંકલિત વેગ સમીકરણ $\frac{1}{[X]^{n-1}} - \frac{1}{[X]_0^{n-1}} = 3(n-1)kt$ છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \frac{1}{[X]^3}$,આપણે $n-1 = 3$ મેળવીએ છીએ,તેથી $n = 4$.
આલેખનો ઢાળ $3(n-1)k = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
$n-1 = 3$ મૂકતા,આપણને $3(3)k = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $9k = \frac{1}{\sqrt{3}}$,અથવા $k = \frac{1}{9\sqrt{3}}$.
પ્રક્રિયાનો દર $r = k[X]^n = \frac{1}{9\sqrt{3}} \times (0.1)^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = \frac{1}{9\sqrt{3}} \times 10^{-4} \ M \ \min^{-1}$.

(D) $n \neq 1$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ $t = \frac{1}{k(n-1)} [\frac{1}{C_t^{n-1}} - \frac{1}{C_0^{n-1}}]$ છે.
$t_{1/2}$ માટે,$C_t = C_0 / 2$:
$t_{1/2} = \frac{2^{n-1} - 1}{k(n-1)C_0^{n-1}}$.
$t_{7/8}$ માટે,$C_t = C_0 / 8 = C_0 / 2^3$:
$t_{7/8} = \frac{2^{3(n-1)} - 1}{k(n-1)C_0^{n-1}}$.
$t_{7/8}$ ને $t_{1/2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{t_{7/8}}{t_{1/2}} = \frac{2^{3(n-1)} - 1}{2^{n-1} - 1}$.
તેથી,$t_{7/8} = t_{1/2} \ [\frac{2^{3(n-1)} - 1}{2^{n-1} - 1}]$.

(A) પ્રક્રિયાનો દર તેની ક્રિયાવિધિના સૌથી ધીમા પગલા દ્વારા નક્કી થાય છે.
પગલું $1$ (ધીમું પગલું) પરથી,દરનો નિયમ આ મુજબ છે: દર $= k [NO]^2 [H_2]$.
કારણ કે દર $H_2$ ની સાંદ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં છે ($H_2$ ના સંદર્ભમાં પ્રથમ ક્રમ),તેથી $[NO]$ ને અચળ રાખીને $H_2$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવાથી પ્રક્રિયાનો દર બમણો થશે.
તેથી,વિધાન $A$ અને વિધાન $C$ બંને સાચા છે.

(C) વેગ નિયમ $r = k[A]^x[B]^y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ માહિતી પરથી:
$1) \ 5.0 \times 10^{-5} = k(0.2)^x(0.3)^y$
$2) \ 5.0 \times 10^{-5} = k(0.2)^x(0.1)^y$
$3) \ 1.4 \times 10^{-4} = k(0.4)^x(0.05)^y$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$1 = (0.3/0.1)^y = 3^y \implies y = 0$.
$(3)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.4 \times 10^{-4}}{5.0 \times 10^{-5}} = \frac{k(0.4)^x(0.05)^0}{k(0.2)^x(0.3)^0}$
$2.8 = (0.4/0.2)^x = 2^x$
બંને બાજુ $\log$ લેતા: $x \log 2 = \log 2.8 \implies x = \frac{\log 2.8}{\log 2} \approx 1.48 \approx \frac{3}{2}$.
આમ,$A$ ના સંદર્ભમાં ક્રમ $\frac{3}{2}$ છે અને $B$ ના સંદર્ભમાં ક્રમ $0$ છે.

(NONE) ક્રમ $n$ ની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય અને પ્રારંભિક સાંદ્રતા વચ્ચેનો સંબંધ: $t_{1/2} \propto [A_0]^{1-n}$ છે.
આપેલ માહિતી:
$1$) $[A_0]_1 = 0.1 \ M$,$(t_{1/2})_1 = 100 \ s$
$2$) $[A_0]_2 = 0.025 \ M$,$(t_{1/2})_2 = 50 \ s$
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_2} = \left( \frac{[A_0]_1}{[A_0]_2} \right)^{1-n}$
$\frac{100}{50} = \left( \frac{0.1}{0.025} \right)^{1-n}$
$2 = (4)^{1-n}$
$2 = (2^2)^{1-n} = 2^{2-2n}$
ઘાતાંક સરખાવતા: $1 = 2 - 2n \implies 2n = 1 \implies n = 0.5$.
આમ,પ્રક્રિયાનો ક્રમ $0.5$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ સાચું નથી.

(C) પ્રક્રિયાનો વેગ સૌથી ધીમા પગલા દ્વારા નક્કી થાય છે,જે પગલું-$2$ છે: $r = k_2[AE][A]$.
કારણ કે $AE$ એક મધ્યવર્તી છે,આપણે ઝડપી પગલા-$1$ ના સંતુલન અચળાંક $K_{eq}$ નો ઉપયોગ કરીને તેની સાંદ્રતા દર્શાવીએ છીએ: $K_{eq} = \frac{[AE]}{[A][E]}$,જે $[AE] = K_{eq}[A][E]$ આપે છે.
આને વેગ સમીકરણમાં મૂકતા: $r = k_2(K_{eq}[A][E])[A] = k_2 K_{eq}[A]^2[E]$.
$k = k_2 K_{eq}$ લેતા,વેગ નિયમ $r = k[A]^2[E]$ બને છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ અને પ્રારંભિક દબાણ $(P_{A_0})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$t_{1/2} \propto (P_{A_0})^{1-n}$
તેથી,$\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_2} = \left( \frac{(P_{A_0})_1}{(P_{A_0})_2} \right)^{1-n}$
આપેલ છે: $(t_{1/2})_1 = 100 \text{ s}$,$(P_{A_0})_1 = 0.1 \text{ atm}$
$(t_{1/2})_2 = 50 \text{ s}$,$(P_{A_0})_2 = 0.025 \text{ atm}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100}{50} = \left( \frac{0.1}{0.025} \right)^{1-n}$
$2 = (4)^{1-n}$
$2^1 = (2^2)^{1-n}$
$2^1 = 2^{2(1-n)}$
ઘાતની સરખામણી કરતા: $1 = 2(1-n)$
$0.5 = 1 - n$
$n = 1 - 0.5 = 0.5$
આમ,પ્રક્રિયાનો ક્રમ $0.5$ છે.

(A) રાસાયણિક પ્રક્રિયાનો વેગ નિયમ પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે અને તે પ્રક્રિયાની ક્રિયાવિધિ પર આધાર રાખે છે.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણમાં દેખાતી જાતિઓ વેગના નિયમમાં દેખાય તે જરૂરી નથી,ખાસ કરીને જો તે મધ્યવર્તી હોય અથવા પ્રક્રિયા જટિલ હોય.
તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
દ્વિ-આણ્વિય પ્રાથમિક પ્રક્રિયાઓમાં બે કણોની અથડામણનો સમાવેશ થાય છે,જે તેમને દ્વિતીય ક્રમની બનાવે છે,તેથી $B$ સાચું છે.
એસ્ટરનું આલ્કલાઇન જળવિભાજન (સેપોનિફિકેશન) દ્વિતીય ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે,તેથી $C$ સાચું છે.
પ્રાથમિક પ્રક્રિયાઓ માટે,ક્રમ અને આણ્વિયતા ખરેખર સમાન હોય છે,તેથી $D$ સાચું છે.

(C) $n$-માં ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ એ પ્રારંભિક દબાણ $P_0$ સાથે $t_{1/2} \propto \frac{1}{P_0^{n-1}}$ તરીકે સંબંધિત છે.
તેથી,$\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_2} = \left( \frac{(P_0)_2}{(P_0)_1} \right)^{n-1}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{135}{112.5} = \left( \frac{300}{250} \right)^{n-1}$.
$1.2 = (1.2)^{n-1}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$n - 1 = 1$,જે $n = 2$ આપે છે.

(C) પ્રક્રિયા માટે વેગ નિયમ $r = k[A]^x$ છે,જ્યાં $x$ એ પ્રક્રિયાનો ક્રમ છે.
શરૂઆતમાં,$r = k[A]^x$ $(1)$.
જ્યારે સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વેગ $7r$ થાય છે,તેથી $7r = k[2A]^x$ $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા: $\frac{7r}{r} = \frac{k[2A]^x}{k[A]^x}$.
$7 = 2^x$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log(7) = x \log(2)$.
$x = \frac{\log(7)}{\log(2)} \approx \frac{0.845}{0.301} \approx 2.81$.
$2 < 2.81 < 3$ હોવાથી,પ્રક્રિયાનો ક્રમ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે છે.

(B) વેગ નિયમ $r = k[NO]^x[Cl_2]^y$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રયોગ $I$ અને $II$ પરથી,$[NO]$ ને અચળ રાખતા:
$\frac{3 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{-3}} = \left(\frac{0.15}{0.05}\right)^y \implies 3 = 3^y \implies y = 1$.
પ્રયોગ $I$ અને $III$ પરથી,$[Cl_2]$ ને અચળ રાખતા:
$\frac{9 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{-3}} = \left(\frac{0.15}{0.05}\right)^x \implies 9 = 3^x \implies x = 2$.
આમ,વેગ નિયમ $r = k[NO]^2[Cl_2]^1$ અથવા $r = k[Cl_2][NO]^2$ છે.

(C) પ્રક્રિયાનો વેગ તેના વેગ-નિર્ધારક તબક્કા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આપેલ વેગ-નિર્ધારક તબક્કો $Y + \frac{1}{2}Z \to Q$ છે,તેથી વેગ નિયમ આ મુજબ છે: $Rate = k[Y][Z]^{1/2}$.
જો $Z$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,તો નવો વેગ $(r')$ આ મુજબ થશે:
$r' = k[Y][2Z]^{1/2} = k[Y] \times \sqrt{2} \times [Z]^{1/2}$.
$r' = \sqrt{2} \times Rate = 1.414 \times Rate$.
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ મૂળ વેગ કરતા $1.414$ ગણો થશે.

(A) વેગ નિયમ $r = k[A]^x[B]^y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રયોગ $I$ અને $II$ ની સરખામણી કરતા:
$[A]$ બમણું થાય છે,$[B]$ અચળ રહે છે,અને વેગ $r$ બમણો થાય છે.
તેથી,$x = 1$.
પ્રયોગ $II$ અને $III$ ની સરખામણી કરતા:
$[A]$ અચળ રહે છે,$[B]$ બમણું થાય છે,અને વેગ $r$ બમણો થાય છે.
તેથી,$y = 1$.
વેગ નિયમ $r = k[A][B]$ છે. વિધાન $(b)$ સાચું છે.
$k$ શોધવા માટે પ્રયોગ $I$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times 10^{-4} = k \times (1 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^{-2})$
$k = 1 \ mol^{-1} \ L \ sec^{-1}$. વિધાન $(a)$ સાચું છે.
જો $[A]$ અને $[B]$ બંને બમણા કરવામાં આવે:
$r' = k(2[A])(2[B]) = 4k[A][B] = 4r$.
આમ,વેગ ચાર ગણો વધે છે. વિધાન $(c)$ સાચું છે.
તેથી,બધા વિધાનો $(a), (b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(D) પ્રક્રિયાનો વેગ ધીમા તબક્કા $(II)$ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$r = k_2 [N_2O_2] [H_2]$
$N_2O_2$ એ મધ્યવર્તી હોવાથી,આપણે ઝડપી તબક્કા $(I)$ ના સંતુલન અચળાંક $(K_{eq})$ નો ઉપયોગ કરીને તેની સાંદ્રતા દર્શાવીએ છીએ:
$K_{eq} = \frac{[N_2O_2]}{[NO]^2} \implies [N_2O_2] = K_{eq} [NO]^2$
આને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r = k_2 (K_{eq} [NO]^2) [H_2]$
ધારો કે $k = k_2 K_{eq}$,તો વેગ નિયમ:
$r = k [NO]^2 [H_2]$

(D) વેગ અચળાંક $(k)$ એ આપેલા તાપમાને પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે તમામ ક્રમની પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રક્રિયકોની પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર હોય છે.
તે માત્ર તાપમાન અને ઉદ્દીપકની હાજરી પર આધાર રાખે છે.

(C) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ એ પ્રારંભિક દબાણ $(P)$ સાથે $(t_{1/2}) \propto P^{1-n}$ મુજબ સંબંધિત છે.
આપેલ માહિતીનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_2} = (\frac{P_1}{P_2})^{1-n}$.
પ્રથમ બે મૂલ્યો લેતા: $\frac{3.52}{1.76} = (\frac{50}{100})^{1-n} \implies 2 = (\frac{1}{2})^{1-n} = 2^{n-1}$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા: $n-1 = 1$,તેથી $n = 2$.
હવે,$t_{1/2} = 2.5 \ hrs$ માટે,આપણે $(t_{1/2}) \propto P^{1-2} \implies (t_{1/2}) \propto P^{-1} \implies (t_{1/2}) \times P = \text{અચળ}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ ડેટા પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરતા: $3.52 \times 50 = 2.5 \times P_2$.
$P_2 = \frac{3.52 \times 50}{2.5} = \frac{176}{2.5} = 70.4 \ mm \ Hg$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,દબાણ $70 \ mm \ Hg$ છે.

(A) પ્રક્રિયાનો વેગ તાપમાન સાથે નીચેના સૂત્ર મુજબ વધે છે: $r_{new} = r_{initial} \times \mu^{(\Delta T / 10)}$.
અહીં,$\mu = 2$ (તાપમાન ગુણાંક),$T_1 = 273 \ K$,અને $T_2 = 313 \ K$ છે.
$\Delta T = T_2 - T_1 = 313 - 273 = 40 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $r_{new} = R_0 \times (2)^{(40 / 10)}$.
$r_{new} = R_0 \times (2)^4 = 16 \ R_0$.

(C) $(I)$ અચળ $pH$ પર $t_{1/2}$ એ $Zn$ ની સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર હોવાથી,$[Zn]$ ના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $1$ છે.
$(II)$ ધારો કે દરનો નિયમ $r = k[Zn]^1[H^{+}]^x$ છે.
જ્યારે $pH = 3$,$[H^{+}] = 10^{-3} \ M$. જ્યારે $pH = 2$,$[H^{+}] = 10^{-2} \ M$.
આપેલ છે કે અચળ $[Zn]$ માટે,જ્યારે $pH$ $3$ થી $2$ થાય ત્યારે દર $100$ ગણો વધે છે:
$\frac{r_2}{r_1} = \frac{k[Zn][10^{-2}]^x}{k[Zn][10^{-3}]^x} = 100$
$10^x = 100 \Rightarrow x = 2$.
આમ,દરનો નિયમ $\frac{dx}{dt} = k[Zn][H^{+}]^2$ છે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(III)$ વિધાન $(C)$ તપાસતા: જો $[Zn]$ એ $4[Zn]$ થાય અને $[H^{+}]$ એ $\frac{[H^{+}]}{2}$ થાય,તો $r' = k[4Zn][\frac{H^{+}}{2}]^2 = k[4Zn][\frac{[H^{+}]^2}{4}] = k[Zn][H^{+}]^2 = r$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
$(IV)$ વિધાન $(D)$ તપાસતા: જો અચળ $[Zn]$ પર $[H^{+}]$ બમણું કરવામાં આવે,તો $r' = k[Zn][2H^{+}]^2 = 4k[Zn][H^{+}]^2 = 4r$. આમ,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$,$(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(A) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} \propto a^{1-n}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે.
આલેખ $(I)$ માટે,$t_{1/2}$ એ $[A]$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી $1-n = 0 \implies n = 1$.
આલેખ $(II)$ માટે,$t_{1/2} \propto [A]$,તેથી $1-n = 1 \implies n = 0$.
આલેખ $(III)$ માટે,$n=2$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે $t_{1/2} \propto 1/a$ થાય છે,તેથી $t_{1/2}$ વિરુદ્ધ $1/[A]$ નો આલેખ સુરેખ મળે છે.
આમ,પ્રક્રિયા ક્રમ અનુક્રમે $1, 0, 2$ છે.

(A) બહુ-તબક્કાની પ્રક્રિયા માટે,સમગ્ર પ્રક્રિયાનો વેગ સૌથી ધીમા તબક્કા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જેને વેગ-નિર્ધારક તબક્કો કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રક્રિયામાં,તબક્કો $(a)$ એ ધીમો તબક્કો છે:
$Br^{-} + H^{+} + H_2O_2 \xrightarrow{slow} HOBr + H_2O$
આ પ્રક્રિયા માટે વેગ નિયમ ધીમા તબક્કાના વેગ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Rate = k[Br^{-}][H^{+}][H_2O_2]$
પ્રક્રિયાનો ક્રમ એ વેગ નિયમ સમીકરણમાં સાંદ્રતા પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે:
$Order = 1 + 1 + 1 = 3$
તેથી,પ્રક્રિયાનો ક્રમ $3$ છે.

(B) પ્રક્રિયા માટે વેગ નિયમ: $\text{rate} = k[A][B]$ છે.
પ્રારંભિક વેગ: $R_1 = k[A]_0[B]_0 = 4 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.
જ્યારે $50\%$ પ્રક્રિયકો નીપજમાં રૂપાંતરિત થાય છે,ત્યારે દરેક પ્રક્રિયકની સાંદ્રતા અડધી થઈ જાય છે:
$[A] = \frac{[A]_0}{2}$ અને $[B] = \frac{[B]_0}{2}$.
નવો વેગ: $R_2 = k \left( \frac{[A]_0}{2} \right) \left( \frac{[B]_0}{2} \right) = \frac{1}{4} k[A]_0[B]_0$.
પ્રારંભિક વેગની કિંમત મૂકતા:
$R_2 = \frac{1}{4} \times (4 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}) = 1 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પ્રક્રિયા $-I$ માટે: વેગ નિયમ $-\frac{d[A]}{dt} = k_1[A]^0$ છે. પ્રક્રિયાનો ક્રમ $0$ હોવાથી,$k_1$ નો એકમ $\text{સાંદ્રતા} \times \text{સમય}^{-1} = M \ sec^{-1}$ થાય છે.
પ્રક્રિયા $-II$ માટે: વેગ નિયમ $-\frac{d[B]}{dt} = k_2[B]^1$ છે. પ્રક્રિયાનો ક્રમ $1$ હોવાથી,$k_2$ નો એકમ $\text{સમય}^{-1} = sec^{-1}$ થાય છે.

(C) પ્રક્રિયા $AB_5 \to AB + 4B$ માટે,પ્રક્રિયાનો વેગ નીચે મુજબ છે:
$Rate = -\frac{d[AB_5]}{dt} = \frac{1}{4} \frac{d[B]}{dt}$
આપેલ છે કે $-\frac{d[AB_5]}{dt} = K[AB_5]$ અને $\frac{d[B]}{dt} = K_1[AB_5]$,તેથી:
$K[AB_5] = \frac{1}{4} (K_1[AB_5])$
બંને બાજુ $[AB_5]$ વડે ભાગતા:
$K = \frac{1}{4} K_1 \Rightarrow K_1 = 4K$

(D) આપેલ પ્રક્રિયા માટે દરનો નિયમ $Rate = k[I^{-}][OCl^{-}]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$I^{-}$ ના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $1$ છે અને $OCl^{-}$ ના સંદર્ભમાં $1$ છે.
પ્રક્રિયાનો કુલ ક્રમ એ દરના નિયમમાં સાંદ્રતા પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે.
કુલ ક્રમ $= 1 + 1 = 2$.

(A) ધારો કે વેગ નિયમ $r = k[A_2]^a[B_2]^b$ છે.
કોષ્ટક પરથી:
$1) 0.04 = k(0.2)^a(0.2)^b$
$2) 0.04 = k(0.1)^a(0.4)^b$
$3) 0.08 = k(0.2)^a(0.4)^b$
$(3)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{0.08}{0.04} = \frac{k(0.2)^a(0.4)^b}{k(0.2)^a(0.2)^b} \implies 2 = (2)^b \implies b = 1$.
$(3)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{0.08}{0.04} = \frac{k(0.2)^a(0.4)^b}{k(0.1)^a(0.4)^b} \implies 2 = (2)^a \implies a = 1$.
આમ,$a = 1$ અને $b = 1$.

(C) પ્રક્રિયાનો વેગ નક્કી કરતું પગલું $(RDS)$ એ ક્રિયાવિધિનું ધીમું પગલું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે:
પગલું $1$: $X + X \rightleftharpoons X_2$ (ઝડપી સંતુલન)
પગલું $2$: $X_2 \to Q + T$ (ધીમું,$RDS$)
પગલું $3$: $T + G \to 2M$ (ઝડપી)
પ્રક્રિયાનો વેગ ધીમા પગલા દ્વારા નક્કી થાય છે: $r = k_2[X_2]$.
પગલું $1$ માં ઝડપી સંતુલન પરથી,સંતુલન અચળાંક $K_C = \frac{[X_2]}{[X]^2}$,જે $[X_2] = K_C[X]^2$ આપે છે.
આને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $r = k_2 K_C [X]^2 = k[X]^2$.
આ આપેલ વેગના નિયમ સાથે સુસંગત છે.

(B) પ્રક્રિયા માટેનો વેગ નિયમ એ પ્રાયોગિક રાશિ છે અને તે સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણમાં પ્રક્રિયકોના તત્વયોગમિતિય સહગુણકો પર આધાર રાખે તે જરૂરી નથી.
તેથી,વેગ નિયમ તત્વયોગમિતિય સમીકરણમાં દેખાતા તમામ પ્રક્રિયકોની સાંદ્રતા પર આધાર રાખે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) પ્રક્રિયાનો ક્રમ એ પ્રાયોગિક રાશિ છે અને તે શૂન્ય,પૂર્ણાંક અથવા અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે.
પ્રક્રિયાનો ક્રમ અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે,તેથી 'ક્રમ અપૂર્ણાંક હોઈ શકે નહીં' તે વિધાન ખોટું છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(A) પ્રક્રિયા $X + Y \to Z$ છે.
આણ્વિકતા એટલે પ્રાથમિક પ્રક્રિયામાં ભાગ લેતી પ્રક્રિયક જાતિઓની સંખ્યા.
અહીં પ્રક્રિયાની ક્રિયાવિધિ આપેલી ન હોવાથી,સમગ્ર પ્રક્રિયાની આણ્વિકતા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી.
પ્રક્રિયાનો ક્રમ એ વેગ નિયમમાં રહેલા સાંદ્રતાના પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે $\text{rate} \propto [X]$,તેથી વેગ નિયમ $\text{rate} = k[X]^1[Y]^0$ થાય.
આમ,પ્રક્રિયાનો ક્રમ $1$ છે.

(D) પ્રાથમિક પ્રક્રિયા માટે,દરેક પ્રક્રિયકના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ તેના સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણમાં તેના તત્વયોગમિતિય ગુણાંક જેટલો હોય છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેની પ્રક્રિયા દ્વિતીય ક્રમની હોવાથી,તત્વયોગમિતિય ગુણાંકનો સરવાળો $2$ હોવો જોઈએ.
પ્રાથમિક પ્રક્રિયા $aA + bB \rightarrow \text{Products}$ માટે,દરનો નિયમ $r = k[A]^a[B]^b$ છે.
પ્રક્રિયા પ્રાથમિક અને દ્વિતીય ક્રમની હોવાથી,ઘાતાંકોનો સરવાળો $a + b = 2$ થાય છે.
વિકલ્પ $D$ માં $r = k[A]^1[B]^1$ છે,જ્યાં $a=1$ અને $b=1$,તેથી $a+b=2$.
તેથી,દર સમીકરણ $r = k[A][B]$ એ પ્રાથમિક દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સુસંગત છે.

(A) $n^{th}$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$t_{1/2} \propto \frac{1}{a^{n-1}}$
આનો અર્થ એ છે કે $t_{1/2}$ એ $a^{n-1}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(C) દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,સંકલિત વેગ સમીકરણ છે: $\frac{1}{(a-x)} = \frac{1}{a} + Kt$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = K$ અને આંતરછેદ $c = \frac{1}{a}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\theta = \tan^{-1}(1/2)$,તેથી ઢાળ $K = \tan \theta = 1/2 = 0.5 \ L \ mol^{-1} \ min^{-1}$.
આંતરછેદ $OA = \frac{1}{a} = 2 \ L \ mol^{-1}$,જે પ્રારંભિક સાંદ્રતા $a = 1/2 = 0.5 \ mol \ L^{-1}$ આપે છે.
શરૂઆતમાં $(t=0)$ પ્રક્રિયાનો વેગ $r = K[A]_0^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = 0.5 \times (0.5)^2 = 0.5 \times 0.25 = 0.125 \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$.

(A) બહુ-સોપાન પ્રક્રિયામાં,પ્રક્રિયાનો વેગ નક્કી કરતું સોપાન એ પ્રક્રિયાની ક્રિયાવિધિનું સૌથી ધીમું સોપાન હોય છે.
વેગ અચળાંક $K$ એ પ્રક્રિયાના વેગના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,સૌથી નાનો વેગ અચળાંક ધરાવતું સોપાન સૌથી ધીમું સોપાન હશે.
આપેલ શરત $K_3 > K_2 > K_1$ મુજબ,વેગ અચળાંક $K_1$ સૌથી નાનો છે.
તેથી,સોપાન $1$ એ સૌથી ધીમું સોપાન છે અને તે પ્રક્રિયાનો વેગ નક્કી કરતું સોપાન છે.

(C) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ અને પ્રારંભિક સાંદ્રતા $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ $t_{1/2} \propto a^{1-n}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $t_{1/2} = \frac{1}{k \cdot a}$ ને $t_{1/2} \propto a^{-1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$a$ ના ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,$1 - n = -1$ મળે છે.
$n$ માટે ઉકેલતા,$n = 2$ મળે છે.
તેથી,આ પ્રક્રિયા દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા છે.

(B) પ્રક્રિયા માટેનો વેગ નિયમ $Rate = k[H_{2}][ICl]$ છે.
ક્રિયાવિધિ $A$ માટે,જે એક તબક્કાની પ્રાથમિક પ્રક્રિયા છે,વેગ નિયમ $Rate = k[H_{2}][ICl]^2$ થશે. જે આપેલા વેગ નિયમ સાથે મેળ ખાતો નથી.
ક્રિયાવિધિ $B$ માટે,પ્રથમ તબક્કો એ વેગ-નિર્ધારક તબક્કો (ધીમો તબક્કો) છે. પ્રક્રિયાનો વેગ આ તબક્કા દ્વારા નક્કી થાય છે: $Rate = k[H_{2}][ICl]$.
આ આપેલી માહિતી સાથે મેળ ખાય છે કે પ્રક્રિયા $H_{2}$ અને $ICl$ બંનેના સંદર્ભમાં પ્રથમ ક્રમની છે. તેથી,માત્ર ક્રિયાવિધિ $B$ સુસંગત છે.

(C) ક્રિયાવિધિ $A$ માટે:
વેગ ધીમા તબક્કા દ્વારા નક્કી થાય છે: $r = k_2[Cl_2][HS^-]$.
ઝડપી સંતુલન તબક્કા પરથી,$K_{eq} = \frac{[H^+][HS^-]}{[H_2S]}$,તેથી $[HS^-] = K_{eq} \frac{[H_2S]}{[H^+]}$.
આને વેગ સમીકરણમાં મૂકતા: $r = k_2 K_{eq} [Cl_2] \frac{[H_2S]}{[H^+]} = K' \frac{[Cl_2][H_2S]}{[H^+]}$. આ આપેલ વેગ નિયમ સાથે મેળ ખાતું નથી.
ક્રિયાવિધિ $B$ માટે:
વેગ ધીમા તબક્કા દ્વારા નક્કી થાય છે: $r = k_1[Cl_2][H_2S]$.
આ આપેલ વેગ નિયમ $r = K[Cl_2][H_2S]$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,માત્ર ક્રિયાવિધિ $B$ સુસંગત છે.

(D) આપેલ દરનો નિયમ $\text{rate} = k[P]^1[Q]^{0.5}[R]^{0.5}$ છે.
$1$. $P$ ના સંદર્ભમાં ક્રમ $1$ છે,જે સાચું છે.
$2$. પ્રક્રિયાનો કુલ ક્રમ એ સાંદ્રતા પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે: $1 + 0.5 + 0.5 = 2$,જે સાચું છે.
$3$. $Q$ અને $R$ ના સંદર્ભમાં ક્રમ $0.5$ છે,જે સાચું છે.
$4$. $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે દર અચળાંક $k$ નો એકમ $(mol\ L^{-1})^{1-n} s^{-1}$ છે. $n = 2$ માટે,એકમ $(mol\ L^{-1})^{1-2} s^{-1} = mol^{-1}\ L\ s^{-1}$ થાય.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે કારણ કે $mol\ L^{-1}\ s^{-1}$ એ શૂન્ય ક્રમની પ્રક્રિયાનો એકમ છે.

(A) બહુ-પગલીય પ્રક્રિયામાં,સમગ્ર પ્રક્રિયાનો વેગ સૌથી ધીમા પગલા દ્વારા નક્કી થાય છે,જેને વેગ-નિર્ધારક પગલું કહેવામાં આવે છે.
ધીમું પગલું છે: $2B \xrightarrow{k} B_2$.
આ પગલા માટે વેગ નિયમ છે: $Rate = k[B]^2$.
સામાન્ય વેગ નિયમ સમીકરણ $Rate = k[A]^x[B]^y$ સાથે સરખાવતા:
$A$ ના સંદર્ભમાં ક્રમ $(x)$ = $0$.
$B$ ના સંદર્ભમાં ક્રમ $(y)$ = $2$.
પ્રક્રિયાનો કુલ ક્રમ = $x + y = 0 + 2 = 2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) દરનો નિયમ $Rate = k[P]^1[Q]^{0.5}[R]^{0.5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $P$ ના સંદર્ભમાં ક્રમ $1$ છે,જે સાચું છે.
$2$. પ્રક્રિયાનો કુલ ક્રમ ઘાતાંકોનો સરવાળો છે: $1 + 0.5 + 0.5 = 2$,જે સાચું છે.
$3$. $Q$ અને $R$ દરેકના સંદર્ભમાં ક્રમ $0.5$ છે,જે સાચું છે.
$4$. $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે વેગ અચળાંક $k$ નો એકમ $(mol \, L^{-1})^{1-n} s^{-1}$ છે. $n = 2$ માટે,એકમ $(mol \, L^{-1})^{1-2} s^{-1} = (mol \, L^{-1})^{-1} s^{-1} = L \, mol^{-1} s^{-1}$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) પ્રક્રિયાઓ માટેના વેગના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$r_1 = k[A]^1$
$r_2 = k[A]^2$
$r_3 = k[A]^3$
આપેલ છે કે વેગ અચળાંકો સમાન છે $(k_1 = k_2 = k_3 = k)$ અને સાંદ્રતા $[A] < 1 \ M$ છે.
ધારો કે $[A] = x$,જ્યાં $0 < x < 1$.
તેથી $r_1 = kx$,$r_2 = kx^2$,અને $r_3 = kx^3$.
કારણ કે $x < 1$,તેથી $x > x^2 > x^3$ થાય.
તેથી,$kx > kx^2 > kx^3$,જેનો અર્થ છે કે $r_1 > r_2 > r_3$.

(D) $n^{th}$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ અને પ્રારંભિક સાંદ્રતા $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $t_{1/2} \propto a^{1-n}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $t_{1/2} \times a^{n-1} =$ અચળ.
આપેલ શરત $a^2 t_{1/2} =$ અચળ મુજબ,$a$ ના ઘાતાંકની સરખામણી કરતા.
અહીં,$n-1 = 2$.
તેથી,$n = 3$.
આમ,આ ત્રીજા ક્રમની પ્રક્રિયા છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ ના સંદર્ભમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દરનો નિયમ: $\frac{d[C]}{dt} = k[A]^{\alpha}[B]^{\beta}$
આપેલ ડેટા પરથી:
$1.2 \times 10^{-3} = k[0.1]^{\alpha}[0.1]^{\beta} \quad (i)$
$1.2 \times 10^{-3} = k[0.1]^{\alpha}[0.2]^{\beta} \quad (ii)$
$2.4 \times 10^{-3} = k[0.2]^{\alpha}[0.1]^{\beta} \quad (iii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$1 = 2^{\beta} \implies \beta = 0$
$(iii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$2 = 2^{\alpha} \implies \alpha = 1$
આમ,દરનો નિયમ: $\frac{d[C]}{dt} = k[A]$.

(C) પ્રક્રિયાનો વેગ ધીમા તબક્કા દ્વારા નક્કી થાય છે:
$r = k_2 [NOBr_2][NO]$
$NOBr_2$ એ મધ્યવર્તી હોવાથી,આપણે તેને ઝડપી સંતુલન તબક્કાનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયકોના સંદર્ભમાં દર્શાવીએ છીએ:
$K_{eq} = \frac{[NOBr_2]}{[NO][Br_2]}$
તેથી,$[NOBr_2] = K_{eq} [NO][Br_2]$
આને વેગ સમીકરણમાં મૂકતા:
$r = k_2 (K_{eq} [NO][Br_2]) [NO]$
$r = (k_2 K_{eq}) [NO]^2 [Br_2]$
$K = k_2 K_{eq}$ લેતા,વેગ નિયમ:
$r = K [NO]^2 [Br_2]$

(D) વેગ અચળાંક $(k)$ એ આપેલ તાપમાને પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે પ્રક્રિયકોની સાંદ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,$B$ ની સાંદ્રતા બદલવાથી પ્રક્રિયાનો વેગ બદલાશે,પરંતુ વેગ અચળાંક $(k)$ બદલાશે નહીં.

(C) પ્રારંભિક વેગ $R = K[A][B]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $A$ ની સાંદ્રતા અચળ રાખવામાં આવે અને $B$ ની સાંદ્રતા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે $B$ ની નવી સાંદ્રતા $[B]' = 2[B]$ થાય છે.
નવો વેગ $R'$ એ $R' = K[A][B]' = K[A](2[B])$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક વેગના સમીકરણને નવા વેગના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $R' = 2 \times (K[A][B]) = 2R$ મળે છે.
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ બમણો થઈ જાય છે.

(B) પ્રક્રિયાનો વેગ એ પ્રક્રિયકના અદ્રશ્ય થવાનો વેગ ભાગ્યા તેનો તત્વયોગમિતિય ગુણાંક છે,જે નીપજના બનવાના વેગ ભાગ્યા તેના તત્વયોગમિતિય ગુણાંક જેટલો હોય છે.
પ્રક્રિયા $2N_2O_5 \to 4NO_2 + O_2$ માટે,વેગનું સમીકરણ:
$-\frac{1}{2} \frac{d[N_2O_5]}{dt} = \frac{1}{4} \frac{d[NO_2]}{dt}$
આપેલ છે કે $-\frac{d[N_2O_5]}{dt} = k[N_2O_5]$ અને $\frac{d[NO_2]}{dt} = k'[N_2O_5]$,આ કિંમતોને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} (k[N_2O_5]) = \frac{1}{4} (k'[N_2O_5])$
$\frac{k}{2} = \frac{k'}{4}$
$k' = 2k$ અથવા $2k = k'$.

(D) પ્રારંભિક દર: $Rate_1 = k[A]^n[B]^m$
જ્યારે $A$ ની સાંદ્રતા બમણી $(2[A])$ અને $B$ ની સાંદ્રતા અડધી $([B]/2)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો દર: $Rate_2 = k[2A]^n[\frac{1}{2}B]^m$
નવા દર અને પ્રારંભિક દરનો ગુણોત્તર:
$\frac{Rate_2}{Rate_1} = \frac{k[2A]^n[\frac{1}{2}B]^m}{k[A]^n[B]^m}$
$= (2)^n \times (\frac{1}{2})^m$
$= 2^n \times 2^{-m} = 2^{(n-m)}$

(D) પ્રક્રિયા $A \to B$ માટે વેગ નિયમ $r = k[A]^x$ છે,જ્યાં $x$ એ પ્રક્રિયાનો ક્રમ છે.
પ્રથમ સ્થિતિ માટે: $2.40 \times 10^{-4} = k(2 \times 10^{-3})^x$ $(i)$
બીજી સ્થિતિ માટે: $0.60 \times 10^{-4} = k(1 \times 10^{-3})^x$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2.40 \times 10^{-4}}{0.60 \times 10^{-4}} = \frac{k(2 \times 10^{-3})^x}{k(1 \times 10^{-3})^x}$
$4 = (2)^x$
કારણ કે $4 = 2^2$,તેથી $x = 2$.
આમ,$A$ ની સાપેક્ષમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $2$ છે.

(B) પ્રક્રિયા માટે દરનો નિયમ: $Rate = K [A]^x [B]^y$
પ્રારંભિક દર: $0.3 = K [A]^x [B]^y$ $(1)$
જ્યારે બંને સાંદ્રતા બમણી થાય: $2.4 = K [2A]^x [2B]^y = K [A]^x [B]^y \times 2^{x+y} = 0.3 \times 2^{x+y}$
$2^{x+y} = 2.4 / 0.3 = 8 = 2^3$,તેથી $x + y = 3$ $(2)$
જ્યારે માત્ર $A$ બમણો થાય: $0.6 = K [2A]^x [B]^y = K [A]^x [B]^y \times 2^x = 0.3 \times 2^x$
$2^x = 0.6 / 0.3 = 2 = 2^1$,તેથી $x = 1$
$x = 1$ ને $x + y = 3$ માં મૂકતા,$y = 2$ મળે છે.
આમ,$A$ ની સાપેક્ષમાં ક્રમ $1$ છે અને $B$ ની સાપેક્ષમાં ક્રમ $2$ છે.

(D) પ્રાથમિક પ્રક્રિયા $A_2 \underset{k_{-1}}{\overset{k_1}{\longleftrightarrow}} 2A$ માટે,પ્રક્રિયાનો વેગ પ્રક્રિયકો અને નીપજોની સાંદ્રતામાં થતા ફેરફારના સંદર્ભમાં દર્શાવી શકાય છે.
$A_2$ ના અદ્રશ્ય થવાનો વેગ $-\frac{d[A_2]}{dt} = k_1[A_2] - k_{-1}[A]^2$ છે.
$A$ ના બનવાનો વેગ $\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = k_1[A_2] - k_{-1}[A]^2$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d[A]}{dt} = 2k_1[A_2] - 2k_{-1}[A]^2$ મળે છે.